一元线性回归方程求解
一元线性回归方程求解
1、典型的一元线性回归方程为y=a+bx ，
已知一组数据： y 1,，y 2，…y n ； x 1，x 2，…x n ，
基本上呈线性关系。
求他们之间的函数公式。
2 、
n
x x i
∑=
n
y y ∑i
=
S xx =∑x i 2-n
1（∑x i ）2 S yy =∑y i 2-n
1
（∑y i ）2 S xy =∑x i y i -n
1(∑x i )(∑y i ) b= S xy / S xx a=y －b x 3 、相关性检验
采用相关系数r ，r 是介于0~1之间的小数，越接近于1，线性方程的准确性越高，一般工程上要大于0.95.
S R =bS xy S e =S yy - S R r=
(1-Se/S r )
4、回归方程求解比较繁琐，有条件的可编制电脑程序，也可采用execl 表格计算。
例题;某计量单位标定千斤顶，压力表读数P （Mpa ）和千斤顶顶力N （KN ）基本呈线性关系，
N=a+Bp
数据及计算见下表
n
x x i
∑=
=385/11=35 n
y y ∑i
=
=9544.225/11=867.66
S xx =∑x i 2-n 1
（∑x i ）2=16225-3852/11=2750
S yy =∑y i 2-n 1
（∑y i ）2=10114588-9544.2252/11=1833476.1
S xy =∑x i y i -n
1
(∑x i )(∑y i )=404988.88-385×9544.225/11=70941.005
b= S xy / S xx =70941.005/2750=25.797 a=y －b x =867.66－25.797×35=－35.235 回归方程为N=－35.235+25.797P
S R =bS xy =25.797×70941.005=1830065.11 S e =S yy - S R =1833476.1-1830065.11=3410.99 r=
(1-Se/S r )=
（1-3410.99/1830065.11）=0.999
此回归方程的可信度非常高。
5、其他类型一元函数回归方程求解基本思路是将其转化为一元线性回归方程为y=a+bx ，再利用以上步骤求解。
①x
b a y 1+=
将1/y=Y X=1/x 转化为Y=a+bX ②幂函数y=ax b
令Y=㏑y X=lnx A=lna 转化为Y=A+bX ③指数函数y=ae bx
令Y=㏑y A=lna 转化为Y=A+bx ④S 型曲线y=
x
-be a 1+
令Y=1/y X=e -x 转化为Y=a+bX
例题2 某工地实验室做混凝土配合比，采用42.5硅酸盐水泥，中砂，5～30mm 碎石，试配不同水灰比x 与混凝土28天抗压强度y 的关系，
基本方程为y=42.5b/x-42.5a ，令X=1/x ，A=-42.5a ，B=42.5b ，具体数据和计算结果如下表
序号
x
X y X 2
y 2
Xy 10.6 1.666731.2 2.7778974.3658252.024720.57 1.754432.9 3.07791084.3681557.771530.54 1.851934.8 3.42941213.4914264.509640.51 1.960837.0 3.84471366.398972.480150.48 2.083339.4 4.34031549.26208
82.001460.45 2.222242.1 4.93831770.385193.502170.42 2.381045.2 5.6689
2041.1528
107.569380.39 2.564148.8 6.57462377.50884125.024990.36 2.777852.97.71602802.33185147.0474100.33 3.0303
57.99.18273349.39111175.3755合计 4.6522.2924422.1351.5505697218528.6561
977.3065平均值
2.2292
42.213
5.15511852.86561
97.7307
S xx =∑x i 2-n
1（∑x i ）2=51.551-22.29242/10=1.8559
S yy =∑y i 2-n
1（∑y i ）2=18528.656-422.132/10=709.2823
S xy =∑x i y i -n
1(∑x i )(∑y i )=977.3065-22.2924×
422.13/10=36.2774
B= S xy / S xx =36.2774/1.8559=19.5471
b=19.5471/42.5=0.4599
A=y －b x =42.213-19.5471×2.2292=-1.3614 a=-1.3614/42.5=0.032
则y=-1.3614+19.5471X=-0.032×42.5+
x
.5
42599.40× S R =BS xy =19.5471×36.2774=708.97 S e =S yy - S R =709.2823-708.97=0.3123 r=
(1-Se/S r )=
（1-0.3123/708.97）=0.9998
此回归方程的可信度非常高。
1一元线性回归方程
i =1 n
i =1 n
2
Lxy = ∑( Xi − X ) (Yi −Y )
i=1
ˆ ˆ β0 = Y − β1 X ˆ Lxy β1 = Lxx
二、OLS回归直线的性质 回归直线的性质
ˆ （1）估计的回归直线 Yi ）
（2） ）
ˆ ˆ = β 0 + β 1X i
前三个条件称为G-M条件 条件 前三个条件称为
§1.2 一元线性回归模型的参数估计
普通最小二乘法（ Squares） 普通最小二乘法（Ordinary Least Squares） OLS回归直线的性质 OLS回归直线的性质 OLSE的性质 OLSE的性质
一、普通最小二乘法
对于所研究的问题， 对于所研究的问题，通常真实的回归直线 E(Yi|Xi) = β0 + β1Xi 是观 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。 测不到的。可以通过收集样本来对真实的回归直线做出估计。
Y
55 80 100 120140 160
X
二、随机误差项εi的假定条件 随机误差项
为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 为了估计总体回归模型中的参数，需对随机误差项作出如下假定： 假定1： 假定 ：零期望假定：E(εi) = 0。 。 假定2： 假定 ：同方差性假定：Var(εi) = σ 2。 假定3： 假定 ：无序列相关假定：Cov(εi, εj) = 0, (i ≠ j )。 。 假定4： 假定 ： εi 服从正态分布，即εi ∼ N (0, σ 2 )。 。
以下设 x 为自变量(普通变量 Y 为因变量(随机变 普通变量) 普通变量 随机变 量) .现给定 x 的 n 个值 x1,…, xn, 观察 Y 得到相应的 n 个 值 y1,…,yn, (xi ,yi) i=1,2,…, n 称为样本点 样本点. 样本点 以 (xi ,yi) 为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到 的这张图便称之为散点图 散点图. 散点图
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
一元线性回归方程的建立
第二节一元线性回归方程的建立一元线性回归分析是处理两个变量之间关系的最简单模型，它所研究的对象是两个变量之间的线性相关关系。
通过对这个模型的讨论，我们不仅可以掌握有关一元线性回归的知识，而且可以从中了解回归分析方法的基本思想、方法和应用。
一、问题的提出例2-1-1 为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到表2-1-1给出的5组数据。
表2-1-1 氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图2-1-1，这个图称为散点图。
从图2-1-1可以看出，数据点基本落在一条直线附近。
这告诉我们，变量X与Y的关系大致可看作是线性关系，即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。
但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此X与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个X值确定一个Y值的程度。
其它因素，诸如其它微量元素的含量以及测试误差等都会影响Y 的测试结果。
如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合（2-1-1）二、最小二乘法原理如果把用回归方程计算得到的i值(i=1,2,…n)称为回归值，那么实际测量值y i与回归值i之间存在着偏差，我们把这(i=1,2,3,…,n)。
这样，我们就可以用残差平种偏差称为残差，记为e i方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。
残差平方和定义为: (2-1-2) 所谓最小二乘法，就是选择a和b使Q(a,b)最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和Q最小的一条。
由(2-1-2)式可知Q是关于a,b的二次函数，所以它的最小值总是存在的。
下面讨论的a和b的求法。
一元线性回归分析案例
i＝1
(2)当 r＞0 时，称两个变量_正__相___关__；
当 r＜0 时，称两个变量_负__相__关__；
当 r＝0 时，称两个变量线性不相关．
【教材拓展】 1．相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确 定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．从散点图看相关性 正相关：样本点分布在从左下角到右上角的区域内； 负相关：样本点分布在从左上角到右下角的区域内． 3．回归直线 y＝bx＋a 必过样本点的中心．
答案：68
1．四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方
程，分别得到以下四个结论：
①y 与 x 负相关且 y＝2.347x－6.423；②y 与 x 负相关且 y＝－3.476x＋5.648；③y 与
x 正相关且 y＝5.437x＋8.493；④y 与 x 正相关且 y＝－4.326x－4.578.
(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关
系数 r 加以说明；(系数精确到 0.001)
(2)建立 y 关于 x 的回归方程 y＝bx＋a(系数精确到 0.01)；如果该公司计划在 9 月份
实现产品销量超 6 万件，预测至少需投入促销费用多少万元(结果精确到 0.01)．
4．线性回归方程
假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，如果用x－表示x1＋x2＋n …＋xn，用－y表
示y1＋y2＋n …＋yn，则可以求得 b＝
（x1－x－）（y1－－y）＋（x2－x－）（y2－－y）＋…＋（xn－x－）（yn－－y） （x1－x－）2＋（x2－x－）2＋…＋（xn－x－）2
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
一元线性回归方程
北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人 均 收 入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关 系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一 回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为： 两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参 数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时， 这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量
一元线性回归
《土地利用规划学》一元线性回归分析学院：资源与环境学院班级：2013009姓名：x学号：201300926指导老师：x目录一、根据数据绘制散点图： (1)二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： (1)1）最小二乘法原理 (1)2）求回归直线方程的步骤 (3)三、回归模型的检验： (4)1）拟合优度检验（R2）： (4)2）相关系数显著性检验： (5)3）回归方程的显著性检验（F 检验） (6)四、用excel进行回归分析 (7)五、总结 (15)一、根据数据绘制散点图：◎由上述数据，以销售额为y 轴（因变量），广告支出为X 轴（自变量）在EXCEL 可以绘制散点图如下图：◎从散点图的形态来看，广告支出与销售额之间似乎存在正的线性相关关系。
大致分布在某条直线附近。
所以假设回归方程为：x y βα+=二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： 1）最小二乘法原理年份 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 广告支出（万元）x 4.00 7.00 9.00 12.00 14.00 17.00 20.00 22.00 25.00 27.00销售额y7.00 12.00 17.00 20.00 23.00 26.00 29.00 32.00 35.00 40.00最小二乘法原理可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。
考虑函数y=ax+b ，其中a,b 为待定常数。
如果Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n ）在一条直线上，则可以认为变量之间的关系为y=ax+b 。
但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记Ei=yi-(axi+b)，它反映了用直线y=ax+b 来描述x=xi ，y=yi 时，计算值y 与实际值yi 的偏差。
当然，要求偏差越小越好，但由于Ei 可正可负，所以不能认为当∑Ei=0时，函数y=ax+b 就好好地反应了变量之间的关系，因为可能每个偏差的绝对值都很大。
一元线性回归模型控制方程求解
梅国平，袁捷敏，毛小兵，李杰编著《概率论与数理统计》，科学出版社，2007年版P.268给出一个一元线性回归模型控制问题求解方程组：书中解得p1=2.51 p2=2.48上述控制方程组的解可以表示成两条曲线中间夹一条直线与直线y=2、直线y=3相交的四个交点所对应的横坐标x值。
用mathematica软件做出的示意图如下，mathematic软件中相应的隐函数作图命令为：用Java语言编写出求解类似控制方程组求解程序。
程序求解过程的难点在于上述方程组中的根号开方部分，这个程序把解上述复杂方程组的根号开方问题转化为求一个一元二次方程的两个根。
借鉴其他参考书中有关论述，用被控区间两个端点的中心对应的回归直线上投影点横坐标x值，代替控制方程中根号下的未知数，近似讨论了一下控制区间的长度是否满足可控条件，不是很准确。
精确讨论上述控制方程组的可控问题比较复杂，这个程序没有实现。
程序运行启动界面截图：点击“求解”按钮后程序运行界面截图：源程序清单如下：主程序：一元线性回归模型控制方程求解.java/***根据给定的因变量被控区间，求出自变量的施控区间。
**作者：Adam**/public class 一元线性回归模型控制方程求解{public static void main(String args []){界面求解实例= new 界面(6.45,-1.58,2.0,3.0,4.78,2.306,0.2,10.0,2.5); }}输入输出界面类：界面.javaimport javax.swing.JFrame;import javax.swing.JLabel;import javax.swing.JTextField;import javax.swing.JButton;import javax.swing.JPanel;import java.awt.BorderLayout;import java.awt.GridLayout;import java.awt.event.ActionListener; import java.awt.event.ActionEvent; public class 界面{private JFrame 主窗口;private JLabel a标签;private JTextField a;private JLabel b标签;private JTextField b;private JLabel Tn_2标签;private JTextField Tn_2;private JLabel Se标签;private JTextField Se;private JLabel n标签;private JTextField n;private JLabel averageOfX标签;private JTextField averageOfX;private JLabel lxx标签;private JTextField lxx;private JLabel 左端点标签;private JTextField 左端点;private JLabel 右端点标签;private JTextField 右端点;private JLabel 可控否标签;private JLabel 左端点dY原始值;private JLabel 左端点根1标签;private JTextField 左端点根1值;private JLabel 左端点根1dY检验值;private JLabel 左端点根2标签;private JTextField 左端点根2值;private JLabel 左端点根2dY检验值;private JLabel 右端点dY原始值;private JLabel 右端点根1标签;private JTextField 右端点根1值;private JLabel 右端点根1dY检验值;private JLabel 右端点根2标签;private JTextField 右端点根2值;private JLabel 右端点根2dY检验值;private JButton 求解;private 求解按钮动作实际求解;private JButton 重置;private JButton 退出;界面(){初始化界面();实际求解= new 求解按钮动作(this);求解.addActionListener(实际求解);}界面(double originalA,double originalB,double original左端点,double original右端点,double originalLxx,double originalTn_2,double originalSe,double originalN,double originalAverageOfX){初始化界面();a.setText(Double.toString(originalA));b.setText(Double.toString(originalB));左端点.setText(Double.toString(original左端点));右端点.setText(Double.toString(original右端点));lxx.setText(Double.toString(originalLxx));Tn_2.setText(Double.toString(originalTn_2));Se.setText(Double.toString(originalSe));n.setText(Double.toString(originalN));averageOfX.setText(Double.toString(originalAverageOfX));实际求解= new 求解按钮动作(this);求解.addActionListener(实际求解);}private void 初始化界面(){主窗口= new JFrame("一元线性回归模型控制方程求解");主窗口.setSize(900,400);主窗口.setLocation(120,120);a标签= new JLabel("a：");a = new JTextField(20);输入文本框数字检查check = new 输入文本框数字检查(主窗口);a.getDocument().addDocumentListener(check);b标签= new JLabel("b：");b = new JTextField("",20);b.getDocument().addDocumentListener(check);Tn_2标签= new JLabel("Tn_2：");Tn_2 = new JTextField("",20);Tn_2.getDocument().addDocumentListener(check);Se标签= new JLabel("Se：");Se = new JTextField("",20);Se.getDocument().addDocumentListener(check);n标签= new JLabel("n：");n = new JTextField("",20);n.getDocument().addDocumentListener(check);averageOfX标签= new JLabel("average of x：");averageOfX = new JTextField("",20);averageOfX.getDocument().addDocumentListener(check);lxx标签= new JLabel("lxx：");lxx = new JTextField("",20);lxx.getDocument().addDocumentListener(check);左端点标签= new JLabel("左端点：");左端点= new JTextField("",20);左端点.getDocument().addDocumentListener(check);右端点标签= new JLabel("右端点：");右端点= new JTextField("",20);右端点.getDocument().addDocumentListener(check);JPanel 输入第一行= new JPanel();JPanel 输入第二行= new JPanel();JPanel 输入第三行= new JPanel();输入第一行.add(a标签);输入第一行.add(a);输入第一行.add(b标签);输入第一行.add(b);输入第一行.add(Tn_2标签);输入第一行.add(Tn_2);输入第二行.add(Se标签);输入第二行.add(Se);输入第二行.add(n标签);输入第二行.add(n);输入第二行.add(averageOfX标签);输入第二行.add(averageOfX);输入第三行.add(lxx标签);输入第三行.add(lxx);输入第三行.add(左端点标签);输入第三行.add(左端点);输入第三行.add(右端点标签);输入第三行.add(右端点);左端点dY原始值= new JLabel("左端点dy原始值：",JLabel.CENTER); 左端点根1标签= new JLabel("由根1：",JLabel.CENTER);左端点根1值= new JTextField(20);左端点根1dY检验值= new JLabel("dy检验值：",JLabel.CENTER);左端点根2标签= new JLabel("由根2：",JLabel.CENTER);左端点根2值= new JTextField(20);左端点根2dY检验值= new JLabel("dy检验值：",JLabel.CENTER);右端点dY原始值= new JLabel("右端点dy原始值：",JLabel.CENTER); 右端点根1标签= new JLabel("由根1：",JLabel.CENTER);右端点根1值= new JTextField(20);右端点根1dY检验值= new JLabel("dy检验值：",JLabel.CENTER);右端点根2标签= new JLabel("由根2：",JLabel.CENTER);右端点根2值= new JTextField(20);右端点根2dY检验值= new JLabel("dy检验值：",JLabel.CENTER); JPanel rightPoint1 = new JPanel();JPanel rightPoint2 = new JPanel();JPanel rightPoint3 = new JPanel();JPanel leftPoint1 = new JPanel();JPanel leftPoint2 = new JPanel();JPanel leftPoint3 = new JPanel();leftPoint1.add(左端点dY原始值);leftPoint2.add(左端点根1标签);leftPoint2.add(左端点根1值);leftPoint2.add(左端点根1dY检验值);leftPoint3.add(左端点根2标签);leftPoint3.add(左端点根2值);leftPoint3.add(左端点根2dY检验值);rightPoint1.add(右端点dY原始值);rightPoint2.add(右端点根1标签);rightPoint2.add(右端点根1值);rightPoint2.add(右端点根1dY检验值);rightPoint3.add(右端点根2标签);rightPoint3.add(右端点根2值);rightPoint3.add(右端点根2dY检验值);求解= new JButton("求解");重置= new JButton("重置");重置.addActionListener(new 重置按钮动作(this));退出= new JButton("退出");退出.addActionListener(new 退出按钮动作(this));JPanel 按钮行= new JPanel();按钮行.add(求解);按钮行.add(重置);按钮行.add(退出);可控否标签= new JLabel("",JLabel.CENTER);JPanel pointPanel = new JPanel(new GridLayout(11,1)); pointPanel.add(输入第一行);pointPanel.add(输入第二行);pointPanel.add(输入第三行);pointPanel.add(可控否标签);pointPanel.add(leftPoint1);pointPanel.add(leftPoint2);pointPanel.add(leftPoint3);pointPanel.add(rightPoint1);pointPanel.add(rightPoint2);pointPanel.add(rightPoint3);pointPanel.add(按钮行);主窗口.setLayout(new BorderLayout());主窗口.add(pointPanel,BorderLayout.CENTER);主窗口.setVisible(true);主窗口.validate();主窗口.setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE); }public void set主窗口(JFrame 主窗口){this.主窗口= 主窗口;}public JFrame get主窗口(){return 主窗口;}public void setA标签(JLabel a标签){this.a标签= a标签;}public JLabel getA标签(){return a标签;}public void setA(JTextField a){this.a = a;主窗口.validate();}public JTextField getA(){return a;}public void setB标签(JLabel b标签)this.a标签= a标签;主窗口.validate();}public JLabel getB标签(){return b标签;}public void setB(JTextField b){this.b = b;主窗口.validate();}public JTextField getB(){return b;}public void setTn_2标签(JLabel Tn_2标签) {this.Tn_2标签= Tn_2标签;主窗口.validate();}public JLabel getTn_2标签(){return Tn_2标签;}public void setTn_2(JTextField Tn_2){this.Tn_2 = Tn_2;主窗口.validate();}public JTextField getTn_2(){return Tn_2;}public void setSe标签(JLabel Se标签)this.Se标签= Se标签;主窗口.validate();}public JLabel getSe标签(){return Se标签;}public void setSe(JTextField Se){this.Se = Se;主窗口.validate();}public JTextField getSe(){return Se;}public void setN标签(JLabel n标签){this.n标签= n标签;主窗口.validate();}public JLabel getN标签(){return n标签;}public void setN(JTextField n){this.n = n;主窗口.validate();}public JTextField getN(){return n;}public void setAverageOfX标签(JLabel averageOfX标签)this.averageOfX标签= averageOfX标签;主窗口.validate();}public JLabel getAverageOfX标签(){return averageOfX标签;}public void setAverageOfX(JTextField averageOfX) {this.averageOfX = averageOfX;主窗口.validate();}public JTextField getAverageOfX(){return averageOfX;}public void setLxx标签(JLabel lxx标签){this.lxx标签= lxx标签;主窗口.validate();}public JLabel getLxx标签(){return lxx标签;}public void setLxx(JTextField lxx){this.lxx = lxx;主窗口.validate();}public JTextField getLxx(){return lxx;}public void set左端点标签(JLabel 左端点标签)this.左端点标签= 左端点标签;主窗口.validate();}public JLabel get左端点标签(){return 左端点标签;}public void set左端点(JTextField 左端点){this.左端点= 左端点;主窗口.validate();}public JTextField get左端点(){return 左端点;}public void set右端点标签(JLabel 右端点标签) {this.右端点标签= 右端点标签;主窗口.validate();}public JLabel get右端点标签(){return 右端点标签;}public void set右端点(JTextField 右端点){this.右端点= 右端点;主窗口.validate();}public JTextField get右端点(){return 右端点;}public void set可控否标签(JLabel 可控否标签)this.可控否标签= 可控否标签;主窗口.validate();}public JLabel get可控否标签(){return 可控否标签;}public void set左端点dY原始值(JLabel 左端点dY原始值){this.左端点dY原始值= 左端点dY原始值;主窗口.validate();}public JLabel get左端点dY原始值(){return 左端点dY原始值;}public void set左端点根1标签(JLabel 左端点根1标签){this.左端点根1标签= 左端点根1标签;主窗口.validate();}public JLabel get左端点根1标签(){return 左端点根1标签;}public void set左端点根1值(JTextField 左端点根1值){this.左端点根1值= 左端点根1值;主窗口.validate();}public JTextField get左端点根1值(){return 左端点根1值;}public void set左端点根1dY检验值(JLabel 左端点根1dY检验值)this.左端点根1dY检验值= 左端点根1dY检验值;主窗口.validate();}public JLabel get左端点根1dY检验值(){return 左端点根1dY检验值;}public void set左端点根2标签(JLabel 左端点根2标签){this.左端点根2标签= 左端点根2标签;主窗口.validate();}public JLabel get左端点根2标签(){return 左端点根2标签;}public void set左端点根2值(JTextField 左端点根2值){this.左端点根2值= 左端点根2值;主窗口.validate();}public JTextField get左端点根2值(){return 左端点根2值;}public void set左端点根2dY检验值(JLabel 左端点根2dY检验值) {this.左端点根2dY检验值= 左端点根2dY检验值;主窗口.validate();}public JLabel get左端点根2dY检验值(){return 左端点根2dY检验值;}public void set右端点dY原始值(JLabel 右端点dY原始值)this.右端点dY原始值= 右端点dY原始值;主窗口.validate();}public JLabel get右端点dY原始值(){return 右端点dY原始值;}public void set右端点根1标签(JLabel 右端点根1标签){this.右端点根1标签= 右端点根1标签;主窗口.validate();}public JLabel get右端点根1标签(){return 右端点根1标签;}public void set右端点根1值(JTextField 右端点根1值){this.右端点根1值= 右端点根1值;主窗口.validate();}public JTextField get右端点根1值(){return 右端点根1值;}public void set右端点根1dY检验值(JLabel 右端点根1dY检验值) {this.右端点根1dY检验值= 右端点根1dY检验值;主窗口.validate();}public JLabel get右端点根1dY检验值(){return 右端点根1dY检验值;}public void set右端点根2标签(JLabel 右端点根2标签)this.右端点根2标签= 右端点根2标签;主窗口.validate();}public JLabel get右端点根2标签(){return 右端点根2标签;}public void set右端点根2值(JTextField 右端点根2值){this.右端点根2值= 右端点根2值;主窗口.validate();}public JTextField get右端点根2值(){return 右端点根2值;}public void set右端点根2dY检验值(JLabel 右端点根2dY检验值) {this.右端点根2dY检验值= 右端点根2dY检验值;主窗口.validate();}public JLabel get右端点根2dY检验值(){return 右端点根2dY检验值;}public void set求解(JButton 求解){this.求解= 求解;主窗口.validate();}public JButton get求解(){return 求解;}public void set实际求解(求解按钮动作实际求解)this.实际求解= 实际求解;主窗口.validate();}public 求解按钮动作get实际求解(){return 实际求解;}public void set重置(JButton 重置){this.重置= 重置;主窗口.validate();}public JButton get重置(){return 重置;}public void set退出(JButton 退出){this.退出= 退出;主窗口.validate();}public JButton get退出(){return 退出;}}输入参数是否为数字格式检查类：输入文本框数字检查.java import javax.swing.event.DocumentListener;import javax.swing.event.DocumentEvent;import javax.swing.text.Document;import javax.swing.text.BadLocationException;import javax.swing.JOptionPane;import javax.swing.JFrame;public class 输入文本框数字检查implements DocumentListener {private JFrame 主窗口;输入文本框数字检查()主窗口= null;}输入文本框数字检查(JFrame 主窗口){this.主窗口= 主窗口;}public void set主窗口(JFrame 主窗口){this.主窗口= 主窗口;}public JFrame get主窗口(){return 主窗口;}public void insertUpdate(DocumentEvent e){数字检查(e.getDocument());}public void removeUpdate(DocumentEvent e){数字检查(e.getDocument());}public void changedUpdate(DocumentEvent e){数字检查(e.getDocument());}private void 数字检查(Document doc){double t = 0;try{t = Double.parseDouble(doc.getText(0,doc.getLength())); }catch(BadLocationException e){//System.out.println("文本框字符位置越界！");错误提示("读取文本框字符位置越界！","内部错误");catch(NumberFormatException e){//System.out.println("您输入了非数字字符，请输入数字！");错误提示("您输入了非数字字符，请输入数字！","输入错误");}}private void 错误提示(Object 提示信息,String 标题){JOptionPane.showMessageDialog(主窗口,提示信息,标题,JOptionPane.ERROR_MESSAGE); }}根据输入参数计算施控区间端点值的求解按钮动作类：求解按钮动作.javaimport java.awt.event.ActionListener;import java.awt.event.ActionEvent;import javax.swing.JOptionPane;public class 求解按钮动作implements ActionListener{private 界面源对象;private double a;private double b;private double Tn_2;private double Se;private double n;private double averageOfX;private double lxx;private double 左端点;private double 右端点;private boolean 输入异常;private boolean 可控否;求解按钮动作(){源对象= null;a = 0;b = 0;Tn_2 = 0;Se = 0;n = 0;averageOfX = 0;lxx = 0;左端点= 0;右端点= 0;输入异常= true;可控否= false;}求解按钮动作(界面源对象){this.源对象= 源对象;try{a = Double.parseDouble(源对象.getA().getText());b = Double.parseDouble(源对象.getB().getText());Tn_2 = Double.parseDouble(源对象.getTn_2().getText());Se = Double.parseDouble(源对象.getSe().getText());n = Double.parseDouble(源对象.getN().getText());averageOfX = Double.parseDouble(源对象.getAverageOfX().getText());lxx = Double.parseDouble(源对象.getLxx().getText());左端点= Double.parseDouble(源对象.get左端点().getText());右端点= Double.parseDouble(源对象.get右端点().getText());输入异常= false;}catch(NullPointerException 空文本框){输入异常= true;错误提示("文本框为空，请输入数值！","输入错误");}catch(NumberFormatException 数字格式异常){输入异常= true;错误提示("输入数字格式错误","内部错误");}可控否= false;}public void set源对象(界面源对象){this.源对象= 源对象;}public 界面get源对象(){return 源对象;}public void setA(double a){this.a = a;}public double getA(){return a;}public void setB(double b){this.b = b;}public double getB(){return b;}public void setTn_2(double Tn_2) {this.Tn_2 = Tn_2;}public double getTn_2(){return Tn_2;}public void setSe(double Se) {this.Se = Se;}public double getSe(){return Se;}public void setN(double n){this.n = n;}public double getN(){return n;}public void setAverageOfX(double averageOfX) {this.averageOfX = averageOfX;}public double getAverageOfX(){return averageOfX;}public void setLxx(double lxx){this.lxx = lxx;}public double getLxx(){return lxx;}public void set左端点(double 左端点){this.左端点= 左端点;}public double get左端点(){return 左端点;}public void set右端点(double 右端点){this.右端点= 右端点;}public double get右端点(){return 右端点;}public void set输入异常(boolean 输入异常){this.输入异常= 输入异常;}public boolean get输入异常(){return 输入异常;}public void set可控否(boolean 可控否){this.可控否= 可控否;}public boolean get可控否(){return 可控否;}public void actionPerformed(ActionEvent e){try{a = Double.parseDouble(源对象.getA().getText());b = Double.parseDouble(源对象.getB().getText());Tn_2 = Double.parseDouble(源对象.getTn_2().getText());Se = Double.parseDouble(源对象.getSe().getText());n = Double.parseDouble(源对象.getN().getText());averageOfX = Double.parseDouble(源对象.getAverageOfX().getText());lxx = Double.parseDouble(源对象.getLxx().getText());左端点= Double.parseDouble(源对象.get左端点().getText());右端点= Double.parseDouble(源对象.get右端点().getText());输入异常= false;}catch(NullPointerException 空文本框){输入异常= true;错误提示("文本框为空，请输入数值！","输入错误");}catch(NumberFormatException 数字格式异常){输入异常= true;错误提示("输入数字格式错误","内部错误");}if(输入异常== false){求解端点(左端点,new 左端点());求解端点(右端点,new 右端点());确定是否可控();if(可控否== true){修改可控否标签("被控区间满足可控条件，可以实现控制。
一元线性回归方程求解
一元线性回归方程求解1、典型的一元线性回归方程为y=a+bx ，已知一组数据： y 1,，y 2，…y n ； x 1，x 2，…x n ，基本上呈线性关系。
求他们之间的函数公式。
2 、nx x i∑=ny y ∑i=S xx =∑x i 2-n1（∑x i ）2 S yy =∑y i 2-n1（∑y i ）2 S xy =∑x i y i -n1(∑x i )(∑y i ) b= S xy / S xx a=y －b x 3 、相关性检验采用相关系数r ，r 是介于0~1之间的小数，越接近于1，线性方程的准确性越高，一般工程上要大于0.95.S R =bS xy S e =S yy - S R r=(1-Se/S r )4、回归方程求解比较繁琐，有条件的可编制电脑程序，也可采用execl 表格计算。
例题;某计量单位标定千斤顶，压力表读数P （Mpa ）和千斤顶顶力N （KN ）基本呈线性关系，N=a+Bp数据及计算见下表nx x i∑==385/11=35 ny y ∑i==9544.225/11=867.66S xx =∑x i 2-n 1（∑x i ）2=16225-3852/11=2750S yy =∑y i 2-n 1（∑y i ）2=10114588-9544.2252/11=1833476.1S xy =∑x i y i -n1(∑x i )(∑y i )=404988.88-385×9544.225/11=70941.005b= S xy / S xx =70941.005/2750=25.797 a=y －b x =867.66－25.797×35=－35.235 回归方程为N=－35.235+25.797PS R =bS xy =25.797×70941.005=1830065.11 S e =S yy - S R =1833476.1-1830065.11=3410.99 r=(1-Se/S r )=（1-3410.99/1830065.11）=0.999此回归方程的可信度非常高。
计量经济学讲义——线性回归模型的异方差问题1
Gleiser检验与Park检验存在同样的弱点。
(9.3) (9.4) (9.5)
9.4 异方差的诊断－方法4：怀特(White)检验法
Yi = B1 + B 2 X 2 i + B3 X 3 i + u i
2、做如下辅助回归： (9.6) (9.7)
1、首先用普通最小二乘法估计方程(9.6)，获得残差ei
E(Y|X)=α+β*X Y
＋u ＋u －u －u －u ＋u
0
同方差(homoscedasticity)
X 0
E(Y|X)=α+β*X
异方差(heteroscedasticity)
X
一元线性回归分析－回归的假定条件
假定5 无自相关假定，即两个误差项之间不相关。 Cov（ui,uj） = 0。
ui
9.2 异方差的性质
例9.1 美国创新研究：销售对研究与开发的影响 ^ R&D ＝ 266.2575 + 0.030878*Sales se＝(1002.963) (0.008347) t ＝(0.265471) (3.699508) p ＝(0.7940) R2 ＝ 0.461032 从回归结果可以看出： （1）随着销售额的增加，R&D也逐渐增加，即销售 额每增加一百万美元，研发相应的增加3.1 万美元。 （2）随着销售额的增加，R&D支出围绕样本回归线 的波动也逐渐变大，表现出异方差性。 (0.0019)