放球问题总结

最近学习了一下组合数学，对其中的放球问题模型感觉比较有用，特来总结一下，纯当学习笔记。

放球模型主要讲的就是将n 个球放进m 个盒子中的组合数。其中，根据球是否可区分，篮子是否可区分，还有是否允许有空盒，可将放球模型分成8个类别。下面就来总结一下这8类放球问题的组合数计算方法。

1) 球有区别，盒子有区别，允许有空盒。

因为球有区别，那么可以单独拿一个球出来讨论，对于第一个球，可以放到m 个盒子中的任意一个，因为盒子也是有区别的，有m 种方法，对于第二个球，因为允许有空盒的存在，所以每个球的放法是独立的，所以也有m 种方法。由乘法原理，知前2个球有种放法，所以n 个球一共有 种放法。易知对于 n≥m 和m>n 两种情况公式不变。

2） 球有区别，盒子有区别，不允许有空盒。

因为不允许有空盒，一个球的放法需要考虑前面的球的放置位置，所以每个球的放法不是相互独立的了，不能用上面的方法。

这里可以用容斥原理或者母函数的方法计算该问题的方案数。

方法一：母函数。

首先可以将该问题转换成一个排列问题，将m 盒子看成m 件物品，问题转换成m 个有标志的元素取n 个做有重复的排列，并且每个元素至少取一个。因为求的是排列问题，所以应该用指数型母函数。

其母函数定义如下：

又由泰勒展开公式有

可知 其中

（同样由泰勒展开）

所以

母函数可以化为下式：我们知道，对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数，所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m 个盒子的组合数就是：

我们知道，对于上式中项的系数就是我们所要求的组合数，所以对于有n 个有区别的球放入有区别的m 个盒子的组合数就是：

方法二：容斥原理

设表示把{1,2,3，...,n}分到m 个有区别的盒子中的划分集合，允许有空盒，由1）的结果我们知。接下来考虑确定h 个空盒的放置方案。我们从m 个盒子中选取h 个作为空盒，有种选法，剩下的(m-h)个盒子，它们可以是空的，也可以不是，也就是将n 个有区别的球放入(m-h)个有区别的盒子中，允许有空盒的方案数，同样由1的结果，我们知道方案数为。所以确定h 个空盒的方案数为，由容斥原理，我们知道总的方案数为

2

n m m

3

2)!3!2()(?+++=x x x x G e ?+++++=!4!3!2!11432x x x x e x ∑=--=-=m h x h m h m x e e h m C e x G 0

)()1)(,()1()(n n n x h m x n h m x h m x e ∑∞

=--=+-++=02)(!)(...!2)(1!h -m 1∑∑∑∑∞===∞=--=--=0000)()1)(,(!!)()1)(,()(n m h n h n n m h n n h e h m h m C n x x n h m h m C x G n x m h m h m C 1)(--∑U n m U =||),(h m C

n h m )(-n h m h m C )(,(-n m h h h m h m C )()1)(,(0

--∑=

易知，m>n 时，方案为0。

3） 球有区别，盒子无区别，不允许有空盒

这个问题其实和第一个问题相关，在这个问题中，盒子的次序不重要，那么对于m 个盒子，就有m ！个排列，也就是说，对于1）中的每一种方案，在去掉盒子的标号后，它和另外(m!-1)个方案是相同的，可以直接运用1）中的结果。知道将n 个有区别的球，放到m 个无区别的盒子中，不允许盒子为空的组合数为：

另外，这个问题的答案还可以用另外一个序列描述，这个序列叫做第二类斯

特林数。

设序列 满足 且，且满足递推关

系：

称为第二类斯特林数。它恰恰等于将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足没有一个盒子为空的方案数。

称为第二类斯特林数。它恰恰等于将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足没有一个盒子为空的方案数。

下面说明为什么这个序列能描述我们放球模型的组合数。

首先表示将n 个球放入0个盒

子中，这是不可能的，所以方案数是0。

另外，表示将n 个球放入n 个

盒子中，因为不允许有空盒，所以只能是每个盒子恰好放一个球，又盒子没区别，所以只有一种方案。所以有和。

下面看接下来的递推关系如

何描述我们的放球模型。首考虑,我们首先将第n 号球拿出来，根据n 号球的方法来划分总体的放球方案数，首先，可以让n 号球单独放入一个盒子中，这等价于让另外n-1个球放入其他m-1个盒子中的方案数。也就是种方案数。或者n 号球不是单独放在一个盒子中，而是和其他一些球放在同一个盒子中，这等价于将其他n-1个球放入m 个盒子中后，在将n 号球放入这m 个盒子中的一个，有m 种方法，所以一共有种方案。所以满足递推式：

所以我们说第二类斯特林数描

述的是将n 个有区别的球放入m 个无区别的盒子中，满足无空盒的方案数。

另外容易得知：当m>n 时，S(n,m)=0。

4） 球有区别，盒子无区别，允许有空盒

因为这里允许有空盒，所以这里

可以根据非空盒的数量来划分答案，当确定了非空盒的数量m 后，该问题等价于3）中所描述的问题的方案，即,所以总方案数为：

数学中称这个序列为Bell 数，即

Bell 数同样满足一个递推式。如下： !)()1)(,(0m h m h m C n m h h --∑=),(m n S 0)0,(=n S 1)=n )1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S )1(n m <≤),(m n S 0)0,(=n S 1),(=n n S 00,1(=S 1)1,1(S ),(m n S )1,1(--m n S ),1(m n mS -)1,1(),1(),(--+-=m n S m n mS m n S ),(m n S ),(m n S ),(...)2,()1,()0,(),(...)2,()1,()0,({n n S n s n S n S

m n S n s n S n S ++++++n m n

m >≤210n

S n n S n S n B +++=

这个递推式同样可以由组合推理证明。

考虑和n 号球在一起的其他元

素的数量，假设是t ，取法有种，剩下来不和n 号球在一起的n-t-1个球有种方法，所以有

得证。 5） 球无

区别，盒子有区别，不允许有空盒

这个比较简单，利用插板法，将每个球看成1，那么问题转化为将这n 个1分成m 份的方案数，因为不允许有空盒，那么一共有n-1个位置可以插板，分成m 份需要m-1块板，所以方案数是

易知m>n 时方案数为0

6） 球无区别，盒子有区别，允许有空盒

设i 号盒子的放球

数为，则问题转化为方程

的解得个数。同样可以由插板法，和5）不同的是，这时不考虑板插放的位置。同样将n 个球看成是n 个1，另外往里面插入m-1个板子，一共 n+m-1个元素，我要在这里面选m-1个为板子，那么一共有种方案。

对于 m>n 和m≤n 两种情况公式不变。

7） 球无区别，盒子无区别，不允许有空盒

这个问题相当于将n 分拆成m 个数的方案数，等价于用（1,2,3,...m ）来分拆n 。 对于这个问题，一般来说没有一个通用的公式来表示它的解得数量，但是可以用母函数来间接的表示。它的母函数为：

所以的项系数即为所求。易知当m>n 时，方案数为0

易知当m>n 时，方案数为0

8） 球无区别，盒子无区别，允许有空盒

这个问题与7）类似，同样没有一个公式来描述该问题的数量，只能用母函数来间接计算组合数。

与7）不同的一点是它允许存在空盒，那么相应的母函数表达式需要一点变化。

我们有

又由泰

勒展开式我们有

所以这里又可以

表示为

其中的项系数即为问题的答案。对于 m>n 和m≤n 两种情况公式不变。

对于 m>n 和m≤n 两种情况公式不变。 )1()1,1(...)1()1,1()0()0,1()(---++-+-=n B n n C B n C B n C n B ),1(t n C -)1(--t n B ∑∑-=-=-=

---=1

010)(),1()1(),1()(n t n t t B t n C t n B t n C n B )

1,1(--m n C i x n x x x x x x m =++++++...54321),1()1,1(n m n C m m n C -+=--+...)...)...(...)(...)(()(263422++++++++=m m x x x x x x x x x G )

(x G n x ...)1...)...(1...)(1...)(1()(26

3422++++++++++++=m m x x x x x x x x x G ...11132++++=-????x x x x )(x G )1)...(1)(1)(1(1)(32m x x x x x G ----=)(x G n x