2.2 等差数列(二)
训练3正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
【当堂训练】
1．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()
A．3B．－3C.D．－
2．等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d＝_____.
3．已知等差数列{an}中，a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名
2.2等差数列(二)
学习
目标
1．能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质．
2．能运用等差数列的性质解决有关问题．
重点
难点
1．灵活运用等差数列的性质，等差数列与一次函数之间的关系，就能站在较高的角度整体把握等差数列的内涵和本质．
请你类比一次函数的单调性，研究等差数列的单调性，并完成下表.
d>0
{an}为数列
d＝0
{an}为数列
d<0
{an}为数列
例1在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
小结解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为的等差数列；
④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为；
⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为.
【探究点二】等差数列与一次函数的联系
探究由于等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)，与一次函数对比可知，公差d本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}中的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，可知点(n，an)分布以为斜率，以为纵截距的直线上．
4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
探究已知等差数列{an}、{bn}分别是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生成的“新数列”具有以下性质，请你补充完整．
①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为；
②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为的等差数列；
(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p、q是常数)是公差为的等差数列．
【探究点一】等差数列的常用性质
问题设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质，请你给出证明．
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝2ak.
训练2四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为－8，求这四个数．
例3已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．
(2)求an.
小结判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式．
【复习引入】
1．等差数列的通项公式：an＝.
2．等差数列的项的对称性：有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即：a1＋an＝a2＋＝…＝ak＋.
3．等差数列的性质
(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则.
(2)若{an}是等差数列，且公差为d，则{a2n－1}和{a2n}都是等差数列，且公差为.
训练1已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
例2三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．
小结利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
21-22版：§2.2 第2课时 等差数列的性质（步步高）
[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是 通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计 算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30， 设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－ －1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析 令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2， 则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19， 则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.2.2 等差数列(二)课件-河南省兰考县第三高级中学人教版高中数学必修五
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a1，a2，a3 则依题意有 a1+a2+a3=12 ∵a1+a3=2a2，故3a2=12
∴a2=4
aa11a3
a3
12
8
解得 aa13
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列an 中， a1 a3 6, a7 18,
则 a10 ___2__7_____.
2、已知在数列an 中，
an
0, a1
1 ，若数列{ 1
1
an
}
恰好成公差为 3 的等差数列，则 an __3_n___2___.
3、在等差数列{an}中， a2 a3 a4 a12 a14 2 ，
规律二：
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2ap
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
数列{an}是等差数列
an=pn+q(p、q是常数)
➢判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an an1 d, n 2 (或an1 an d, n N*)
等差数列及求和
2.2等差数列（2）探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，则m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？※ 典型例题例1 在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d .变式：在等差数列{}n a 中， 若56a =，815a =，求公差d 及14a .小结：在等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出.例2 在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.变式：在等差数列{}n a 中，已知234534a a a a +++=，且2552a a =，求公差d .小结：在等差数列中，若m +n =p +q ，则mn p q a a a a +=+，可以使得计算简化.例3．一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为___________例4．设{}n a 是公差为－2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，则=++++99963a a a a （ ）.A ．－182B ．－148C ．－82D ．－78例5.三个实数10a 2+81a+207,a+2,26-2a 适当排列后,分别取其常用对数后构成公差为1的等差数列,求此时a 的所有值.例6、数列{}n x 中，11x =，且1n x +=，求数列{}n x 的通项公式.例7.设{}n a 是首项为4的单调递增数列，且满足22111168()2n n n n n n a a a a a a +++++=++.求数列{}n a 的通项公式.例8. 已知数列{}n a 满足115a =，且当1n >,*n N ∈时，有112112n n n n a a a a --+=-，求数列{}n a 的通项公式 .动手试试1. 在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个相同项？1. 在等差数列中，若m +n =p +q ，则m n p q a a a a +=+注意：mn m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-. 知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：（1）1n n a a d +-=； （2）(0)n a pn q p =+≠； （3）2n S an bn =+.当堂检测 ：1. 一个等差数列中，1533a =，2566a =，则35a =（ ）. A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 492. 等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，则12a 的值为（ ）.A . 15 B. 30 C. 31 D. 643. 等差数列{}n a 中，3a ，10a 是方程2350x x --=两根，则56a a +＝（ ）. A. 3 B. 5 C. －3 D. －54. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，则公差d ＝ .5. 若48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .6.已知数列{}n a 满足1123122,12,20()n n n a a a a a a a n N *++=++=-+=∈且，则数列{}n a 的通项公式为 .7.已知数列{}n a 满足11a =，133nn n a a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为 .课后作业1. 若 12530a a a +++=， 671080a a a +++=， 求111215a a a +++.2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为35，求这三个数.3.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝5.已知为等差数列，，则等于6.在等差数列{a n }中，已知45131477a a a a ++++=…，则11a = ．7.若等差数列{a n }多项依次递减，且有24645a a a =，24615a a a ++=，则通项公式n a =8.已知数列{}(0)n n a a >的首项为1，且满足1n n a a --=2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为 .9.已知数列{}n a 满足11a =，)1()1(1+=-++n n na a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为 .§2.3 等差数列的前n 项和(1)探究：等差数列的前n 项和公式 问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =?新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S =① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和?② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和?试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，.小结： 1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件： . 典型例题例1．已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .例2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p 是一常数，则S 13=变式：1.等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，若5418a a -=，则8S 等于2.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则例3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是变式：一等差数列，前12项之和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，则该数列的公差为 ．例 4.已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．100例5.数列｛a n ｝的前n 项和s n =npa n (n ∈N *),a 1≠a 2．（1）求常数p 的值； （2）证明：数列｛a n ｝是等差数列．例6.(1)等差数列前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和．(2)已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.三、总结提升1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k k k N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为2k d . 当堂检测 ：1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）. A ．5880 B ．5684 C ．4877 D ．45663. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = .6.若一个等差数列﹛a n ﹜的前3项和为34, 最后3项的和为146, 且这个数列所有项的和为390, 则这个数列的项数为课后作业1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？3.在等差数列{}n a 中,已知499,6,63n a a S ==-=,求n 。
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
课时作业30：§2.2 等差数列(二)
§2.2 等差数列(二)层级一 学业水平达标1．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．72．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 2＋a 4＋a 6＝15，则a 3＋a 4＝( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．83．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( ) A ．120 B ．105 C ．90D ．754．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．105．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．1或26．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝ .7．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写 个大字．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝ .9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．10．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬行多远？它爬行49 cm 需要多长时间？层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }：1,0，－1，－2，…；等差数列{b n }：0,20,40,60，…，则数列{a n ＋b n }是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为20的等差数列C ．公差为－20的等差数列D ．公差为19的等差数列2．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >03．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A ． 3 B ．±3 C ．－33D ．－34．已知数列{a n }为等差数列，且满足BA →＝a 3OB →＋a 2 015OC →，若AB →＝λAC →(λ∈R )，点O 为直线BC 外一点，则a 1＋a 2 017＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．45．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 ．6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为 ． 7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是 ．8．数列{a n }为等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n，又已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．参考答案层级一 学业水平达标1．【答案】B【解析】∵{a n }是等差数列， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，a 20＝a 4＋16d ＝33－32＝1.故选B. 2．【答案】D【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9， ∴a 3＝3；又a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝15， ∴a 4＝5，∴a 3＋a 4＝8.故选D. 3．【答案】B【解析】∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5， 又∵a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝16，即(a 2－d )(a 2＋d )＝16. ∵d >0，∴d ＝3.则a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝105.故选B. 4．【答案】C【解析】由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.故选C.5．【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.故选D. 6．【答案】74【解析】由等差数列的性质可知， a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 7．【答案】4【解析】由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4.8．【答案】n 2【解析】由题设可得a n n －a n ＋1n ＋1＋1＝0，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式a nn ＝n ，所以a n ＝n 2.9．解：∵a 1＋a 7＝2a 4， ∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5. 又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9， 解得d ＝±2.∴当d ＝2时，a 1＝－1，a n ＝2n －3， 当d ＝－2时，a 1＝11，a n ＝13－2n .10．解：(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1 min ＝60 s 时， s ＝9.8t ＝9.8×60＝588(cm)． 当s ＝49 cm 时，t ＝s 9.8＝499.8＝5(s)．层级二 应试能力达标1．【答案】D【解析】(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝(a 2－a 1)＋(b 2－b 1)＝－1＋20＝19.故选D. 2．【答案】C【解析】∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d ]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0.故选C. 3．【答案】D【解析】∵a 1＋a 7＋a 13＝4π，∴a 7＝4π3，a 2＋a 12＝2a 7＝8π3，∴tan(a 2＋a 12)＝tan 8π3＝－ 3.故选D. 4．【答案】A【解析】∵BA →＝a 3OB →＋a 2 015OC →，∴OA →－OB →＝a 3OB →＋a 2 015OC →，即OA →＝(a 3＋1)OB →＋a 2 015OC →，又∵AB →＝λAC →(λ∈R )，∴a 3＋1＋a 2 015＝1，∴a 1＋a 2 017＝a 3＋a 2 015＝0.故选A. 5．【答案】153【解析】设△ABC 的三边长为a －4，a ，a ＋4(a >4)， 则a 2＋(a －4)2－(a ＋4)22a (a －4)＝－12，解得a ＝10，三边长分别为6,10,14.所以S △ABC ＝12×6×10×32＝15 3.6．【答案】－21【解析】设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4，∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴它们的积为－21. 7．【答案】n 2＋n【解析】由题中数表知，第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n . 8．解：∵b 1＋b 2＋b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫12a 3＝218， b 1b 2b 3＝⎝⎛⎭⎫12a 1＋a 2＋a 3＝18，∴a 1＋a 2＋a 3＝3. ∵a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 2＝1，故可设a 1＝1－d ，a 3＝1＋d ， 由⎝⎛⎭⎫121－d ＋12＋⎝⎛⎭⎫121＋d ＝218， 得2d ＋2－d ＝174，解得d ＝2或d ＝－2.当d ＝2时，a 1＝1－d ＝－1，a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当d ＝－2时，a 1＝1－d ＝3，a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5.。
2.2等差数列(二)
§2.2等差数列(二)学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质(重点)；2.能运用等差数列的性质解决有关问题(难点).预习教材P36－38完成下列问题：知识点一等差数列与一次函数1.等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，a n是关于n的常数函数；当d≠0时，a n是关于n的一次函数，点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.2.公差d与斜率等差数列{a n}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝a n－a1n－1(n≥2，n∈N*).【预习评价】1.已知(1，1)，(3，5)是等差数列{a n}图象上的两点，则a n＝________.解析根据等差数列与一次函数的关系可知，公差d＝k＝5－13－1＝2.又知a1＝1，所以a n＝2n－1.另外，由于等差数列的通项公式就是一次函数的解析式，所以本题还可以直接由直线方程的两点式求得，即a n－15－1＝n－13－1，所以a n＝2n－1.答案2n－12.d＝a n－a1n－1，d＝a n－a mn－m，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列通项公式可变形为a n＝dn＋(a1－d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(n，a n)，(m，a m)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，a n)连线的斜率d＝a n－a1n－1.当两点为(n，a n)，(m，a m)时，有d＝a n－a mn－m.知识点二等差数列的性质1.若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有2.等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….3.下标性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n ＝a p＋a q.特别的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有a m＋a n＝2a p.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若数列{a n}为等差数列，则a n＋1＝a n－1＋2d，n＞1，且n∈N*.()(2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则a m＋a n＝a p()(3)取出一个等差数列的所有偶数项构成的数列为等差数列且其公差为原数列公差的两倍.()提示(2)∵{a n}为等差数列，m＋n＝p，∴a m＋a n＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d.∴a p＝a1＋(p－1)d.∴a m＋a n≠a p.答案(1)√(2)×(3)√题型一等差数列与一次函数的关系【例1】已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解取数列{a n}中任意相邻两项a n和a n－1(n＞1)，求差得a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.它是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列.由于a n＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.规律方法判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)从递推公式上看，a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)从任意连续三项关系上看，2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)从通项公式代数特点上看，a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中某连续三项不成等差数列；存在n∈N*，a n＋1－a n的结果不等于同一个常数等.【训练1】在等差数列{a n}中，a r＝s，a s＝r(r≠s，r，s∈N*)，则a r＋s＝________. 解析由等差数列与一次函数的关系可知，点(r，s)与(s，r)是一次函数y＝－x ＋(r＋s)图象上的两点，并且数列{a n}的所有点都分布在这个一次函数的图象上，所以当x＝r＋s时，y＝0，即a r＋s＝0.答案0题型二等差数列性质的应用【例2】 已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A.10B.－10C.15D.－15解析 法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则30＝(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋18d ，即a 1＋6d ＝10.而a 3－2a 5＝(a 1＋2d )－2(a 1＋4d )＝－a 1－6d ＝－10. 法二 由等差数列的性质知30＝a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，则a 7＝10.而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10.答案 B规律方法 等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量.(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .【训练2】 在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 解析 设数列{a n }的公差为d .法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝a ，a 10＝a 1＋9d ＝b ，解得⎩⎨⎧a 1＝9a －4b 5，d ＝b －a 5，∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二 d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三 ∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案 2b －a【例3】 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ），又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32，此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.【迁移1】 若本例改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.解 法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.这三个数为4，6，8.法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18， ①（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， ②由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.【迁移2】 已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式.解 法一 根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＋（a 1＋2d ）＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝21，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.法二 由于数列{a n }为等差数列，所以可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝21，（a －d ）a （a ＋d ）＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝21，a （a 2－d 2）＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1. 规律方法 等差数列项的常见设法：(1)通项法：设数列的通项公式，即设a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)对称项设法：当等差数列{a n }的项数为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列{a n }的项数为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….对称项设法的优点是：若有n 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na .题型四 等差数列的实际应用【例4】 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n}，a n＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由a n＝－20n＋800≥440，得n≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少；当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少；当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；③判型，即判断该数列是否为等差数列；④求解，即求出该问题的数学解；⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题.【训练3】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A.1升B.6766升C.4744升D.3733升解析 设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766. 答案 B课堂达标1.在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7等于( )A.5B.8C.10D.14解析 法一 设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，所以d ＝1，a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.法二 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8. 答案 B2.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.答案 C3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A.a 1＋a 101>0B.a 2＋a 101<0C.a 3＋a 99＝0D.a 51＝51解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，又∵a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝…＝2a 51，∴a 51＝0＝a 3＋a 99.答案 C4.在等差数列{a n }中，已知a 1＋2a 8＋a 15＝96，则2a 9－a 10＝________. 解析 ∵a 1＋2a 8＋a 15＝4a 8＝96，∴a 8＝24.∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.答案 245.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，（a －d ）（a ＋d ）＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.∴这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.课堂小结1.在等差数列{a n}中，当m≠n时，d＝a m－a nm－n，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m＝a n＋(m－n)d.2.等差数列{a n}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.3.等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.4.在等差数列{a n}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.基础过关1.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m 为()A.12B.8C.6D.4解析由等差数列性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.答案 B2.设公差为－2的等差数列{a n}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于()A.－182B.－78C.－148D.－82解析a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.答案 D3.下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )， ∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误； a n n ＝d ＋a 1－d n ，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误；[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选p 1，p 4.答案 D4.若3，a ，b ，c ，15成等差数列，则a ＋b ＋c ＝________.解析 由等差数列的对称性知，b 是3，15的等差中项且a ＋c ＝3＋15，∴a ＋b ＋c ＝3＋15＋3＋152＝27.答案 275.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________.解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4. 答案 46.在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 013；(3)2 015是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？ 解 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，∵a 1＝3，a 17＝67，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3，17k ＋b ＝67，解得k ＝4，b ＝－1. ∴a n ＝4n －1，(2)∵a n ＝4n －1，∴a 2 013＝4×2 013－1＝8 051.(3)令2 015＝4n －1，解得n ＝504∈N *，∴2 015是数列{a n }的第504项.7.在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解 (1)由等差数列的性质可知，a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，则a 2＝7.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝14，a 1·a 3＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，a 3＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 3＝11；所以公差d ＝3－113－1＝－4或d ＝11－33－1＝4. ∴a n ＝11＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋15或a n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1.能力提升8.等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值是( )A.14B.15C.16D.17解析 依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝16.故选C.答案 C9.各项均为正数的等差数列{a n }中，3a 6－a 27＋3a 8＝0，则a 7＝( )A.2B.4C.6D.8解析 ∵3a 6－a 27＋3a 8＝0， ∴由等差数列性质，即为6a 7－a 27＝0，∵等差数列{a n }各项不为零，∴a 7＝6，故选C.答案 C10.在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么a 6的值为________.解析 在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，由根与系数的关系可得a 2＋a 10＝－12.再由等差数列的性质可得a 2＋a 10＝2a 6，故a 6＝－6.答案 －611.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.答案 －3212.已知数列{a n }中，a 1＝4.(1)若a n ＝a n ＋1＋3，求a 10；(2)若数列{1a n}为等差数列，且a 6＝14，求数列{a n }的通项公式. 解 (1)因为a n ＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1－a n ＝－3， 所以数列{a n }是首项为4，公差为－3的等差数列， 所以a 10＝4＋9×(－3)＝－23.(2)因为a 1＝4，a 6＝14，所以1a 1＝14，1a 6＝4， 设等差数列{1a n }的公差为d ，则1a 6＝1a 1＋5d ， 所以4＝14＋5d ，解得d ＝34，所以1a n ＝14＋(n －1)×34＝3n －24. 所以a n ＝43n －2. 13.(选做题)已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{b n }.(1)求b 1和b 2；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)数列{b n }中的第110项是数列{a n }中的第几项？ 解 (1)由题意，等差数列{a n }的通项公式为a n＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n，设数列{b n}的第n项是数列{a n}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*，所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27.(2)由(1)知b n＋1－b n＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，所以新数列{b n}也为等差数列，且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以b n＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.(3)因为m＝4n－1，n∈N*，所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，所以数列{b n}中的第110项是数列{a n}中的第439项.。
等差数列(二)
数列必定是等差数列.
探究:
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为
an＝3n－5的数列的图象.这个图象有
什么特点？
探究:
2. 在同一个直角坐标系中，画出函数 y＝3x－5的图象，你发现了什么？据
此说一说等差数列an＝pn＋q与一次
函数y＝px＋q的图象之间有什么关系.
课堂小结
1. 算公差d:
d a n a n 1
an a1 d n1
复习引入
3. 有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
an a1 d n1
an am d nm
练习
4. {an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差 数列，若an＝2005，则n＝( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 670
这个等差数列的首项与公差分 别是多少？
讲解范例:
例3. 已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数， 且p≠0，那么这个数列一定是 等差数列吗？
这个等差数列的首项与公差分 别是多少？ 公差d＝p.
首项a1＝p＋q
总结:
如果一个数列的通项公式是关于
正整数n的一次型函数，那么这个
推导出公式：an＝am＋(n－m)d .
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
推导出公式：an＝am＋(n－m)d .
或an＝pn＋q (p、q是常数)
复习引入
3. 有几种方法可以计算公差d:
d a n a n 1
则a, b, c成等差数列.
(3) 通项公式法: 等差数列的通项公式是
2.2等差数列及其通项公式(2)
思考：
等差数列{an}： a1, a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 ,a7, a8,a9,a10….
中，显然 a4 ,a5 ,a6 构成等差数列，那
么 a3 ,a5 ,a7 是否也构成等差数列？ a2 ,a5 ,a8 呢？
2a5=a4＋a6＝a3＋a7= a2 + a8
2a5=a4＋a6＝a3＋a7=a2+a8 在等差数列{an}中， 若m＋n＝p＋q, 则am＋an ＝ap＋aq.
-35 a10=______
课外作业：
1.在数列{an } a1 2 ，2an 1 中， 求 a101
2an 1
2.在三角形ABC中，A,B,C成等差数列， 且lga,lgb,lgc也成等差数列，试判断三角形 的形状。
3. 等差数列通项公式：
an＝a1＋(n－1)d.
4、等差数列定义：
an－an－1 ＝d
或
(n≥2).
an+1- an = d
等差数列通项公式的推论：
an am (n m)d
an am d nm
例1 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求公差d与通项公式 .
2.2等差数列及其通项公式 （2）
复习回顾：
1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常 数d叫做等差数列的公差。
2、等差中项：由三个数a , A , b组成的等差
数列可以看成最简单的等差数列。这时，
A叫做a与b的等差中项。
ab A a , A, b 成等差数列. 2
等差中项：
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项, 且 A= a+b .
§2.2.2等差数列(二)
∴
cn 11 (n 1) 12 12n 1
又∵ a100 302 ，
b100 399 ∴ cn 12n 1 302
∴ n 25.25 ，知数列有25个共同项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 17
§2.2.2等差数列(二)
解：取数列 {an } 中的任意相邻两项 an与an1 (n 1) 求差得
an an1 ( pn q) [ p(n 1) q] pn q ( pn p q) p
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 21
它是一个与n无关的数，所以{an }是等差数列
∵
4 n k 1, 而 n N , k N 3
∴ k 必须为3的倍数，设 k 3r (r N ), 得n 4r 1 由条件知 又∵ r N
1 3r 100 1 101 , 解得 r 2 4 1 4r 1 100
，∴
1 用递推关系an 1 (an an 2 )给出的数列 2 也是等差数列。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起， 每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项
2013-1-19 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 7
§2.2.2等差数列(二)
3．有几种方法可以计算公差d
(1)d an an1
2013-1-19
an a1 (3)d an am (2) d nm n 1
2
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§2.2.2等差数列(二)
4.等差数列对称项设法： (1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设 中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项为： …,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,… (2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别 为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项为， …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用 对称项设出这个数列，则其各项和为na．
等差数列(二)
2.2.2 等差数列(二)教学目标：1.明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2.培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.教学过程：一.复习回顾等差数列定义：a n－a n－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：a n＝a1＋(n－1)d(n ≥1)，推导公式：a n＝a m＋(n－m)d二.讲授新课首先，请同学们来思考这样一个问题.问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A 应满足什么条件？由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝a＋b2.反之，若A＝a＋b2，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列.总之，A＝a＋b2a，A，b成等差数列.如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92＝3＋112＝1＋132.看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.解：用{a n }表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a 1＝33，a 12＝110，n ＝12.由通项公式，得a 12＝a 1＋(12－1)d ，即：110＝33＋11d ，解得：d ＝7. 因此，a 2＝33＋7＝40，a 3＝40＋7＝47，a 4＝54，a 5＝61，a 6＝68，a 7＝75，a 8＝82，a 9＝89，a 10＝96，a 11＝103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm ，47 cm ，54 cm ，61 cm ，68 cm ，75 cm ，82 cm ，89 cm ，96 cm ，103 cm.评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.［例2］已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数就行了.解：取数列{a n }中的任意相邻两项a n －1与a n (n ≥2)，a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列，且公差是p .在通项公式令n ＝1，得a 1＝p ＋q ，所以这个等差数列的首项是p ＋q ，公差是p .看来，等差数列的通项公式可以表示为：a n ＝pn ＋q （其中p 、q 是常数）当p ＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y ＝q 的图象上.当p ≠0时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数 列的各点均在一次函数y ＝px ＋q 的图象上.例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为：a n ＝2n －1，相应的图象是直线y ＝2x －1上的均匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.解：设此三数分别为x －d 、x 、x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝15（x －d ）2＋x 2＋（x ＋d ）2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.［例4］已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a 2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)×3＝4n －3项.（1）当n ＝12时，4n －3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.（2）令4n －3＝29，解得n ＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项. 评述：一般地，在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为dm ＋1，原数列的第n 项是新数列的第n ＋(n －1)m ＝(m ＋1)n －m 项.［例5］在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求{a n }的通项公式.分析一：利用等差数列的通项公式求解.解法一：设所求的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）＋（a 1＋7d ）＋（a 1＋12d ）＝12（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋7d ＝4 ①（a 1＋2d ）（a 1＋7d ）（a 1＋12d ）＝28 ② ①代入②得（a 1＋2d ）(a 1＋12d )＝7 ③ ∵a 1＝4－7d ，代入③，∴（4－5d ）(4＋5d )＝8即16－25d 2＝7，解得d ＝±35. 当d ＝35 时，a 1＝－15 ，a n ＝－15 ＋(n －1)·35 ＝35 n －45当d ＝－35 时，a 1＝415 ，a n ＝415 ＋(n －1)·（－35 ）＝－35 n ＋445. 分析二：视a 3，a 8，a 13作为一个整体，再利用性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 解题.解法二：∵a 3＋a 13＝a 8＋a 8＝2a 8，又a 3＋a 8＋a 13＝12，故知a 8＝4代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8a 3·a 13＝7 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1a 13＝7 或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7a 13＝1 由a 3＝1，a 13＝7得d ＝a 13－a 313－3 ＝7－110 ＝35. ∴a n ＝a 3＋(n －3)·35 ＝35 n －45由a 3＝7，a 13＝1，仿上可得：a n ＝－35 n ＋445. 评述：在解答本题时，首先应注意到{a n }是等差数列这个大前提，否则，仅有a 3＋a 8＋a 18＝12及a 3a 8a 13＝28就无法求出a 3，a 8，a 13的具体值；其次，应注意到a3，a8，a13中脚码3，8，13间的关系：3＋13＝8＋8，从而得到a3＋a13＝a8＋a8＝2a8.三.课堂练习课本P36练习已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d:(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：设一无穷等差数列为：a1，a2，…，a m，a m+1，…，a n，…若去掉前m项，则新数列为：a m+1，…，a n，…，即首项为a m+1，公差为d的等差数列.（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？解：若设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，a4，a5，…，a n，…，则取出数列中的所有奇数项，组成的新数列为：a1，a3，a5，…，a2m－1，…即，首项为a1，公差为2d的等差数列.（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？设一无穷等差数列为：a1，a2，a3，…，a n，…，则新数列为：a7，a14，a21，…，a7m，…，即首项为a7，公差为7d的等差数列.四.课时小结通过本节学习，首先，需掌握等差中项概念，及A＝a＋b2与a，A，b成等差数列的关系，另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活应用.五.课后作业课本P39习题 4，5，6，7教后感:本节课首先检查了上节课的掌握情况，结果令人满意。