数学建模实验报告-第十一章-最短路问题
最短路问题(数学建模资料)
Network Optimization
/netopt
清华大学课号：40420213（本），70420133（研）
第5章 最短路问题(Shortest Path Problem)
清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼1308# （电话：62787812） Email:jxie@ /faculty/~jxie
u s 0, u min{u w }. i ij j i j
一般情况下直接求解最短路方程是相当困难的.
(5.7) (5.8)
10
最短路树（树形图）
定理5.1 对于只含正有向圈的连通有向网络，从起点s到任一顶 点 j 都存在最短路，它们构成以起点 s 为根的树形图（称为最短 路树（Tree of Shortest Paths）或最短路树形图（Shortest Path Arborescence）），最短路的长度可以由Bellman方程唯一确定.
1
最短路问题的例子和意义
S
T
许多实际问题都可以转化为最短路问题
其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算 法调用
2
最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题
例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市 场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生 产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有 产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑 能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且 使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. T T 假设费用均非负，则在最优解中 I 0 I T 0 ，即 xt d t
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
数学建模最短路径模型
数学建模最短路径模型数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法加以分析和求解的过程。
在实际生活中，最短路径问题是我们经常遇到的一个问题。
例如，出行时如何选择最优路线、快递如何选择最短路线送达等等。
所以最短路径模型是数学建模中比较基础的问题之一。
最短路径问题是指在一个图中，给定两个节点，求两个节点之间的最短路径。
其中图中的节点可以表示位置，边可以表示路径（即从一个位置到另一个位置的路线）。
解决最短路径问题的方法有很多，这里我们介绍其中的两类：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是指从一个起点开始不断扩张，直到到达终点的过程。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个起点，然后将该点到其它点的路程距离存储到数组D中，若两点之间没有路线，则存储为∞。
（2）定义一个集合S，将起点加入S中。
（3）对于除起点外的其它所有点v，若v与起点有路径，则将D[v]赋值为该路径的距离，否则保持为∞。
（4）进入循环，对于集合V-S中的每个点v，找到距离它最近的点k，即D[k]+weight[k][v]最小，并将其加入S中。
若从起点到k的路径加上k到v的路径距离小于从起点到v的路径距离，则更新D[v]。
（5）重复上述步骤3和4，直到S中含有终点或V-S为空为止。
（6）输出起点到终点的最短路径长度。
弗洛伊德算法是一种动态规划算法，通过对于任意两个节点的距离进行不断松弛来计算最短路径。
具体来说，其实现过程如下：（1）定义一个二维数组m，其中m[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始化m[i][j]为i到j的直接距离，若不存在直接距离则设置为∞。
（2）对于任意k，遍历所有节点i和j，若m[i][j]>m[i][k]+m[k][j]，则更新m[i][j]。
（3）输出起点到终点的最短路径长度。
以上就是解决最短路径模型的两种方法，每种方法都有其适用的场景。
无论是哪种方法，最短路径模型的核心是图的表示方法和路径之间距离的计算方法，通过这个模型可以在实际生活中解决很多常见的问题。
最短路问题——精选推荐
最短路问题可以分为两类：单元最短路求从⼀个点到其他所有点的最短距离，如从1号点到n号点的最短路多源汇最短路起点和终点数量不确定n表⽰图中点的数量，m表⽰图中边的数量，⼀般m~n2是稠密图朴素Dijkstra适合稠密图，如边数⽐较多和n2⼀个级别⽤朴素Dijkstram和n是⼀个级别，堆优化版⽐较好SPFA是Bellman-Ford算法的⼀个优化，但是在某些时候SPFA是不能使⽤的，如对边数进⾏⼀个限制，经过不超过k条边就只能⽤Bellman-Ford最短路不会让你去证明算法的正确性，最短路的难点在于如何把原问题抽象成最短路问题，如何定义我们的点和边使得这个问题变成⼀个最短路问题，从⽽套⽤公式去解决。
难点在于建图。
Dijkstra基于贪⼼，Floyd基于动态规划，Bellman-Ford基于离散数学。
1、Dijkstra算法⼀定不能存在负权边。
伪代码：1. 初始化距离：dis[1] = 0,dis[others] = +∞。
2. 集合s：存储当前已经确定最短路的点3. for(int i = 0;i < n; i++) {t←找到不在s中的距离最近的点s←to⽤t更新其他点的距离。
更新⽅式：看从t出去的所有的边，组成的路径能不能更新其他点的距离。
如下图：如果从1到x的距离⼤于从1到t再到x的距离，就⽤dis[t]+w代替1到x的距离。
如下图：初始状态：①②③上的数字表⽰距离起点的距离，红⾊表⽰待定，绿⾊表⽰确定已经放⼊了集合s。
第⼀个点更新：第⼆个点更新：第三个点更新：}1.1 Dijkstra练习1.2 朴素Dijkstra算法解答存在重边只保留最短的那条边就可以了解答：if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510;int n, m;int g[N][N];int dist[N]; // 从1号点⾛到其他每个点当前最短距离bool st[N];int dijkstra(){memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){int t = -1; // 初始还没有确定点的时候for (int j = 1; j <= n; j ++ )// 这个循环找的就是所有st[j]=false即距离还没确定的点 // 在这些点中找到距离最⼩的点if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];}int main(){scanf("%d%d", &n, &m);memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);g[a][b] = min(g[a][b], c); // 取min是可能存在重边}printf("%d\n", dijkstra());return 0;}1.3堆优化Dijkstra算法解答考虑如何优化：因为t从1~n每次都是不同的点，所以⽤t更新其他点的距离这个操作就是遍历从t出去所有边，遍历n次即遍历所有点以后就是遍历了所有边，所以计算了m次可以发现最慢的就是找最⼩距离这步，复杂度O(n2)。
第5讲最短路问题
称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
返回
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )? ?? ，其中：
mij
?
?1 ??0
插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
返回
算法原理—— 求距离矩阵的方法
把带权邻接矩阵
W 作为距离矩阵的初值，即
D(0)=
(d
(0 ij
)
)? ??
=W
（１）D(1)=
(d
(1) ij
)?
??
，其中
d
(1) ij
?
min{d
(0) ij
,
d
(0 i1
)
?
d (0) 1j
}
d
(1) ij
是从
v
i
到
v
j
若vi是e j的起点 若vi是e j的终点 若vi与e j不关联
返回
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A ? (aij )? ?? ，其中：
aij ? ???10
若vi与v j相邻 若vi与v j不相邻
注：假设图为简单图
v1
?0 ? A= ? 1
? ???
0 1
v2 v3 v4
1
0
1
? ?
v1
0 1 1 ?v2
1．图 论 的 基 本 概 念
2．最 短 路 问 题 及 其 算 法
3．最 短 路 的 应 用 4．建模案例：最优截断切割问题
第8讲最短路问题实验
m(vi ) q(v j ) d ij
j 1
i 1,2,
就是选矿厂应设之矿
v k 使 m(v k ) min{m(vi )} ，则 vk （3） 求
1i
点．此点称为图 G 的重心或中位点．
实验作业
可在下面两个题中任选其一 1. 下表为某工程的全部工序以及工序时间与 紧前工序，
• • • • • • • • • • • • • • • •
path(i,j)=path(i,k); end end end end p=[sp]; mp=sp; for k=1:n if mp~=ep d=path(mp,ep); p=[p,d]; mp=d; end end d=D(sp,ep); path=p
z (v )
u1 u1
0
2
u1
1
u 67
u2 3
u5 6
u 49
12 u 5
l (u i )
u1 u 2 u 3 u 4
最后标记:
u 5 u6
u2
u7
6
u4
u8
l (v ) z (v )
u1
0
u1
2
u1
1
u6
7
3
u5
9
12 u5
u2
u5
u1
u4
u6
u8
u3
u7
• w=[ ]; • function [l,z]=Dijkstra(W) n = size (W,1); for i = 1 :n l(i)=W(1,i); z(i)=1; end i=1; while i<=n for j =1 :n
最短路问题
[网络图中最短路问题—专题研究报告!报告人：张鹏学号：班级：035109012011年5月12日%…网络图中最短路问题…【问题导引】网络分析在电子导航、交通旅游、城市规划以及电力、通讯等各种管网、管线的布局设计中发挥了重要作用。
而最短路问题是网络分析中最基本、最关键的问题。
最短路径不仅指一般地理意义上的距离最短，还可以引申到其他的度量，如时间，费用等等。
这些都可以抽像为在图中找出任意两点间的一条通路，使这条通路上的权值和最小。
最短路问题作为图与网络技术研究的一个经典问题，在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有十分广泛的应用。
举例如下：}【案例一】：如图的交通网络，图中的点表示交通节点，每条边表示两个节点间的一条通路，边上的数字表示路段的长度，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。
若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地【案例分析与建模】：这是实际生活中经常遇到的一类问题，首先对该问题做如下假设以便抽象为数学模型。
假设一：各路段路况相同，车辆在各路段以相同的速度行驶。
~假设二：各路段均一路畅通，即不存在堵车问题。
在以上两种假设的前提下，此问题即转化为在图中选一条从节点1到节点11的通路，使得路径总长度最短，即典型的最短路问题模型。
将图抽象为距离矩阵表示，即可建立数学模型，设计算法求解。
【算法设计】：对于最短路模型，传统的Dijkstra算法和floyd算法为两种有效的求解方法。
利用Dijkstra算法求解案例一中的问题。
！算法思路：采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这棵树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径。
S: 具有永久标号的顶点集;l(v): v的标记;f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;"输入：输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm.1）初始化：令l(v0)=0,S=Ø; v≠v0 ,l(v)= ;2）更新l(v), f(v)：寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;3）重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止。
最短路
for(int y=0;y<n;y++)if(dis[y]>dis[x]+w[x][y])
dis[y]=dis[x]+w[x][y];
路径输出
方法一：从终点出发，不断顺着 dis[y]==dis[x]+w[x][y]的边从y回到 x，直到回到起点，但更好的方法是
方法二：在更新时维护father指针
dijkstra
两种实现方法：
邻接矩阵+找最小边
邻接表+优先队列
关键：松弛操作
if(d[v]>d[u]+e[u][v].w) d[v]=d[u]+e[u][v].w
稠密图的邻接矩阵
for(int i=0;i<n;i++)//一共寻找n个点的最小dis
int x,m=inf; for(int y=0;y<n;y++)if(!vis[y]&&dis[y]<=m) m=dis[y];x=y; vis[x]=1;
dis[v]=d[u]+w[u][v];
if(!vis[v]){q.push(v);vis[v]=1;} }
}
}
代码演示： Rqnoj341 星门跳跃
floyd
动态规划原理
设d(i,j)为从i到j的只以(1…k)集合中的 节点为中间点的最短路的长度； 1、若经过k，d(i,j)=d(i,k)+d(k,j)
Dijkstra步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝v，距离为0 。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边 上的权； （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k加 入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度 ）； （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的 距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k） 比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值为经过顶点k的值（松弛操作）； （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包 含在S中。
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.
整理文本
实验名称： 第十一章 最短路问题
一、实验内容与要求
掌握Dijkstra算法和Floyd算法，并运用这两种算法求一些最短
路径的问题。
二、实验软件
MATLAB7.0
三、实验内容
1、在一个城市交通系统中取出一段如图所示，其入口为顶点v1，出
口为顶点v8，每条弧段旁的数字表示通过该路段所需时间，每次转弯
需要附加时间为3，求v1到 v8的最短时间路径。
V1 1 V2 3 V3 1 V5 6 V
6
3
V4 2 V7 4 V
8
程序：
function y=bijiaodaxiao(f1,f2,f3,f4)
2 2
.
整理文本
v12=1;v23=3;v24=2;v35=1;v47=2;v57=2;v56=6;v68=3;v78=4;turn=3;
f1=v12+v23+v35+v56+turn+v68;
f2=v12+v23+v35+turn+v57+turn+v78;
f3=v12+turn+v24+turn+v47+v78;
f4=v12+turn+v24+v47+turn+v57+turn+v56+turn+v68;
min=f1;
if f2
end
if f3
end
if f4
end
min
f1
f2
f3
f4
.
整理文本
实验结果：
v1到v8的最短时间路径为15，路径为1-2-4-7-8.
2、求如图所示中每一结点到其他结点的最短路。
V1 10 V3 V5 9 V
6
.
整理文本
4
V2 5 V4 10 V7 6 V
8
floy.m中的程序：
function[D,R]=floyd(a)
n=size(a,1);
D=a
for i=1:n
for j=1:n
R(i,j)=j;
end
end
R
for k=1:n 3 6 4 5 3 程序： 实验结果： 整理文本 0 3 10 Inf Inf Inf Inf Inf R =
for i=1:n
for j=1:n
if D(i,k)+D(k,j)
.
整理文本
D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);
R(i,j)=R(i,k);
end
end
end
k
D
R
end
>> a=[0 3 10 inf inf inf inf inf;3 0 inf 5 inf inf inf inf;10 inf 0 6 inf inf inf
inf;inf 5 6 0 4 inf 10 inf ;
inf inf inf 4 0 9 5 inf ;inf inf inf inf 9 0 3 4;inf inf inf 10 5 3 0 6;inf inf inf inf
inf 4 6 0;];
[D,R]=floyd(a)
.
D =
3 0 Inf 5 Inf Inf Inf Inf
10 Inf 0 6 Inf Inf Inf Inf
Inf 5 6 0 4 Inf 10 Inf
Inf Inf Inf 4 0 9 5 Inf
Inf Inf Inf Inf 9 0 3 4
Inf Inf Inf 10 5 3 0 6
Inf Inf Inf Inf Inf 4 6 0
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8