最新高中数学人教B版必修4 2.1.4数乘向量 学案 Word版(精品)
人教版数学必修四：2.2.3向量的数乘(1)学案(教师版)
课题： §2.2.3 向量的数乘（1） 总第____课时 班级_______________姓名_______________ 【学习目标】（1）理解向量数乘的定义；（2）掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算。
【学习重点难点】重点：实数与向量的积的定义及其运算律，难点：应用数乘进行运算。
【学习过程】一、自主学习与交流反馈：质点从点O 出发做匀速直线运动,若经过1s 的位移对应的向量用表示,那么在同方向上经过3s 的位移所对应的向量可用a 3来表示.学生活动问题：这里, a 3是何种运算的结果？3是数量还是向量？如何确定它的大小、方向？二、知识建构与应用：1．定义：实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）||||||a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ= 时，0a λ=．2．实数与向量的积的运算律：（1）()()a a λμλμ= （结合律）；（2）()a a a λμλμ+=+ （第一分配律）；（3）a a b λλλ+（+b ）= （第二分配律）． 结论：向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算；向量的线性运算的结果仍是一个向量.三、例题例1 已知向量和向量,求作向量-2.5和2-3.ba例2 计算:(1) 3(a -)-2(a +2)(2) 2(2+6-3)-3(-3+4-2)例3 在∆ABC 中，设−→−AB =1e ，−→−AC =2e ，若D 、E 是BC 的三等分点，用1e ，2e 表示−→−AD ，−→−AE .思考：如图，在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别是BC CD ,的中点，已知c AM =，=，试用，表示AB 和AD 。
D M C四、巩固练习1．如图，已知向量,求作向量2,3.a a - a2．计算：（1）3(45)a b -+；（2）6(24)(32)a b a b ---.3．化简：31)(31)(31+-++=__________.4．已知向量122a e e =+，1235b e e =-，求43a b -（用12,e e 表示）.5．若=+,则3(+2)-2(+3)-2(+)=__________.五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。
2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1.1向量的概念学案新人教B版必修4
2．1.1 向量的概念1.了解平面向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．1．向量的定义及表示方法 (1)向量：具有大小和方向的量． (2)向量的表示方法2．与向量有关的概念(1)零向量：长度等于零的向量，记作0. (2)向量共线或平行基线：通过有向线段AB →的直线，叫做向量AB →的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a 平行于b ，记作a ∥b ．(3)相等向量：两个向量a 和b 同向且等长，即a 和b 相等，记作a ＝b . (4)向量的长度(模)如果AB →＝a ，那么AB →的长度表示向量a 的大小，也叫做a 的长(或模)，记作|a |. 3．用向量表示点的位置任给一定点O 和向量a (如图)，过点O 作有向线段OA →＝a ，则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA →常叫做点A 相对于点O 的位置向量．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模是一个正实数．( ) (2)向量就是有向线段．( ) (3)向量AB →与向量BA →是相等向量．( )(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ) (5)零向量是最小的向量．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M 答案：D3.如图，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量 答案：C4．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：如图所示C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km.答案：西北方向5 2 km向量的概念[学生用书P34]下列关于向量的说法正确的个数是( )①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同，长度相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，长度相等的两个非零向量的终点不一定相同，其终点在一个圆上，故②不正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．【答案】 D对于概念性题目，关键把握好概念的内涵与外延，正确理解向量共线、向量相等的概念，清楚它们的区别与联系．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ； ②若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； ③若两向量有相同的基线，则两向量相等． 其中错误说法的序号是______．解析：①错误．共线向量是指向量的基线互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能比较大小．③错误．两向量有相同的基线表示两向量共线(或平行)，但两向量的大小和方向都不一定相同．答案：①②③向量的表示[学生用书P34]一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解】 (1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线， 即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．用有向线段表示向量的步骤在如图所示的坐标纸中，每个小正方形的边长为1，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)|BC →|＝6，点C 在点B 正东方向． 解：(1)(2)(3)如图：相等向量与共线向量[学生用书P35]如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．【解】 (1)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →. (2)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(3)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．如图所示的▱ABCD ，OA →＝a ，OB →＝b .(1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等且方向相反的向量有哪些？ (3)写出分别与OA →、AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有OC →，AO →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →；与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的．2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，与是否在一条直线上无关．向量平行与直线平行的区别1．直线的平行具有传递性，即a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .2．向量的平行不具有传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，因为若b ＝0，它与任意向量共线，故a ，c 两向量不一定共线．1．下列物理量：①速度；②位移；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定，具备了向量的两个要素，所以是向量；而路程、密度只有大小没有方向，所以不是向量．故选B.2．下列关于零向量的说法不正确的是( ) A ．零向量是没有方向的向量 B ．零向量的方向是任意的 C ．零向量与任一向量平行 D ．零向量只能与零向量相等解析：选A.零向量的方向是任意的，是有方向的．3．如图，小正方形的边长为1，则|AB →|＝________；|CD →|＝________；|EF →|＝________．解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32，|CD →|＝26， |EF →|＝2 2. 答案：3 226 2 24．在四边形ABCD 中，若AB →∥CD →，且|AB →|≠|CD →|，四边形ABCD 为________． 解析：由题意可知，对边AB 与CD 平行且不相等，故四边形ABCD 为梯形．答案：梯形, [学生用书P103(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等； ④与非零向量a 共线的单位向量是a |a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的． 2．若a 为任一非零向量，b 的模为1，给出下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③D ．②③解析：选B.①中，|a |的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.3．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则两向量共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析：选C.由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ， 即四边形ABCD 为平行四边形． 又因为|AB →|＝|AD →|， 所以四边形ABCD 为菱形．5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A ．AB →＝OC → B ．AB →∥DE → C ．|AD →|＝|BE →|D ．AD →＝FC →解析：选D.由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向， 即①不能够使a ∥b 成立； 因为a 与b 方向相反时，a ∥b ， 即②能够使a ∥b 成立； 因为零向量与任意向量共线， 所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③. 答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线， 所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：09．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么． 解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：因为AB →＝DC →， 所以|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形， 所以|DA →|＝|CB →|且DA ∥CB .同理可得，四边形CNAM 是平行四边形， 所以CM →＝NA →. 所以|CM →|＝|NA →|， 所以|MB →|＝|DN →|， 又DN →与MB →的方向相同， 所以DN →＝MB →.[B 能力提升]11．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C ．BD →的模恰为DA →模的3倍 D ．CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．12．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，BO →(OD →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：1213．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向沿东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求向量AD →的模．解：(1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)．所以|AD →|＝55米．14．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时，|BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。
高中数学 2.1.4 数 乘 向 量课件 新人教B版必修4
4．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式5xa＋(8－ y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝________，y＝________.
[答案] 3 －4
[解析] 因为 a 与 b 不共线，根据向量相等得
5x＝3y＋27 8－y＝4x
，解得yx＝＝－3 4
.
5．若|a|＝m，b与a的方向相反，且|b|＝2，则a＝ ________b.
同时可得 AC＝4CB.
(1)如图②，向量A→B与B→C的方向相同， 所以A→B＝3B→C. (2)如图③，向量A→C与C→B的方向相反， 所以A→C＝－4C→B.
已知 A、B、C 三点共线，且AACB＝25，分别用B→C、C→B表示A→B. [解析] 由已知 A、B、C 三点共线，且AACB＝25， ∴B、C 两点可能在点 A 的同侧，也可能在点 A 的异侧． 如图(1)，当 B、C 两点在点 A 的同侧时， 有ABA＋BBC＝25，得 AB＝23BC， 又∵向量A→B与B→C的方向相同， ∴A→B＝23B→C＝－23C→B.
[答案] －m2 [解析] 由||ab||＝m2 ，∴|a|＝m2 |b|. ∵b 与 a 方向相反，∴b 与 a 共线．∴a＝－m2 b.
6．如图，在△ABC 中，D、E 分别为边 BC、AC 的中点， 记B→C＝a，A→D＝m.
求证：D→E＝－12m＋14a.
[解析] ∵D 为 BC 的中点， ∴D→B＝－12B→C＝－12a， ∴A→B＝A→D＋D→B＝m－12a. 又∵D，E 分别为 BC，AC 的中点， ∴DE 綊12AB，
①m(a－b)＝ma－mb; ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b; ④若ma＝na，则m＝n. A．4 B．3 C．2 D．1 [答案] A
2.1.4数乘向量
《数乘向量》教学反思鞍钢高中孙晓楠《数乘向量》人教B版必修4第二章第1.4节内容。
本节内容包含数乘向量的定义，数乘向量的运算律及其应用。
学习数乘向量可以解决直线上如何表示点的问题，为研究共线向量奠定基础。
在高考中，向量的加减法运算、数乘运算是一个热点，数乘向量在研究图形的放大和缩小中有重要的地位。
学生在上节课中学习了向量的加法、减法运算，由数的加减法类比得出向量的加减法，已经有了类比的基础，本节课类比数的乘法，得到一个实数与向量相乘的相关知识，学生感到并不突然，很容易接受。
从高一新生开始注意培养学生自主合作探究的学习习惯，渗透数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养。
学生思维活跃，课堂参与意识较浓，且学生具有一定理解、分析、推理的能力。
本节课的教学目标是掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律. 能熟练地运用数乘运算的定义、运算律进行有关运算；通过引入生活中的现象引入问题，提高学生的学习兴趣，激发求知欲；通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力.引用学生熟悉的位移，直观地给出向量的关系；从数量与数量关系，抽象出数学概念。
一、课程导入设计：1、生活情境引入：播放雷雨天气的视频，让学生直观感受生活中的现象，引出光速与声速之间是否有某种关系。
有生活情境引入，抽象出数学概念，让学生感受数学来源于生活，服务于生活，也想激发学生的求知欲望。
教学后思考：感觉视频的播放有点突然，如果之前能跟学生交代一下播放视频的目的会更好。
2、物理中的位移引入：引用学生比较熟悉的“位移”，直观给出向量关系，从量与量的关系中，抽象出数学概念，向学生渗透数学抽象、直观想象的核心素养。
教学后思考：小兔子吃胡萝卜的例子引入效果挺好，由学生熟悉的位移入手，更容易掌握向量间的关系。
要是能让学生读题，可能会让学生更轻松地进入课堂。
本节课是向量的有一个运算，实数乘向量，课前应该复习之前学习过的向量的加法和向量的减法，自然的由向量的加法运算过渡到向量的数乘运算。
【人教B版】高一数学必修四：2.1.4《数乘向量》ppt课件
目 开 关
D．λ(A→B－B→C)，λ∈0，
2 2
解析 A→P与A→C共线，且菱形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D，由点 P
在线段A→C上，得A→P＝λ(A→B＋A→D)，又A→D＝B→C，λ∈(0,1)，∴A→P
＝λ(A→B＋B→C)，λ∈(0,1).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.1.4
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； (2)13122a＋8b－4a－2b；
本 (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
课 时
解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
栏 目
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
|AC|
→→
→
→
的单位向量，所以
AB →
＋
AC →
表示单位向量
AB →
与单位向量
AC →
本
|AB| |AC|
|AB|
|AC|
课 时 栏 目 开 关
→→
的和，由向量加法的几何意义可知
AB →
＋
AC →
表示以单位向量
|AB| |AC|
→ AB →
、
→ AC →
为邻边的菱形的对角线，所以
λ
→ AB →
＋
本 (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
课 时
解 (1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
栏 目 开
(2)原式＝123a－23a＋2b－b－
关
7612a＋12a＋37b
6.1.4数乘向量-人教B版高中数学必修第二册(2019版)教案
6.1.4 数乘向量-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解数乘向量的定义及其性质；2.能够进行数乘向量的计算；3.能够运用数乘向量解决实际问题。
二、教学重难点1.数乘向量的定义及其性质；2.数乘向量的计算方法；3.数乘向量在实际问题中的应用。
三、教学过程1. 概念解释数乘向量是指一个数（标量）k和一个向量a的乘积，记作ka。
其中k称为数乘，a称为向量。
2. 性质1.数乘向量的数量乘法满足分配律，即k（a+b）=ka+kb，其中a、b为向量。
2.数乘向量的数量乘法满足结合律，即(kl)a=k(la)，其中a为向量，k、l为数。
3.数乘向量的数量乘法满足交换律，即k（la）=l（ka），其中a为向量，k、l为数。
3. 计算方法数乘向量的计算方法很简单。
只需要将向量的各个分量与数相乘即可。
例如，在二维向量（1，2）前乘以2，得到的结果是（2，4）。
4. 应用数乘向量在实际问题中的应用非常广泛，一个常见的例子是力的合成问题。
当一个对象受到多个力的作用时，这些力可以合成为一个合力。
如果我们知道每个力的大小和方向，那么我们就可以将其表示为一个向量。
此时，如果我们想知道合力的大小和方向，就可以利用数乘向量进行计算。
举个例子，假设一个物体受到两个力的作用，分别是45N和60N，方向分别是30度和60度。
我们可以将这两个力表示为向量，45N的向量表示为（39.58，22.5），60N的向量表示为（30，51.96）。
此时，我们只需要将这两个向量相加，得到的结果就是合力的向量。
根据勾股定理，我们可以计算出合力的大小和方向。
四、教学方法本节课采用讲解和演示相结合的方式进行教学。
首先，老师可以通过解释和演示，让学生理解数乘向量的定义和性质。
然后，老师可以通过实际问题的演示，让学生了解数乘向量在实际问题中的应用。
接着，老师可以让学生进行练习，巩固所学内容。
五、教学评价本节课的教学评价包括两个方面：知识掌握和实质应用。
人教版数学必修四：2.1向量的概念及其表示学案(教师版)
班级_______________姓名_______________【学习目标】
1.了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示.
2.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.
【重点难点】
教学重点：会用字母表示向量;理解向量的含义.
教学难点：共线向量
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
1.如图,湖面上有三个景点O、A、B，如图所示.一游艇将游客从景点O
送至景点A，半小时后，游艇再将游客从送至景点B.从景点O到景
点A有一个位移，从景点A什么不同？
问题2：你还能举出我们生活中和位移相似的一些量吗？
2.零向量的相反向量仍是零向量
二、例题
例1已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与 共线的向量；
（2）确定与 相等的向量；
（3） 与 相等吗？
例2 在图中的4×5方格纸中有一个向量 ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个？与 长度相等的共线向量有多少个？（ 除外）
思考：若上题中小正方形的边长为1，则模等于 的向量共有几个？
与 同向，且模为 的向量共有几个？
四、巩固练习
1．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量.
2．长度相等的向量是相等向量吗？相等的向量是共线向量吗？平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明.
2. 我们把称为向量.向量常用表示,
表示向量的大小,表示向量的方向.
人教B版必修4向量数量的运算律学案
【自学指导】平面向量数量积的运算律已知向量a ， b c 以及实数λ则 1．交换律：a ⋅ b =2．数乘结合律：(λa )⋅b= = 3．分配律：(a + b )⋅c=思考：1、(ａ·ｂ)с=ａ（ｂ·с）2、ａ·с＝ｂ·с，с≠0⇒ａ＝ｂ【自学检测】1.下列叙述不正确的是（ ） A. B .C.D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .C.夹角为3πD.不平行也不垂直4.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 6.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . ：1、(ａ·ｂ)с=ａ（ｂ·с）2、ａ·с＝ｂ·с，с≠0⇒ａ＝六、课后作业1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60°B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2B .23C.6D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B . C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |(3)若a -b与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.点到线的距离课后作业1、点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离为____ __2.两平行线341006870x y x y +-=+-=和的距离是____________ 3、点P （2，m ）到直线L ：5x-12y+6=0的距离为4，求m 的值4已知点P 在3450x x y +-=轴上与直线的距离等于5，求点P 的坐标5. 若直线垂直于3x ＋4y-7=0且与原点的距离为6，求该直线方程6.求与两条平行直线12:2380,:23180l x y l x y +-=++=的距离相等的直线方程。
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第六章 平面向量初步 数乘向量 向量的线性运算
1.实数与向量可以求乘积,但不能进行加减运算.如λ+a,λ-a均没有意义.
2.若λa=0,则λ=0或a=0.
3.对于非零向量a,
||
表示a方向上的单位向量.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于任意的向量a,总有0a=0.( × )
(2)当λ>0时,|λa|=λa.( × )
(4)错误.-(b-a)=-b+a=a-b.
(5)错误.0a=0,0与任意向量共线.
探究点二 向量的线性运算
【例2】化简下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(2)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
解 (1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
3
3-2 = ,①
+
7
4
b
=2
3
11
5 a- b
12
2
5 11
= a- b.
3 18
由①×3+②×2 得,x=3a+2b,代入①得Βιβλιοθήκη 3×(3a+2b)-2y=a,
-4 + 3 = ,②
解得,y=4a+3b.
探究点三 用已知向量表示未知向量
【例 3】(1)如图,▱ABCD 中,E 是 BC 的中点,若 =a, =b,则=(
知识点2 向量的运算律
1.λ(μa)= (λμ)a .
2.λa+μa= (λ+μ)a .
3.λ(a+b)= λa+λb .(其中λ,μ∈R)
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.4 数乘向量配套名师课件 新人教B版必修4
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 掌握向量的数乘运算及其几何意义．
2．过程与方法 通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程，使学 生形成数形结合的研究问题的方法，由 λ 符号来判断 λa 与 a 方向是否相同的过程，培养学生用分类讨论的思想研究问题 的方法． 3．情感、态度与价值观 通过对向量数乘运算的探究学习，经历数学探究活动的 过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过数乘向量的实 际应用，体会数学的应用价值，学会用数学的方式解决问题.
(1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量 ，记作 λa， λa 的长度|λa|＝|λ|·|a| .若 a≠0，当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同 ；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．当 λ＝ 0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
(2)数乘向量的几何意义：把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的 反方向 放大或缩小 ．
课时作业（十六）
如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：O→H＝ O→A＋O→B＋O→C.
【思路探究】 作直径 BD，连接 DA、DC，根据四边形 AHCD 是平行四边形求解．
【证明】 作直径 BD，连接 DA、DC，则O→B＝－O→D， DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
图 2－1－29
【思路点拨】 利用 DE∥BC 等条件进行转化．
【规范解答】 ∵DE∥BC，A→D＝23A→B，
1分
∴A→E＝23A→C＝23b，B→C＝A→C－A→B＝b－a.
4分
由△ADE∽△ABC，得D→E＝23B→C＝23(b－a). 6 分
又 AM 是△ABC 底边 BC 的中线，DE∥BC，
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1
2．1．4数乘向量
一．学习要点：数乘向量、向量共线和三点共线的判断。
二．学习过程：
一、复习引入：1、向量的加法：2、向量的减法：
二、讲解新课：1、实数与向量的积
引例1：已知非零向量a，作出aaa和)()(aa。
探究：相同向量相加后，和的长度与方向有什么变化？
定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：a 。其大小和方向规定如下：
大小：
方向：
2、运算律：引例2：
(1)根据定义，求作向量)2(3a和a6(a为非零向量)，并进行比较。
结论：aa6)2(3 ， aaa42)42(
(2) 已知向量a、b，求作向量)(2ba和ba22，并进行比较。
结论：baba22)(2
归纳得：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有：
结合律： ；第一分配律：
第二分配律：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
对于任意向量a、b及任意实数、,恒有baba2121)(。
3、向量共线定理
问题① 如果 ab, 那么，向量a与b是否共线？
问题② 如果非零向量a与b共线， 那么，ab成立么 ？
2
向量共线定理 向量b与非零．．向量a共线当且仅当有唯一．．．．．．．一个实数，使得 .
三、例题解析：例1：计算(口答)：(1) a4)3(；(2) ababa)(2)(3
(3) )23()32(cbacba
例2 已知x是未知向量，解方程：5()3()0xaxb
例3 已知任意两非零向量a、b，试作baOA, baOB2，baOC3。你能
判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
例4如图，已知ABAD3、BCDE3，试判断AC与AE是否共线?
四、课堂练习:
教材89页练习.
五、课堂小结:
1、概念与定理
① a的定义及运算律；② 向量共线定理 (0a)：ab向量a与b共线。
2、知识应用：
① 证明 向量共线；② 证明 三点共线: BCABA,B,C三点共线；
六、课后作业:见作业（16）
C
E
A
B
D
3