高中数学 1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征课件 新人教A版必修2

[解析]
不正确．当绕斜边所在直线旋转时，其余各边旋
转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥．如图所示几何体是 由两个同底圆锥组成的几何体．
3．圆台 定义 用平行于 圆锥 底面的平面去截圆锥， 底面 与 截面 之间的部分叫做圆台
图形
有关 概念
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下 底面和上 底面．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、 侧面 、 母线，如上图所示，轴为 OO′ ，AA′为母线
[分析]
问题1：如何求截面周长的最小值？
答：化曲为直，转化为平面问题处理． 问题2：如何化曲为直？ 答：利用三棱锥的侧面展开图． 问题3：如何作三棱锥的侧面展开图？ 答：将三棱锥的侧面沿侧棱VA展开．
[解析]
将三棱锥V－ABC的侧面沿侧棱VA剪开，将其展
开图平铺在一个平面上，如右图所示，则截面△AEF的周长为 AE＋EF＋FA1.因为AE＋EF＋FA1≥AA1，线段AA1(即A，E， F，A1四点共线时)的长即为所求△AEF周长的最小值．作VD ⊥AA1，垂足为D，由VA＝VA1，知D为AA1的中点．由已知， 得∠AVB＝∠BVC＝∠CVA1＝40° ，得∠AVD＝60° .在Rt△AVD 3 中，AD＝VAsin60° ＝2 3× 2 ＝3，即AA1＝2AD＝6.所以，截 面△AEF周长的最小值是6.
[知识拓展]球与其他几何体形成的组合体问题 球与其他几何体组成的几何体在试题中通常以相切或相 接的形式出现，解决此类问题常常利用截面来分析这两个几 何体之间的关系，从而将空间问题转化成平面问题．
如图所示的组合体，其结构特征是(
)
A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱
[答案] C
[解析]
本题主要考查球的概念与性质，正确理解球的有
关性质是解题的关键．写任两点恰为一直径的端点时可作无 数个过球心的圆．故①错；②正确；③正确；球是几何体， 而④描述的是球面的概念．
规律总结：解决有关柱、锥、台、球定义方面的问题 时，准确理解定义及性质是解题的关键．举反例排除法是解 决此类问题的重要方法.
规定 棱锥 与 圆锥 统称为锥体
[知识拓展]圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且 长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆，如图a所示． (3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图b所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图c所示．
“直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体必是圆 锥”这个命题是否正确？若正确说明理由；若不正确举出反 例．
关于圆台，下列说法正确的是________． ①两个底面平行且全等； ②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高．
[答案] ②③④
[解析]
圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则
①不正确，②③④正确．
4．球 以半圆的 直径 所在直线为旋转轴，半圆 定义 面旋转 一周 形成的旋转体叫做球体，简 称球 有关 概念 半圆的 圆心 叫做球的球心；半圆的 半径 叫做球的半径；半圆的 直径 叫做球的直 径
(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆 锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如下图③所示． (4)以AD边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一 个圆锥．如下图④所示．
如图所示是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形 成的轴对称平面图形，若将它绕轴旋转180° 后形成一个组合体， 下面说法不正确的是( )
[答案] ①②③⑤
新课引入
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举世闻名的比萨斜塔是意大利一个著名景点．它的构造 从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的 很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的 组合体，本节我们就学习圆柱、圆锥、圆台、球这些简单几 何体的结构特征和由这些简单几何体组合而成的简单组合体 的结构特征．
描述下列几何体的结构特征．
[解析]
观察各组合体，利用多面体或旋转体的定义与结
构特征，结合简单组合体的两种基本构成形式，入手分析．
[答案] 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组
合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的 组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱 柱后得到的组合体．
图形
表示法
用表示它的轴的字母，即表示两底面 圆心 的 字母表示，上图中的圆柱可记作圆柱 O′O
圆柱 和 棱柱 统称为柱体
规定
[知识拓展]圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图a所 示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图b所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图c所示．
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体叫棱台 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫 棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点
[答案] D
[解析]
A选项中，缺少条件：其余各面是平行四边形，
且每相邻平行四边形的公共边平行；B选项中，缺少条件：每 相邻梯形的公共边相交于一点；C选项中，缺少条件：其余各 面三角形有公共顶点．
2．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三 棱台分成三棱锥的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
[答案] C
[解析]
如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接
A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－ A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1.
3．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这 个几何体可能是下面哪几种：________. ①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④圆柱 ⑤圆锥 ⑥圆台 ⑦球
图形
表示 球常用表示 球心 的字母表示，如上图中 法 的球记作球 O
球的直径有( A．一条 C．三条
) B．两条 D．无数
[答案] D
[解析]
经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，
则球有无数条直径．
5．简单组合体 (1)概念：由 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组 合体．常见的简单组合体大多是由具有棱、锥、台、球等几 何结构特征的物体组成的． (2)基本形式：一种是由简单几何体 拼接 而成，另一种是 由简单几何体 截去 或 挖去 一部分而成．
[例3]
如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述
它的结构特征吗？
[分析]
由题目可获取以下主要信息：
(1)图中的几何体是组合体； (2)应把组合体分解成柱、锥、台、球． 解答本题时应先看图形结构，再与本节的柱、棱、台、 球的基本结构相联系．
[解析]
此几何体是由两个大圆柱，两个小圆柱和两个小
圆台组合而成的．
表示 用表示的轴的 字母 表示，上图中的圆台可记作 法 规定 圆台 OO′
圆台 与 棱台 统称为台体
[知识拓展]圆台的简单性质： (1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一 点． (2)平行于底面的截面是圆，如图a所示． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图b所示．
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图c所示．
成才之路· 数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
空间几何体
第一章
1．1 空间几何体的结构
第一章
1．1.2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特 征、简单组合体的结构特征
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 完成下列练习为求新知打下基础 1．下列命题中正确的是( )
已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，
如下图．分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转，试说明所得几 何体的结构特征．
[分析] 结构特征
任一边为轴 空间想象 梯形 ――――――→ 几何体 ――――――→
[解析] 所示．
(1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台．如下图①
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆 柱，上部为圆锥．如下图②所示．
[答案] D
[解析] 该组合体的上部是圆锥，下部是圆柱．
思路方法技巧
圆柱、圆锥、圆台、球的概念的理解
学法指导 旋转体形状的判断方法： (1)首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好它们的性 质，其次要有一定的空间想象能力． (2)圆柱、圆锥、圆台、球可以分别看作是以矩形的一边、 直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、半圆的直径 所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何 体，其轴截面(过轴的截面)分别是矩形、等腰三角形、等腰梯 形、圆．这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转 体的有关问题时一般要作出其轴截面．
[例1]
给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆 心三点的连线都可以构成直角三角形； ③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是( A．①② C．①③ ) B．②③ D．②④
旋转体的结构特征
学法指导 旋转体形状的判断方法： 判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕 哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得 的旋转体一般是不同的．在旋转过程中观察平面图形的各边 所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面 图形的模型来分析旋转体的形状．
[例2]
下列命题正确的个数为(
)
①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线； ②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点 的直线； ③矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围 成圆柱；
④矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱． A．1 C．3 B．2 D．4