共焦点椭圆与双曲线离心率的一个完美结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论好资料椭圆与双曲线的必背的经典结论椭圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.x0xy0yx2y22 1. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000a2ba2b2x2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点abxxyy弦P1P2的直线方程是02 02 1.abx2y27. 椭圆2 2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.2x2y28. 椭圆2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：ab|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2y211. AB是椭圆2 2 1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abb2x0b2kOM kAB 2，即KAB 2。
aay0x2y22 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若P0(x0,y0)在椭圆2abx0xy0yx02y022 2 2. a2babx2y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0,y0)在椭圆a2b2x2y2x0xy0y 2 2 2. 2abab好资料双曲线1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程abxxyy是02 02 1. abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02 02 1.abx2y27. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意ab2S bcot一点F，则双曲线的焦点角形的面积为. PF F1PF2122x2y28. 双曲线2 2 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1( c,0) , F2(c,0)ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1| ex0 a,|MF2| ex0 a9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.x2y211. AB是双曲线2 2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABabb2x0b2x0的中点，则KOM KAB 2，即KAB 2。
高中数学椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
圆锥曲线的离心率与焦点关系
圆锥曲线的离心率与焦点关系圆锥曲线是数学中的一个重要概念，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线都具有特定的形状和性质，其中离心率和焦点是关键要素。
本文将详细讨论圆锥曲线的离心率与焦点之间的关系。
一、离心率的定义和计算公式离心率（eccentricity）是描述圆锥曲线形状和偏心程度的指标。
它是一个无单位的正实数，表示为 e。
离心率定义为焦点到直线焦点间的距离（称为焦距）与曲线上一点到焦点的距离（称为焦半径）之比的极限值。
对于椭圆和双曲线，离心率可以通过如下计算公式求得：e = c/a其中，a表示曲线的半长轴长度（椭圆的情况下）或者两个较大的焦点到中心点的距离之和（双曲线的情况下），c表示焦点到中心点的距离。
对于抛物线，离心率的计算稍有不同：e = 1抛物线的离心率恒定为1。
二、椭圆和双曲线的焦点关系1. 椭圆：对于椭圆而言，离心率范围为0 < e < 1。
当离心率接近于0时，椭圆的形状趋近于圆，即长短轴长度接近；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一条直线，即长短轴长度差距很大。
在椭圆中，离心率等于焦距与半长轴的比值：e = c/a由此可见，离心率越大，焦距与半长轴的比值也越大，表示焦点与中心点之间的距离较远。
2. 双曲线：对于双曲线而言，离心率范围为 e > 1。
离心率越大，双曲线的形状越狭长。
在双曲线中，离心率等于焦点与中心点的距离与两个焦点之间的距离之比：e = c/a由此可见，离心率越大，焦点与中心点之间的距离越远。
三、圆和抛物线的焦点关系1. 圆：对于圆而言，离心率恒定为0。
圆的形状特点是半径相等，焦点与中心点重合。
2. 抛物线：对于抛物线而言，离心率恒定为1。
抛物线的形状特点是焦点在无穷远处，曲线的形状类似于开口向上或向下的碗。
四、离心率与焦点的应用圆锥曲线的离心率与焦点之间的关系在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。
在天文学中，行星的轨道通常是椭圆形的，而行星的离心率决定了其椭圆形状的偏心程度。
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。
在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。
下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：(x²/a²) - (y²/b²) = 1其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。
曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：c = √(a² + b²)其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。
根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。
如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。
数学上，离心率可以通过以下公式计算：e = c/a离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。
离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。
离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。
例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。
以下是一些常见的例子：1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。
它们之间的关系是a²- b²= 1。
长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线在无限远处趋于的直线。
双曲线有两个渐近线，一个是左右开口的情况下的水平渐近线（y = ±(b/a) * x），另一个是上下开口的情况下的垂直渐近线（x = ±(a/b) * y）。
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在学习圆锥曲线的过程中，我们需要掌握一些重要的结论，这些结论对于解题和理解圆锥曲线的性质都有很大的帮助。
对于椭圆来说，它的离心率小于1，且它的两个焦点在椭圆的长轴上。
椭圆的中心点位于长轴和短轴的交点处，而长轴和短轴的长度分别为2a和2b。
此外，椭圆的面积为πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
对于双曲线来说，它的离心率大于1，且它的两个焦点在双曲线的中心轴上。
双曲线的中心点位于中心轴和两支曲线的交点处，而中心轴的长度为2a。
双曲线的面积为πab，其中a和b分别为中心轴和两支曲线的距离的一半。
对于抛物线来说，它的离心率等于1，且它的焦点在抛物线的顶点上。
抛物线的中心点位于顶点的下方，而抛物线的面积为2/3×b×h，其中b为抛物线的焦距，h为抛物线的高度。
除了上述结论外，我们还需要掌握圆锥曲线的一些性质，例如椭圆和双曲线的渐近线、抛物线的对称轴等。
这些性质对于解题和理解圆锥曲线的性质都有很大的帮助。
掌握圆锥曲线的结论和性质是学习高中数学的重要内容之一。
只有
深入理解这些结论和性质，才能更好地解决圆锥曲线相关的问题。
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结
高中数学中的椭圆与双曲线知识点总结椭圆与双曲线是高中数学中的重要知识点，它们在几何和代数中有广泛的应用。
掌握了椭圆与双曲线的基本概念、性质和公式，不仅可以解决各种数学问题，还能帮助我们更好地理解数学的本质和应用。
本文将对高中数学中的椭圆与双曲线知识点进行总结。
一、椭圆的基本概念与性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，而常数称为椭圆的焦距。
椭圆还有一个重要的参数称为长轴，它是椭圆的两个焦点之间的距离。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且越接近0，椭圆越扁平；2. 椭圆的长轴与短轴之间的比值称为椭圆的离心率，离心率等于1的椭圆称为圆；3. 椭圆的对称轴与长短轴相交的点称为椭圆的顶点；4. 椭圆的周长公式为C = 4aE(e)，其中a为长轴的一半，E(e)为离心率e的椭圆的第一类椭圆积分；5. 椭圆的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
二、双曲线的基本概念与性质双曲线是平面上到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
这两个定点称为双曲线的焦点，常数称为双曲线的差距。
双曲线还有一个重要的参数称为长轴，它是双曲线的两个焦点之间的距离。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线越扁平；2. 双曲线的离心率等于1的时候，双曲线为抛物线；3. 双曲线的对称轴与长轴、短轴相交的点称为双曲线的顶点；4. 双曲线的渐近线是与双曲线无交点的直线，斜率大小由离心率决定；5. 双曲线的面积公式为S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
三、椭圆与双曲线的方程与图像1. 椭圆的方程形式为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心；2. 双曲线的方程形式为(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1（双曲线的开口朝向x 轴）或者(x-h)²/b² - (y-k)²/a² = 1（双曲线的开口朝向y轴），其中(h,k)为双曲线的中心。
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论）清华附中高三数学备课组椭圆1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.6. 若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.双曲线1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.6. 若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.7. 双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.8. 双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(,当在右支上时，,.当在左支上时，,9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.11. AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
椭圆和双曲线共焦点问题规律探寻
于是 ４一者＋》２√者 一 ．
所以 １ ≯ ≤ Ｊ （当且仅当者 ｅ一 ｅｉ 且 ｅ１＋ ｅ ２
点 ，且满足瓦 ． 一ｏ，则
的值为（ ）．
一
一 时 ，不等 式取 等号 ）．故 选 Ａ．
◇彝 萋 Ａ １／２； Ｂ １； Ｃ ２； Ｄ 不确 定
Ｑ解 因为ＰＦｌ‘ＰＦ２一。甘 Ｆ ＰＦ２—９０。，所以
、 例 １ 如 图 １，中心 在 坐标 原 点 的 椭 圆 和 双 曲线 有共 同 的 焦 点 Ｆ。、Ｆ ，点 Ｐ
Ｌ
是椭 圆 和 双 曲 线 的 一 个 交
为
．
—
—
，Ｑ解 析 在例１所得关系式中取０—６Ｏ。，可得１／ｅｉ＋
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
３／Ｐｚ＿４．
令 一２ＣＯ 其 中
令 一
其 中ａ∈（ｏ， ÷），则
二 ！ ！ —ｌ＋ｃｏｓ Ｏ
—
一 ９
Ｐ
‘
Ｐ；
“
彝支
２ 应 用 举 例
，
例 ２ 设 ｅ 、ｅ。分 别 为具 有公 共 焦 点 Ｆ 与 Ｆｚ
的椭 圆和双 曲 线 的离 心 率 ，Ｐ 为 ２曲 线 的 一 个 公 共
ｃ －Ｕ ， ； Ｄ ，
在例 １所 得关 系式 中取 一６０。，可 得
析 在 例 １所得 到 的关 系式 中取 一９ｏ。，则得 到 外 ，本题 还 可借 助 三角换 元求 解 ，请读 者 自行 思考．
ｒ榷 安 亟 植 ．甘 亩 右 临 酉 回 头．巾 晕 ）
举 化
ｐ解 析 设 ｌ ＰＦ Ｉ—ｍ，
图 １
等号）．故 １／＝ ＋１／ｅ 的最大值为 ４√ ／３．
高中数学椭圆双曲线的经典结论
椭圆双曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
８４ 数学通讯——２Ｏ１３年第５、６期（上半月） ·专论荟萃·
共焦点椭圆与双曲线离心率的一个完美结论
沈 良
（浙江省杭州市萧山区第五高级中学，３１１２０２）
数学学习中，对已有命题做些推广是学习数
学的一种重要方式、也是做学问的一种重要方式．
推广可以运用归纳、类比等猜想方式对命题条件、
结论等进行迁移推广．
教学中，笔者曾碰到以下问题：
题目 共焦点的椭圆和双曲线的焦点为Ｆ 、
Ｆ。，记两曲线其中一个交点为Ｐ，且 Ｆ。ＰＦ。一
１
９０。，设该椭圆、双曲线离心率分别为ｅ 、 ，则去＋
１的值为
；
（Ａ）÷． （Ｂ）１． （Ｃ）２． （Ｄ）４．
结论推广
引起笔者兴趣的是，在共焦点条件下，椭圆、
双曲线的离心率到底存在怎样的联系？能否对本
题结论做些推广？经过研究，笔者得到如下定理：
定理 共焦点的椭圆和双曲线的焦点为Ｆ 、
Ｆ。，记两曲线其中一个交点为Ｐ，且 Ｆ ＰＦ。一０，
设该椭圆、双曲线离心率分别为ｅ ，则
０ ０
＋—
ＣＯＳＺ ｖ，
１．
虼
证法１ 运用曲线定义．记Ｉ ＰＦ ｌ— ，
ｉ ＰＦ。ｊ—ｎ，设椭圆的长半轴长为ａ ，双曲线的实
半轴长为ａ。，两曲线的半焦距为Ｃ．则有
竹ｔ＋ｎ一２ａｌ ①
ｌ ｍ— ｉ一２ａ２ ② ４ｃ。一 。＋Ｉ＂ｌ。一２ｍｎ·ｃｏｓＯ ③ 由①、②可得： ＋ 一２（Ⅱ；＋ａ ），ｍ —ａｊ ｃ ，代入③，整理得： ２ｃ。一（１一ｃｏｓ０）ａ ＋（１＋ｃｏｓＯ）ａ ， 两边同除以２ｃ！得 ＋ 一１． 且根据二倍角公式可知Ｌ 一 ｉｎ。昙， 一导 得攀＋攀 命题得证． 证法２ 运用面积公式．设椭圆的短半轴长为 ｂ ，双曲线的虚半轴长为ｂ。，则Ｓ△ＰＦ， 一ｂ￣ｔａｎ导， Ｓ△ＰＦ１Ｆ 一 ，所 ｔａｎ导＝＝＝ ，所以 咀ｎ 唿ｎ （口；一ｆ。）ｔａｎ 昙一（ｃ。一口；）， ＳＩＤ Ｔ ＇ＣＯＳ ——９— 整理得— 二十— 二一１． 二、评析 １．结论赏析：（１）定理简洁明了、利落清爽，共 焦点、知角度可得离心率关系式；（２）结论结构对 称、堪称完美． ２．证法赏析：解法１侧重于椭圆、双曲线的第 定义与余弦定理，证明更重基础；解法２侧重于 在解法ｌ的基础上面积公式的运用，证明更显 简洁． ３．拓展方式赏析：学习贵在思考，贵在立足原 问题，看能否对条件和结论作些改变、能否对命题 所含的知识内容扩大使用范围、能否从某一命题 衍生出新的结论、能否把几个题目组合在一起或
把某一题目分解成几个小题等等，这些都是做数
学学问的一种重要方式．
（收稿Ｅｔ期：２０１３—０ｌ—Ｏ８）