2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (4)
2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (2)
第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题一、矩形的学习例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为.例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.相应练习一1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．（1）求证：△ADC △ECD；（2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F .（1）求证：△ABE ≌△FCE .（2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形.3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD4.5=,︒=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？二、菱 形 的 学 习例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式'A例题4.（2013云南省，22 ，7分）(本小题 7分）如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ,与BD 相较于点O ，与BC 相较于N ，连接MN DN ，。
2025年中考数学热点题型归纳与变式演练(全国)专题04 四边形的证明与计算(原卷版)
专题04四边形的证明与计算目录热点题型归纳 (1)题型01四边形与全等 (1)题型02四边形与相似 (3)题型03四边形边角计算 (5)中考练场 (10)题型01四边形与全等手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在对角线BD 上，点F 在边BC 上，连接AE ，EF ，DE BF BE BC ==，．(1)如图①，求证AED EFB ≌△△；(2)如图②，若AB AD AE ED =≠，，过点C 作CH AE ∥交BE 于点H ，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（BAE ∠除外），使写出的每个角都与BAE ∠相等．【变式演练】1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD 中，点E F ，分别在BC CD ，上，BE CF AE BF =，，交于点G ；(1)AGF ∠=_______．(2)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM AGF ∠，的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明．2．（2023·山东泰安·三模）已知如图1，P 为正方形ABCD 的边BC 上任意一点，BE AP ⊥于点E ，在AP 的延长线上取点F ，使EF AE =，连接BF ，CBF ∠的平分线交AF 于点G ．(1)求证：BF BC =；(2)求证：BEG 是等腰直角三角形；(3)如图2，若正方形ABCD 的边长为4，连接CF ，当P 点为BC 的中点时，求CF 的长．3．（2022·湖南长沙·三模）如图，在ABC 和DCB 中，AB DC =，AC DB =，AC 与DB 交于点M ．(1)求证：ABC DCB ≌；(2)将BMC 关于BC 所在直线翻折，得到BNC ，试判断四边形BNCM 的形状，并证明你的结论；(3)若AC 平分BCD ∠，1DM =，2BM =，求BC 的长．题型02四边形与相似【解题策略】8字模型反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形ABCD ，E 是对角线AC 上一点．(1)如图1，连接BE ，DE ．求证：ABE ADE ≅△△；(2)如图2，F 是DE 延长线上一点，DF 交AB 于点G ，BF BE ⊥．判断FBG △的形状并说明理由；(3)在第（2）题的条件下，2BE BF ==．求AE AB的值．【变式演练】1．（22-23浙江·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接BF ．(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形．(2)BG CE ⊥于点G ，连接CF ，若G 是CE 的中点，6CF =，tan 3BCG ∠=，①求CG 的长．②求平行四边形BCEF 的周长．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，且AED DEC ∠=∠，延长BC 至点F ，使CF BE =，连接AF ，交DE 、DC 分别于M 、N ．(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)若41BE EC =::且2MN =，求DN 的长度．3．（2022·湖北武汉·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，四边形ABCD 中，BAC ACD ∠=∠，B D ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，ABCD Y 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，EDF BAC ∠=∠，EF AC ∥，EF 的延长线交DC 的延长线于点G ，若3EF =，4DE =，求AC 的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，tan 2EDF ∠=，EF AC ∥，求AE 的长度．4．（2022·安徽·模拟预测）如图1，E 是正方形ABCD 的边BC 上一个动点，连接,DE DEC ∠的平分线EM 交DC 于点M ，直线MN DE ⊥于点N ，交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接,EG CN ．(1)求证：FN AB =．(2)如图2，若NC GE ∥，连接BN 并延长，交CD 于点P ．①求证：BE CE =；②求CP CD的值．题型03四边形边角计算【解题策略】勾股定理常见折叠模型：DB 2+BC 2=DC 2DB 2+AB 2=AD 2BM 2+AB 2=AM 2MN=M 2−M 2FC=M 2−A 2AD=M 2−M 2【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真题）如图，在ABCD Y 中，DF 平分ADC ∠，交BC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AD AF =；(2)若63120AD AB A ==∠=︒，，，求BF 的长和ADF △的面积．例2．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 落在边AD 上（点M 不与点,A D 重合），点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，折痕分别与边AB ，CD 交于点,E F ，连接BM ．(1)求证：AMB BMP ∠=∠；(2)若1DP =，求MD 的长．【变式演练】1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，将矩形沿EF 折叠，使点C 与点A 重合．(1)若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；(2)求证：AGE ABF ≌；(3)若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．2．（2023·广东广州·一模）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．(1)尺规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若4AC =，2BD =，求cos BCE ∠的值．3．（2023·广东深圳·一模）综合与探究在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．(1)如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；(2)如图②，当5AB =，且·10AF FD =时，求EF 的长；(3)如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，请直接写出AB BC 的值．1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．2．（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ．求证：ABCD Y 是菱形．(2)知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCD Y 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若12E ACD ∠=∠，求OF EF的值．3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线l 分别与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌ ；(2)当直线l BD ⊥时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．5．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，连接AC ，BD 交于点O ，DE 平分ADB ∠交AC 于点E ，BF 平分CBD ∠交AC 于点F ，连接BE ，DF ．(1)求证：12∠=∠；(2)若四边形ABCD 是菱形且2AB =，120ABC ∠=︒，求四边形BEDF 的面积．6．（2023·辽宁营口·中考真题）在ABCD Y 中，90ADB ∠=︒，点E 在CD 上，点G 在AB 上，点F 在BD 的延长线上，连接EF DG ，．FED ADG ∠=∠，AD DG k BD EF==．(1)如图1，当1k =时，请用等式表示线段AG 与线段DF 的数量关系______；(2)如图2，当k AD DE ，和DF 之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，当点G 是AB 的中点时，连接BE ，求tan EBF ∠的值．。
2025年中考数学热点题型归纳与变式演练(全国)专题04 四边形的证明与计算(解析版)
专题04四边形的证明与计算目录热点题型归纳 (1)题型01四边形与全等 (1)题型02四边形与相似 (7)题型03四边形边角计算 (17)中考练场 (35)题型01四边形与全等手拉手模型倍长中线模型平行线中等模型雨伞模型【典例分析】例1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，点,P Q 分别是边BC ，线段OD 上的点，连接,,AP QP AP 与OB 相交于点E ．(1)如图1，连接QA ．当QA QP =时，试判断点Q 是否在线段PC 的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若90APB ∠=︒，且BAP ADB ∠=∠，①求证：2AE EP =；②当OQ OE =时，设EP a =，求PQ 的长（用含a 的代数式表示）．（2）①证明：如图，∵四边形ABCD ∴===，AB BC CD DA∴∠=∠，CBD CDB ABD ADB∠=∠， ，BD AC⊥②如图，连接QC ．,60AB BC ABC =∠=︒ ，∴ABC 是等边三角形．∵90APB ∠=︒，【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．例2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形AE ，EF ，DE BF BE BC ==，．(1)如图①，求证AED EFB ≌△△；(2)如图②，若AB AD AE ED =≠，，过点C 作CH AE ∥交BE 于点H ，在不添加任何轴助线的情况下，请直接写出图②中四个角（BAE ∠除外），使写出的每个角都与BAE ∠相等．【答案】(1)见解析；(2)BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD BC BE ==，BC AD ∥，进而有ADE EBF ∠=∠，从而利用SAS 即可证明结论成立；（2）先证四边形ABCD 是菱形，得AB BC BE CD AD ====，又证()AAS ABE CDH ≌ ，得BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ 得AED EFB ∠=∠，根据等角的补角相等即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，BE BC=∴AD BC BE ==，BC AD ∥，∴ADE EBF ∠=∠，∵DE BF =，ADE EBF ∠=∠，AD BE=∴()SAS AED EFB ≌ ；（2）解：BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====，理由如下：∵AB AD =，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，BC AD ∥，AB CD∴AB BC BE CD AD ====，ADE EBF ∠=∠，ABE CDH ∠∠=，∴BEA BAE ∠=∠，∵CH AE ∥，∴BEA DHC ∠∠=，∴()AAS ABE CDH ≌ ，∴BAE DCH BEA DHC ∠∠∠∠===，由（1）得()SAS AED EFB ≌ ，∴AED EFB ∠=∠，∵180AED BEA EFB EFC ∠∠∠∠+=+=︒，∴BEA EFC DCH DHC BAE ∠∠∠∠∠====．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及等角的补角相等．熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【变式演练】1．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形ABCD 中，点E F ，分别在BC CD ，上，BE CF AE BF =，，交于点G ；(1)AGF ∠=_______．(2)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM AGF ∠，的角平分线交DM 于点N ．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明．【答案】(1)90︒(2)①见解析；②MN ND=【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，等腰直角三角形性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，合理作出辅助线．（1）通过证明()SAS ABE BCF ≌，得出BAE CBF ∠=∠，根据90BAE AEB ∠+∠=︒，得出90CBF AEB ∠+∠=︒，即可解答；（2）①根据题意补全图形即可；②过点A 作AH AE ⊥，AH 交GN 延长线于点H ，连接DH ，先证明()SAS BAG DAH ≌，得出,90BG DH AHD AGB =∠=∠=︒，则,45GM DH DHN NGM =∠=∠=︒，再证明()AAS HND GNM ≌，即可得出结论MN ND =．②证明：过点A 作AH ∵90AGF ∠=︒，GN 平分∴1452AGN AGF ∠=∠=∴45AHG AGH ︒∠=∠=，∴AG AH =，∵四边形ABCD 为正方形，∴90,BAD AB AD ∠=︒=，∵90GAH ∠=︒，∴BAG DAH ∠=∠，∵AG AH =，BAG DAH ∠=∠，AB AD =，∴()SAS BAG DAH ≌，∴,90BG DH AHD AGB =∠=∠=︒，∵BG GM =，45AHG ∠=︒，∴,45GM DH DHN NGM =∠=∠=︒，∵,,DHN NGM DNH MNG GM DH ∠=∠∠=∠=，∴()AAS HND GNM ≌，∴MN ND =．2．（2023·山东泰安·三模）已知如图1，P 为正方形ABCD 的边BC 上任意一点，BE AP ⊥于点E ，在AP 的延长线上取点F ，使EF AE =，连接BF ，CBF ∠的平分线交AF 于点G ．=；(1)求证：BF BC是等腰直角三角形；(2)求证：BEG(3)如图2，若正方形ABCD的边长为4，连接CF，当P点为BC的中点时，求CF的长．P 是BC 中点，正方形的边长为4，4AB ∴=，2BP CP ==，在Rt ABP 中，22AP BP AB =+=BE AP ⊥ ，(1)求证：ABC DCB ≌；(2)将BMC 关于BC 所在直线翻折，得到BNC ，试判断四边形BNCM 的形状，并证明你的结论；(3)若AC 平分BCD ∠，1DM =，2BM =，求BC 的长．四边形BNCM 是菱形，MN CB ∴⊥，AC 平分BCD ∠，MH ⊥【解题策略】8字模型反8字模型手拉手模型一线三等角模型【典例分析】例．（2023·内蒙古·中考真题）已知正方形ABCD ，E 是对角线AC 上一点．(1)如图1，连接BE ，DE ．求证：ABE ADE ≅△△；(2)如图2，F 是DE 延长线上一点，DF 交AB 于点G ，BF BE ⊥．判断FBG △的形状并说明理由；(3)在第（2）题的条件下，2BE BF ==．求AE AB的值．在ABE 和ADE V 中AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABE ADE ≅ ．（2）解：FBG △是等腰三角形，理由如下：∵ABE ADE ≅△△，∴ABE ADE ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴90DAG =︒∠，∴90ADE AGD ∠+∠=︒，∵AGD FGB ∠=∠，∴90ADE FGB ∠+∠=︒，∵FB BE ⊥，∴90EBF ∠=︒，∴90ABE FBG ∠+∠=︒，∴FGB FBG ∠=∠，∴BF FG =，∴FBG △是等腰三角形．（3）解：∵2BE BF ==，BF FG =，【变式演练】1．（22-23浙江·模拟预测）在ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接BF ．(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形．(2)BG CE ⊥于点G ，连接CF ，若G 是CE 的中点，6CF =，tan 3BCG ∠=，①求CG 的长．②求平行四边形BCEF 的周长．∵G 是CE 的中点，∴22EC EG CG ==，∵四边形BCEF 是平行四边形，连接AF ，交DE 、DC 分别于M 、N ．(1)求证：四边形AEFD 为菱形；(2)若41BE EC =::且2MN =，求DN 的长度．【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质．（1）证明四边形AEFD 是平行四边形，（2）证明DMN DCE ∽△△是解题的关键．3．（2022·湖北武汉·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，四边形ABCD 中，BAC ACD ∠=∠，B D ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，ABCD Y 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，EDF BAC ∠=∠，EF AC ∥，EF 的延长线交DC 的延长线于点G ，若3EF =，4DE =，求AC 的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，tan 2EDF ∠=，EF AC ∥，求AE 的长度．直线MN DE ⊥于点N ，交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接,EG CN ．(1)求证：FN AB =．(2)如图2，若NC GE ∥，连接BN 并延长，交CD 于点P ．①求证：BE CE =；②求CP CD的值．EM 平分DEC ∠，DEM CEM ∴∠=∠，,EM EM = ,EMN EMC ∴△≌△EN CE ∴=，又,DEC FEN ∠=∠ DEC FEN ∴△≌△，,CD FN ∴=FN AB ∴=．（2）解：由（1）知,EN CE =ENC ECN ∴∠=∠．,NC GE ∥,GEN ENC GEB ECN ∴∠=∠∠=∠，GEN GEB ∴∠=∠．90,,ABE GNE GE GE ∠=∠=︒= ,GEN GEB ∴△≌△,BE EN ∴=BE CE ∴=．②延长CN 交AD 于点Q ，由①知BE EN CE ==，,EBN BNE ENC ECN ∴∠=∠∠=∠，90BNC BNE ENC ∴∠=∠+∠=︒，90PCN BPC ∴∠+∠=︒．90PBC BPC ∠+∠=︒ ，PBC PCN BNE ∴∠=∠=∠．又90,BCD CDA BC CD ∠=∠=︒= ，,BCP CDQ ∴△≌△CP DQ ∴=．,AD BC ∥题型03四边形边角计算【解题策略】DB 2+BC 2=DC 2DB 2+AB 2=AD 2BM 2+AB 2=AM2MN=M 2−M 2FC=M 2−A 2AD=M 2−M 2【典例分析】例1．（2023·湖南·中考真题）如图，在ABCD Y 中，DF 平分ADC ∠，交BC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：AD AF =；(2)若63120AD AB A ==∠=︒，，，求BF 的长和ADF △的面积．∵120BAD ∠=︒，∴DAH ∠∴132AH AD ==，∴D H =【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．例2．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点,A D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点,E F，连接BM．∠=∠；(1)求证：AMB BMP(2)若1DP=，求MD的长．【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．【变式演练】<，将矩形沿EF折叠，使点C与点A重合．1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB BC(1)若20BAF ∠=︒，求GAE ∠的度数；(2)求证：AGE ABF ≌；(3)若6cm AB =，8cm BC =，求BF 的长．(1)尺规作图：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)若4AC =，2BD =，求cos BCE ∠的值．（2）解： 四边形ABCD 为菱形，4AC =，BD在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处．(1)如图①，若2BC BA =，求CBE ∠的度数；(2)如图②，当5AB =，且·10AF FD =时，求EF 的长；(3)如图③，延长EF ，与ABF ∠的角平分线交于点M ，BM 交AD 于点N ，当NF AN FD =+时，请直接写出AB BC的值．=+，∴∵NF AN FD=，∴NF ∵BC BF∠=∠，∵NFG AFB1．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，11AE DF ==，8DE =，60AED ∠=︒，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【分析】（1）由矩形的性质可得90ADE DCF ∠=∠=︒，则90CDF DFC ∠+∠=︒，再由AE DF ⊥，可得90DGE ∠=︒，则90CDF AED ∠+∠=︒，根据等角的余角相等得AED DFC ∠=∠，即可得证；（2）利用“HL ”证明 ≌ADE DCF ，可得DE CF =，由CH DE =，可得CF CH =，利用“SAS ”证明DCF DCH ≌，则DHC DFC ∠=∠，由正方形的性质可得AD BC ∥，根据平行线的性质，即可得证；（3）延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，由菱形的性质可得AD DC =，AD BC ∥，则ADE DCG ∠=∠，推出()SAS ADE DCG △≌△，由全等的性质可得60DGC AED ∠=∠=︒，DG AE =，进而推出DFG 是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，90ADE DCF ∴∠=∠=︒，90CDF DFC ∴∠+∠=︒，AE DF ⊥，90DGE ∴∠=︒，90CDF AED ∴∠+∠=︒，AED DFC ∴∠=∠，ADE DCF ∴△∽△；（2）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，AD BC ∥，90ADE DCF ∠=∠=︒，AE DF = ，()HL ADE DCF ∴ ≌，DE CF ∴=，又 CH DE =，∴CF CH =，点H 在BC 的延长线上，∴90DCH DCF ∠=∠=︒，DC DC = ，()SAS DCF DCH ∴ ≌，H DFC ∴∠=∠，AD BC ∥，ADF DFC H ∴∠=∠=∠；（3）解：如图，延长BC 到点G ，使8CG DE ==，连接DG ，四边形ABCD 是菱形，AD DC ∴=，AD BC ∥，ADE DCG ∴∠=∠，()SAS ADE DCG ∴ ≌，60DGC AED ∴∠=∠=︒，DG AE =，AE DF = ，DG DF ∴=，DFG ∴ 是等边三角形，11FG FC CG DF ∴=+==，111183FC CG ∴=-=-=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．2．（2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ．求证：ABCD Y 是菱形．(2)知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCDY是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若12E ACD∠=∠，求OFEF的值．与AD 、BC 所在的直线相交于点E 、F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌ ；(2)当直线l BD ⊥时，连接BE 、DF ，试判断四边形EBFD 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)四边形EBFD 为菱形；理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌ 即可；（2）连接EB 、FD ，根据DOE BOF ≌ ，得出ED BF =，根据ED BF ∥，证明四边形EBFD 为平行四边形，根据EF BD ⊥，证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：∵点O 为对角线BD 的中点，∴BO DO =，∵AD BC ∥，∴ODE OBF ∠=∠，OED OFB ∠=∠，在DOE 和BOF 中，ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DOE BOF ≌ ；（2）解：四边形EBFD 为菱形，理由如下：连接EB 、FD ，如图所示：根据解析（1）可知，DOE BOF ≌ ，∴ED BF =，∵ED BF ∥，∴四边形EBFD 为平行四边形，∵l BD ⊥，即EF BD ⊥，∴四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，菱形的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ∠=︒，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ''．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形BB C C ''的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x =，四边形BB C C ''的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．∠交AC于点F，连接BE，DF．交AC于点E，BF平分CBD(1)求证：12∠=∠；(2)若四边形ABCD 是菱形且2AB =，120ABC ∠=︒，求四边形BEDF 的面积．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是由()ASA ODE OBF V V ≌，得到DE BF =，判定四边形DEBF 是平行四边形；证明四边形BEDF 是菱形．6．（2023·辽宁营口·中考真题）在ABCD Y 中，90ADB ∠=︒，点E 在CD 上，点G 在AB 上，点F 在BD 的延长线上，连接EF DG ，．FED ADG ∠=∠，AD DG k BD EF==．(1)如图1，当1k =时，请用等式表示线段AG 与线段DF 的数量关系______；(2)如图2，当k AD DE ，和DF 之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，当点G 是AB 的中点时，连接BE ，求tan EBF ∠的值．在AD 上截取DH DE =，连接HG ，∵FED ADG ∠=∠，∴()SAS DHG EDF ≌，∴135DHG EDF ∠=∠=︒，DF HG =，。
2014年中考数学二轮精品复习试卷(四边形)含答案解析
2014年中考数学二轮精品复习试卷：四边形1、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC2、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．803、正六边形的边心距与边长之比为A．B．C．1：2 D．4、如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5、如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为A．78°B．75°C．60°D．45°6、如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A．B．C．D．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为【】A．B．C．D．128、如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为【】A．14 B．15 C．16 D．179、如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为【】A．1 B．2 C．3 D．410、下列命题中是假命题的是【】A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为A．B．C．4 D．812、如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为A．cm2B．cm2 C．cm2D．cm213、下列命题中的真命题是A．三个角相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形14、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE、AC、AF，则图中与△ABE全等的三角形（△ABE除外）有A．1个B．2个C．3个D．4个15、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是【】A．∠BDC =∠BCD B．∠ABC =∠DAB C．∠ADB =∠DAC D．∠AOB =∠BOC16、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为【】A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm17、如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC 交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有【】个．A．2 B．3 C．4 D．518、顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是【】A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形19、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=A．B．C．2 D．120、如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。
中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数(解析版)
中考专练之四边形的计算与证明——四边形与三角函数三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．1. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．（1）求证：∠CED=∠DAG；（2）若BE=1，AG=4，求sin AEB∠的值．【答案】（1）见解析（2）15 4【解析】：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AD∥BC.∴∠CED =∠ADE.又∵点G是DF的中点，∴AG=DG.∴∠DAG =∠ADE.∴∠CED =∠DAG.(2) ∵∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG，∴∠AED=∠AGE.∴AE=AG.∵AG=4，∴AE=4.在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=15.∴15 sin4ABAEBAE∠==.2. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan ∠BDC=63．(1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长． 【答案】 （1）10 （2） 2【解析】 (1)在Rt △BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan ∠BDC= 63， ∴263CD . ∴CD= 6.∴由勾股定理得BD=BC 2+CD 2=10 .3. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E ，∠ABC ＝∠ACD ＝90°,AB ＝BC ＝26,tan ∠CDE ＝32. 求对角线BD 的长和△ABD 的面积.【答案】 （1）313（2）45 【解析】过点B 作BF AC ⊥于F∵90ABC ACD ∠=∠=︒, 62AB BC ==， ∴ 6BF AF CF ===90BFC ACD ∠=∠=︒∴BF ∥CD∴ FBE CDE ∠=∠ ∴ 2tan tan 3FBE CDE ∠=∠= 即23EF BF = ∴ 4EF = ∴2,3EC CD == ∴ 222264213BE BF EF =+=+= 22222313DE EC CD =+=+=∴313BD BE DE =+= (2) 114522ABD ABE ADE S S S AE BF AE CD ∆∆∆=+=⋅+⋅=4. 已知：如图，正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，联结CE. 求cos ∠ACE 和tan ∠ACE 的值.【答案】3101013【解析】过点E 作AC EF ⊥于点F ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC D BAD ,90︒=∠=∠平分BAD ∠， DC AD =．∴︒=∠45CAD ，AD AC 2=． ∵E 是AD 中点， ∴AD DE AE 21==．设x DE AE ==，则x DC AD 2==，x AC 22=，x CE 5=．在Rt △AEF 中，x CAD AE EF 22sin =∠⋅=，x EF AF 22==．∴x x x AF AC CF 2232222=-=-=．∴101035223cos ===∠xxCECF ACE ， 3122322tan ===∠xx CFEF ACE ．5. 如图，菱形ABCD 的对角线交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ，（1）求证：四边形OCED 是矩形;（2）若AD =5，BD =8，计算sin DCE ∠的值.【答案】 （1）见解析 （2）35【解析】（1） ∵DE ∥AC ，CE ∥BD ∴四边形OCED 是平行四边形 ∵四边形ABCD 是菱形∴ AC BD ⊥A BCDEF90DOC ∠=∴四边形OCED 是矩形 （2）∵四边形ABCD 是菱形，BD =8 ∴12OD BD ==4，OC=OA ，AD=CD ∵AD =5，由勾股定理得OC =3 ∵四边形OCED 是矩形 ∴DE=OC=3，在Rt △DEC 中，sin DCE ∠=35DE DC = 6. 已知：BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C =60°，AB =1，BC =33+，CD =23.（1）求tan ∠ABD 的值； （2）求AD 的长.【答案】 （1）1（213 【解析】(1) 作DE BC ⊥于点E . ∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =3， ∴3, 3.CE DE == ∵BC =33+，∴333 3.BE BC CE =-== ∴ 3.DE BE ==∴在Rt △BDE 中，∠EDB = ∠EBD =45º. ∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º， ∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º. ∴ tan ∠ABD =1. (2) 作AF BD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º, AB =1，2.2BF AF ∴==∵在Rt △BDE 中，3DE BE ==， ∴3.2BD =∴3.252222DF BD BF =-=-= ∴在Rt △AFD 中，22.13AD DF AF =+=7. 如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点、F 为AC 的中点，过点C 作CE //AB 交DF 的延长线于点E ，连结AE ．（1）求证：四边形ADCE 为平行四边形．（2）若EF =22，︒=∠︒=∠4530AED FCD ，，求DC 的长． 【答案】 （1）见解析 （2）2+32【解析】（1）证明：∵CE //AB ，∴∠DAF =∠ECF ． ∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ． 在△DAF 和△ECF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，CFE AFD CF AF ECF DAF ∴ △DAF ≌△ECF ． ∴ AD =CE ． ∵CE //AB ，H ABCEFD∴ 四边形ADCE 为平行四边形． （2）作FH ⊥DC 于点H ． ∵ 四边形ADCE 为平行四边形．∴ AE //DC ，DF = EF =22， ∴∠FDC =∠AED =45°． 在Rt △DFH 中，∠DHF=90°，DF =22，∠FDC=45°， ∴ sin ∠FDC=22=DFFH ，得FH =2，tan ∠FDC=1=HDHF ，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC=90°，FH =2，∠FCD=30°，∴ FC =4． 由勾股定理，得HC =32． ∴ DC=DH+HC=2+32．8. 如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值． 【答案】 （1）见解析 （27210【解析】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°， ∴∠DAE=45°． AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=．FBED90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图． 四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°． AB =14，DE =8，∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得 2210BE BC CE =+=．在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅= ．在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=7210BH BE =． 9.如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC 的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE .（1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值． 【答案】 （1）见解析 （2）45【解析】（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥，H FBAED∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. （2）解：作CF AB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =. 在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =. ∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴255AC BC CF x AB ⋅==. ∵1522CD AB x ==, ∴4sin 5CF CDB CD ∠==. 10. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作一条直线分别交DA 、BC 的延长线于点E 、F ，连接BE 、DF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =4，CF =1，∠ABC =60°，求sin DEO ∠的值． 【答案】 （1）见解析 （2）217（2）菱形ABCD ,60ABC ∠=∴BD AC ⊥4AB BC AD DC ==== 30ADO CDO ∠=∠=ADC 为等边三角形∴122AO AD ==, ∴23OD =作OM AD ⊥于M ∴122AO AD ==3OM =∴221AM OA OM =-= ∴2EM = ∴7OE =在Rt EOM ∆中，217sin DEO ∠=11. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E .E ODC（1）求证：BD=BE ；（2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值. 、【答案】 （1）见解析 （2）49【解析】(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ AC ＝BD ，AB ∥CD.∵ BE ∥AC ，∴ 四边形ABEC 为平行四边形.∴ BE ＝AC ＝BD.∴BD=BE(2) 解：过点O 作OF ⊥CD 于点F .∵ 四边形为矩形，∴ 90BCD ∠=︒.∵ 10BE BD ==，∴ 6CD CE ==. 同理，可得132CF DF CD ===. ∴9EF =.在Rt △BCE 中，由勾股定理可得8BC =.∵ OB=OD ，∴ OF 为△BCD 的中位线.∴ 142OF BC ==. ∴在Rt △OEF 中，4tan 9OF OED EF ∠==. 12.如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 做EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接O APD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．【答案】（1）见解析（2）2 5【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB =∠ABE =90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB =∠ABE =∠AFE=90°．∴四边形ABEF是矩形又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．（2）解：如图，过点P作PH⊥AD于H．∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．又∵AB=4，∴AH=PH=2．又∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP=25PHHD．HPFE CDAB。
中考总复习：四边形的有关计算与证明分类汇编
滚动小专题(八) 四边形的有关计算与证明1．(·长春)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G.(1)求证：BD ∥EF ；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴DF ∥BE.∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形．∴BD ∥EF.(2)∵四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ＝BE ＝4.∵DF ∥EC ，∴△DFG ∽△CEG.∴DG CG ＝DF CE. ∴CE ＝DF·CG DG ＝4×32＝6.2．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE 是平行四边形；(2)若AC ＝8，BD ＝6，求△ADE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD.∴AE ∥CD ，∠AOB ＝90°.又∵DE ⊥BD ，即∠EDB ＝90°，∴∠AOB ＝∠EDB.∴DE ∥AC.∴四边形ACDE 是平行四边形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，BD ＝6，∴AO ＝4，DO ＝3，AD ＝CD ＝5.又∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝5，DE ＝AC ＝8.∴△ADE 的周长为AD ＋AE ＋DE ＝5＋5＋8＝18.3．(2016·台州)如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H.(1)求证：△PHC ≌△CFP ；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.又∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC.∴∠CPF ＝∠HCP ，∠CPH ＝∠PCF.∵PC ＝PC ，∴△PHC ≌△CFP(ASA)．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°.∴四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形．S 矩形PEDH ＝S 矩形PFBG .4．(2016·遵义)如图，矩形ABCD 中，延长AB 至E ，延长CD 至F ，BE ＝DF ，连接EF ，与BC 、AD 分别相交于P 、Q 两点．(1)求证：CP ＝AQ ；(2)若BP ＝1，PQ ＝22，∠AEF ＝45°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)．∴CP ＝AQ.(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°， ∴△BEP 、△AEQ 是等腰直角三角形．∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE.∴PE ＝2BP ＝ 2.∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝3 2. ∴AQ ＝AE ＝3.∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ＝3，∴BC ＝BP ＋CP ＝1＋3＝4.∴S 矩形ABCD ＝AB·BC ＝2×4＝8.5．(2016·毕节)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△AEC ≌△ADB ；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．解：(1)证明：由旋转的性质得：△ABC ≌△ADE.∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD ，AC ＝AB ，∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC ＋∠BAE ＝∠DAE ＋∠BAE ，即∠CAE ＝∠DAB.在△AEC 和△ADB 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠CAE ＝∠BAD ，AC ＝AB ，∴△AEC ≌△ADB(SAS)．(2)∵四边形ADFC 是菱形，且∠BAC ＝45°，∴∠DBA ＝∠BAC ＝45°.由(1)得，AB ＝AD ，∴∠DBA ＝∠BDA ＝45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD 2＝2AB 2，即BD ＝2AB ＝2 2.∴AD ＝DF ＝FC ＝AC ＝AB ＝2.∴BF ＝BD －DF ＝22－2.6．准备一张矩形纸片ABCD ，按如图所示操作：将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点．(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD.由翻折得BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB ，∠C ＝∠DNF ，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF ＝90°.∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN.∴△EDM ≌△FBN(ASA)．∴ED ＝FB.∴四边形BFDE 是平行四边形．(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD ，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433. ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S △ABE ＝12AB·AE ＝233， S 矩形ABCD ＝AB·AD ＝4 3.∴S 菱形BFDE ＝43－2×233＝833.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝OC ，△ABC 是等腰直角三角形．在△ACF 中，AC ＝CF ，CF 平分∠ACF ，∴AE ＝EF.∴EO 为△AFC 的中位线．∴CF ＝2EO ＝2 2.∴AC ＝2 2.∴AB ＝AC 2＝2. (2)EM ＝12CN. 证明：∵CF ＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE ⊥AF.∴∠AEN ＝∠CBN ＝90°.∵∠ANE ＝∠CNB ，∴∠BAF ＝∠BCN.在△ABF 和△CBN 中，⎩⎨⎧∠BAF ＝∠BCN ，AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBN ＝90°，∴△ABF ≌△CBN(ASA)．∴AF ＝CN.∵∠BAF ＝∠BCN ，∠ACN ＝∠BCN ，∴∠BAF ＝∠OCM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∴∠ABF ＝∠COM ＝90°.∴△ABF∽△COM.∴CMAF＝COAB.∴CMCN＝COAB＝22，即CM＝22CN.由(1)知EO∥BC，∴△EOM∽△CBM.∴EOCB＝EMCM＝22.∴EM＝22CM＝22×22CN＝12CN.。
中考数学——四边形的证明与计算题专项练习
DCBA中考数学——四边形的证明与计算题专项练习1、如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB =6，AD =4，求BD 的长.2、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，求AC的长.3、如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A =120°， ∠C =60°，AB =5，AD =3． （1）求证：AD =DC ；（2）求四边形ABCD 的周长．4、如图，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE =2DE ，过点C 作CF ∥BE 交DE 的延长线于F ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若4CE =，120BCF ∠=°，求菱形BCFE 的面积．FEDCBA5、如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．6、如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接CF.（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）若∠CAF=45°，BC=4，△CAF的面积.7、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且12AEC ADC ∠=∠．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．（2）若DB⊥CB，∠BCD＝60°，CD＝12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．EOGAB CFB图1图2GDC BAEF8、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE 、BD 交于点F ，AE ＝AB . （1）若∠AEB ＝2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形. （2）若AB ＝10，BE ＝2EC ，求EF 的长.9、在平行四边形ABCD 中，AB =6， AD =9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG⊥AE 于点G，BG 求EFC 的周长.B4，∠DAB=90°，∠B=60°，AC⊥BC．（1）求AC的长．（2）若10、如图，在四边形ABCD中，AB=3AD=2，求CD的长．11、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F,且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，求AE的长.12、已知：如图，梯形ABCD中，AD=BC，F为BC的中点，AB=2，∠A=120°，过点F作EF⊥BC交DC 于点E ，且EF = 3 ，求DC 的长.14、如图，已知□ABCD ，E ，F 是对角线BD 上的两点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AE 垂直平分BC 且四边形AECF 为菱形时，直接写出AE ∶AB 的值.15、如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，∠EFB=60°，DC=EF ． （1）求证：四边形EFCD 是平行四边形；FE DCBA（2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．16、已知： 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点 .(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)若∠A =60°，AB=8，AD=4，求BD 的长 .17、如图，在四边形ABCD 中，BC AD //，25=AB ，4=BC ，连接BD ，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，且CD AE //． （1）求AD 的长；（2）若︒=∠30C ，求四边形ABCD 的周长．ED CBA。
中考数学一轮复习基础考点专题之《四边形》
第1题图
2. (2017陕西副题19题7分)如图，在□ABCD中，延长BA到点E，延长DC到点F，
使AE＝CF，连接EF交AD边于点G，交BC边于点H. 求证：DG＝BH.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠B＝∠D. ∴∠E＝∠F.(4分) 又∵AE＝CF， ∴BE＝DF.(5分)
(3)如图③，若四边形ABCD为平行四边形，F、G为对角线BD上的两点，且BF＝DG.
求证：AF＝CG.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠ABF＝∠CDG.
例1题图③
又∵BF＝DG，
∴△ABF≌△CDG(SAS)．
∴AF＝CG.
例2 已知一个正多边形的边数为n. (1)若该正多边形的内角和为1080°，则n＝___8_____，每个内角的度数为_1_3_5_°____； (2)若该正多边形的内角和是它的外角和的2倍，则n＝____6____； (3)若该正多边形每个外角的度数为40°，则这个正多边形的对角线有___2_7____条， 对称轴有___9_____条； (4)如图①，若n＝5，AC、AD是正五边形的两条对角线，则∠CAD的度数是__3_6_°__； (5)如图②，若n＝6时，得到正六边形ABCDEF，AB＝2，连接BD、BE，则△BDE 的面积为___2__3___．
∵AE∥BD，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，(6分)
∴∠CAE＝∠ACB.
∴AD＝CE.(7分)
∴∠B＝∠CAE.(3分)
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四边形ABDE为平行四边形，
第4题图
命题点 2 多边形的相关计算（5年4考）
5. (2016陕西12A题3分)一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数 是___8__． 6. (2015陕西12A题3分)正八边形一个内角的度数为__1_3_5_°___． 7. (2015陕西副题12A题3分)一个n边形的内角和为900°，则n＝___7_____． 8. (2016陕西副题12A题3分)如图，五边形ABCDE的对角线共有___5_____条．
2014中考复习备战策略_数学PPT_《四边形》阶段练习
A．15° C．25°
B．20° D．30°
解 析 ： 由 折 叠 ， 得 ∠ ADB ＝ ∠BDC ＝ 45° ，又 ∵AD∥BC， ∴∠ DBC＝∠ ADB＝ 45° ， ∴∠A′BD＝ ∠DBC－ ∠A′ BC＝45° －20° ＝25° .故选 C.
8．如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时 针旋转 45 度后得到正方形 AB′C′D′，边 B′C′ 与 DC 交于点 O， 则四边形 AB′OD 的周长是( A A．2 2 B．3 C. 2 D．1＋ 2 )
B.矩形 D．正方形
解析： 由平行四边形的性质及 EF⊥AC ，易得 △AOF≌△ COE，∴AF＝ CE，∴四边形 AECF 是平 行四边形． 再由线段垂直平分线的性质， 可得 AF＝ CF， ∴平行四边形 AECF 是菱形．故选 C.
11．(2013· 龙岩)如图，边长分别为 4 和 8 的两个 正方形 ABCD 和 CEFG 并排放在一起，连接 BD 并延 长交 EG 于点 T，交 FG 于点 P，则 GT＝( B )
4． 如图， 在△ABC 中，点 E，D，F 分别在边 AB， BC， CA 上，且 DE∥ CA， DF∥BA.
下列四个判断中不正确的是 (
D )
A．四边形 AEDF 是平行四边形 B．如果∠ BAC＝ 90° ，那么四边形 AEDF 是矩形 C．如果 AD 平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是 菱形 D． 如果 AD⊥BC 且 AB＝AC， 那么四边形 AEDF 是正方形
三、解答题 (共 36 分 ) 17．(6 分)(2013· 昭通 )如图，在菱形 ABCD 中， AB＝ 2，∠ DAB＝ 60° ，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点 (不与点 A 重合 )，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD， AN.
2014年中考数学四边形专题复习：四边形的证明与计算 (3)
第二讲：正方形、梯形训练学习（2）—2014年中考数学四边形专题三、正方形的学习例题1.（2013贵州铜仁，18，4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__________．例题2.( 2013年浙江省宁波市,12,3)勾股定理是几何中的一个重要定理，如图1是由边长相等的小正形和直角三角形构成的可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=900,AB=3,AC=4,D,E,F,G,H,I 都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为(A)90 (B)100 (C)110 (D)121相应练习一1.（2013四川内江，21，9分）如图11，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．2.（2013贵州贵阳，21，10分）如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E ,F 分别在BC 和CD 上.（1）求证：CE =CF ；（2）若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长.3．（2013深圳市 16 ，3分）如图，已知Rt ABC ∆中，ACB ∠=90，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形的对角线交于点O ，连接OC 。
已知 AC =5，OC =BC 的长为 。
四、梯 形 的 学 习例题3. （2013四川达州，8，3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF ∥AD ； ②S △ABO =S △DCO ；③△OGH 是等腰三角形；④BG =DG ；⑤EG =HF .其中正确的个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例题4. （2013南京市，22，8）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD =2，BC =4，求四边形EFGH 的面积.O H GF E DCB A相应练习二4. （2013四川内江，16，5分）如图8，四边形ABCD 是梯形，BD ＝AC且BD ⊥AC ，若AB ＝2，CD ＝4，则S 梯形ABCD ＝ .5.（2013湖北襄阳，23，7分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 的中点，BC ＝2AD ，EA ＝ED ＝2，AC 与ED 相交于点F ．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）当AB 与AC 具有什么位置关系时，四边形AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD 的面积．三、课后巩固1.（2013四川宜宾，14，3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE=2.（2013，黔东南州，10）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连结PD并将线段PD绕点P 顺时针旋转90º，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（）A、75ºB、60ºC、45ºD、30º3．（2013湖北黄冈，18，7）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M. 求证：AM⊥DF.4.（2013四川南充，19，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE＝∠B，PE交CD 于E.(1)求证:△APB∽△PEC;(2)若CE＝3,求BP的长.。
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第三讲：四边形的证明与计算—2014年中考数学四边形专题复习
一、小练习
1.（2013•荆州）如图，△ACE 是以□ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与
点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是（7，－
，则D 点的坐标是 .
2（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形， 顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ， 连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．
3.（2013•十堰）如图，▱ABCD 中，∠ABC =60°，E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，EF =
，则AB 的长是 ．
二、类型题解析
例题1（2013•铁岭）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE =OD ，连接AE ，BE ． （1）求证：四边形AEBD 是矩形；
（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．
4．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，点A 关于对角线BD 的对称点F 刚好落在腰DC 上，连接AF 交BD 于点E ，AF 的延长线与BC 的延长线交于点G ，M ，N 分别是BG ，DF 的中点． （1）求证：四边形EMCN 是矩形；
（2）若AD =2，S 梯形ABCD =，求矩形EMCN 的长和宽．
5（2013•北京）如图，在□ABCD 中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE =2
1
BC ，连结DE ，CF 。
（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形； （2）若AB =4，AD =6，∠B =60°，求DE 的长。
例题2。
（2013•长春）探究：如图①， 在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ,AE ⊥CD 于点E ．若AE =10,求四边形ABCD 的面积.
应用：如图②，在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，AB =AD ,AE ⊥BC 于点E .若AE =19，BC =10,CD =6,则四边形ABCD 的面积为 .
6.（2013•厦门））如图9，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点E ，若AE ＝4，CE ＝8，DE ＝3，
梯形ABCD 的高是36
5，面积是54. 求证：AC ⊥BD .
例题3．（2013•衡阳）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE ⊥BP ，C F ⊥BP ，垂足分别为点E 、F ，已知AD =4．
（1）试说明AE 2+CF 2的值是一个常数；
（2）过点P 作PM ∥FC 交CD 于点M ，点P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM 的值．
相应练习三
7. （2013•宁夏）在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE ⊥AB ，交AD 于E ，连结CE ，CP ．已知∠A =60°；
（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE ≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？
图9
E D
C
B
A
三、课后巩固
1.（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE =∠B
（1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB =8，AD =6，AF =4
，求AE 的长．
2（江苏省盐城市）如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75º，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ；
（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30º．求 DF
FC 的值．
3（2013•苏州）如图，点P 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，连接DP 并延长DP 交边AB 于点E ，连接BP 并延长交边AD 于点F ，交CD 的延长线于点G ． （1）求证：△APB ≌△APD ；
（2）已知DF ：F A =1：2，设线段DP 的长为x ，线段PF 的长为y ．
①求y 与x 的函数关系式； ②当x =6时，求线段FG 的长．
A
B
C
D
E 图1 A
B
C
D
E 图2
F。