备战2017高考黄金100题解读与扩展系列：专题2 排列问题 含解析
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题三 平面向量的垂直问题 含解析
I．题源探究·黄金母题【例1】已知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
不共线，错误！未找到引用源。
为何值时，向量错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
互相垂直？【解析】错误！未找到引用源。
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互相垂直的条件错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
．∵错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
．也就是说，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
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互相垂直．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅱ】已知向量错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．－8 B．－6 C．6 D．8【答案】D【解析】向量错误！未找到引用源。
，由错误！未找到引用源。
得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，故选D.【例3】【2015福建高考文】设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
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．若错误！未找到引用源。
，则实数错误！未找到引用源。
的值等于（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】由已知得错误！未找到引用源。
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，因为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，因此错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
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，故选A．【例4】【2015重庆高考文】已知非零向量错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
的夹角为（）A．错误！未找到引用源。
B）错误！未找到引用源。
C）错误！未找到引用源。
D错误！未找到引用源。
【答案】C【例5】【2015安徽高考理】错误！未找到引用源。
是边长为错误！未找到引用源。
的等边三角形，已知向量错误！未找到引用源。
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备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：3 诱导公式及其应用 含解析
I ．题源探究·黄金母题 【例1】化简：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【解析】原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2sin tan .cos παααπααααααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭=-=- 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第27页例4． 【母题评析】本题考查了本题考查了诱导公式．【思路方法】利用口诀熟记诱导公式：符号看象限，奇变偶不变．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为 ． 【答案】4 【解析】 试题分析：()2sin 3s 2,3in ,3x a bx a b c π⎛⎫-=+∴ ⎪⎝⎭=±=±．当,a b 确定时，c 唯一． 若2a =，3b =，则5π3c =；若2a =，3b =-，则4π3c =； 若2a =-，3b =-，则π3c =；若2a =-，3b =，则【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式；三角函数的图象和性质．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到,a b 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．2π3c =； 故有4种组合．【例3】【2015新课标全国I 卷】sin20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ） A．2-B．2 C ．12- D ．12【答案】D ． 【解析】 原()sin 20cos10cos20sin10sin 2010=︒︒+︒︒=︒+︒=．【命题意图】本题考查三角函数诱导公式、两角和与差的三角函数公式．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，考查考生的基础知识的识记、基本计算能力．【难点中心】解决问题的关键是观察20︒与160︒之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角． III ．理论基础·解题原理 三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：符号看象限，函数名称不变．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：符号看象限，正弦与余弦互换． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解． 【技能方法】（1）必须牢记特殊角的三角函数值，做到“见角知值，见值知角”；（2）求解三角函数值的关键是先观察角，后看函数名．一般顺序：负化正，大化小，小化锐角再计算． 【易错指导】（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号——脱周期——化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． （3）注意求值与化简后的结果尽可能有理化、整式化．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用诱导公式化简、求值【例4】【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模理科数】设,(0,)2παβ∈，且1t a n t a n c o s αββ-=，则（ ） A ．32παβ+= B ．22παβ+=C ．32παβ-=D ．22παβ-=【答案】D【例5】【2015-2016学年甘省天水一中高一下期末理科数学】已知3tan()4απ-=，且3(,)22ππα∈，则s i2πα+=（ ） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-【答案】A【解析】因为3tan()4απ-=，所以3sin tan 4cos ααα== ，又由22sin cos 1αα+= 可得4cos 5α=±，又因为3(,)22ππα∈，所以4cos 5α=-，sin()2πα+=4cos 5α-=故选A ．【例6】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例7】【2016届河北省衡水中学高三下六调文科数学】已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A．C． D ．k - 【答案】A 【解析】由于cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈ ⎪⎝⎭，因此()sin πα+=221cos 1sin k --=--=-αα，应选A ．【例8】【2016届安徽省淮南市高三下学期二模文科数学】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（ ） A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 【答案】D【解析】由题意得，sin()2sin()sin 2cos 2ππαααα-=-+⇒=-，所以tan 2α=-，故选D ．【例9】【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考文科数学】若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则t θ=（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3- 【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式可知21cos sin cos sin )cos(sin )2cos()sin(=-+=++-+-θθθθθπθπθθπ，显然0cos ≠θ，所以有211tan 1tan =-+θθ，可求得3tan -=θ，故正确选项为D ．【例10】已知sin()4πα-=-，sin 20α>，则tan α=________．【解析】sin()sin παα-==，sin 22sin 0,cos 0cos αααα=><，3cos 4α==-，sin tan cos 3ααα==． 【例11】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则3cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于________． 【答案】552±【解析】 点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，ααc o s 2s i n -=∴，又απαs i n )23c o s (=+∴，当点P 在第二象限时，1cos sin 22=+αα，即1s i n 41s i n 22=+αα，得552s in =α；当点P 在第四象限时，1c os sin 22=+αα，即1sin 41sin 22=+αα，得552sin -=α；故答案为552±．【例12】【2016届浙江省杭州高中高三上学期月考三理科数学】已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-=垂直，则2015cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 ．【答案】45-【例13】【2016届辽宁省实验中学分校高三上学期期中文科数学】已知(,)62ππα∈，且1sin()63πα-=，则=αsin _____，cos()3πα+=_____． 【答案】6223+，31-【解析】根据(,)62ππα∈，可以求得cos()6πα-=，从而有sin sin[()]sin()cos cos()sin666666ππππππαααα=-+=-+-1132==； 1cos()cos[()]sin()36263ππππααα+=-+=--=-．【例14】若3sin()25πθ+=，则cos2θ＝________．【答案】725-【解析】因为3sin()cos 25πθθ+==，所以27cos 22cos 125θθ=-=-．【例15】【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试文科数学】若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则)232cos(πα+的值等于 ．【答案】54-【解析】由题意得：tan 2α=-，)232cos(πα+2222sin cos 2tan 44sin 2.sin cos tan 1415ααααααα-=====+++ 【例16】若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____．【答案】5【解析】角α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义得sin α=，由诱导公式得cos()sin 2παα+=-=． 考向2 诱导公式的综合应用【例17】【2016届陕西省西安市铁一中学高三下学期开学考试文科数学】若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则si n c o s 22sin cos22παπαπαπα++-=--- （ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B【解析】()33sin ,sin 55παα+=∴=-，又α是第三象限角，4cos 5α∴==-，则si n c 22sin cos22παπαπαπα++----c o s s22cos sin 22αααα+=-222cos sin 1sin 22cos cos sin 22αααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==- 3115425-==--，故选B ． 【例18】【2016高考上海文科】设a ÎR ，[0,2π]b Î．若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足 条件的有序实数对(),a b 的对数为 （ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B【解析】5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,)3πa b =，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ．【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值．本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等．【例19】【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考文科数学】已知,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且 cos 2sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 2α等于______．【答案】3-【解析】因为cos 2sin 2παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以，22coscos 10αα+-=，解得1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得3πα=-，故tan tan 26απ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故答案为3-．【例20】【2016届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期末文科数学】函数)23sin()2(sin 223)2sin()2(sin 2cos 2)(223x x x x x x f --++-++-+=ππππ，则)3(πf = ．【答案】41-【解析】()x x x x x x f cos cos 223cos sin 2cos 2223++-++=，413432121223212322123223-=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 【例21】已知3110,tan 4tan 3παπαα<<+=-． （1）求tan α的值； （2）求)sin(4)2sin()2cos(4)sin()(ααπαπαπα----++=g 的值．【答案】（1）1tan 3α=-；（2）13-．【例22】已知sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α的值． 【答案】（1）αcos -；（2）562． 【解析】 试题分析：（1）()fα利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，即可得到结果；（2）已知等式左边利用诱导公式化简求出αsin 的值，再利用同角三角函数基本关系求出αcos 的值，即可确定出()αf 的值．试题解析：（1）sin()cos(2)tan()()tan()sin()f παπααπααππα---+=-----()ααααααcos sin tan tan cos sin -=⋅-⋅=；（2））∵α为第三象限角，且31cos()25πα-=，∴51s i n -=α，∴562s i n 1c o s 2-=--=αα，则()562cos =-=ααf ．【例23】已知)3tan()2cos()2sin()cos()2cos()sin()(απαπαπαππααπα++++--=f（1）化简()f α．（2）若α是第三象限角， 且31)sin(=+απ，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=（2）3-【解析】试题分析：（1）由三角函数诱导公式可求解()f α；（2）由1sin()3πα+=可得sin α，进而求得cos α得到()fα的值试题解析：（1）ααααααααcos tan )sin (cos )cos (sin sin )(=--=f ．（2）由31)sin(=+απ得31sin -=α，又已知α是第三象限角，.322)31(1cos )(2-=--==∴ααf【例24】已知()()()3cos cos 2sin 223sin sin 2f αααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππππ． （1）化简()fα；（2）若α是第三象限角，且31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π，求()f α的值． 【答案】（1）()cos f αα=-；（2）． 【解析】试题分析：（1）由题为三角函数的化简问题，可运用诱导公式进行变形化简；注意口诀（奇变偶不变，符号看象限）的准确运用；（2）由（1）化简已得，化简条件可得：运用诱导公式的正弦，求余弦可运用同角三角函数的平方关系，注意角的终边所在的象限决定角的正负．试题解析：（1）()()()3cos cos 2sin sin cos cos 22cos 3sin cos sin sin 2f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-+ ⎪ ⎪-⋅⋅-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫--+ ⎪⎝⎭πππ（）ππ； （2）31cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭π得：1s i n 5α=-，又若α是第三象限角，则：cos α==， 所 以()cos f αα=-= 【例25】化简： （1）sin 260cos800+．()sin80cos80sin cos tan 22a a a ππ-+-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）+()13sin cos tan 22a a a πππ⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）1-；（2）1-．【解析】（1）利用诱导公式化简已知条件，求解即可；（2）利用二倍角公式以及以下条件诱导公式化简求解即可． 试题解析：（1）原式=sin80cos80-+sin80cos80-+====﹣1．（2）∵tan （﹣α）=﹣tan α，sin （﹣α）=cos α，cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sin α，tan（π+α）=tan α，∴原式=+()1cos sin tan a a a⋅-⋅=+==﹣=﹣1．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：4 齐次式的应用 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知1tan 3α=-，计算：（1）sin 2cos 5cos sin αααα+-；（2）212sin cos cos ααα+．【解析】（1）1tan ,cos 0,3αα=-∴≠原式分子分母都除以cos α，得原式12tan 25315tan 1653αα-++===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）原式222sin cos 2sin cos cos ααααα+=+，分子分母都除以2cos α，得原式2211tan 110312tan 13213αα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第71页B 组习题第4题．【母题评析】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用．【思路方法】应用“1”的代换及商关系实现弦化切．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标3理数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B)4825 (C)1(D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或【命题意图】本题主要考查关于sin ,cos αα齐次式的应用，考查考生基本计算能力及转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，中等偏易．【难点中心】解答此类问题的关键是利用“1”的代换及商关系实现弦化切．34sin ,cos 55αα=-=-，2161264cos 2sin 24252525αα∴+=+⨯=，故选A ．III ．理论基础·解题原理（1）商数关系：sin tan cos ααα=；（2）平方关系：22sin cos 1αα+=． （2）利用22sin cos 1αα+=可以实现角α的正弦、余弦的互化；利用sin tan cos ααα=可以实现角α的弦切互化．（3）注意公式逆用及变形应用：2222221sin cos ,sin 1cos ,cos 1sin αααααα=+=-=-．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解，公式的活用．【技能方法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类典型题．【易错指导】这类题经常使用“1”的代换，即221sin cos αα=+，在使用时要注意根据问题的实际情况灵活处理，防止错误的代换． V ．举一反三·触类旁通 考向1 “弦化切”的运用【例3】【2016届宁夏银川二中高三5月适应性训练理科数学】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ）（A ）35- （B ）35 （C ）45 （D ）45-【答案】A【解析】222222sin tan 9sin sin cos tan 125αααααα===++，因为α为第四象限角，故3sin 5α=-． 【例4】【2015-2016学年湖南衡阳一中高一下期末数学】已知sin 2cos θθ=，则s i n ()c o s ()2s i n ()s i n ()2πθπθπθπθ+-+=---（ ）A ．2B ．2-C ．0D ． 23【答案】B【解析】因sin()cos()2sin()sin()2πθπθπθπθ+-+=---cos cos 2cos 2cos sin cos 2cos θθθθθθθ+==--- ，故应选B ． 【例5】【2015-2016学年河北冀州中学高一下期末理科数学】若()3sin 5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2【答案】B【解析】因为()3sin 5πα+=，α是第三象限的角， 34sin ,cos 55αα∴=-=-， ∴22231sin cos cos sin (cos sin )1sin 152222224cos 2sin cos cos sin cos sin 2222225παπααααααπαπαααααα++--+++=====------．故选B ．【例6】已知tan 3α=，则sin cos αα的值是 ． 【答案】310． 【解析】222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110αααααααα====+++．【例7】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学试卷】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12． 【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例8】【2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试文科数学】已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-_________．【答案】3【解析】对ααααcos sin cos sin -+的分子分母同时除以αcos ，可将正余弦化简为正切，sin cos sin cos αααα+=-31-2121-tan 1tan =+=+αα．【例9】【2015-2016福建师大附中高一下期中考数学】已知角α的的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin cos sin cos αααα+-的值等于 ．【答案】3【解析】由题设可知2tan =α，故sin cos sin cos αααα+-312121tan 1tan =-+=-+=αα．故应填3．【例10】【2016届宁夏银川二中高三三模拟理科数学】已知1cos 21sin cos ααα-=，则tan α的值为 ． 【答案】12【解析】21cos 22sin 2tan 1sin cos sin cos ααααααα-===，1tan 2α=． 【例11】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知3tan 2α=-，α为第二象限角．（1）求3sin()cos()tan()22tan()sin()παπαπααππα--+-----的值； （2+【答案】(1)13132；(2)2．考向2 “‘1’的代换”的运用【例12】【2015-2016福建师大附中高一下期中考】已知s i n 3c o s53c o s s i nαααα+=-，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A ．25 B ．2-5C ．-2D ．2 【答案】A 【解析】由已知sin 3cos 53cos sin αααα+=-可得2t a n =α，故2si ns i n c o sααα-52t a n 1t a n ta n 22=+-=ααα．应选A ． 【例13】【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷理科数学】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（ ）A． BCD． 【答案】A ．【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，cos sin αα-=，1tan cos sin 211tan cos sin 2αααααα--∴===++A ． 【例14】【2015-2016学年河北省武邑中学高二4月月考理科数学】若1tan 4tan θθ+=，则sin 2θ=（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】由1tan 4tan θθ+=有sin cos 4cos sin θθθθ+=，左边通分有22sin cos 4sin cos θθθθ+=，141sin 22θ=，所以1sin 22θ=，故选D ． 【例15】【2016届四川省南充高中高三4月模拟三理科数学】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ．【答案】310-． 【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例16】【2016届陕西省西北工大附中高三第四次考试文科数学】若tan 2α=，则sin cos αα=________．【答案】25． 【解析】22222222sin cos sin cos tan 22cos sin cos sin cos sin cos tan 1215cos αααααααααααααα=====++++． 【例17】【2015-2016学年山东省济宁一中高一下期中数学】若tan 3θ=，则2c o s s i nc o s θθθ+= _________．【答案】25． 【解析】t θ=，2222cos sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ+∴+=+221tan 132tan 1315θθ++===++． 【例18】【2015-2016学年江西省南昌市八一中学等高一上学期期末联考】已知A ，B ，C 三点的坐标分别是)23,2(),sin ,(cos ),3,0(),0,3(ππααα∈C B A ，若1A C B C⋅=-，则ααα2s i n s i n 2t a n12++=__________． 【答案】 59-【例19】已知tan 3α=，则3sin sin 2παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 ． 【答案】310-【解析】3sin sin 2παα⎛⎫-⎪⎝⎭222sin cos tan sin cos sin cos 1tan αααααααα=-=-=-++310=-． 【例20】【2015-2016学年山西大学附中高一下学期3月模块诊断】已知角α的终边经过点)1,1(-P ，（1）求sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++的值；（2）求212sin cos cos ααα+的值． 【答案】（1）61；（2）2-【解析】试题分析：（1）本题可由任意角三角函数定义直接求得αtan 值，然后利用诱导公式把原式化简，分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可；（2）利用平方关系将分子中的“1”化为αα22cos sin+，这样原式就化为了一个齐次分式，然后分式上下每一项都除以αcos ，代入αtan 值即可．试题解析：（1）∵角α的终边经过点()1,1P -∴1tan -=α， ∴sin 2cos()5sin()sin()2απαπαπα--+++=61tan 52tan sin cos 5cos 2sin =-+=-+αααααα；（2）212sin cos cos ααα+= 21tan 21tan cos cos sin 2cos sin 2222-=++=++ααααααα．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题六 圆与圆的位置关系 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③ 由③得12xy +=． 把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>， 所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交． （法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =； 圆2C 的圆心是点()2,2，半径长2r = 圆1C 与圆2C 的连心线的长为=圆1C 与圆2C的半径长之和为125r r +=之差为125r r -=而55<+，即1212r r r r <<-+， 所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 【答案】B【例3】﹙2014年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C【解析】圆2C 配方得()()223425x y m -+-=-，则圆心为()23,4C 250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)1=+9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2014年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可．由题意知两圆的圆心距5d ==，根 据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤， 所以m 的最大值为6，故选B ． 【例5】【2013重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）（ ）A ．4B 1C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为23C C ===PM PN +的最小值为23134C C --=，故选A ．【例6】【2012高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径 分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一 几何法判断圆与圆的位置关系判断圆心距d 与两圆半径R ，r （R ＞r ）的和与差的大小关系判断圆1C 与圆2C 的方程组22111222220x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数： ①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）； ③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）． 考点三 圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x yD xE yF +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题． 【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解． 【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错； （2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ：221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证． V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2016江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________．【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解． 【跟踪练习【2016黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．34 B ．43 C ．12 D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2d =≤，即2340k k -≤解得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ． 考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2016届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53【解析】两圆公共弦AB所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB =，∴OC AB ⊥，∴1OC AB k k ⋅=-，得53b =． 【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2017重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________. 【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2016江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(9x y -+=【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l 的距离1d ==，解得k =CD 的方程是23y x =-+，令0y =，解得D 坐标0)，4CD ==，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=．【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题． 考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2016浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF 的最小值是________．【答案】4【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF 取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22)4R ==．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2016海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．54C ．53D ．5 【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值是（ ）A ．5B ．0C ． 5D ．5－ 【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值．【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1C ．6- 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半 径为3，|PN PM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=> 【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =，2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>． 考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________．【答案】22320x y x +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=． 考向6 直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y q +++=都关于直线210x y --=对称，则sin cos q q =（ ）A ．25 B ．25- C ．637- D ．23-- 11 - 【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫-⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y --=,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222s in c 1,t a n 2s i n c a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y a x a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（ ）A 、6-B 、3- C、- D 、3【答案】C。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列专题三组合体的表面积与体积Word版含解析
专题三 组合体的表面积与体积I ．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm ，求球的体积．【解析】设球的半径为R ，由正方体与球的组合结构特征知，正方体的体对角线为球的直径，所以2R =，即R =，所以球的体积为343V R π=＝34)3π3． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ） A ．4π B ．92π C ）6π D ．323π 【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 【例3】【2016全国Ⅱ卷】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ） A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A ．【例4】【2014陕西高考】已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．323π B ．4π C ．2π D ．43π【答案】D【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故22R ==，即得1R =，所以该球的体积224441333V R πππ===，故选D ． 【例5】【2014全国大纲卷】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A【解析】由已知条件可知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为为E ,则OE 垂直棱锥底面，4OE R =-,所以2224R R -+=（）22R =，解得94R =，所以球的表面积24S R π==814π，故选A ． 【例6】【2013新课标I 卷】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．35003cm B ．38663cm C ．313723cm D ．320483cm 【答案】 A【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为2R -，则222(2)4R R =-+，解得5R =，∴球的体积为3453π⨯=35003cm ，故选A ． 【例7】【2013辽宁高考】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若A 34B AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ） A ．2173 B ．210 C ．213 D ．310 【答案】C【解析】由34AB AC AB AC ==⊥，，得5BC =，则知ABC ∆所在的球的截面圆的圆心在BC 的中点M 上，同理111A B C ∆所在的球的截面圆的圆心在11B C 的中点N 上，则球心O 为MN 的中点，故球的半径为R ==213．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第28页练习第2题．【母题评析】本题是球的正方体构成的组合体问题，因这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力．这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．【思路方法】根据所涉及到几何体组合的结构特征，寻求代表它们的几何量间的关系，通常建立方程简单的等式来求解，主要体现为方程思想与转化思想的应用．【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．III ．理论基础·解题原理考点一 棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的边形与个平行四边形组成；棱锥的展开图由一个边形与个共顶点三角形组成；棱台的展开图由两个相似的边形与个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c 、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋． 考点二 圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 考点三 柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是，高是的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高的积，即13V Sh =圆锥．特别地，底面半径是，高是的圆锥的体积是213V r h π=圆锥． 考点五 球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现． 【技能方法】1．当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解； 2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之． (2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法． 【易错指导】（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征而出现思维上的障碍； （2）不能正确建立两个几何量间的关系而致错．V ．举一反三·触类旁通考向1 球与棱柱的组合体【例8】【2016云南第二次统一检测】已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为,那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B C ．332πD【答案】A【解法指导】长方体（或正方体）外接球的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体（或正方体）的体对角线等于球体的直径．【跟踪练习】【2016山西适应性演练三】长方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的表面上，E 为AB 的中点，3=CE ，935cos =∠ACE ，且四边形11A ABB 为正方形，则球O 的直径为_____________． 【答案】4或51【解析】由于11//AC A C ，因此ACE ∠就是异面直线11A C 与CE 所成的角，即cos 9CE ∠=，设2AB a =，则BC =，AC ==22(93)923a a =++-⨯21a =或26a =．2222221193(2)97AC AC CC a a a =+=++=+， 所以14AC =O 的直径．【例9】【2016重庆市巴蜀中学上期期中】一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π 【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积244S R ππ==，故选C ．【解法指导】正方体内切球的组合问题，主要抓住的几何特征是：正方体的棱长等于球体的直径．【跟踪练习】【2016山西孝义市上期期末】边长为a 的正方体的内切球的表面积为________． 【答案】2a π【解析】内切球的半径2ar =，故内切球的表面积224a r S ππ==． 【例10】【2016浙江省绍兴县鲁迅中学上期期中】已知一个全面积为24的正方体，有一个与每条棱都相切的球，此球的体积为_____________．【答案】3【解析】由条件知正方体的棱长为2，对于球与正方体的各棱相切，则球的直径为正方体的面对角线长，即2R =R =343V r π==．【解法指导】正方体的每条棱球相切的组合问题，主要抓住的几何特征是：长方体的面对角线等于球体的直径．【跟踪练习】【2016巫山县期末】棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________．【答案】【例11】【2016山西太原二模】若正三棱住的所有棱长均为，且其体积为外接球的表面积是（ ） A ．83π B ．283π C ．3π D ．43π 【答案】B【解析】由题意可得，正棱柱的底面是边长等于的等边三角形，面积为60sin 21a a ⋅，正棱柱的高为，∴3260sin 21=⋅⋅a a a ，∴2=a ，取三棱柱C B A ABC '''-的两底面中心O ，O '，连结O O '，取O O '的中点D ，连结BD ，则BD 为三棱柱外接球的半径．∵ABC ∆是边长为的正三角形，O 是ABC ∆的中心，∴332332=⨯=BO ．又∵12121='='=A A O O OD ∴3213722==+=OD OB BD ．∴三棱柱外接球的表面积ππ32842=⨯=BD S ，故选B ．【技巧点拨】球内接正棱柱的组合体问题，主要抓住的几何特征：正棱柱的上下底面中心连线段的中点与正棱柱的顶点连线为球的半径．【跟踪练习】【2016华南师大附中5月】 已知直三棱柱111C C AB -A B 的个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，C 4A =，C AB ⊥A ，112AA =，则球O 的表面积为为（ ） A ．153π B ．160π C ．169π D ．360π 【答案】C【例12】【2016重庆一中高三下适应性】三棱柱111C C AB -A B 的各个顶点都在球O 的球面上，且C 1AB =A =，C B =1CC ⊥平面C AB ．若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ． 【答案】C【解析】由题意可知=43,S r ππ=∴=2球r 111C C AB -A B 的底面是边长为的等腰直角三角形，侧棱长为为长方体，可把其补为正四棱柱，则球的半径2r ===，所以1a =，所以三棱柱的体积111=111=222V V =⨯⨯⨯正四棱柱，故选C ． 【技巧点拨】球内接直三棱柱的组合体问题，如果棱柱底面是直角三角形，常常可采用补形法，即将直三棱柱补为一个长方体来解决，主要抓住的几何特征：补形的长方体的体对角线为球的直径．【跟踪练习】【2016江西赣中南五校下期2月第一次联考】一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若该球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D考向2 球与棱锥的组合体【例13】【2016云南玉溪市第三次质检】已知三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径2AD =，且,ABC BCD ∆∆都是等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（ ）A ．13 B ．4 C ．3 D ．12【答案】A【解析】取ABC ∆外接圆圆心F ，连接AD 的中点即球心O 与F ，由球的性质可知OF 与平面ABC 垂直，A BB ==．在R t A O∆中，1,AO AF ==，故OF ==．又2AD OA =，故D 到平面ABC的距离23h OF ==，因此21231333A B C DA CV V --===三棱锥三棱锥，故选A ．【方法点睛】球内接三棱锥的组合体问题，情况较多，须根据具体题型进行具体分析，如本题条件中已知很明确知道，球的直径为三棱锥的一条棱．【跟踪练习】【2016云南师大附中适应性】已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是（ ）A ．27B ．16C ．9D ．3 【答案】A【解析】设正四面体的外接球、内切球半径分别为,R r ，则3R r =．由题意34π13r =，则外接球的体积是3344π27π2733R r =⋅=，故选A ．【例14】【2017衡水中学高三摸底联考】在四面体S ABC -中，,2,AB BC AB BC SA SC SB ⊥======，则该四面体外接球的表面积是（ ）A ．BC ．24πD ．6π 【答案】D【解析】因为,AB BC AB BC ⊥==所以2AC SA SB ===，设AC 的中点为D ，连接AD ，则三角形SAC 的外心1O 为在线段AD 上，且1133DO AD ==，又三角形ABC 的外心为D ，又,SD AC BD AC ⊥⊥，所以AC ⊥平面SDB ，过D 垂直于平面ABC 的直线与过1O 垂直于平面SAC 的直线交于点O ，则O 为四面体外接球的球心，在三角形SDB 中，由余弦定理得cos 3SDB ∠=-，所以1sin sin()cos 2ODO SDB SDB π∠=∠-=-∠=111tan OO O D ODO =⨯∠=，设外接圆半径为R ，则2221132R SO OO =+=，所以246S R ππ==，故选D.【方法点睛】解答本题的关键：（1）由条件中垂直确定球心在平面ABC 上的投影为ABC ∆的斜边AC 中点；（2）由条件中垂直确定球心在平面SAC 上的投影为SAC ∆的外心；（3）由（1）（2）确定出球的球心．【跟踪练习】【2016山西太原市二模】已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，1SA =，那么三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．6πD ．5π 【答案】D【例15】【2016江西赣州市上期期末】在正三棱锥—V ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．【答案】【解析】由题意，设侧棱长为，底面边长为，∴2134V ABC V b -=⨯113232⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-，∴113232V ABCV -=⨯⨯＝＝2480b t -=>，3(48)()t f t t +=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t+-++-==，故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h ===【思路点睛】本题半球与三棱锥的组合体中的最值问题，解答时注意到球的半径为球心（底面三角形中心）到侧面的距离，然后通过建立函数来解决．【跟踪练习】【2016江西九江市下期三模】如图所示，半径为的球内切于正三棱锥ABC P -中，则此正三棱锥体积的最小值为_____________．【答案】38考向3 球与圆柱的组合体【例16】【2016湖南常德市石门一中期中】如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）A ．32，1 B ．23，1 C ．32，32 D ．23，32【答案】C【思路点睛】球外切于圆柱的组合体问题，解答时注意到球的直径为圆柱的高、底面直径相等．【跟踪练习】【2016容城县二模】半径为R 的球O 中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的表面积的比值为（ ） A ．34 B ．1 C ．43D ．2 【答案】D【解析】设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为α，则cos r R α=，圆柱的高为2sin R α，圆柱的侧面积为22sin 2R πα，当且仅当4πα=时，sin 21α=，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为22R π，球的表面积为24R π，球的表面积与该圆柱的侧面积之比为2:1，故选D ．考向4 球与圆锥的组合体【例17】【2016山西晋城市下期三模】，母线长为的圆锥的外接球O 的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．8πD ．16π 【答案】D32π．设该圆锥的底面加以为1O ，其半径为，球O 的半径为R ，则11O OR =-，222221(1)R OO r R =+=-+，解得2R =，所以球O 的表面积为2416R π=π，故选D ． 【思路点睛】球内接圆锥的组合问题，解答时抓住圆锥底面圆心与球心连线段、底面半径、球的半径间的勾股关系求解．【跟踪练习】【2016广东实验中学上期期末】一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥如右图，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为___________．【答案】3:1【例18】【2016上海金山中学下期期末】 已知三棱锥P ABC -，若PA PB PC ，，两两垂直，且 2PA =， 1PB PC ==，则三棱锥P ABC -的内切球半径为__________． 【答案】14【解析】由题意得，设三棱锥P ABC -的内切球的半径为，球心为O ，则B PAC O PAB O PACV V V ---=+O ABC O PBCV V --++，即1111211123233r r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＋1132r ⨯，解得14r =．【方法点拨】棱柱内切球的组合问题，通常利用球心到各面的距离为半径，将棱锥化为若干棱锥，利用其体积关系求解．【跟踪练习】【2016上海金山中学下期期末】如图，ABC ∆中，1,30,900==∠=∠BC A C ，在三角形内挖去半圆，圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于点N ，则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为_____________．【解析】阴影部分旋转一周构成的图形为一圆柱挖去一球剩余的部分1BC AC r =∴，球的体积为343V r π=，圆锥的体积为211133V Sh π==⨯⨯，因此所求体积为-．考向5 圆柱与棱柱的组合体【例19】【2016广东湛江市测试（二）】如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．圆柱侧面积为16π，其底面直径与母线长相等，则此三棱柱的体积为（ ）A ．B ．12C ．D ．【答案】C【名师点睛】圆柱与棱柱的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一直棱柱，圆柱柱与棱柱底面重叠，解答时利用棱柱底面多边形与圆柱底面半径间关系求解；（2）棱柱内一圆柱，它们底面重叠，圆柱侧面与棱柱侧面相切，解答时主要是利用棱柱底面多边形与内切圆的有关系求解．【跟踪练习】【2016盐湖区三模】圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形，已知圆柱的表面积为6π，且底面圆直径与母线长相等，则四棱柱的体积为_____________． 【答案】4【解析】设圆柱底面半径为R ，则高为2R ．因为圆柱表面积6π，所以2226R R πππ+=，解得1,22R R ==，所以四棱柱的体积为224V =⨯=．考向6 圆柱与圆锥的组合体【例20】【2016武汉市武昌区元月调研】 如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么A ．圆S 圆环SB ．圆S =圆环SC ．圆S 圆环SD ．不确定 【答案】B【名师点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决．【跟踪练习】如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题四 圆的方程求法 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上，求圆心为C 的圆的标准方程． 【解析】因为(1,1)A ，(2,2)B -，所以线段AB 的中点D 的坐标为31(,)22-， 直线AB 的斜率为21321AB k --==--， 因此线段AB 的垂直平分线l '的方程是113()232y x +=-，即330x y --=， 解方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =-⎧⎨=-⎩，即圆心坐标为(3,2)--，圆的半径5r ==，所以圆C 的标准方程为22(3)(2)25x y +++=． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年天津高考文】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为5，则圆C 的方程为___________． 【答案】22(2)9x y -+=【解析】设圆心为(,0),(0)C a a >，则由题意，得=，解得2a =，所以圆C 的半径为||3r CM =，故圆C 的方程为22(2)9x y -+=．【例3】【2016浙江高考卷】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______． 【答案】(2,4)--；5．【解析】由题意22a a =+，得12a =-或．当 1a =-时方程为224850x y x y +++-=，即22(2)(4)25x y +++=，圆心为(2,4)--，半径为5；当2a =时方程为224448100x y x y ++++=，2215()(1)24x y +++=-不表示圆．【例4】【2015北京高考卷】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【例5】【2015江苏高考卷】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________．【答案】22(1)2x y -+= 【解析】由题意得：半径等于=≤1m =时取等号，所以半径最大为r =22(1)2x y -+=．【例6】【2016陕西高考卷】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】22(1)1x y +-=【解析】因为圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为：22(1)1x y +-=．【例7】【2013重庆高考卷】设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ）A ．6B ． 4C ．3D ．2 【答案】B【解析】圆心为(3,1)M -,半径为 2.圆心到直线3x =-的距离为3(3)6--=，所以PQ 的最小值为624-=，故选B ． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第120页例3．【母题评析】本题已知三个条件圆的标准方程，解答时根据利用直接法分别求出圆心的坐标与半径，具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用直接法求圆的方程，即根据利用两条直径所在的直线首先求出圆心坐标，利用圆心到圆上的已知点求出圆的半径，进而求得圆的标准方程．【命题意图】本类题主要考查两条直线的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想的应用、分类讨论思想的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，既可以单独命题在选择题与填空题中考查，也可以出现在解答题一个小题中，涉及到知识难度中等．【难点中心】求圆的标准方程主要有两种方法：（1）直接法，该法的难度是如何确定圆心与半径；（2）待定系数法，此法的难度是如何建立关于参数,,a b r 或,,D E F 的方程．有时面临两种方法都可以利用，此时的难点是选择何种方法较为简捷．III ．理论基础·解题原理 考点一 圆的标准方程 1．标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-． 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+． 2．点与圆的位置关系：（1）设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：①点在圆内d r ⇔<；②点在圆上d r ⇔=；③.点在圆外d r ⇔>；（2）点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：①当22200()()x a y b r -+->，点在圆外； ②当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上； ③当22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．考点二 圆的一般方程一般方程220x y Dx Ey F ++++=．①当2240D E F +->时，方程表示圆，此时圆心为(,)22D E--，半径为r =； ②当2240D E F +-=时，表示一个点(,)22D E --； ③当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形．注：方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：0B =且0A C =≠且2240D E AF +->.IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题可单独命题在选择题与填空题中出现，也可以出现在解答题的第（1）题中．主要题型：（1）根据条件求圆的方程，难度中等；（2）根据圆的方程确定圆心与半径，难度较易． 【技能方法】（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心(,)a b 和半径r ；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得,,a b r 或,,D E F ．（3）利用待定系数法时，要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般式． 【易错指导】（1）若圆的方程222()()(0)x a y b r r -+-=>确定圆心时，易错误确定圆心为(,)a b ；（2）忽视二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件为2240D E F +->，使问题的解决建立在纸上谈兵上；（3）忽视圆方程中两个x y ，变量范围，往往会使问题造成多解． V ．举一反三·触类旁通考向1 构成圆的方程的条件【例8】【2016湖北省黄冈中学高三上第一次周测】点(1,0)A 在圆2222330x y a x a a +-++-=上，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．2或2- 【答案】B【易错提醒】对于含有参数的二次的方程220Ax By Dx Ey F ++++=是否表示一个圆，是须有条件限制的，即必须满足0A B =≠，且2240D E AF +->． 【跟踪练习】【2016武汉华中师大一附上期末】已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆，则该圆的半径r 的取值范围横___________．【答案】0r <≤． 【解析】要使方程表示圆，则22244(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>，即2244424364326464360m m m m m +++-+-->，整理得27610m m --<，解得117m -<<，r ==＝07r <≤．考向2 圆的方程求法【例9】【2016内蒙古包头市学业测试与评估二】过三点()()()0,0,1,1,4,2O M N 的圆的方程为__________．【答案】()()224325x y -++=【解析】设圆的方程为()()222x a y b r -+-=，其中0r >，将,,O M N 坐标分别代入222a b r +=①，()()22211a b r -+-=②，()()22242a b r -+-=③，分别将①代入②，③得1212a b -+-=，168440a b -+-=，化简1,25a b a b +=+=，所以2224,3,25a b r ab ==-=+=，所以圆的方程是()()224325x y -++=．【例10】【2016湖南永州市下期三模】已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()()()2,3,2,1,6,1A B C ----,以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点, 则圆的方程为（ ）A ．221x y +=B ．224x y += C ．22165x y +=D ．221x y +=或2237x y +=【答案】D【解析】依题意， 直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程，240x y +-=．点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>，又OA OB ====OC ==ABC 有唯一的公共点，则公共点为()0,1-或()6,1-，所以圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=或2237x y +=，故选D ．【方法归纳】求圆的方程主要有两种方法：（1）直接法：就是根据条件直接分别求出圆心(,)a b 和半径r ；（2）待定系数法：就是根据所给条件设出圆的标准式方程或一般式方程，然后根据条件通过建立方程组求得,,a b r 或,,D E F ．【跟踪练习】【2016云南玉溪市高三第三次质检】圆C 与直线0x y +=及40x y +-=，都相切，圆心在直线0x y -=上，则圆C 的方程为___________． 【答案】()()22112x y -+-=【解析】设圆心坐标为(),a a =，解得1a =，则r ==以圆C 的方程为()()22112x y -+-=． 考向3 圆中的最值问题【例11】【2016山东省临沂十八中三模】已知点()2,1A --，()1,5B -，点P 是圆C ：()()22214x y -+-=上的动点，则PAB ∆面积的最大值与最小值之差为___________．【答案】10【方法点拨】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件得到关于某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理．【跟踪练习】【2016重庆巴蜀中学高三3月月考】已知圆1)1()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-t t B t A ，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则t 的最小值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】D【解析】由题意得C 的圆心为(3,4)C ，半径为1r =．因为圆心到原点的距离为2OC =，所以圆C 上的点到原点O 的距离的最大值为3，又由90APB ∠=︒，可得以AB 为直径的圆与圆C 有交点，所以1t ≥，故选D ． 考向4 与圆有关的轨迹问题【例12】【2016宁夏银川一中上期第四次月考】点M 是圆224x y +=上的动点，点N 与点M 关于点(11)A ，）对称，则点N 的轨迹方程是___________． 【答案】22(2)(2)4x y -+-=【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()11,Q x y ’‘的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将11,x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然而整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法．一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法． 【跟踪练习】【2016河北省冀州市中学高三上开学考试】动点在圆221x y +=上移动时，它与定点(3,0)B 连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．22(3)4x y ++= B ．22(3)1x y -+= C ．22(23)41x y -+= D ．2231()22x y ++= 【答案】C【解析】设圆221x y +=上动点()11,Q x y ’‘，它与定点(3,0)B 连线的中点(),P x y ，由中点坐标公式得1130,22x y x y ++==，所以1123,2x x y y =-=， 因为()11,Q x y ’‘在圆221x y +=满足：22111x y +=，把1123,2x x y y =-=代入方程得()()222321x y -+=，选C ．考向5 关于特殊点与直线的对称问题【例13】【2016吉林省白城一中高三下4月月考】圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为___________． 【答案】1)1(22=++y x【解析】圆心()0,1关于直线x y -=对称的点为()1,0-，所以圆C 的方程为()1122=++y x ．【方法点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．本题根据圆的图象的对称性，将圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，转化为圆心在直线上是解题的关键．【跟踪练习】【2017成都市高中毕业班摸底】已知圆22:2410C x y x y +--+=上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，则实数m =___________． 【答案】1-【解析】因为圆22:2410C x y x y +--+=的圆心为()1,2，且圆上存在两点关于直线:10l x my ++=对称，所以直线过()1,2G ，即1210m ++=，解得1m =-．考向6 圆与其它知识的交汇【例14】【2017江西新余一中上期开学考试】已知圆22:20C x y x +-=,在圆C 中任取一点P ,则点P 的横坐标小于1的概率为（ ）A ．14 B ．12 C ．2πD ．以上都不对 【答案】B【例15】【2016宁夏六盘山二模】若直线()100,0ax by a b ++=>>过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值是（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】C【解析】圆228210x y x y ++++=的圆心(4,1)--在直线()100,0ax by a b ++=>>上，所以410a b --+=，即14a b =+，代入得1416()(4)816b aa b a b a b++=++≥（当且仅当4a b =时等号成立），所以14a b+的最小值是16，故选C ． 【题型点睛】圆与其它知识的交汇主要涉及：（1）通过圆中相关线段对应的向量满足的条件与平面向量发生联系；（2）由于圆可以围成一定的区域，因此常常与几何概型发生联系；（3）圆的线段间的大小关系、多个参数之间的等量关系等形式均可能与不等式知识发生联系． 【跟踪练习】【2016四川省成都七中高三3月第一周练】已知圆22:4O x y +=，直线l 与圆O 相交于点,P Q ，且2OP OQ ⋅=-，则弦PQ 的长度为___________．【答案】【解析】由题12cos 2cos 2OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=-⇒⋅∠=-⇒∠=-，则由余弦定理2222cos 12PQ OPOQ OP OQ POQ =+-⋅∠=，所以PQ =．【例22】设不等式组 4010x y y x x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋，－，－表示的平面区域为D .若圆C ：()222110()()x yr r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是()A．B．C ．D ．(0,(25,)+∞【答案】D。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题三 不等式恒成立问题 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】当k 取何值时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得20,3420,8k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩解得30k -<<． 所以当30k -<<时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第4页例3．【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考浙江理数】已知实数,,a b c （ ）A ．若221a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<C ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<D ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<【答案】D【解析】采用反例排除法：令10,110===-a b c ，排除此选项A ；令10,100,0==-=a b c ，排除此【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．选项B ；令100,100,0==-=a b c ，排除此选项C ，故选D ．【例3】【2014湖北15】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成．若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 ．【解析】10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】由已知得()0,331,a a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩解得106a <<， 即正实数a 的取值范围是10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【命题意图】本题综合考查函数的图像、函数奇偶性、分段函数、恒成立问题中的参数取值范围问题，考查学生分析问题与解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题．III ．理论基础·解题原理（1）()200ax bx c a ++>≠对一切x R ∈恒成立20,40.a b ac >⎧⇔⎨∆=-<⎩（2）()200ax bx c a ++<≠对一切x R ∈恒成立20,40.a b ac <⎧⇔⎨∆=-<⎩IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大． 【技能方法】若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．如果函数在区间D 上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系．【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论． V ．举一反三·触类旁通考向1 不等式的恒成立问题 【例4】【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数()()223,2x f x x x a g x x =-++=-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[),e -+∞B ．[)ln 2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【名师点睛】若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．【跟踪训练1】【2016全国大联考1课标I 卷】 已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈，6225)(23-++-=x x x x g ，)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．A ．2a ≤B ．1a ≤C ．1a ≤-D ．0a ≤ 【答案】B【解析】)13)(2(253)(2+--=++-='x x x x x g ，所以()g x 在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数0)2()(m a x ==g x g 0)(≥x f 在[)1,x ∈+∞上恒成立， 由[1,)x ∈+∞知，ln 0x x +>，所以0)(≥x f 恒成立等价于2ln x a x x≤+在[),x e ∈+∞时恒成立，令2()ln x h x x x =+，[)1,x ∈+∞，有()()'212ln ()0ln x x x h x x x -+=>+，所以()h x 在[)1,+∞上是增函数，有()(1)1h x h ≥=，所以1a ≤．【跟踪训练2】【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学理试题】若两个正实数x ，y 满足+=1，且x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B ．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C ．（﹣2，4）D ．（﹣4，2）【答案】D【解析】∵正实数x ，y 满足+=1，∴x +2y =（x +2y ）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x =4且y =2时x +2y 取最小值8，∵x +2y ＞m 2+2m 恒成立，∴8＞m 2+2m ，解关于m 的不等式可得﹣4＜m ＜2，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题． 考向2 恒成立与其他知识的交汇【例5】【2016押题卷1课标1卷】已知n S 是数列1{}2n n-的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________． 【答案】31λ-<<【名师点睛】不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等．【跟踪训练】【2106押题卷3课标1卷】设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对∀R ∈x 有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为 ．【答案】]1,(-∞【解析】令2)(2)(x x f x g -=，所以2)(2)(x x f x g --=-，所以22)]()([2)()(x x f x f x g x g --+=-+0=，所以函数)(x g 是奇函数，当0>x 时，02)(2)(>-'='x x f x g ，即)(x g 在),0(+∞是增函数，所以)(x g 在R 是增函数．由2)2()2(2)2(a a f a g ---=-，2)(2)(a a f a g -=，因为a a f a f 22)()2(-≥--，所以a a f a f 44)(2)2(2-≥--，所以22)(2)2()2(2a a f a a f -≥---，所以)()2(a g a g ≥-，即a a ≥-2，解得1≤a ． 故实数a 的取值范围为]1,(-∞．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题五 平面向量的夹角问题 含解析
I．题源探究·黄金母题【例1】若错误!未找到引用源。
是夹角为错误!未找到引用源。
的两个单位向量，则错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
的夹角为（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【解析】由题意，得错误!未找到引用源。
．错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
．错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
．错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
．所以错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，故选C．II．考场精彩·真题回放【例2】【2016全国新课标Ⅲ卷理】已知向量错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【答案】A【解析】由题意，得错误!未找到引用源。
＝错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
，故选A．【例3】【2015届重庆高考理】若非零向量错误!未找到引用源。
满足错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
的夹角为（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
【答案】A【例4】【2014全国新课标Ⅰ卷】已知错误!未找到引用源。
为圆错误!未找到引用源。
上的三点，若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
的夹角为_______．【答案】错误!未找到引用源。
【解析】由错误!未找到引用源。
，故错误!未找到引用源。
三点共线，且错误!未找到引用源。
是线段错误!未找到引用源。
中点，故错误!未找到引用源。
是圆错误!未找到引用源。
的直径，从而错误!未找到引用源。
，因此错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
的夹角为错误!未找到引用源。
．【例5】【2014山东高考卷文】已知向量错误!未找到引用源。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题三 不等式恒成立问题 含解析
难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】运用函数图像及其性质（数形结合）III．理论基础·解题原理（1）错误！未找到引用源。
对一切错误！未找到引用源。
恒成立错误！未找到引用源。
（2）错误！未找到引用源。
对一切错误！未找到引用源。
恒成立错误！未找到引用源。
IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大．【技能方法】若不等式错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上恒成立，则等价于在区间上错误！未找到引用源。
；若不等式错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上恒成立，则等价于在区间错误！未找到引用源。
上错误！未找到引用源。
．如果函数在区间错误！未找到引用源。
上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系．【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论．V．举一反三·触类旁通考向1 不等式的恒成立问题【例4】【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立，则实数错误！未找到引用源。
的取值范围是（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C【名师点睛】若不等式错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上恒成立，则等价于在区间上错误！未找到引用源。
；若不等式错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上恒成立，则等价于在区间错误！未找到引用源。
上错误！未找到引用源。
．【跟踪训练1】【2016全国大联考1课标I卷】已知函数错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的最大值为错误！未找到引用源。
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备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题三 不等式恒成立问题 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】当k 取何值时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？【解析】由已知结合二次函数的图像可得20,3420,8k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩解得30k -<<． 所以当30k -<<时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第4页例3．【母题评析】本题考查一元二次不等式恒成立参数取值范围问题．不等式恒成立问题，是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】合理运用二次函数的图像及其性质解题．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考浙江理数】已知实数,,a b c （ ）A ．若221a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<C ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<D ．若221a b c a b c ++++-≤，则222100a b c ++<【答案】D【解析】采用反例排除法：令10,110===-a b c ，排除此选项A ；令10,100,0==-=a b c ，排除此【命题意图】本题考查绝对值不等式的性质，属于创新题，有一定的难度．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．选项B ；令100,100,0==-=a b c ，排除此选项C ，故选D ．【例3】【2014湖北15】如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成．若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 ．【解析】10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】由已知得()0,331,a a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩解得106a <<， 即正实数a 的取值范围是10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭．【命题意图】本题综合考查函数的图像、函数奇偶性、分段函数、恒成立问题中的参数取值范围问题，考查学生分析问题与解决问题的能力． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解决此类问题的关键是运用函数图像及其性质（数形结合）解题．III ．理论基础·解题原理（1）()200ax bx c a ++>≠对一切x R ∈恒成立20,40.a b ac >⎧⇔⎨∆=-<⎩（2）()200ax bx c a ++<≠对一切x R ∈恒成立20,40.a b ac <⎧⇔⎨∆=-<⎩IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏大． 【技能方法】若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．如果函数在区间D 上不存在最值，那么也可以根据函数值域的端点值得出类似的等价关系．【易错指导】在一元二次不等式的恒成立问题中要特别注意二次项的系数，当这个系数是不确定的字母时，要分其大于零、等于零和小于零的情况进行讨论． V ．举一反三·触类旁通考向1 不等式的恒成立问题 【例4】【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数()()223,2x f x x x a g x x =-++=-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[),e -+∞B ．[)ln 2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【名师点睛】若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．【跟踪训练1】【2016全国大联考1课标I 卷】 已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈，6225)(23-++-=x x x x g ，)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．A ．2a ≤B ．1a ≤C ．1a ≤-D ．0a ≤ 【答案】B【解析】)13)(2(253)(2+--=++-='x x x x x g ，所以()g x 在[1,2]上是增函数，[2,4]上是减函数0)2()(m a x ==g x g 0)(≥x f 在[)1,x ∈+∞上恒成立， 由[1,)x ∈+∞知，ln 0x x +>，所以0)(≥x f 恒成立等价于2ln x a x x≤+在[),x e ∈+∞时恒成立，令2()ln x h x x x =+，[)1,x ∈+∞，有()()'212ln ()0ln x x x h x x x -+=>+，所以()h x 在[)1,+∞上是增函数，有()(1)1h x h ≥=，所以1a ≤．【跟踪训练2】【吉林省长春外国语学校2016届高三上学期期末数学理试题】若两个正实数x ，y 满足+=1，且x +2y ＞m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B ．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C ．（﹣2，4）D ．（﹣4，2）【答案】D【解析】∵正实数x ，y 满足+=1，∴x +2y =（x +2y ）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x =4且y =2时x +2y 取最小值8，∵x +2y ＞m 2+2m 恒成立，∴8＞m 2+2m ，解关于m 的不等式可得﹣4＜m ＜2，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题． 考向2 恒成立与其他知识的交汇【例5】【2016押题卷1课标1卷】已知n S 是数列1{}2n n-的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________． 【答案】31λ-<<【名师点睛】不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等．【跟踪训练】【2106押题卷3课标1卷】设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，对∀R ∈x 有2)()(x x f x f =+-，且在()+∞,0 上，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数a 的取值范围为 ．【答案】]1,(-∞【解析】令2)(2)(x x f x g -=，所以2)(2)(x x f x g --=-，所以22)]()([2)()(x x f x f x g x g --+=-+0=，所以函数)(x g 是奇函数，当0>x 时，02)(2)(>-'='x x f x g ，即)(x g 在),0(+∞是增函数，所以)(x g 在R 是增函数．由2)2()2(2)2(a a f a g ---=-，2)(2)(a a f a g -=，因为a a f a f 22)()2(-≥--，所以a a f a f 44)(2)2(2-≥--，所以22)(2)2()2(2a a f a a f -≥---，所以)()2(a g a g ≥-，即a a ≥-2，解得1≤a ． 故实数a 的取值范围为]1,(-∞．。
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I．题源探究·黄金母题 【例1】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复的三位数？ 【解析】解法1：由于在没有重复的三位数中，百位上数字不能为0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有19A种排法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个排在十位与个位，有29A种排法，根据分步计数原理，所求的三位数的个数为19A29A=9×9×8=648. 解法2：符合条件的三位数可分为三类，第一类，不含0三位数有39A个，第二类，十位为0的三位数有29A个，第三类，个位数为0的三位数有29A个，根据分类计数原理，所求的三位数的个数为39A+29A+29A=648. 解法3：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为310A，其中0在百位上的排列数为29A，所求的三位数的个数为310A-29A=648. 精彩解读 【试题来源】人教版A版选修2-3第19页例4． 【母题评析】本题考查利用计数原理和排列的概念、排列数公式计算排列问题，是基础题． 【思路方法】因为三位数百位上数字不能为0，思路1：先排百位数字再排十位与个位数字，再用分步计数原理计算所求数字个数；思路2：分三位数中的三个数字不含0、0在十位上、0在个位上三类分别求各类数字个数，再用三角形三边解三角形问题，先用余弦定理求出最大边所对的角，再用正弦定理解出其余两角．
II．考场精彩·真题回放 【例2】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A）24 （B）48 （C）60 （D）72 【答案】D
【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．. 【例3】【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560． 【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了24040391560A条毕业留言，故应填入1560． 【考点定位】排列问题． 【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题． 【例4】【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】C 【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：
“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由433A=24，故选D. 【例5】【2014四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 【答案】B 【解析】最左端排甲，有5!120种排法；最左端排乙，有44!96种排法，共有12096216种排法.选B.
【例6】【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是[ ] A.72 B.120 C.144 D.168 【答案】B 【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有 32132262224AAA[种]；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有
31113224622496AAAA[种]；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.
故选B. 【例7】【2013年高考大纲全国，理】6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 【答案】480 【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有44A种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245480AA（种）. 【命题意图】本类题问题主要考查利用利用排列的概念、排列数公式及计数原理计算与顺序有关的计数问题，考查考生阅读理解能力、运算求解能力和应用意识． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度为中等，考查对基础知识、基本方法的掌握程度． 【难点中心】解答此类问题的关键是．
III．理论基础·解题原理 考点一 排列的概念 从n个不同元素中取出m [mn]个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列 考点二 排列数的定义 从n个不同元素中取出m [mn]个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用mnA表示． 考点三 排列数公式 121mnAnnnnm=!!nnm，其中,nmNæ且mn
1221!nnAnnnn叫做n的阶乘，规定0!1.
IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题或概率、随机变量分布列大题的形式出现，难度为中等，有时也会与平面几何、立体几何等知识交汇． 【技能方法】 1.解答排列应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．[1]“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；[2]“分辨”就是辨别是对某些元素的位置有、无限制等；[3]“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；[4]“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列问题，然后逐步解决． 2.有限定元素（或限定位置）的排列问题，①元素优先法，即首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法；②位置优先法，即首先考虑特殊位置的安排方法，再考虑其他位置的排法；③间接法，首先求出不加限定条件的排列数，再减去不符合条件的排列数． 3.对多个限定条件的排列问题，常用树图法，即用树图或框图列出所有排列（或组合），从而求出排列数，适合限定条件在3个以上，排列组合问题. 4.对某些元素必须相邻排列问题，常用捆绑法，即先把这几个相邻元素捆在一起看成一 个元素，再与其他元素全排列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序． 5.对某些元素互不相邻排列问题，用插空法，即先将普通元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出若干个空挡插入这些特殊元素． 5.某些元素顺序一定排列问题，有三种解法，①逐一插入法，即先将这些“特殊元素”按指定顺序排列，再将“普通元素”逐一插入其间或两端；②消序法，即先将所有元素全排列，再将特殊元素在其位置上换位情况消去（通常除以特殊元素的全排列数），只保留指定的一种顺序；③优序法，即先从所有位置中按“特殊元素”个数选出若干位置，并把这些特殊元素按指定顺序排上去，再将普通元素在其余位置上全排列. 6.对数的大小顺序排列问题，用查字典法，即（1）先把每一个数字（符合条件）打头的排列数计算出来；（2）再找下一位数字. 【易错指导】 1.要区分计数问题是排列问题还是组合问题，与顺序有关的计数问题是排列问题，与顺序无关的计数问题是组合问题，如定序问题实际上组合问题. 2.在解排列问题时，首项要分析排列问题的类型，然后选择相应的解法解题.
V．举一反三·触类旁通 考向1 简单排列问题 【例1】【2017届贵州铜仁一中高三上学期入学模拟考试数学（理）】2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 种（用排列组合表示）． 【答案】181822AA
【方法指导】对必须相邻问题，常用“捆绑法”，先将必须相邻元素捆绑在一起看成一个元素，与其他元素排，再排相邻元素之间的顺序. 【跟踪训练】 【2016届黑龙江哈尔滨一中高三第二次模拟考试数学（理）】七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起， 则不同的排法有______． 【答案】192 【解析】不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有22A种站法，再取一人站左侧有2214AC种站法，余下三人站右侧，有33A种站法考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是192233221422AACA.故答案为192.
考向 2 一个特殊元素（位置）问题 【例2】【2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）】四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ） A．454446552AAAA B．45444655AAAA C．444445552AAAA D．44444555AAAA 【答案】A 【解析】四位男演员互不相邻可用插入法，有5456AA种排法，其中女演员甲站在两端的方法有44452AA，因此所求排法数为544456452AAAA．故选A．
【名师点睛】对有限制条件的排列问题，我们可以采用优先法、捆绑法、插空法、缩倍法等特殊方法，如本题中有“在”或“不在”等限制条件时，对这种特殊元素或位置首先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置，对不相邻问题，先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空档中． 【跟踪训练】 【2015-2016学年浙江台州市书生中学高二下学期期中】在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ． 【答案】60
考向 3 二个特殊元素（位置）问题 【例3】【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考试数学（理）】六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为 。 【答案】144 【解析】当所取四位数字不含0时，不同的四位奇数的个数为133472CA；当所取四位数字含0时，不同的四位奇数的个数为11232472CCA,所以不同的四位奇数共有144个.
【方法指导】对有两个限定条件的问题，常用分类计数原理，分成限定元素A在限定元素B