数列极限的方法总结
《数列极限》课件
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
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微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
极限的求解方法
极限的求解方法极限是数学中非常重要的一种概念，也是很多高等数学学科的基础。
它用于描述函数在某点处的变化趋势，具有重要的理论和应用价值。
下面将详细介绍极限的求解方法。
一、数列极限的求解方法数列是一组按照一定规律排列的数，数列极限是指当数列中的数趋近于某个值时，这个值被称为数列的极限。
数列极限可以通过以下方法求解：1. 夹逼准则法：如果一个数列存在两个单调递增（或单调递减）的数列，它们都趋近于同一个极限，那么这个数列也趋近于这个极限。
2. 单调有界准则法：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么这个数列必定收敛于某个极限。
3. 递推公式法：有些数列存在递推公式，通过不断迭代可以求出该数列的极限。
二、函数极限的求解方法函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于的一个限制，这个限制称为函数的极限。
函数极限可以通过以下方法求解：1. 直接代入法：将自变量代入函数中，计算得到函数的值。
2. 极限的四则运算法则：函数极限的四则运算法则是指根据函数极限的加减乘除法则，对函数极限进行四则运算，得出函数极限的值。
3. 夹逼准则法：对于复杂的函数，可以使用夹逼准则法来求解函数的极限。
三、级数极限的求解方法级数是指由无穷多个项相加或相乘所得到的结果。
级数极限是指当级数的项趋近于零时，级数的和趋近于的一个限制值，这个限制值称为级数的极限。
级数极限可以通过以下方法求解：1. 比较判别法：通过比较级数的通项和另一个级数的通项来判断级数的收敛性。
2. 级数收敛法：这种方法是通过对级数进行适当的变换，使得级数变得更容易计算，从而求出级数的极限。
3. 积分判别法：根据积分判别法，如果级数的通项能表示成某个函数的导数，那么就可以通过求这个函数在某个区间的积分来判断级数的收敛性。
以上就是极限的几种求解方法，希望能对您有所帮助。
数列极限求解的几种常用方法
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
数列极限证明题型及解题方法
数列极限证明题型及解题方法
数列极限证明题型主要包括单调有界数列的极限证明、递推数列的极限证明、函数极限与数列极限的关系证明等。
下面介绍一些常见的数列极限证明题型及解题方法。
1. 单调有界数列的极限证明：
设数列{an}为单调递增数列且有上界，要证明序列{an}收敛。
一般可采用以下两种方法之一：
- 利用单调有界原理：由于数列{an}为单调递增且有上边界，根据单调有界原理，该数列必定存在极限。
- 找到上确界和下确界：由于该数列有上界，可设上界为M，同时查找下确界，证明数列{an}的极限存在。
2. 递推数列的极限证明：
设数列{an}满足递推关系an+1 = f(an)，其中f(x)为已知函数。
一般可采用以下两种方法之一：
- 显式计算法：若递推关系能够推导出显式的解析表达式an = g(n)，则可通过计算g(n)的极限来证明数列{an}的极限存在。
- 极限迭代法：设数列{an}的极限为L，对递推关系an+1 =
f(an)两边同时取极限，得到L = f(L)，进而求得L的值。
3. 函数极限与数列极限的关系证明：
对于给定的函数f(x)，要证明该函数在某点c处存在极限L，可以采用以下方法之一：
- 利用数列极限定义：构造数列{an}，使得函数f(x)在点c附近的取值与数列{an}之间存在关系，然后利用数列的极限来证明函数的极限存在。
- 利用函数极限定义：对于给定的极限L，构造函数f(x)，使得当x趋近于c时，函数f(x)的极限趋近于L。
数学中的数列与级数极限判定方法
数学中的数列与级数极限判定方法数学中的数列与级数极限判定方法是数学分析中的重要概念和工具。
数列是一系列有序的数字排列，而级数是将数列中的各项进行求和得到的数值。
在数学中，我们常常需要判定数列与级数是否收敛或发散，进而研究它们的性质与行为。
本文将介绍数学中常见的数列与级数极限判定方法。
一、数列极限判定方法1. 有界性判定法：一个数列若有上界或下界，则称它是有界的。
若一个数列既有上界又有下界，则该数列有界。
当一个数列有界时，我们可以通过观察上下界来猜测它的极限。
2. 单调性判定法：若数列的前一项与后一项之间满足一定的大小关系，即前一项小于后一项或前一项大于后一项，则称该数列是单调的。
对于单调数列，我们可以通过观察其单调性来判断其极限。
3. 夹逼定理：夹逼定理是数列极限判定中常用的方法之一。
当一个数列同时被两个极限为相等的数列夹在中间时，夹逼定理成立。
4. 收敛数列的四则运算法则：若两个数列收敛，它们的和、差、积、商（除数不为零）仍然收敛，并且极限满足相应的运算法则。
5. 隔项相除法：当数列中的每一项都可以表示为前一项与其后一项的商时，我们可以通过隔项相除法判断数列的极限。
二、级数极限判定方法1. 比较判别法：比较判别法是判断级数敛散性的常用方法之一。
对于正项级数，我们可以通过比较级数项与已知敛散的级数项来判断级数的敛散性。
2. 极限判别法：当级数的项可以表示为某个数列的通项时，我们可以通过判别该数列的极限来判断级数的敛散性。
3. 部分和判别法：对于级数的部分和序列，我们可以通过判断其收敛性来判断级数的敛散性。
4. 交错级数的判别法：交错级数是指级数中的项交替正负的级数。
对于交错级数，我们可以通过其交错性质和项的递减性来判断其极限。
5. 绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么该级数称为绝对收敛。
如果一个级数本身收敛，但绝对值级数发散，那么该级数称为条件收敛。
通过数列与级数的极限判定方法，我们可以更好地理解数学中的数列与级数，研究它们的性质与行为。
求数列极限的方法总结及例题
求数列极限的方法总结及例题关于数列极限的几个有关问题： 1、定义在数学中，数列极限是指对数列的各项，分别取某个确定的量x(一般是正数或0)时，对数列的极限。
数列的极限是很重要的概念，也是整个数学的一个非常重要的概念。
2、怎样求n个数？分成两种情况：第一种情况，已知数列的前n项和为c，求其极限n(n是自然数)就是一项一项去求；第二种情况，对数列的每一项取自然数a，则该数列的极限就是这个数列与取极限的那个自然数a之差的绝对值。
如果是已知前n项的和，且满足条件1， 2， 3，…， n，则一次可以把它们写成几个递减的数列的和。
对数列求极限，实际上是对数列中未知数的求导数，用高中阶段所学的求导方法即可。
3、能不能用分类讨论法来证明数列？可以的。
但需要你对数列有比较全面的了解。
如果只是熟悉数列，想通过直接求极限来证明，显然行不通。
但是如果是通过给数列分类，利用分类求和公式证明也是可以的。
如果数列中出现了极限，则说明数列发生了变化。
数列的极限就是该数列与取极限的那个自然数a之差的绝对值。
所以我们可以先将数列进行分类，再分别求出每一类的极限，利用它们之间的关系进行推理证明。
当然还可以借助等比数列的前n项和公式求出数列的极限。
4、数列中的项，怎样才可以取到最大或最小值呢？我们认为，对于任意给定的数列，数列的极限都不会出现两个，并且最大或最小的数都是唯一的，而不是任意取的。
因此，如果数列中存在两个极限，则只能从这两个极限中选取一个。
也就是说，取极限时，我们可以根据极限的性质进行取舍。
5、数列中的某些数据怎样才可以取到最大或最小值呢？我们认为，数列极限都是取到极限中的某一个数，而不是在极限中取最大或最小值。
数列中的数据最大或最小值就是极限值的两倍。
也就是说，对于数列最大或最小值，我们可以用两个不同的数据取它的最大或最小值，从而取到两个不同的极限值。
例如，如果数列中存在两个极限，且两个极限都是1，则数列极限只能取1，但是对于数列的某些数据，如果数据是2， 4， 8，…，则我们完全可以用数据是2取它的极限值。
求数列极限的几种典型方法
求数列极限的几种典型方法首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正整数N ，使得当nN 时有ε<-a an，则称数列{}a n收敛于，定数则称为数列{}a n的极限，并记作a a a an nn →=∞→或lim （∞→n ）。
若数列没有极限，则称{}a n不收敛，或称{}a n为发散数列。
下面我们来研究求数列极限的几种方法：方法一：应用数列极限的定义 例一：证明01lim=∞→nn α，这里为正数。
证明：由于nnαα101=-故对任给的0>ε，只要取111+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=εαN ，则当N n >时就有εαα<<Nn11这就证明了01lim=∞→nn α。
用定义求数列极限有几种模式： （1）0>∀ε，作差a an-，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取()εf N =或() ,1+=εf N（2）将a an-适当放大，解出()εf n >；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。
方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a nn,都以为极限，数列{}c n满足：存在正整数N,当Nn 0>时有：b c a nnn≤≤则数列{}c n收敛，且a cnn =∞→lim 。
例二：求数列{}nn 的极限。
解：记h an n nn +==1，这里0>h n （)1>n ，则有h h nnn n n n 22)1()1(-⋅>=+ 由上式的120-<<n h n )1(>n ,从而有 12111-+≤+=≤n h a n n 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因为任给的0>ε，取ε221+=N ，则当N n >时有ε<--+1121n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞→n n n 。
方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。
求数列极限的各种方法
求数列极限的各种方法说实话求数列极限这事，我一开始也是瞎摸索。
我试过很多方法，现在就跟你唠唠。
首先就是直接代入法。
有时候数列那表达式特简单，就像有个数列An = n + 1，当n趋向于某个数，比如n趋向于3的时候，直接把3代进去就行，得到极限是4。
这就相当于你找东西，东西就在明面儿上，直接拿就行。
但这个我也犯过错，有一次看见数列表达式带个分母，我也没想就直接代，结果分母为0了，那肯定不对啊，所以代之前还得看看分母会不会出现0这种情况。
然后就是很重要的一种方法，叫极限的四则运算法则。
我就感觉这像是搭积木一样，一块一块垒起来。
比如说有两个数列An和Bn，它们极限都存在，那An + Bn的极限就等于An的极限加上Bn的极限。
像An = 2n，Bn = 3n，它们极限是正无穷，那2n + 3n 的极限也是正无穷，这就符合四则运算法则。
但是这里得小心哦，要是分母的极限为0的时候，就不能直接用法则了，这方面我可吃过亏呢。
我之前做题，看到两个式子就直接用法则，没注意分母极限，算出来结果完全错了。
还有一种我觉得挺神奇的方法是夹逼准则。
想象有三个人挤在一个小过道里，中间那个人只能在两边人固定的空间里活动。
比如说数列An，Bn，Cn，满足Bn <= An <= Cn，当n趋向于无穷的时候，Bn和Cn的极限都是A，那An的极限也是A。
我曾经做过一个题，数列An = sin n / n，我当时就想找到它两边能夹住它的数列。
我发现-1/n <= sin n / n <= 1/n，而-1/n和1/n当n趋向于无穷的时候极限都是0，所以sin n / n 的极限就是0。
另外，单调有界准则也很有用。
就好比一个数列是一条永远在一定范围内波动，而且还是单调变化的线，那它肯定是有极限的。
比如数列An+1 = √(An + 2)，A1 = 0，要先证明这个数列是单调递增的，再证明它有上界，就能得出极限存在了。
不过证明单调和有界有时候挺麻烦的。
数列与数列极限计算总结
数列与数列极限计算总结数列是指一系列按照某种规律排列的数的集合。
在数学中，数列是研究数学性质与计算的重要工具之一。
数列的极限是指数列中的数随着项数的增加，逐渐趋于一个确定的值。
一、等差数列与等比数列1. 等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差保持恒定。
设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1) * d在计算等差数列的极限时，根据公式可以得到极限的计算方法。
如果公差d为正数，且在无穷大的范围内，d的绝对值小于1，则极限为无穷小。
若公差d为正数，且在无穷大的范围内，d的绝对值大于1，则极限为正无穷。
若公差d为负数，则极限为负无穷。
2. 等比数列等比数列是指数列中每一项与前一项的比保持恒定。
设首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n - 1)在计算等比数列的极限时，也可以根据公式进行计算。
若公比r的绝对值小于1，则极限为0；若公比r的绝对值大于1，则极限为正无穷或负无穷，具体情况取决于首项a₁的正负。
二、数列极限的计算方法1. 数列极限的定义数列的极限是指当数列中的数随着项数的增加无限逼近某一特定值时，该特定值即为数列的极限。
数列极限的计算是数学分析的重要内容之一。
2. 极限计算的基本方法（1）代入法：对于一些简单的数列，可以直接代入项数n，计算出极限的值。
例如等差数列和等比数列。
（2）递推关系法：通过给定的递推公式，利用项数的迭代来计算数列的极限。
例如Fibonacci数列。
（3）夹逼准则法：对于一些较为复杂的数列，可以运用夹逼准则来计算极限。
夹逼准则是指通过夹逼数列，找到一个趋于极限的数列，并证明该数列与原数列极限相等。
（4）数列展开法：将数列表示为一定函数的展开形式，然后运用函数的性质来计算极限。
三、举例与总结1. 等差数列举例∙ 1, 4, 7, 10, 13, ...对于该等差数列，首项为1，公差为3，可以通过代入法计算极限。
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求数列极限
数学科学学院数学与应用数学
11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇
摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。
关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。
求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。
夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。
泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。
还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了
1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N，当n〉N 时,都有Xn ? a < ε ,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为lim Xn = a . n→∞例1: 按定义证明lim 1 = 0. n →∞n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令1/n< ε ,则让n> 即可, ε存在N=[ 立, 1 ε ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε成1 = 0. n →∞ n!
2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例2: 求lim ,其中a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以lim
3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N, 当n>N 时, 有Xn ≤Yn ≤Zn, 且lim Xn = lim Zn = a , 则有n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞例3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数n,显然有1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而→ 0 , → 0 ,由夹逼性定理得n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n
4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例4.求极限lim n ，此时n →∞ a + 2 有，令解：若5.单调有界原理
4. 例
5.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限。
，易知｛｝递增，且≤2. 显然。
中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在边取极限得即解之得=２或=-１明显不合要求，舍去，从而
5.
6. 6.先用数学归纳法,再求极限. 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例6:求极限lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设S * = ? ?L? 则有S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S<S* S * = 2n + 1 = 0 再由夹逼性定理,得2 n + 1 n →∞ 2 n + 1 1 ? 3 ? 5 ? L ? ( 2n ? 1) =0 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n sin x 1
7. 7.利用两个重要极限lim = 1 , lim (1 + ) x = e . x →0 x → +∞ x x 2 例7:求lim (1 + ) x x → +∞ x x x 2 1 解: 原式= lim (1 + ) 2 ? (1 + ) 2 = e ? e = e 2 x → +∞ x x
8. 8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限. , lim 例8:求lim x→+ 而0 < S < 1 1 1 + x sin x ? 1 ex ?1 2 解:当x → 0 的时候, x sin x → 0 , 1 + x sin x ? 1 ~ 而此时, e x ? 1 ~ x 2 ,所以x sin x 1 原式= lim = x →0 2 x 2 2 0 ∞
9. 9.用洛必达法则求极限.适用于和型0 ∞ 1 ? cos x 例9:求lim x →0 x2 0 解: 是待定型. 0 1 ? cos x sin x 1 = lim lim = 2 x →0 x →0 2 x 2 x
10. 10.积分的定义及性质1p + 2 p + 3 p + L + n p 例10:求lim ( p > 0) n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim ( p > 0) = lim ∑ ( ) p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设f ( x ) = x ,则f (x ) 在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f (ξ i ) = ( ) p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1
11. 11.级数收敛的必要条件. 2 x sin x . 2 设∑ u n 等于所求极限的表达式, 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的n =1 n =1 ∞∞极限为0. 例11:求lim n → +∞ n! nn ∞ u 1 1 n! = <1 ,则lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n (1 + ) n n n! 所以该级数收敛,所以lim n =0 n → +∞ n
12. 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。
sin 5 x ? sin 3 x 例12. 求lim x →0 sin 2 x 解：? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x
13. 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。
(?1) x 例13：求lim x 的值x→∞ 2 ?1 解：奇数列为lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为lim x =0 x→∞ 2 (?1) x 所以lim x =0 x→∞ 2
14. 14．利于泰勒展开式求极限。
解:设∑ u n = 例14.求lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4 ) 1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 + ) 5 ? (1 ? ) 5 ? (令t= ) x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t ) ? ?1 ? t + o(t )? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t ) 5 ? (1 ? t ) 5 ? = t → +0 t t 5 ? ? 15. 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。
利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。
1 例15：求lim 2 sin x 的值x →∞ x 1 是无穷小量，而lim sin x 是有界变量，所以x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x。