武汉理工概率论和数理统计考试符答案

D.
Xi ∑ i
=1
2
~ χ 2 (n).
三. (12 分) 已知随机变量 X 的概率密度为
f ( x) = Ae − x , − ∞ < x < +∞. 求：
(1) 常数 A ；
(2) P{0 < X < 1} ;
(3) Y = X 的概率密度.
四. (12 分) 某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80，10，10 件.现从中随机抽取一件，记
果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为 1/3，1/12 和 1/4，乘飞机不会迟到.结果他迟到了， 求他是乘汽车去的概率.
2. (10 分)
据以往经验，某种电子设备的寿命服从均值为 100 小时的指数分布. 现随机地取 16 台，设它们

的寿命是相互独立的. 试用中心极限定理求这 16 台设备的寿命总和大于 1920 小时的概率.
4.
要检验的假设为
H 0 : µ = 70 T=
H 1 : µ ≠ 70 ；
拒绝域为
检验统计量为
X −µ ~ t ( n − 1) ； S n
| x − 70 | = | 66.5 − 70 | 15 36
t ≥ tα 2 (n − 1) ；
计算统计值得
| t |=
s
n
= 1.4 ；
查表知
tα 2 (n − 1) = t 0.025 (35) = 2.0301；执行统计判决 | t | = 1.4 < 2.0301 = tα 2 (n − 1) ，
，则 P ( B | A) =
3． 设随机变量 X ~ N ( µ , σ 2 ) (σ > 0) ， 且二次方程 y 2 + 4 y + X = 0 有实根的概率为 0.5， 则µ = 4．设随机变量 X 与 Y 相互独立，其中 X ~ π (3) （泊松分布） ， Y ~ N ( 0 , 2 ) ，则 D ( X − 2Y ) =
i =1
θ −1
, ln L(θ ) =
n n ln θ + ( θ − 1) ∑ ln x i . 2 i =1
似然方程为
n d ln L(θ ) n 1 ˆ=( = + (∑ ln xi ) ⋅ = 0 ,解得 θ 的极大似然估计量为 θ dθ 2θ 2 θ i =1
n
n
)2
i
∑ ln X
i =1
且 E ( X 1 X 2 ) = 0 ，故 因此
Cov ( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 X 2 ) − E ( X 1 ) E ( X 2 ) = −0.08. D ( X 1 ) D ( X 2 ) = − 0.08
0.16 × 0.09 = − 2 3 .
ρ X 1X 2 = Cov ( X 1 , X 2 )
4
五、 1. 令 A = {开会迟到 }， B1 、 B2 、 B3 、 B4 分别表示某人乘火车、轮船、汽车、飞机到武汉.. 则由全概率公式 有 P ( A) =
∑ P ( B )P ( A | B ) = 0.2 × 1 3 + 0.1 × 1 12 + 0.3 × 1 4 + 0.4 × 0 = 0.15
二. 单项选择题： （每空 3 分，共 12 分） 1. 设 F1 ( x) 与 F2 ( x ) 分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数，为使 F ( x) = aF1 ( x ) − bF2 ( x ) 是某一随机变量 的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 A. a = 3 5 , b = − 2 5 ; B. a = 2 3 , b = 2 3 ;
X1
0 1
X2
0 0.1 0.8 0.9
1 0.1 0 0.1
p i•
0.2 0.8 1
p• j
（2）
由（1）知： X 1 ~ B(1, 0.8), X 2 ~ B(1, 0.1) ，则
E ( X 1 ) = 0.8, E ( X 2 ) = 0.1; D( X 1 ) = 0.16, D( X 2 ) = 0.09.
标准差为 s = 15 (单位:分).问:在显著性水平 α = 0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩 为 70 分?
5. (6 分)
某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件进行检验. 如发现其中的次品
2
数多于 1，就去调整设备. 以 X 表示一天中调整设备的次数，求 E ( X ).
故接受 H 0 ，即认为这次考试的平均成绩为 70 分. 5. 令 Y 表示每次检验中发现的次品件数，则 Y ~ B(10, 0.1) . 设 A = {调整设备} ，于是
P ( A) = P{Y > 1} = 1 − P{Y ≤ 1} = 1 − P{Y = 0} − P{Y = 1}
1 = 1 − (1 − 0.1)10 − C10 × 0.1 × (1 − 0.1) 9 = 0.264
（结果保留三位小数）
试题标准答案
1. 3 8 ， 二、 1.A 2. 3 4 ， 2.B 3. 4， 3.D
+∞ +∞ −∞ 0
4.
19， 4.D
5.
2，
6. （21.52, 23.48）.
三、 （1）由 (2)
∫
+∞
−∞
f ( x )dx = ∫ Ae −| x | dx = 2 A∫ e − x dx =1 ,得 2 A = 1, 即
故 X ~ B( 4, 0.264). 从而
E ( X ) = 4 × 0.264 = 1.056, D( X ) = 4 × 0.264 × (1 − 0.264) = 0.777.
则
E ( X 2 ) = D ( X ) + [ E ( X )] 2 = 0.777 + 1.056 2 = 1.892
2
ˆ = aX 是参数 θ 的无偏估计，则 a = 5．设 X 1 , X 2 ,⋯ , X n 是总体 X ~ U (0, θ ) 的简单随机样本， θ
置信度为 0.95 的置信区间为 .
6. 某批钢球的重量 X ~ N ( µ , 4) ，从中抽取容量 n = 16 的简单随机样本测得 x = 22.5（单位：g）.则 µ 的
1 −x 1 e dx = (1 − e −1 ) . 0 2 2
1
A =1 2 .
P{0 < X < 1} = ∫
（3） 由 FY ( y ) = P{ Y ≤ y} = P X ≤ y 得
−y
{
}
当 y ≤ 0 时： FY ( y ) = 0 ⇒ f Y ( y ) = 0
−y
当 y > 0 时： FY ( y ) = P {− y ≤ X ≤ y} = F X ( y ) − F X ( − y ) ⇒ f Y ( y ) = FY′ ( y ) = f X( y ) + f X ( − y ) = e
⎧1, 抽到 i 等品, Xi = ⎨ (i = 1, 2, 3) . 0 , 其他 , ⎩
求：(1) 随机变量 X 1 与 X 2 的联合分布律和边缘分布律; (2) 随机变量 X 1 与 X 2 的相关系数.
五. 计算题：(共 46 分) 1. (10 分) 某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为 0.2，0.1，0.3 和 0.4.如
i i i =1
由 Bayes 公式得
P ( B3 | A) =
P ( B3 ) P ( A | B3 ) 0.3 × 1 4 = = 0.5 P ( A) 0.15
2.
令 X i 表示第 i 台电子设备的寿命，则由题意知： X i ~ E (0.01) , 故 X i 相互独立，且
E ( X i ) = 100 ， D ( X i ) = 100 2 ， (i = 1, 2, ⋯,16) . 由中心极限定理有
C. X 与 Y 相互独立;
B. f Y ( y ) = ⎨
⎧ ⎪2 1 − y 2 π , | y |≤ 1 . 其他 ⎪ 0, ⎩
.
D. 以上答案都不对.
3. 设随机变量 X 与 Y 的期望和方差存在，且 D ( X − Y ) = D ( X ) + D (Y ), 则下列说法不正确的是 A. D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ); B. E ( XY ) = E ( X ) E (Y );
⎧e , y > 0, f Y ( y) = ⎨ y ≤ 0. ⎩ 0, 四、 （1）设 Ai = {抽到 i 等品}( i = 1,2,3) ，则 P{ X 1 = 0, X 2 = 0} = P ( A3 ) = 0.1 ，
即
P{ X 1 = 0, X 2 = 1} = P ( A2 ) = 0.1， P{ X 1 = 1, X 2 = 0} = P ( A1 ) = 0.8 ， P{ X 1 = 1, X 2 = 1} = P(φ ) = 0 .
3.（10 分） 设总体 X 的概率密度为 f ( x ) = ⎨
θ −1 ⎧ , 0< x <1 ⎪ θx ， (θ > 0). X 1，X 2， ⋯，X n 是来自总 ⎪ 0 , 其它 ⎩
体 X 的一个简单随机样本，求未知参数 θ 的矩估计量和极大似然估计量. 4. (10 分) 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩 x = 66.5 ,
武汉理工大学考试试题纸（
题号 题分 课程名称 概率论与数理统计 一 二 三 四 五 六 18 12 12