分数阶拉普拉斯的定义
高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
L [sit]n dtarc t t an arc stan
t s t2 1
s2
或
L [stit]n s t2 d 1 令 tt u 11 s 0 1 d u 2u 0 1 s1 d u 2u aru c0 1 s ta arnc 1 st
第三节 拉氏逆变换的运算
❖ 重点：拉氏逆变换的求法 ❖难点：拉氏逆变换的求法
5. 积分性质: L[f(t)]F(s) ,( s 0 ) ，且 f ( t ) 连续，则
L[1f(x)dx]L[f(t)]F(s)
0
s
s
性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数
的拉氏变换除以参数 s .
性质5可以推广到有限次积分的情形：
n次
t t
L[ dt dt 00
t 0
f(t)dt]Fs(ns)
(s1)2 3
(s1)2 3
24
24
f(t)e2 t co3 st3e2 t sin 3t
2
2
例2
求
F(s)s2
s3 3ss
的拉氏逆变换。
解： 先将F (s) 分解为两个简单分式之和，
s 3 s 3 AB s2 3 ss (s 1 )s( 2 ) s 1s 2
其中AB为待定的常数，上式两边同乘以(s1)s(2)，得
1 s
1 ss
e as
1 s
n!
(s ) n1
13
et sin t
14
et cost
15
tet sint
16
tet cost
17
sht
(s )2 2
s (s )2 2
2(s ) [(s )2 2 ]2
拉普拉斯系数
拉普拉斯系数
拉普拉斯系数（Laplacian coefficient）是描述流体力学中速度场局部变化的一个量，通常用来分析流体的流动特性和速度场的平滑程度。
在二维情况下，拉普拉斯系数的定义为：
L(x, y) = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²
其中，u是速度场的分量函数，∂²u/∂x²表示u对于x的二阶偏导数，∂²u/∂y²表示u对于y的二阶偏导数。
在三维情况下，拉普拉斯系数的定义为：
L(x, y, z) = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²
拉普拉斯系数可以用来描述速度场的变化率，当拉普拉斯系数的值小于零时，表示速度场的变化趋势是向着流动方向趋近于平缓的；当拉普拉斯系数的值大于零时，表示速度场的变化趋势是向着流动方向加大的。
在流体力学中，拉普拉斯系数的正负和数值大小可以用来判断流动的稳定性和速度场的平滑程度，是流体力学分析中的重要参数之一。
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
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N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
返 回
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
第二篇积分变换1拉普拉斯变换
j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1
rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|
rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
tf (t ) e d t
st 0
这就表明, F(s)在Re(s) > c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s) > c内是解析的.
14
G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经 常应用的G-函数定义为 利用分部积分公式可证明
Γ (m) e t
u
e
rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1
t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C
O
1
s
m 1
D
1
v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1
BC
u e du
m
u
s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
F ( s)
0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.
数学物理方法1课件——第六章 拉普拉斯变换
解：按照拉普拉斯变换的定义，有
∫ ∫ ∞ sin ωt e− ptdt = 1
0
2i
∞ 0
⎡⎣e−(
p −iω
)t
− e−( p+iω)t ⎤⎦ dt =
1⎡ 1
2i ⎢⎣ p − iω
−
p
1
+ iω
⎤ ⎥⎦
=
ω p2 +ω2
sin ωt
U
ω p2 +ω2
类似地，有
∫ ∫ ∞ cosωt e− ptdt = 1
f (n) (t) U pn F ( p) − pn−1 f (0) − pn−2 f (1) (0) − ... − f (n−1) (0)
通过拉普拉斯变换，把原函数的微商运算转化为像函数的乘法 运算，而且还自动包括了原函数的初值。
例2 已知函数f(t)满足如下二阶常微分方程
d 2 f (t) + ω2 f (t) = 0
∞
∑ f (x) = cneiknx n=−∞
∫ 其中kn=nπ/l 为波数
cn
=
1 2l
l f (x)e−iknxdx
−l
¾ 实数形式的傅里叶积分变换
∞
∞
f (x) = ∫0 A(k) cos(kx)dk +∫0 B(k) sin(kx)dk
其中
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
=
−
1
0
p
∞ tde− pt
0
=
−
1 p
⎡⎢⎣te− pt
∞ 0
−
∞ 0
e−
pt
dt
⎤ ⎥⎦
分数阶微积分的产生及演变
四 Caputo分数阶微积分
五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。
拉普拉斯变换-维基百科
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换(又名拉式转换)。
基本定义
如果定义：
∙是一个关于t的函数，使得当时候，；
∙是一个复变量；
∙是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分
；是的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知，求解的过程。
用符号表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的；
是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有的个别点的实部值。
拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。
也就是说，必须是在对于的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当趋于无穷大的时候，
是指数阶地变化。
拉普拉斯变换的基本性质
∙线性叠加
∙微分
∙时域
∙频域
∙积分
∙初始值定理
∙终值定理
, 所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。
如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是
不定义的(例如：或)。
∙s移动
∙t移动
注: 表示阶跃函数.
∙n次幂移动
∙卷积
变换简表
原函数转换后函数
收敛区域
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯(Laplace)定理
§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 310120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。
电路原理第14章 拉普拉斯变换
③单边指数信号ｅ－atε(t)
5
6
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根据以上介绍的拉氏变换的基本性质，可以方便地求出一些常用 时间函数的像函数。
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25
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的电流i(t)。
67
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图14.26
图14.27
图14.28
69
3
应用拉氏变换法分析线性电路的方法称为复频域分析法，又称为s 域分析法和运算法。式(14.1)中积分下限用0－，是考虑到f(t)中可能
包含冲激函数及其各阶导数，从而给分析计算存在冲激电压和电流的
电路带来方便。一般情况下，认为0和0－是等同的。本书中的拉氏变 换均为单边拉普拉斯变换。 如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数f(t)，由F(s)到f(t)的 变换称为拉氏反变换，它的定义为 (14.2) 式中ζ为正的有限常数。
式(14.1)称为f(t)的单边拉普拉斯变换，它是一个含参量s的积分，把关
于以时间t为变量的函数变换为关于s为变量的函数F(s)，即拉普拉斯 变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复频域函数F(s)，一般 称F(s)为f(t)的像函数，f(t)为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称为拉氏 变换。
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第八章拉普拉斯变换
时没有意义，或者不需要知道
的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这
就限制了傅里叶变换应用的范围．
第四页，共五十二页。
(t )
为了解决上述问题而拓宽(tuò kuān)应用范围，人们发现对于任意一 个实函数(hánshù) ，可以经过适当地改造以满足(mǎnzú)傅氏变换的基本
条件．
首先将函数
变换(biànhuàn)的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式．
实际上
的拉氏变换，就是
的傅氏变换.因此，当
满足傅氏
积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，
第二十四页，共五十二页。
在连续点处
等式(děngshì)两端同乘 ，并注意到这个(zhège)因子与积分变量
无关(wú。
逆变换的积分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求
法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．
第二页，共五十二页。
8.1 拉普拉斯变换(biànhuàn)的概念
本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、 常用函数(hánshù)的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质．
8.1.1 拉普拉斯变换(biànhuàn)的定义
wéi)
第五十二页，共五十二页。
第四十四页，共五十二页。
在满足(mǎnzú)
条件(tiáojiàn)下是一致收敛的．
性质(xìngzhì)9 拉氏变换的卷积定理
(1) 定义(dìngyì) 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当
是
上绝对可积函数时，它们的卷积是
第四十五页，共五十二页。
如果(rúguǒ)当
这是由实函数(hánshù)
通过(tōngguò)一种新的变换得到的复变函数，
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分数阶拉普拉斯的定义
分数阶拉普拉斯的定义：
分数阶拉普拉斯（Fractional Laplacian）是一种常见于分数阶微分方程中的一种微分算子。
与常规的二阶拉普拉斯算子不同，分数阶拉普拉斯可以广泛应用于描述非局部、非线性和尺度不变的现象。
分数阶拉普拉斯算子的定义可以通过其傅里叶变换来表示。
对于定义在整个实数轴上的函数f(x)，其分数阶拉普拉斯算子可以表示为：
(-△)αf(x) = Cα, dα/dx∫(-∞ to ∞) (f(x)-f(y))/|x-y|^(1+α) dy
其中，(-△)α表示分数阶拉普拉斯算子，α是分数阶参数，取值范围为(0,2)，Cα是常数，dα/dx表示微分。
分数阶拉普拉斯算子可以看作是将函数f(x)在无穷远处的振幅进行平均化的一种操作。
分数阶拉普拉斯的定义使得我们能够更好地描述一些具有长程非局部相关性的现象。
例如，在扩散过程中，分数阶拉普拉斯可以描述更宽范围的扩散行为，而不仅仅局限于常规的二阶扩散。
此外，分数阶拉普拉斯还可以应用于描述分形结构、材料科学、金融建模、图像处理等领域。
在这些领域中，分数阶拉普拉斯提供了一种更为准确和全面的数学工具，帮助我们理解和解决与非线性、非局部性质相关的问题。
总结而言，分数阶拉普拉斯是一种在分数阶微分方程中常用的微分算子。
其定义通过傅里叶变换给出，并用于描述具有非局部、非线性和尺度不变性质的现象。
分数阶拉普拉斯的广泛应用使得我们能更好地理解和分析分形结构、扩散过程、金融模型和图像处理等领域中的问题。