数学建模 微分方程模型ppt课件
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微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
微分方程稳定性理论 数学建模课件
dX F(X ) dt
的一
的一个 ~ (i 1..n) 为动力系统的一个奇解。 平衡点,则 xi (t ) x i
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 平衡点 在对一个动力系统的定性分
~ ~ ~ T ~ X ( x , x x ) 1 2 n 若 为动力系统
dX ~ F(X) X 统 dt 的平衡点 是局部（渐近）稳定的。
dX ~ ~ A( X ) ( X X ) dt
t
dX ~ X 对平衡点 局部（渐近）稳定性的判别，只须对原微分方程 dt F(X)
的右端项取一阶Taylor展式，构造线性动力系统
~ f i ( X ) ~ A ( X ) a 讨论，其中 ij x j
dX a11 a12 22 AX 其中 A R a dt 21 a22
平衡点类型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心 稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
下表给出其平衡点O(0,0)的类型和稳定性
i i 1 2 n
1 2 n
T
数学建模与模拟
X ( t ) ( x1 ( t ), x2 ( t ) xn ( t ))T 称n 维空间Rn 为相空间， 在相空间确定的曲线称为相轨线,简称轨线。
~ ~ ~ 称点 X ( x1 , x2 ~ xn )T 为动力系统 ~ 个平衡点 ，若 f i ( X ) 0(i 1..n)。
对于二维平面中（二阶方程）的情形，根 据平衡点的局部拓扑性状可将其分为结点、 焦点、鞍点以及中心等四类，其中鞍点、 中心这两种类型的平衡点是不稳定的，而 结点、焦点类型的平衡点还可以分为稳定 与不稳定的两种情形。
4-微分方程建模实例——Malthus模型与Logistic模型-课件PPT
23
于是，
N0 N (t)e (tt0 ) r[e (tt0 ) 1].
若此画是真品，t - t0 ≈ 300 (年) . 从而可求出 λN0 的 近似值. 对油画《在埃牟斯的门徒》具体计算如下：
N0 N (t)e300 r[e300 1]
由于半衰期: T ln 2 ,
于是， ln 2 .
4.1. 人口增长模型 4.2. 赝品的鉴定 4.3. 耐用新产品的销售速度问题 4.4. 传染病模型
1
4.1 人口增长模型
世界人口增长概况
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
马尔萨斯(1766～1834) Malthus，Thomas Robert
4
模型假设： • 人口增长率 r 是常数. • 人口的数量本应取离散
值，但由于人口数量一 般较大，为建立微分方 程模型，可以将人口数 量看作连续变量，甚至 允许它为可微变量，由 此引起的误差将是十分 微小的.
5
模型构成：
设 x(t) 表示 t 时刻的人口，有
16
• 六十年后，美国记者、专栏作家乔 纳森·洛佩兹(Jonathan Lopez)出 版了《制造维米尔的人》(The man who made Vermeers) 一书. 在书中，洛佩兹表达了对那个时代 荷兰人民的体谅：“荷兰人对米格 伦的态度并非不可理解. 在二战中， 这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复 也是在盟国的帮助下完成. 米格伦 给了未能主宰自身命运的荷兰人内 心深处想要得到的东西. 而对于 ‘欺骗’这种事情，他又是太熟谙 了.”
第4章微分方程建模ppt课件
c13,c21
4.2.2 一阶微分方程的求解方法
1 可分离变量的微分方程
形式：
dy f (x)g(y) dx
分离变量法：（1）分离变量 dyf(x)d,x(g(y)0)
g(y)
（2）两边积分 g(1y)dy f(x)dx
（3）求积分 G (y)F(x)C（ C 为任意常数 ）
其中G ( y)和F(x)分别是 1 和 f ( x) 的原函数.
解 >> dsolve('Dy=a*y','x')
ans = C1*exp(a*x) %通解
>> dsolve('Dy=a*y','y(0)=b','x')
ans =
b*exp(a*x) %特解
例3
dx
求微分方程组
dt dy
y x
的通解。
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解 >> [x,y]=dsolve('Dx=y','Dy=-x');
解: 原方程是一阶线性非齐次微分方程，用通解公式（6）可得
yed(x 2x2e xedd x xC )
ex(2xx ed xC)
2e2x(x1)Cxe
4.3 用MATLAB解微分方程
4.3.1 微分方程（组）的解析解
命令：dsolve(‘eqn1’, ‘eqn2’,…，‘var’)
功能：求微分方程或微分方程组的通解.
如果一个函数代入微分方程后, 方程的两端恒等, 则称此函数为该微分方 程的一个解. 如
y 1x2 和 y 1x2 都是一阶微分方程 dy x 的解. dx y
微分方程建模.ppt
d2x dy 2
dy dt
(H
感y谢)你的dd观yx看
dy dt
ve
dx dt
22
即有
d2x dy 2
dy dt
(H
y)
ve
把式(3.1)写为 dy dt
vw
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
dy dx
2
1
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
轴指向正北方。
2019年8月21
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20
当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H)， 其中H=120（km）。
设导弹在t时刻的位置为 P(x(t),y(t))，由题意,
2019年8月21
dx dt
2
dy dt
2
v2
感谢你的观看
(3.1)
21
2019年8月21
感谢你的观看
12
6、模型求解
• 使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包 括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解 而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解 结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数 据的稳定性或灵敏度分析等。
2019年8月21
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dt
dt
vet
x
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
(3.2)
(3.3)
x(0) 0, y(0) 0
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
微分方程模型.ppt
利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
cy
k ky y M Mຫໍສະໝຸດ cyf(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
d y (t ) dy M c ky (t ) f (t ) 2 dt dt
2
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
y 0 y
y0
df dx
f ( x)
x0
We get Δ y=kΔ x Or y=kx
A
y kx
x
x0 x0 x
非线性系统的线性化
请列出系统的微分方程并线性化。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin
Does not satisfy the superposition property
and
(3)
yx
2
When
x x0 x
y y0 y Equation (2) can be rewritten
as
y0 y kx0 kx b
We have
y kx
or
y kx
Linearization of Weak Nonlinear Characteristic
Linearization using Taylor series point( Equilibrium Position)
expansion about the operating
The output-input nonlinear characteristic of y=f(x) is illustrated in the following figure:
05微分方程模型导弹跟踪PPT课件
实现该算法的程序如下：da.m H=120; ve=90; vw=450; lamda=ve/vw; n=4; %将y的变化区间[0,H]进行等分，可取n=4,8,…,240 h=H/n; x(1)=0; p(1)=0; y=0:h:H;
dy
在分割区间 [yk , yk+1] 上进行积分计算，有
xk1 dx yk1 pdy
xk
yk
xk1xkyykkhpdyhkp
xk1xkhp k
第二个方程可同样处理。设导弹到达(xk , yk) 处的时 刻为tk , 那么得到计算的迭代格式。
xk1xkhp k 3.15
pk1
pk
h
1 pk2
第五讲 常微分方程模型 导弹跟踪问题
问题一、导弹跟踪问题
一、的
本试验主要涉及常微分方程，通过实验复习微分方 程的建模和求解；介绍两种微分方程的数值方法：Euler 法和改进的Euler法；并介绍仿真方法.
二、问题
某军队一导弹基地发现正北方向120km处海面上有 敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立 即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h。自动 导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌艇。试问导弹在 何时何处击中敌艇？
A(0,H)
B(L,H)
*
H L12
vH w 2 w vvvee2
（3.10）
O
P(x,y)
x
而导弹击中敌艇的时刻
T
L ve
Hvw vw2 ve2
（3.11）
将数据H=120(km), ve=90(km/h), vw=450(km/h) 代入(3.10)、 (3.11)式，得到
L=25(km), T≈0.2778(h)=13分钟
[理学]数学建模竞赛课件---微分方程模型
这说明：如果劳动力增加，产量增加；劳动力减少， 产量只能在有限的时间内保持增加
b) 经济增长的条件
每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
f 0 Ly K Z (t ) f0 y f0 ( ) L L
dZ 1 dy f 0y dt dt dZ dy (1 ) t 0 0 1 e 0 ( B) /K dt dt K 0 0
6、模型应用
利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对 类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为 模型应用。
关于微分方程模型的一些例子模型
• 参数常定模型
静态 模型
•指决定系统特性的因素不随着时间的推 移而变化的系统模型，静态模型的假定 本身是对系统的一种简化，是相对比较 简单的
2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大 3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率） 增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t) 资金 K(t)
劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
静态模型
Q(K , L) f 0 F (K , L)
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
b) 经济增长的条件
每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt>0
f 0 Ly K Z (t ) f0 y f0 ( ) L L
dZ 1 dy f 0y dt dt dZ dy (1 ) t 0 0 1 e 0 ( B) /K dt dt K 0 0
6、模型应用
利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对 类似实际问题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为 模型应用。
关于微分方程模型的一些例子模型
• 参数常定模型
静态 模型
•指决定系统特性的因素不随着时间的推 移而变化的系统模型，静态模型的假定 本身是对系统的一种简化，是相对比较 简单的
2、研究资金与劳动力的最佳分配，投资效益最大 3、调节资金与劳动力的增长率，使经济（生长率） 增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t) 资金 K(t)
劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q(t ) f 0 F ( K (t ), L(t ))
F为待定函数
静态模型
Q(K , L) f 0 F (K , L)
r=0.2557, xm=392.1 专家估计
模型检验 用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较
x(2000 ) x(1990 ) x x(1990 ) rx(1990 )[1 x(1990 ) / xm ]
x(2000 ) 274.5
实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
精品课件资料数学建模第四章(1)(微分方程)
limW
t
(t
)
0．要导致死亡．
3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0，W (t) W0 at, limW (t) . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致
t
死亡（当然体重不会无限变大）．
4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 W0，要
达到的值为 W1 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，
使
W1
a b
即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食 物，如糖、冰淇淋等）
(2)增大 b C . 即增加运动量可减轻体重．
D
反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的．即 “多吃少动，易肥胖”．
美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．
2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不
行的，因为A=B使得a=0，
V[x(t t) x(t)] (Km r)t
t t
Kx(s)ds
t
x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, t 0 dt
x(0) x0
其中，a Km r ,b K 解为
V
V
x(t)
a b
(x0
a )ebt b
Km
r
x0
(Km
r)
Kt
eV
K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似．
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，