高中物理必修二匀速圆周运动

学科教师辅导教案

组长审核：

大于 h (θ很小时，sinθ≈tanθ)。如果列车转弯速率大于，则 ( )

A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压

B．铁轨与轮缘间无侧向挤压

C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压

D．内外侧铁轨与轮缘间均有挤压

4、如图所示，质量可以不计的细杆的一端固定着一个质量为 m 的小球，另一端能绕光滑的水平轴 O 转动.让小球在竖直平面内绕轴 O 做半径为的圆周运动，小球通过最高点时的线速度大小为 v.下列说法中正确的是( )

A、v 不能小于

B、v＝时，小球与细杆之间无弹力作用

C、v 大于时，小球与细杆之间的弹力随 v 增大而增大

D、v 小于时，小球与细杆之间的弹力随 v 减小而增大

二、新课讲解

（一）课程导入

(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)

(2)匀速圆周运动加速度恒定不变。(×)

(3)做匀速圆周运动的物体所受合力大小保持不变。(√)

(4)比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，比较物体绕圆心转动的快慢看周期或角速度。(√)

(5)随水平圆盘一起匀速转动的物体A受重力、支持力和向心力作用。(×)

(6)汽车转弯时速度过大就会向外发生侧滑，这是汽车轮胎受沿转弯半径向内的静

摩擦力不足以提供汽车转弯所需向心力的缘故。(√)

（二）大数据分析（16 - 18 年，共 3年）

（三）本节考点讲解

考点一：匀速圆周运动的向心力

一）例题解析

[例1] 关于向心力的说法正确的是( )

A.物体由于做圆周运动还受到一个向心力

B.向心力可以是任何性质的力

C.做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力

D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定指向圆心

[例2] 如图3所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：

图3

(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；

(2)当角速度为3μg

2r

时，绳子对物体拉力的大小。

[例3] 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图5甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )

图5

A.v20

g

B.

v20sin2α

g

C.

v20cos2α

g

D.

v20cos2α

g sin α

二）相关知识点讲解、方法总结

1.定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫做向心力。

木块随圆桶绕轴线做圆周运动圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝F N

一）巩固练习

(2017·株洲高一检测)如图4所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板中央的小孔O。当小球A在水平板上绕O点做半径为r的圆周运动时，物块B刚好保持静止。

求：(1)轻绳的拉力；

(2)小球A运动的线速度大小。

图4

[针对训练2] 如图6，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小s＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：

图6

(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；

(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。

考点二：生活中的圆周运动

一）例题解析

[例1] (多选)(2017·忻州高一检测)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )

图5

A.减小内外轨的高度差

B.增加内外轨的高度差

C.减小弯道半径

D.增大弯道半径

[例2] 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：

(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；

(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

[例3] 如图12所示，小球从“离心轨道”上滑下，若小球经过A点时开始脱离圆环，则小球将做( )

图12

A.自由落体运动

B.平抛运动

C.斜上抛运动

D.竖直上抛运动

二）相关知识点讲解、方法总结

1.一、火车转弯问题

阅读教材第26～27页“铁路的弯道”部分，知道铁路的弯道上两轨高度的设计特点、目的。

1.火车在弯道上的运动特点：火车转弯时实际上做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力。

2.向心力的来源：

(1)若铁路弯道的内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损。

(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力F N的合力提供。思维拓展

如图1为火车在转弯时的受力分析图，试根据图讨论以下问题：

图1

(1)火车转弯处的轨道有什么特点？

(2)火车通过转弯处要按照规定速度行驶，火车弯道处的规定速度与什么有关？当行驶速度过大或过小时，火车会对哪侧轨道有侧压力？

答案 (1)火车转弯处外轨略高于内轨。

(2)当轮缘与铁轨间没有弹力时，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mg tan θ＝m v 20

R

，

则v 0＝gR tan θ，故规定行驶速度由R 和θ决定。当火车行驶速度v ＞v 0＝gR tan θ时，重力和支持力的合力提供向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；当火车行驶速度v ＜v 0＝gR tan θ时，重力和支持力的合力提供向心力过大，此时内侧轨道对轮缘有向外的侧向压力。 二、拱形桥

阅读教材第27～28页“拱形桥”部分，结合课本图5.7－4、图5.7－5，会用向心力公式分析汽车过凸形桥与凹形桥时的受力情况。

汽车过凸形桥 汽车过凹形桥

受力 分析

向心力

F n ＝mg －F N ＝m v 2

R

F n ＝F N －mg ＝m v 2

R

对桥的压力

F N ′＝mg －m v 2

R

F N ′＝mg ＋m v 2

R

结论

汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小

汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大

思维拓展

(1)汽车以相同的速度通过凸形桥的最高点和凹形桥的最低点，则汽车对两桥的压力大小相等吗？

(2)当汽车的速度为多大时，汽车对凸形桥面的压力恰好为零？

解析 (1)在凸形桥最高点：mg －F N1＝m v 2

R ，

即F N1＝mg －m v 2

R

。

在凹形桥最低点：F N2－mg ＝m v 2

R

即F N2＝mg ＋m v 2

R

，所以F N1＜F N2

由牛顿第三定律得汽车对两桥的压力F N1′＜F N2′。

(2)由mg －F N ＝m v 2

R

知，当F N ＝0时，解得v ＝gR ，即当v ＝gR 时汽车对桥面的压力恰好为零。

答案 (1)不相等 (2)v ＝gR 三、航天器中的失重现象

阅读教材第28页“航天器中的失重现象”部分，知道航天器的运动特点及失重的原因。

1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mg －F N ＝m v 2

r ，所以F N ＝

m (g －v

r

2)。

2.失重状态：当v ＝rg 时，座舱对宇航员的支持力F N ＝0，宇航员处于完全失重状态。 思维拓展

搭载着聂海胜、张晓光、王亚平三位航天员的“神舟十号”飞船成功发射，与“天宫一号”顺利对接，并成功举行了太空授课。

图2

(1)航天员在“天宫一号”舱内处于漂浮状态，原因是什么？是不是由于不受重力？ (2)当航天员处于完全失重状态时，“天宫一号”的速度应满足什么条件？

答案 (1)不是。航天员处于漂浮状态的原因是重力提供其做匀速圆周运动的向心力，此时航天员处于完全失重

状态。

(2)当航天员处于完全失重状态时，只有重力提供向心力，即mg ＝m v 2

R

，所以v ＝gR 。

四、离心运动

阅读教材第28～29页“离心运动”部分，知道什么是离心现象，初步了解产生离心运动的原因。

1.定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动。

2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。

3.应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道、水泥电线杆等。 思维拓展

链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：

图3

(1)链球飞出、汽车滑出路面是因为受到了离心力吗？ (2)物体做离心运动的条件是什么？ 答案 (1)不是

(2) 物体受到的合力不足以提供所需的向心力。

1.汽车过拱形桥问题

(1)过凸形桥顶(如图7甲)：

①合力等于向心力：mg －F N ＝m v 2

R

，F N ＜mg ，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。

②汽车安全过桥的条件：由mg －F N ＝m v 2

R

知，当F N ＝0时，v ＝gR ，这时汽车会以该速度从桥顶做平抛运动。故

汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v ＜gR 。

图7

(2)过凹形桥底(如图7乙)：

合力等于向心力：F N －mg ＝m v 2

R

，F N ＞mg ，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。

2.竖直平面内圆周运动的两类模型 (1)轻绳模型

如图8所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg ＝m v 2

r ，得v ＝

gr 。

图8

在最高点时：

①v ＝gr 时，拉力或压力为零。 ②v ＞gr 时，物体受向下的拉力或压力。 ③v ＜gr 时，物体不能达到最高点。 即绳类的临界速度为v 临＝gr 。 (2)轻杆模型

如图9所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。在最高点

图9

①v ＝0时，小球受向上的支持力F N ＝mg 。

②0＜v ＜gr 时，小球受向上的支持力0＜F N ＜mg 。 ③v ＝gr 时，小球除受重力之外不受其他力。

④v ＞gr 时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。 即杆类的临界速度为v 临＝0。

离心运动

[要点归纳]

1.离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力。

2.离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。

3.离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心

力(m v 2r

或mr ω2

)的大小关系决定。

图11

(1)若F n ＝mr ω2

(或m v 2

r

)，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动。

(2)若F n ＞mr ω2

(或m v 2

r

)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动。

(3)若F n ＜mr ω2

(或m v 2

r

)，即“提供”不足，物体做离心运动。

(4)若F n ＝0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出。

二）巩固练习

[针对训练1] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图6所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )

图6

A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C.这时铁轨对火车的支持力等于mg

cos θ

D.这时铁轨对火车的支持力大于mg

cos θ

[针对训练2] (多选)(2017·黄石高一检测)如图10所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是( )

图10

A.v的极小值为gR

B.v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大

C.当v由gR值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大

D.当v由gR值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大

[针对训练3] 如图13所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F 突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )

图13

A.F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动

B.F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动

C.F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动

D.F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心

（四）本节综合练习

1.(对向心力的理解)(2017·泰州高一检测)关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是( )

A.物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用

B.物体所受的合力提供向心力

C.向心力是一个恒力

D.向心力是根据性质命名的一种力

2.(向心力的来源)如图7所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )

图7

A.木块A受重力、支持力和向心力

B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反

C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

3.(向心力的分析)如图8所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长。若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力F A和F B的大小关系为( )

图8

A.F A＞F B

B.F A＜F B

C.F A＝F B＝mg

D.F A＝F B＞mg

4.(圆锥摆问题)当圆锥摆的摆长L一定时，圆锥摆运动的周期T与摆线和竖直线之间夹角θ的关系是( )

图9

A.角θ越小，周期T越长

B.角θ越小，周期T越短

C.周期T的长短与角θ的大小无关

D.条件不足，无法确定

5.(圆周运动的图象问题)(2017·徐州高一检测)链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图10所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图象中能描述ω与θ的关系的是( )

图10

6.(汽车过桥问题)(2017·大理高一检测)汽车以恒定的速率通过一圆弧形拱桥，当它位于拱桥顶部时，下列说法正确的是( )

图14

A.汽车处于超重状态

B.汽车对拱桥的压力等于其重力

C.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用

D.汽车受到的重力和支持力的合力提供它所需的向心力，方向指向圆弧的圆心

7.(竖直面内的圆周运动——绳模型)如图15所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通

过竖直圆轨道而到达右侧。若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )

图15

A.gR

B.2gR

C.g

R

D.

R

g

8.(竖直平面内的圆周运动——杆模型)(2017·泉州高一检测)如图16所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )

图16

A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0

B.小球过最高点时，速度至少为gR

C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用

D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反

9.(离心运动的应用)下列有关洗衣机脱水筒的脱水原理说法正确的是( )

A.水滴受离心力作用，而沿背离圆心的方向甩出

B.水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出

C.水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出

D.水滴与衣服间的附着力小于它所需的向心力，于是沿切线方向甩出

10.(圆周运动与平抛运动的结合)一光滑的半径为R的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B处飞出，最后落在水平面上，已知小球落地点C距B处的距离为3R。求小球对轨道口B处的压力为多大？

图17

（五）课堂总结

1.火车在弯道上的运动特点

火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 2.转弯轨道受力与火车速度的关系

(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图4所示，有mg tan θ＝m v 20

R ，则v 0＝

gR tan θ，其中R 为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈h

L

)，v 0为转弯处的规定速度。此时，

内外轨道对火车均无侧向挤压作用。

图4

(2)若火车行驶速度v 0＞gR tan θ，外轨对轮缘有侧压力。 (3)若火车行驶速度v 0＜gR tan θ，内轨对轮缘有侧压力。

1.竖直平面内的临界问题：物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，常分为两种模型——“轻绳模型”和“轻杆模型”，分析比较如下：

轻绳模型 轻杆模型

常见类型

1.物体做匀速圆周运动的条件是( )

A.有一定的初速度，且受到一个始终与初速度垂直的恒力作用

B.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向变化的力的作用

C.有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用

D.有一定的初速度，且受到一个大小不变、方向始终和速度垂直的合力作用

2.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力F f的图是( )

3.如图1所示，A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( )

图1

A.圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心

B.圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心

C.圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力

D.圆盘对B的摩擦力和向心力

4.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图2所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )

图2

A.mω2R

B.m g2－ω4R2

C.m g2＋ω4R2

D.不能确定

5.如图3所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是( )

图3

A.物体所受弹力增大，摩擦力增大

B.物体所受弹力增大，摩擦力减小

C.物体所受弹力减小，摩擦力减小

D.物体所受弹力增大，摩擦力不变

6.(2017·天水高一检测)如图4所示，某物体沿1

4光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐

增大，则( )

图4

A.物体的合力为零

B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O

C.物体的合力就是向心力

D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)

7.(多选)(2017·遵义高一检测)赛车在倾斜的轨道上转弯如图1所示，弯道的倾角为θ，半径为r ，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( )

图1

A.gr sin θ

B.gr cos θ

C.gr tan θ

D.gr cot θ

8.(2017·大理高一检测)关于离心运动，下列说法正确的是( ) A.物体做离心运动时将沿半径方向向外远离圆心 B.洗衣机脱水时利用衣服做离心运动将衣服甩干

C.在水平公路上转弯的汽车速度过大，会因做离心运动而造成事故

D.物体做离心运动的原因，是物体受到的合力大于所需的向心力

9.(2017·保定高一检测)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增大为原来的2倍时，则汽车转弯的轨道半径必须( ) A.减小为原来的1

2

B.减小为原来的1

4

C.增大为原来的2倍

D.增大为原来的4倍

10.如图2所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。当小球运动到最高点时，瞬时速度v ＝

1

2

Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( ) 图2

A.拉力，大小为1

2

mg

B.压力，大小为1

2

mg

C.0

D.压力，大小为3

2

mg

11.某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A.mg

B.2mg

C.mg ＋mv 2

R

D.2mv 2R

11.如图3所示，长为L ＝0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直平面内做匀速圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球，g 取10 m/s 2

。