第1章 表象理论

矢量空间：
具有加法与数乘两种运算并满足条件(1)-(8)的集 合称为矢量空间或线性空间。
内积空间：
具有加法、数乘和内积三种运算并满足条件 (1)(12)的集合称为内积空间。
Hilbert空间：
完备的内积空间称为Hilbert空间。
示例：
例1：取数学对象为全体有理数和零，加法规定为算术加法 ，数乘为算术乘法（也限于有理数），内积规定为两个因 子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。 例2：三维位形空间的位置矢量，加法服从平行四边形法则 ；数乘为实数乘，方向不变；内积是两个矢量的点乘积。 这是一个实数域上的内积空间。 例3：取一组有序的复数，排成单列矩阵。加法、数乘、内 积遵照矩阵运算。这是一个复数域上的内积空间。 例4：在某一区间内（a ≤ x ≤ b）定义的单实变量的好函数 f(x)，也可构成一个内积空间，称为函数空间。
ȁ������ۧ = නȁ������ۧ‫ۦ‬������ȁ������ۧ ������������ = න ������ ������ ȁ������ۧ ������������
这个������ ������ 是什么含义？
3、动量表象
෡ȁ������′ۧ = ������′ȁ������′ۧ ������ 归一化条件 ൻ������ȁ������′ۧ = ������ ������ − ������′ 完备性条件 නȁ������ۧ‫ۦ‬������ȁ ������������ = ������ 对任意态的展开
c'1 F11 c'2 F21 ... ...
c 'm Fmncn
n
F12 ... c1 F22 ... c2 ... ... ...
F是一个矩阵
2、坐标表象
෠ ȁ������′ۧ = ������′ȁ������′ۧ ������ 归一化条件 ൻ������ȁ������′ۧ = ������ ������ − ������′ 完备性条件 නȁ������ۧ‫ۦ‬������ȁ ������������ = ������ 对任意态的展开
二、表象的概念
1、表象的引入
量子系统的态矢空间即是Hilbert空间，选取基矢的方式也是 无穷多种，视基矢所属的力学量算符的本征值情况而定。选 取不同力学量算符的本征矢，将导致不同的本征矢展开。这 就是表象的概念。（应注意到，力学量算符的本征矢构成完 备集）
表象（Representation）：一个力学量算符A，它的所有本 征矢构成一个正交归一的完全集，其张成的Hilbert空间称为 “A表象空间” 。
条件(1) ：交换律
条件(2) ：结合律
ψ+φ=φ+ψ
ψ+(φ+θ)=(ψ+φ)+θ ψ+O=ψ
条件(3) ：加法单位元（零矢量）存在
条件(4) ：加法逆元存在
ψ+φ = O
(φ = - ψ )
2、数乘：φ=ψa = aψ
条件(5) ：ψ1=ψ
条件(6) ：结合律
a 是数
(ψa)b= ψ(ab)
条件(7) ：分配律1 ψ(a+b)= ψa + ψ b
2、直积空间
直积的写法： 态的直积：

1 2 ...
算符的直积：
A11L A L A21L ...
A12 L ... A22 L ... ... ...
直积的几个运算公式：
条件(8) ：分配律2 (ψ+φ)a = ψa + φa
3、内积：(φ,ψ) = c
条件(9) ： (ψ,φ)= (φ,ψ)* 条件(10) ：结合律
c是数
(ψ,φ+θ)=(ψ ,φ)+ (ψ ,θ)
条件(11) ：(ψ,φa)=(ψ ,φ)a
条件(12) ：对任意态ψ ，(ψ, ψ)≥0；若(ψ, ψ) = 0，则ψ = O
如果算符A, B 在同一空间， L, M 在另一空间，则有：
( A L) ( B M ) A B ( L M ) ( A L)( B M ) AB LM
公式：
tr ( A L) trA trL det( A L) det A det L
2、Dirac括号
左矢（bra）：‫ۦ‬������ȁ 左矢与右矢互为厄米共轭 右矢（ket）：ȁ������ۧ
如果给定某表象的一组完备基矢 ȁ������������ ۧ ，对任意态ȁ������ۧ展开：
ȁ������ۧ = ෍ ������������ ȁ������������ ۧ = ෍ȁ������������ ۧ ������������ ������
计算两态之间的变换关系。
由 i i i n n Sin n
n n
即
并且
S
S ,
S ,
S
可见：态在不同表象下的转换是通过一个幺正变换实现的。
2、算符的变换
设一个算符在A表象中的矩阵为F，在B表象中的矩阵为F’。
问题：F和F’之间存在什么关系？
计算：
F 'ij i F j m Sim FS * jn n
* Sim m F n S * S F S im mn jn jn
m,n
~* Sim Fmn S nj ( SFS )ij
m,n
m,n
m,n
即 相应地
෡ ������ 可以有两种不同的理解 注意到矩阵元 ������ ������ ෡ ������ = ൻ������ȁ ������ ෡ ȁ������ۧ ������ ������ ෡ ������ = ‫ۦ‬������ȁ������ ෡ ȁ������ۧ ������ ������
෡ 理解为 ������ ෡ + ȁ������ۧ 的厄密共轭，这对于 实际上要求将 ‫ۦ‬������ȁ������ 线性算符而言是没有问题的。 ෡ 不是线性算符的话，以上两式并非等价。 然而，如果������ 例如：时间反演算符（反幺正算符）
任意算符F在Q表象中的表示
F
这里F是什么形式？
cn n
n
设在Q表象中 则
c 'n n ,
n
c'
m
m
m F c n n cn F n
n n
用 记 即
m 同时左乘上式两边，有
c ' m cn m F n
n
m F n Fmn ，则
F ' SFS SFS 1 F S F ' S S 1 F ' S
可见：算符在不同表象下的转换是通过一个相似变换实现的。
三、表象变换下的不变量
1、内积不变
对两个任意态，其在两个不同表象中表达式的内积
变换矩阵S的求法
如何快速求得变换矩阵S？
i）矩阵元法：
������������������ = ������������ ������������
注意顺序：先B后A ii）外积求法： ������ = ෍ȁ������������ ۧ‫ۦ‬������������ ȁ
������
注意顺序：先A后B
( A L)( ) A L ( A B) L A L B L ( A L)( B M ) AB LM
tr ( A L) trA trL
习题1.2
在三个两维空间中，各 有三个泡利矩阵：

(1) x

( 2) x

习题1.1
1）求动量算符本征态在坐标表象中的表示； 2）求动量算符在坐标表象中的表示。
四、直和与直积空间
1、直和空间
直和定义：
R R1 R2
要求：两个空间须无重叠，不得有共同的非零矢量。 态的直和：

算符的直和：
A O A L O L
������ ������
可得完备性条件：
෍ห������������ ۧ‫ۦ‬������������ ȁ = ������
������
连续谱下的完备性条件：
නห������(������)ۧ‫ۦ‬������(������)ȁ ������������ = ������
问题：Dirac括号使用有无其局限性？即：是否存在 使用上的盲点？
* S12 * S 22 ...
... 1 ... 2 ... ...
即：
S*
类似方法，可以得到：
S
~
S是什么矩阵？满足什么条件？ 拿上面两个式子进行比较，不难发现：
SS S S I
S是么正矩阵。 这个幺正矩阵S就是从A表象到B表象的变换矩阵。
( 3) x
(1) ( 2) ( 3) y y y
z(1) z( 2 ) z(3)
0 1 1 0 , 0 i i 0 , 1 0 0 1
在此三个空间的直积空 间上定义一个算符： H (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 3) ( 3) (1) 其中A B Ax Bx Ay B y Az Bz （ 1 ）求H的矩阵形式. （2）求H的本征值.
第一章 表象理论
§1.1 量Βιβλιοθήκη Baidu力学的表象
§1.2 表象变换及其运用 §1.3 粒子数表象
§1.4 相干态表象
§1.1 量子力学的表象
一、Hilbert空间
二、表象的概念
三、几种常用的表象
四、直和与直积空间
一、Hilbert空间
我们讨论的对象，如数列、线段等，可通称为数学 对象。同类的许多数学对象满足下述的一系列要求 时，就构成一个矢量空间；其中每一个对象称为空 间的一个元，或称为矢量。 1、加法：Χ=ψ +φ
两者的等价性
iii）目测口算法：基于方法ii）
二、力学量在不同表象间的变换
1、态的变换 设任意态的波函数Ψ，在A、B两个不同表象中分别表示为
A表象中： 1 2 , ... B表象中： 1 2 ...
§1.2 表象变换及其运用
一、表象间的变换算符 二、力学量在不同表象间的变换 三、表象变换下的不变量 四、表象变换的运用示例
一、表象间的变换算符
问题. 两个不同表象之间的内在关系 —— 变换矩阵是怎样的？ 它们是什么矩阵？
假设有两个力学量算符A和B，它们构成了各自的表象。 设 其中
i
ˆ , A i i i
ȁ������ۧ = නȁ������ۧ‫ۦ‬������ȁ������ۧ ������������ = න ������ ������ ȁ������ۧ ������������
这个������ ������ 是什么含义？与动量表象中的������ ������ 有何关系？
例题1
如何从Dirac括号形式下的薛定谔方程得到其在坐 标表象与动量表象中的形式？
ˆ B j j j
A表象基矢， B表象基矢
j
* i n n i Sin n n n
将B表象的基矢用A表象的基矢展开：
这里定义：
S in i n
则：
* 1 S11 * 2 S 21 ... ...
三、几种常用的表象
1、Q表象
所谓的Q表象，就是指任意的分立谱表象。假设一个力学量 算符Q（本征值分立），以它的所有正交归一本征态矢构成 了Q表象。
෡ ȁ������������ ۧ = ������������ ȁ������������ ۧ ������ 在Q表象中，任意态的表示为 ������������ ������������ ȁ������ۧ = ෍ ������������ ȁ������������ ۧ = … ������������ ������ …