小学数学奥数测试题组合_人教版

2019年小学奥数计数专题——组合

1．某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？

2．由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。

3．10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？

4．小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?

5．小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

6．把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？

7．有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？

8．某池塘中有A B C

、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？

9．从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？

⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；

⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。10．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？

⑴有3名内科医生和2名外科医生；

⑵既有内科医生，又有外科医生；

⑶至少有一名主任参加；

⑷既有主任，又有外科医生。

11．在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？

12．有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？

13．在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法？14．7个相同的球，放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种?

15．从19，20，2l，…，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少?

16．50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种.

17．从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有（）

A.140种

B.84种

C.70种

D.35种

18．四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（）种.

A.150

B.147

C.144

D.141

19．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，

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则四张贺年卡不同的分配方式有（）

A.6种

B. 9 种

C.11种

D. 23种

20．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选

法，其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人

21．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，

若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )

A．45种 B．36种 C．28种 D．25种

22．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两

组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

A.150种

B.180种

C.300种

D.345种

23．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙

没有入选的不同选法的种数位( ) A.85 B.56 C.49 D.28

24．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒

子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）

A．10种 B．20种 C．36种 D．52种

25．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两

组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

A.150种

B.180种

C.300种

D.345种

26．甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的

选法共有( )

A. 6种

B. 12种

C. 30种

D. 36种

27．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医

生都有，则不同的组队方案共有

A. 70种

B. 80种

C. 100种

D.140种

28．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要

求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

A.120种

B.96种

C.60种

D.48种

29．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有

1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )

A．14 B．16 C．20 D．48

30．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两

组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有

A.150种

B.180种

C.300种

D.345种

31．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外

部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

A．8

91

B．

25

91

C．

48

91

D．

60

91

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参考答案

1．148

【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛26651521

C ?==?场，共8个小组，有158120?=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2443621

C ?==?场，共4个小组，有6424?=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛。

2．150

【解析】这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1，2，3至少各出现一次，没有确定1，

2，3出现的具体次数，

所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．

(法1)分两类：⑴1，2，3中恰有一个数字出现3次，这样的数有13

5460C ??=(个)；⑵1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有2234

590C C ??=(个)．符合题意的五位数共有6090150+=(个)．

(法2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有53个，由1，2，3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)?-个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有5533(22)3150-?--=(个)。

3．35

【解析】(法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有71070?=种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是(10111---)10235?÷=(种)．

(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为210C ，而被选的

两个人相邻的情况有10种，所以共有210

10451035C -=-=(种)。 4．512

【解析】每吃完一块，都有两种选择：继续吃和明天吃；1块是1种，2块是2种，3块是4种，4块是8种，5块是16种…推算规律为2的n ﹣1次方，一共有2的9次方，即有512种吃法．

解：29=512（块）；

答：他一共有512种不同的吃法．

故答案为：512．

点评：解答此题应根据排列组合的计算公式进行解答即可．

5．84

【解析】分三种情况来考虑：

⑴ 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7种吃法；

⑵当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块的那天，有7种选择，再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有7642

?=种吃法；

⑶当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中选3天，

有3

7765

35 321

C

??

==

??

(种)吃法。

根据加法原理，小红一共有7423584

++=(种)不同的吃法．

还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有63

9984

==

C C(种)不同的吃法。

6．78

【解析】(法1)先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有2

1378

C=

种分法．

(法2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。

7．36

【解析】如图：○○|○○○○|○○○○，将10粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有98236

?÷=种方法．

8．27

【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C船．

⑴若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A B

、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船

上，此时A船上还必须有1个成人，有1

33

C=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分

别在A B

、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有1

22

C=种选择，1个成人有

1 33

C=种选择，所以有236

?=种方法．故5人都不乘坐C船有369

+=种安全方法；

⑵若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有1

33

C=种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有

1 22

C=种方法，所以此时有326

?=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有

1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有1

22

C=种选择，所以此种情况下有32212

??=种方法；故5人中有1人乘坐C船有61218

+=种安全方法．所以，共有91827

+=种安全乘法．

9．（1）14112（2）43758（3）1001（4）42757

【解析】⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为35

81014112

C C

?=种；

⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：

⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4

141001

C=种；

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⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：

⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：

10．（1）120（2）246（3）196（4）191

【解析】⑴ 先从6名内科医生中选3名，有3665420321

C ??==??种选法；再从4名外科医生中选2名， 共有2443621

C ?==?种选法．根据乘法原理，一共有选派方法206120?=种． ⑵ 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有51010987625254321

C ????=

=???? 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科医生．如果只派内科医生，有516

66C C ==种选派方法．所以，一共有2526246-=种既有内科医生又有外科医生的选派方法。

⑶ 如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有488765221404321

C ????=?=???种选派方法；如果选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有388761156321C ???=?

=??种选派方法．根据加法原理，一共有14056196+=种选派方法．

⑷ 分两类讨论：

①若选外科主任，则其余4人可任意选取，有4998761264321

C ???==???种选取方法； ②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有

4485876554326543214321

C C ??????-=

-=??????种选取法． 根据加法原理，一共有12665191+=种选派方法。

11．185

【解析】按具有双项技术的学生分类： ⑴ 两人都不选派，有3554310321

C ??==??(种)选派方法； ⑵ 两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类： 若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有25541021

C ?==?(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110?=(种)选法； 若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332321C ?=

=?(种)选法，需从5人中选3人安装电脑，有3554310321

C ??==??(种)选法．由乘法原理，有31030?=(种)选法．

根据加法原理，有103040+=(种)选法；

综上所述，一共有24080?=(种)选派方法．

⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：

①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515?=(种)选派方案；

②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有22535432602121C C ???=

?=??(种)选派方案； ③两人全安装音响设备，有355433330321

C ???=?=??(种)选派方案． 根据加法原理，共有5603095++=(种)选派方案．

综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=(种)．

12．185

【解析】针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：

⑴ 多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有4155

5C C ==种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有515?=种选择．

⑵ 多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：

如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有3554310321

C ??==??种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有210120??=种选择；

如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有4155

5C C ==种选择，需从4名日语翻译员中再选出3名，有314

44C C ==种选择．由乘法原理，有25440??=种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有204060+=种选择．

⑶ 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：

①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．

情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有25541021

C ?==?种选择．需从4名日语翻译员中选4人，1种选择．由乘法原理，有110110??=种选择．

情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有4155

5C C ==种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人，有2443621

C ?==?种选择．根据乘法原理，共有15630??=种选择． 情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出

3人，有3554310321

C ??==??种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有31444C C ==种选择．由乘法原理，有1210480???=种选择．

根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有103080120++=种选择．

综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185++=张．

13．2450

【解析】两个数的和是偶数，通过前面刚刚学过的奇偶分析法，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题．

从50个偶数中取出2个，有2505049122521

C ?==?(种)取法； 从50个奇数中取出2个，也有2505049122521C ?=

=?(种)取法． 根据加法原理，一共有122512252450+=(种)不同的取法．

14．20

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【解析】

先在每个盒中放入1个球，这样还剩下3个球放到4个不同的盒中去，

如果每个盒子最多放1个球，有34C ＝4种不同的方法；

如果每个盒子放2个，1个盒子放1个，有先从4个盒子中选择1个盒子放入2个球，再从剩下的1个盒中选择1个盒子放入1个球，于是共有4×3＝12种不同的方法；

如果一个盒子放入3个球，有从4个盒子中选择1个盒子即可，有4中不同的方法； 所以，共有4+12+4＝20种不同的方法．

15．1406

【解析】

选择两个数，使得它们的和为偶数，则只能两个数同时是偶数或两个数同时是奇数．

19～93这76数中，有38个奇数，38个偶数，于是有238238C C ＝38×37÷2+38×37÷2＝

1406种不同的选法．

16．4186

【解析】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法原理）24634C C 种；第二类，有4件次品的抽法同理有1

4644C C 种，最后由加法原理，不同的抽法共有24634C C +14644C C ＝4186种.

17．C

【解析】（合理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1

台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有15242514C C C C +＝70种选法.所以选C .

18．D

【解析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算

式410C －446C ＝150而错选A ；若只考虑到情形①、②，就会由算式410C －446C －3＝147而

错选B ；若只考虑到情形①、③，就会由算式410C －446C －6＝144而错选C ；只有三种情形

都考虑到，才能得到正确的结果410C －446C －6－3＝141，选D.（从此题选项的设置可看出

命题者之良苦用心）

19．B

【解析】A 的卡分给B 、C 、D 三人，有13C 种方法；设B 拿到A 的卡，则B 的卡可分给A 、C 、

D 三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有1

1C 种方法，所以共有13C 13C 11C ＝9种不同的分法.

设A 先拿卡有13C 种方法；然后由A 拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两

张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有13C 13C 1

1C ＝9种不同的分法. 或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.

错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.

20．A

【解析】

设男生有n 人，则女生有(8－n)人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，

可知女生为2人或3人．

21．C

【解析】

因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么

共有C 28＝28种走法．

22．D

【解析】分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

23．C

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227C C 42?=，另一

类是甲乙都去的选法有2127

C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。 24．A

【解析】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2

号盒子，有144C =种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C =种

方法；则不同的放球方法有10种，选A ．

25．D

【解析】分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

26．C

【解析】用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C

27．A

【解析】直接法：一男两女,有C 51C 42＝5×6＝30种,两男一女,有C 52C 41＝10×4＝40种,共计

70种

间接法：任意选取C 93＝84种,其中都是男医生有C 53＝10种,都是女医生有C 41＝4种,于是符

合条件的有84－10－4＝70种.

28．C

【解析】5人中选4人则有45C 种，周五一人有14C 种，周六两人则有23C ，周日则有11C 种，

第 7 页 故共有45C ×14C ×23C =60种,故选C

29．B

【解析】由间接法得32162420416C C C -?=-=，故选B.

30．D

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。

由题共有345261315121625=+C C C C C C ，故选择D 。

31．C

【解析】因为总的滔法415,C 而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙

馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为