指数函数的应用的教案

【篇一：《指数函数》教学设计方案】

《指数函数》教学设计

连江二中柳殷

一、概述

二、教学目标分析

1．知识与技能

①通过实际问题了解指数函数的实际背景；

②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．过程与

方法

①展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.

②在对不断引申的问题的思考、回答过程中,掌握联想、类比、猜测、证明等合情推理方法.

3．情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

②培养学生观察问题，分析问题的能力，并培养自身思维的深刻性、创造性、科学性和批判性；

③激发起学习数学的兴趣，在民主、开放的课堂氛围中；提高分析、解决问题的能力.

三、学习者特征分析

1、学生是福建连江第二中学高一年级学生，我所任教班级的学生是

高一的一个差班； 2、学生已经基本掌握了函数的概念和性质，并对《指数》只是有较好的认识； 3、学生对生活中隐含数学问题的事件

兴趣比较浓厚，对多媒体教学比较兴趣；

4、学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的能力还不强。个别学生思维比较敏捷，敢于在课堂上发表与众不同的见解。

四、教学策略选择与设计

本节课教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。教学难点：指

数函数性质的归纳，概括及其应用。

先行组织者策略：通过情景设置的问题探究提示出指数函数的概念。学法设计：教师讲授，学生探究，合作交流，组织学生对指数函数

的图像和性质的学习。教学方法上采用启发式教学，在课堂教学中

坚持双主教学,注意思维训练和能力培养。采用多媒体辅助教学，激

发兴趣，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

五、教学资源与工具设计

（1）教师自制的ppt课件（2）学习环境是多媒体的教室

（3）学生手中的高中数学必修1教材

教学媒体选择分析表

六、教学过程

【创设情境提出问题】

将一页白纸连续对折，

（1）写出对折后的页（层）数y与对折次数x的关系式；（2）设这页纸的面积单位为1，则对折后每页纸的面积s与对折次数x的关系又是怎样的？【提供事实，建立经验】

指数函数的定义

一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为r.

【深化认知】

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，a是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集r.

??当x0时,a等于0

若a=0,? x

??当x≤0时,a无意义

若a＜0，如y=(-2),先时,对于x=,x=

等等,在实数范围内的函数值不存在. 8

若a=1, y=1=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足y=a(a0,且a≠1)的形式才能称为指数函数，a为常数,象y=2-3,y=2,y=x,y=3合y=a(a0且a≠1)的形式,所以不是指数函数. 【合作探究】

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数

形结合的方法来研究. 下面我们

先来研究a＞1的情况

用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y=2的图象

x+5

,y=3x+1等等,不符

再研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数y=()

的图象.

从图中我们看出y=2与y=()的图象有什么关系?

通过图象看出y=2与y=()的图象关于y轴对称,实质是y=2上的点(-x,y)

与y=()x上点(-x,y)关于y轴对称.

讨论：y=2与y=()的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出y=5,y=3,y=(),y=()

的函数图象.

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

从图上看y=ax（a＞1）与y=ax（0＜a＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

问题3：指数函数y=a（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

【篇二：指数函数的性质应用教案】

指数函数的性质应用教案

●教学目标

(一)教学知识点

1.指数形式的复合函数.

2.指数形式复合函数的单调性.

3.指数形式复合函数的奇偶性.

(二)能力训练要求

1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.

2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.

3.培养学生的数学应用意识.

(三)德育渗透目标

1.认识从特殊到一般的研究方法.

2.用联系的观点看问题.

3.了解数学在生产实际中的应用.

●教学重点

1.函数单调性的证明通法.

2.函数奇偶性的证明通法.

●教学难点

指数函数的性质应用.

●教学方法

启发式

启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的

单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有

关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步的判断. 在运用证明函数

奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，应提醒

学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形成系统的知识结构.

●教具准备

投影片三张

第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶

性的基本步骤(记作２.６.３Ａ）

第二张：例5证明过程(记作２.６.３ b)

第三张：例6证明过程(记作２.６.３ c)

●教学过程

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我

们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大

家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基

本步骤.

［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：

假设→作差→变形→判断.

［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

(1)考查函数定义域是否关于原点对称；

(2)比较ｆ（－ｘ）与ｆ（ｘ）或者－ｆ（ｘ）的关系；

(3)根据函数奇偶性定义得出结论.

(给出投影片２.６.３ a，老师结合投影片内容加以强调说明).

［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的

目的是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；

二是对增减函数定义的判断.

另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大

家忽略，而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.

下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的

方法.

Ⅱ.讲授新课

［例5］当a＞1时，证明函数f(x)=是奇函数.

分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的

恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首

先考查函数的定义域.

证明：由ax-1≠0 得x≠0

故函数定义域｛x｜x≠0｝关于原点对称.

又f(-x)=

∴f(-x)=-f(x)

所以函数f(x)= 是奇函数.

［师］对于ｆ（－ｘ）与ｆ（ｘ）关系的判断，也可采用如下证法：即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）

评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变

形等价形式：（ｆ（ｘ）≠０），

（ｆ（ｘ）≠０）.

这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在

解决相关类型题时，予以尝试和体会.

［例6］设a是实数，f(x)=a- (x∈r)

(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；

(2)试确定a值，使f(x)为奇函数.

分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义

进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.

(1)证明：设x1,x2∈r,且x1＜x2

则f(x1)-f(x2)=（

由于指数函数y=2x在r上是增函数，且x1＜x2,所以＜

即-＜0

又由2x＞0得+1＞0，+1＞0

所以f(x1)-f(x2)＜0

即f(x1)＜f(x2)

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.

评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值

域及单调性.

(2)解：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)

即

变形得:

解得a=1

所以当a=1时，f(x)为奇函数.

评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值.应要求学生适应这种探索性题型.

Ⅲ.课堂练习

已知函数f(x)为偶函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=-2x+1,求当x∈(-∞，0)时，f(x)的解析式.

解：设ｘ∈（－∞，０），则－ｘ∈（０，＋∞），由ｘ∈（０，＋∞）时，

ｆ（ｘ）＝－２ｘ＋１得ｆ（－ｘ）＝－２－ｘ＋１

又由函数ｆ（ｘ）为偶函数得

ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）

∴ｆ（ｘ）＝－２－ｘ＋１.

即当ｘ∈（－∞，０）时，ｆ（ｘ）＝－２－ｘ＋１.

Ⅳ.课时小结

［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.

Ⅴ.课后作业

（一）1.课本p79习题2.6

4.求证：

(1)（ａ＞０，ａ≠１）是奇函数；

(2)ｆ（ｘ）＝（ａ＞０，ａ≠１）是偶函数.

证明：(1)∵

即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），

故ｆ（ｘ）＝是奇函数.

(2)ｆ（－ｘ）＝

即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），

故ｆ（ｘ）＝是偶函数.

2.已知函数f(x)= ，

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)求证函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

(1)解：首先考查函数定义域r，故定义域关于原点对称.

又∵

即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）

∴ｆ（ｘ）是奇函数.

(2)证明：设ｘ１＜ｘ２，则

∵ｘ１＜ｘ２

∴

又∵２＞０，

∴

∴ｆ（ｘ1）－ｆ（ｘ２）＜０

即ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）

∴ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上是增函数.

（二）1.预习内容：课本p80

2.预习提纲：

(1)对数与指数有何联系?

(2)对数式与指数式如何互化?

●板书设计

2.6.3 指数函数的性质应用(二)

1.单调性证明通法：

比较自变量大小与相应函数值大小是具有一致性，还是相反性.

【篇三：指数函数公开课教案】

指数函数公开课教案

.开发区汉阳三中殷立明

本节课的内容是高中数学必修一第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的定义，图像及性质。新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有

着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的

年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的

规律和方

法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实际

背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养

学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念

的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，

同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等

比数列的性质打下坚实的基础。因此它对知识起到了承上启下的作用。

教学难点：弄清楚底数a对函数图像的影响。

对于底数a1 和1a0时函数图像的不同特征，学生不容易归纳认识

清楚。

突破难点的关键：

通过学生间的讨论、交流及多媒体的动态演示等手段，使学生对所

学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来突破

难点。

因此，在教学过程中我选择让学生自己去感受指数函数的生成过程

以及从这两个特殊的指数函数入手，先描点画图，作为这一堂课的

突破口。

四、学情分析及教学内容分析

1、学生知识储备

通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生

对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个

方面：

知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最

简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角

度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。

技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，

能够为研究《指数函数》的性质做好准备。

素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步

了解了数形结合的思想。

2、学生的困难

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能

力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展

不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。

五、教法分析

本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达

到对知识的发现和接受。

六、教学过程分析

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，

即：1.情景设置，形成概念

深理解性质 2.发现问题，深化概念 5.小结归纳 3.深入探究图像，加6.布置作业 4.强化训练，落实掌握

（一）情景设置，形成概念

学情分析：1、学生初中就接触过一次函数、二次函数，在第二章再

次学习一次函数、二次

函数时，学生有一定的知识储备，但对于指数函数而言，学生是完

全陌生的函数，

无已有经验的参考，在接受上学生有困难。

2、课本给出了两个引例以及在本章章前语也给了一个例子，分别是细胞分裂、放

射性物质省留量及“指数爆炸”，这三个例子比较好但离学生的认知

仍存在一定

距离，于是我在引课这里翻查了一些参考资料，发现这样一个例子，——折纸问

题，这个引例对学生而言①便于动手操作与观察②贴近学生的生活

实际。

1、引例1：折纸问题：让学生动手折纸

观察：①对折的次数ｘ与所得的层数ｙ之间的关系，得出结论ｙ=ｘ

②对折的次数ｘ与折后面积ｙ之间的关系（记折前纸张面积为1），得出结论ｙ=（1/2）ｘ

引例2：《庄子。天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。请写出取x次后，木棰的剩留量与y与x的函数关系式。

设计意图：

（1）让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又引

导学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特

殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数①a1②0a1

（2）让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接

受指数函数的形式。

2、形成概念：

形如ｙ=aｘ（a0且a≠1）的函数称为指数函数，定义域为ｘ∈r。

提出问题:为什么要限制a0且a≠1？

这一点让学生分析，互相补充。

分a﹤0，且a=0，0﹤a﹤1，a=1，a1五部分讨论。

（二）发现问题、深化概念

问题1：判断下列函数是否为指数函数。

1）ｙ=-3ｘ2）ｙ=31/x 3) ｙ=31+x 4) ｙ=(-3)x 5) ｙ=3-x=(1/3) x

设计意图：1、通过这些函数的判断，进一步深化学生对指数函数概

念的理解，指数函数的概念与一次、二次函数的概念一样都是形式

定义，也就是说必须在形式上一模一样方行，即在指数函数的表达

式中ｙ=ax（a0且a≠1）。

1）ax的前面系数为1， 2）自变量x在指数位置， 3）a0且a≠1

2、问题1中（4）ｙ=(-3)的判定，引出问题1：即指数函数的概念

中为什么要规定a0且a≠1

1）a0时，ｙ=(-3)x对于x=1/2，1/4，??(-3)x无意义。

2）a=0时，x0时，a=0；x≤0时无意义。

3）a=1时，ax= 1x=1是常量，没有研究的必要。

设计意图：通过问题1对a的范围的具体分析，有利于学生对指数

函数一般形式的掌握，同

时也为后面研究函数的图像和性质埋下伏笔。

落实掌握：1）若函数ｙ=(a x -3a+3) a x是指数函数，求a值。

2）指数函数f(x)= a x（a0且a≠1）的图像经过点（3，9），求

f(x)、f(0)、

f(1)的值。——待定系数法求指数函数解析式（只需一个方程）。（三）深入研究图像，加深理解性质

指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个

具体函数，所以在这部分的安排上，我更注意学生思维习惯的养成，即应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置

了两个环节。

第一环节：分三步

（1）让学生作图（2）观察图像，发现指数函数的性质（3）归纳

整理

学生课前准备：利用描点法作函数y=2x，y=3x，以及y=(1/2）x、

y=(1/3)x的图像。设计意图：（1）观察总结a1,0a1图像上的差异（2）观察ｙ=2x与ｙ=2-x，ｙ=3x与ｙ=3-x图像关于y轴对称。

（3）在第一象限指数函数的图像满足“底大图高。

（4）经过（0，1）点图像位置变化。

变式：去掉底数换成字母，根据图像比较底数的大小。

方法提炼：①用上面得到的规律；

②作直线x=1与指数函数图像相交的纵坐标，即为底数。

第二环节：

利用多媒体教学手段，通过几何画板演示底数a 取不同的值时，让

学生观察函数图像的变化特征，归纳总结：ｙ=ax的图像与性质

以y=2x为例，让学生用单调性的定义加以证明；

设计意图：（1）让学生由初中的“看图说话”的水平，提升到高中的严格推理的层面上来。

（2）学习用做商法比较大小。

4、奇偶性：不具备

5、对称性：ｙ=ax不具备，但底数互为倒数的两个指数函数图像关

于y轴对称。从形式上可变为y=ax与y=a-x

总结:两个函数y=f(x),y=f(-x)关于y轴对称。

6、交点：（1）与y轴交于一点（0，1）（2）与x轴无交点（x轴为其渐近线）

7、当x0时,y1；当x0时,0y1，当 x0时, 0y1；当x0时, y1

8、ｙ=ax（a0且a≠1）在第一象限图像“底大图高”（直线x=1辅助）难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图像将

本节课难点突破。为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性

质的探究：

左右无限上冲天，永与横轴不沾边。

大1增，小1减，图像恒过（0，1）点。

（四）强化训练落实掌握