平面向量习题整理
思路2.坐标法，关键是C点坐标表示.
思路3.几何法，过C作AD的垂线，运用投影意义.
类型4.三角形形状、面积问题
35.【2015高考安徽，理8】 是边长为 的等边三角形，已知向量 ， 满足 ， ，则下列结论正确的是（D）
（A） （B） （C） （D）
36.已知 中， ， 是 内部一点，且 ，则 ________. （余弦定理，面积公式，面积和，三项和平方公式）
15.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ＝m ， ＝n ，则m＋n的值为________．2
点评：三点共线经常作为隐含信息出现，不容易察觉。
16.在边长为1的正 中，向量 ，且 则 的最大值为________.
点评：思路1.基底法.可选取 为基底.
类型3.向量数量积、（三点）共线定理、投影
常见处理方法:定义，几何意义（投影），坐标，向量转化（基底）
25.在△OAB中， ＝a， ＝b，OD是AB边上的高，若 ＝λ ，则实数λ等于(B)
A. B.
C. D.
26.正 边长等于 ，点 在其外接圆上运动，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
27.已知 中， ，若 是边 上的动点，求 的取值范围.
点评：思路1.利用 ,得 ，基本不等式求得（有漏洞：x、y可能为负数！）.
思路2.坐标法，设 ，得 求解.
思路3.几何法，设AB交OC于T， ，由A、T、B三点共线得)在扇形中， 点 为弧 上的动点，点 可与点 或 重合，若 ，则 的最大值为。
20.(2017届武汉四月调考理科16)已知 的外接圆圆心为 ，且 ，若 ，则 的最大值为.
点评：思路1.基底法.注意A、B、P三点共线的运用以及所设未知数范围的确定.
思路2.坐标法，以BC为x轴.
28.【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为__________．
29.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（A）
13.（2017届武汉市二月调考.理11）已知 为两个非零向量，且 ， ，则 的最大值为（D）
A． B． C． D．
类型2.平面向量基本定理，基底转化，双参数问题
常见处理方法:线性运算（加、减、数乘）直接转化；待定系数法；方程组法。
14.【2013年.浙江卷.理17】设 为单位向量，非零向量 ，x，y∈R.若 的夹角为 ，则 的最大值等于__________．2
（A)无论k， 如何，总是无解（B)无论k， 如何，总有唯一解
（C）存在k， ，使之恰有两解（D）存在k， ，使之有无穷多解
53.【2013上海,理18】在边长为1的正六边形ABCDEF中，记为A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1、a2、a3、a4、a5；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1、d2、d3、d4、d5.若m、M份别为(ai＋aj＋ak)·(dr＋ds＋dt)的最小值、最大值，其中{i，j，k} {1,2,3,4,5}，{r，s，t} {1,2,3,4,5}，则m、M满足(D)
43.【2013年.浙江卷.理7】设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝ AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则(D)．
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝ACD．AC＝BC
44.设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝ ，λ2＝ ，λ3＝ ，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G是△ABC的重心，f(Q)＝( ， ， )，则(A)
A．b＝a3B． C． D．
40.在四边形 中， ， ，则四边形 的面积为_____ _____.
41. 的三边 满足 且 ，则 的形状是(D)
A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形
42.设P是ΔABC所在平面内的一点，且 ，则ΔPAB与ΔABC的面积之比为(C)
A. B. C. D.
23.【2013山东，理15】已知向量 与 的夹角为120°，且| |＝3，| |＝2，若 ＝λ ＋ ，且 ⊥ ，则实数λ的值为__________．
24.如右图， ，点 在由射线 、线段 及 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且 ，则 的取值范围是____ ______，当 时， 的取值范围是____ ______.
三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。
三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
性
质
(1)顶点与垂心连线必垂直对边，即AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。
(2)若H在△ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。
(3)△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。
(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。
(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
(2)∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为△BCI的外心)。
类型6.创新题、知识点综合
A. 可能是线段 的中点B. 可能是线段 的中点
C. 可能同时在线段 上D. 不可能同时在线段 的延长线上
58. 如图，四边形 的对角线 和 交于 点， ， ，又以 边的中点 为圆心， 长为半径作圆 ，用向量知识解答下列问题：
A．a⊥eB．a⊥(a－e)
C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)
3.(16上期中)若向量 满足 ,则 在 方向上的投影的最大值是________.
4.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于(A)
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
A．m＝0，M＞0B．m＜0，M＞0
C．m＜0，M＝0D．m＜0，M＜0
54.【2015江苏高考，14】设向量ak ，则 (ak ak+1)的值为
55.【2014，安徽理15】已知两个不相等的非零向量 两组向量 和 均由2个 和3个 排列而成．记 ， 表示 所有可能取值中的最小值．则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）．②④．
向量习题分类精选
类型1.向量的模
点评：向量模的处理思路：几何法，平方，坐标
1.(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(B)
A. －1B．1
C. D．2
2.已知向量a≠e，|e|＝1，满足：对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(C)
A．13 B．15 C．19 D．21
30.【2014江苏，理12】如图在平行四边形 中，已知 ， ，则 的值是.22
31.(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 · ＝ ，则 · 的值是________．
32.已知 中， ，若 是边 上的动点，求 的取值范围.
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
5.【2013，安徽理9】在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则点集 所表示的区域的面积是（D）
A． B． C． D．
6.【2013湖南6】已知 是单位向量， .若向量 满足 ( A )
A． B．
思路2.坐标法，关键是D,E两点坐标表示.
17.如图所示，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的夹角为120°， 与 的夹角为30°.且| |＝| |＝1，| |＝2 .若 ＝λ ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为______．λ＋μ＝6.
18.给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动．若 ＝x ＋y ，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．2
49.(2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量 绕点O按逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的坐标是(A)
A．(－7 ，－ )B．(－7 ， )
C．(－4 ，－2)D．(－4 ，2)
点评：思路1.三角函数的一般定义及和差公式.
思路2.向量夹角公式.
50.【2014年.浙江卷.理8】记 ， ，设 为平面向量，则（D）
A.
B.
C.
D.
51.【2014上海,理16】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，则 的不同值的个数为（A）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
52.【2014上海,理17】已知 与 是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 的解的情况是（B）
10.【2015高考浙江，理15】已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意 ， ，则 ___． __． __．
， ， .
11.【2013高考重庆理第10题】在平面上， ⊥ ，| |＝| |＝1， ＝ ＋ .若| |＜ ，则| |的取值范围是(D)．
A． B． C． D．
12.已知 中， ，点 是 所在平面内一点.若 ，且 ，则 .
37.已知 的面积为 ， 是三角形的某个内角， 是平面 内一点，且满足 ，则下列判断正确的是（）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
38.【2014山东.理12】在 中，已知 ，当 时， 的面积为________.
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量题目及详细答案.doc
A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。
，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。
=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。
=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。
= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。
一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
平面向量练习题
平面向量练习题一、选择题1．若向量(1,1),(1,1),(1,2),a b c c ==-=-=则（ ）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+-2．设,,a b c是任意的非零平面向量，且相互不共线，有以下结论① 0)()(=⋅⋅-⋅⋅b a c c b a ；② ||||||a b a b -<-；③ ()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅不与c 垂直； ④ 22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-其中正确的是（ ） A ．① ② B ．② ③C ．③ ④D ．② ④3．若a 、b 、c 为任意向量，R m ∈，则下列等式不一定成立的是（ ）A ．)()(c b a c b a ++=++ B ．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅C ．()m a b m a m b +=+D ．)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅4．设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA （ ）A ．43 B ．43-C ．3D ．－35．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足O C O A O B αβ=+，其中α、1,=+∈βαβ且R ，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-++y xC ．02=-y xD ．052=-+y x6．若||2sin 15,||4cos15,a b a ==与b 的夹角为30 ，则a b ⋅的值为（ ）（A ）23 （B ）3 （C ）32 （D ）217．已知(3,4),,a b a =⊥ 且b 的起点为(1,2),终点为(,3)x x ，则b =（ ）（A ）)51,1511(- （B ）)1511,51(-（C ）)51,154(-（D ）)51,154(8．已知(1,2),(,1)a b x == ，且2a b + 与2a b -平行，则x =（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）31 （D ）219．已知||2,||1,a b a == 与b 的夹角为60，又，3,2,c m a b d a m b =+=- 且c b ⊥，则实数m 的值为（ ） （A ）0 （B ）6或－6 （C ）1或－6 （D ）－1或610．若||||1,,a b a b ==⊥ 且23a b +与向量b a k 4-也互相垂，则实数k 的值为（ ）（A ）－6 （B ）6 （C ）3 （D ）（－3） 11．已知两点M 1（4，3）和M 2（2，-1），点M 分有向线段M 1M 2的比为2-=λ，则M 点的坐标为（ ） （A ）)350(-（B ）（6，7） （C ）)37,2(-- （D ）)5,0(-二、填空题1．已知向量a 和b 的夹角为120,||2,||5a b ==且，则=⋅-a b a )2( .2．已知向量(1,2),(3,),O A O B m =-= 若,O A AB ⊥则m = .3．已知||4,||1,a b a ==与b 的夹角为θ，且|2|4,a b -= 则cos θ的值为 。
平面向量知识点+例题+练习+答案
五、平面向量1．向量的概念①向量 既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。
由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
平面向量经典例题30道
平面向量经典例题30道一、选择题1.已知|→a| = 3, |→b| = 2, 向量→a 和→b 的夹角为π/3，则→a · →b= A. 3 B. √3 C. -3 D. -√32.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/2，若→a - →b 与→a垂直，则→a 与→b 的夹角为 A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/4，若→a - λ→b 与→a +→b 共线，则实数λ 的值为A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D. √2/44.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若(→a +→b) · (→a - λ→b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D. √25.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，若(→a +→b) · (→a - →b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D.√26.已知向量a = (-2, 3)，b = (1, -1)，若a 与b 的夹角为钝角，则a · b 等于( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 27.若平面向量a，b 满足|a| = 1，|b| = 2，且向量a，b 的夹角为π/4，若 a - λb 与 b 垂直，则实数λ 的值为( ) A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D.√2/48.已知F1，F2 是椭圆C：(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1 的两个焦点，P 是C 上一点，且与F1，F2 在同一直线上，若|PF1| × |PF2| = 12，则P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 129.已知a = ，b = (-1, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A. (0, +∞) B. (0, 1) ∪ (1, +∞) C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞) D. (-∞, 0) ∪(1, +∞)10.已知向量a = (-2, 4)，b = (-1, 2)，若向量a - λb 与b 共线，则实数λ 的值为_______．11.已知向量a = (-2, 3)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．12.已知向量a = (-2, 3)，b = (-4, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_______．13.已知向量a = (-2, 1)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．14.在△ABC中，AB = (-1, 1)，AC = (2, 3)，则∠BAC = _______（用反三角函数的值表示）15.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (1, 2)，则BC = _______16.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (-1, 2)，且AB⊥AC，则BC = _______17.在△ABC中，AB = (2, -1)，AC = (-4, 3)，则BC = _______18.在△ABC中，AB = (3, -4)，AC = (-2, 3)，则BC = _______19.若点P 在直线l₁：x - 2y - 3 = 0 和直线l₂：3x + y - 1 = 0 的夹角平分线上，则点P 到直线l₃：x + 2y - 5 = 0 的距离为_______．20.已知等差数列{an} 中，a₁ = -1，且a₁，a₂，a₃ 三项及格率为5/4，若an= λ(n为正整数)，则实数λ 的取值集合为_______．二、填空题21.已知|→a| = 3, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则→a · _______ = 9√2．22.已知|→a| = 2, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，则_______ =(√3 + 1)/4．23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若_______ =(-√5)/5，则实数λ 的值为_______．24.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．25.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．三、解答题26.若|→a| = 3, |→b| = 5, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求向量→a 在向量→b 上的投影．27.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，求(→a +→b) · (→a - λ→b)．28.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．29.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．30.已知|a| = 1, |b| = 2, a与b的夹角为π/3, 若a - λb与b垂直，求实数λ的值．31.在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为AD上靠近D的三等分点，若(1/2AB) · (AC - GC) = 0 ( ·表示向量的数量积)，求AG与BC边的夹角．32.在△ABC中，AB = AC = 2, 点D在BC上，且BD = DC, E,F分别是AB,AC上的点，且AE/EB = AF/FC = 1/2, AD与EF交于点G, 求向量EF ·向量AD 的值．33.若点A(x,y)在圆x²+y²=4上运动时，点B(x-3,y-4)也在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．34.在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且EF平行于BC，AD与EF交于点M，BD=CD=1,AD=3,求向量EF ·向量BC．。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量习题及答案
平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。
通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。
本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。
一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。
解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。
解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。
解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。
解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。
解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。
2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。
2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。
解答：若a和b垂直，则a·b=0。
a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。
结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。