麦克斯韦-玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布中文名称：麦克斯韦-玻尔兹曼分布外文名称：Maxwell Boltzmann distribution麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。
最常见的应用是统计力学的领域。
任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。
它以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。
物理应用：麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导，它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。
由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。
在许多情况下(例如非弹性碰撞)，这些条件不适用。
例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。
如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。
另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。
推导:麦克斯韦的推导假设了三个方向上的表现都相同，但在玻尔兹曼的一个推导中利用分子运动论去掉了这个假设。
麦克斯韦速率分布规律
麦克斯韦速度分布律任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。
它以詹姆斯麦克斯韦和路德维希玻尔兹曼命名。
1定义气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
2历史1859年，麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。
因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。
麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ~υd υ内的分子数与总分子数的比率为：麦克斯韦速率分布函数。
3内容在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~vdv的分子数占总分子数的比率为: 麦克斯韦速率分布函数。
4速率分布函数按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。
1）将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间。
例如速率间隔取100m/ ,整个速率分为0-100;100-200;…等区间。
2）总分子数为N，在v→v△v区间内的分子数为△N在v→v△v区间内的概率为△Ni/N。
则可了解分子按速率分布的情况。
3）概率错误!△Ni/N与v有关，不同v附近概率不同。
错误!△Ni/N与△v有关，速率间隔大概率大。
→dv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dN/N∝dv写成等式fv=dN/Ndv表示分布在v→vdv区间内的分子数占总分子数的比率或百分比。
麦克斯韦-玻耳兹曼分布Maxwe...
麦克斯韦-玻耳兹曼分布Maxwe...1)Maxwell-Boltzmann distribution 麦克斯韦-玻耳兹曼分布2)microphone 麦克风1.A design is proposed for an all-fiber microphone which utilizes optical interference to sense the sound-induced motion of a thin diaphragm. 设计了一种新型的全光纤干涉型型麦克风。
3)McHarg 麦克哈格4)Maxwell 麦克斯韦1.Relation between Maxwell′s Theory and Relativity,and its Application in Electromagi ... ; 狭义相对论与麦克斯韦电磁理论的关系及其在电磁学中的应用2.On the Historic Position of Maxwell in the Development of the Cavendish Experimental Laboratory; 论麦克斯韦在卡文迪什实验室发展中的历史地位3.Maxwell and the Advancement of Physics; 麦克斯韦与物理学的发展5)marker drawing 麦克笔画1.The product design drawing methods mainly include the pale color painting,gouache,watercolor picture,color powder picture,marker drawing and the puter aided design. 产品设计绘画 ... 主要包括淡彩画、水粉画、色粉画、麦克笔画和计算机辅助设计。
6)MIEX “麦克氏”1.MIEX magic ion exchange water trea tment technology; “麦克氏”离子置换水处理技术补充资料：麦克斯韦－玻耳兹曼分布律全同粒子在平衡态的统计分布律。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
第四章麦克斯韦波尔兹曼分布律
x
又
dI p m ni v ix 2 dAdt i
_____ 2 x
v
n1v1 x 2 n2 v 2 x 2 n1 n2
2 n v i ix i
表示vx2对所有 分子求平均值
p mn v
_____ 2 x
在平衡态时 v
v
_____ 2 x _____ 2 y
right :
整理可得
f (v 2 ) df (v 2 ) v 2 df (v 2 ) 2v x 2 v x dv v x dv 2
df (v 2 ) df (v x ) f (v y )f (v z ) 2 dv 2v x dv x
df (v x ) = f (v y )f (v z ) 2 dv x
若 f (v ) 已知，可求得分布任一区间内 v1 v2 的分子 数△N占总分子数的比率，即
v2 N f (v )dv v1 N
计算过程中的积分问题－误差函数（详见课本P127~128） vz
三、麦克斯韦速率分布律
由速度直角坐标系中，如图，分 子热运动速度出现在速度 v 空间 体积元 dv内的概率为
(v x 2 v y 2 v z 2 )
分布函数必满足归一化条件，即
f (v x ,v y ,v z )dv x dv y dv z 1
可得
32 C ( ) 3 2 (v f (v )=f (v x ,v y ,v z )=( ) e 32 v ( ) e
在速度区间 v ~ v dv ,
其中dv dv x dv y dv z
84麦克斯韦玻尔兹曼分布
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
2、平均速率
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
•计算：
v＝ Nivi Nivi
Ni
N
v vdN
N
dN Nf (v)dv
v
vdN N
＝
vNf (v)dv N
vf
(v)dv
v 8kT 8RT 1.60 RT
每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，
可粗略估计高度变化。
h kT ln p0 RT ln p0 mg p Mg p
近似估计高度
8－4 麦克斯韦－玻尔兹曼分布
引言：
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞， 每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时 刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全 是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条 件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律——
气体速率分布律。
气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实 验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。
法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进 而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺 贝尔物理奖。
五、重力场中等温气压公式
假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等
利用：p = nkT
可得:
n n0emgh kT n0e Mgh RT
p p0e Mgh RT p0emgh kT
2kT 2RT
RT
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
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O
v p
v
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
f (v ) p1
f (v ) p2
f (v ) p3
T1
T2
T1 T2 T3
温度越高，速率 大的分子数越多
T3
v v v O
p1 p 2 p3
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
同一温度下不同种气体速率分布比较
大时， v 的统计平均值可表示为
Nivi
v i N
因为速率连续分布， 所以有
v 0 vdNv N
关于 v 的任意函数 g(v) 在 v1 v2 速率区间的统计平均值为
v2 g(v)dN v2 g(v) f (v)dv
g(v) v1 v2 dN v1 v2 f (v)dv
麦克斯韦
3
f
(v)
4
m
2k T
2
e mv2
v ( 2kT ) 2
T ——热力学温度
m ——单个分子的质量
k ——玻尔兹曼常量
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
f (v)
f (v)
O v vp
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
麦克斯韦速率分布曲线
v
p
v
v
p
vp 100
v
p
vp 100
vp 50
在此利用vp ，引入W=v/ vp ，把麦克斯韦速率
分布律改写成如下简单形式：
N＝f (W )W 4 W 2eW 2 W
N
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
现在
W v ＝99 vp 100
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数
N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S
N (v1 N
v2 )
v2
v1
f
(v)dv
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
设 N 个分子中速率为 vi 的分子有 Ni 个，当总分子数 N 非常
可测气体速率分布
蒸汽源
检测器
给定 t l
v
v
l
小孔充分小，改变
度的分子通过小孔。
l
D
OB
C
抽气
抽气
或 l ，可使不同速
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
2. 麦克斯韦速率分布律
3
dN N
4
m
2kT
e v 2
2
mv 2 kT
2
dv
麦克斯韦速率分布函数
§10.2麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
一 分子热运动和统计规律
分子热运动：大量分子做永不停息的无规则运动 一般气体分子热运动的概念：
•分子的密度 31019 个分子/cm3 = 3千 亿个分子/cm3 ；
•分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；
•分子热运动的平均速度约 v = 500m/s ； •分子的平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒。
区间的分子数占总数的百分比 .
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
f (v)
dS
o v v dv
v
dN f (v)dv dS N
归一化条件
物理意义
表示在温度为 T 的平衡
f (v)
面积f (v)d v d N N
面积
速率在(v, v
v2
v1
df v(v)区) d间v内的N分N子数
f (v)
占总分子数的比例；或分子速率位
于(v,v dv) 区间 内的概率。
O dvv v1 v2
v
速率在 (v1, v2 ) 区间内的分子数占总分子数的比例；或
分子速率位于 (v1, v2 ) 区间内的概率。
v1
v1
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
n • f (v)为速率分布函数， 为分子数密度，说明下
式的物理意义：
(1)nf (v)dv
Q
f (v)
dN ,n N dn v
N V
nf (v)dv dN V
表示单位体积内分布在速率区间 v v dv
内的分子数。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
3. 气体的三种统计速率 (1)最概然速率:
速率分布函数 f (v) 中的极大值对应的分子速率。
d f (v)
极值条件
0
f
(v)
4
dv
m
2k
T
3
2
e
mv2 2kT
v
2
v p
2kT m
2 RT
1.41
RT
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
统计方法：
气体动理论中，求出大量分子的某些微观量 的统计平均值，用它来解释实验中测的宏观量， 故可从实测的宏观量了解个别分子的真实性质。
统计方法同时伴随着起伏现象。 如对气体中某体积内的质量密度的多次
测量，各次测量对平均值都有微小的偏差。当气 体分子数很大时，起伏极微小，完全可忽略；当 气体分子数较小时，起伏将与平均值可比拟，不 可忽略。故统计规律只适用于大量分子的整体。
•布朗运动是杂乱运动的流体分子碰撞悬浮 其中的微粒引起的。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
1.分子热运动的基本特征
分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁 的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不 能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。
(1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；
各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正 是热运动与机械运动的本质区别。
(3)n v2 f (v)dv v1
f (v) dN , n N
Ndv
V
n v2 f (v)dv N N N
v1
VN V
表示分布在单位体积内，速率区间 v1 v2内的
分子数。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
二 麦克斯韦速率分布律
1. 分子速率的实验测定
小孔充分小，改变 ， 测 D 上的沉积厚度，就
R2TmkT1.723e
2
v RT mv
2 kT
2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
方均根速率
O
v2
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
三种速率比较
f (v)
vp v v2
三种速率均与 T 和 m 成
反比，但三者有一个确定的 比例关系;三种速率使用于不 同的场合。
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
2.分布函数和统计平均值
偶然事件：大量出现不可预测的事件。多次重复观察 同样的事件，可获得该偶然事件的分布， 从而得到其统计规律。
设： N ——为一定质量气体的总分子数
N ——为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总数的 百分比 .
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
百分比 .
0N
dN N
0
f
(v)dv
1
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv N
速率位于v v dv 内分子数
v
f (v)最概Βιβλιοθήκη 速率Ovvp
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(2)平均速率：气体分子速率的算术平均值。
N
v 0 v d N
vf (v) d v
N
0
v f (vv) Nd dNv f
(v)
48kT
m
2mk8TRT8231kem.T60m 2kRvTT2
把这些量值代入，即得
W v＝ 1 v p 50
N＝
N
4
99 100
2
e
99 100
2
1 50
1.66%
v2
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)
平均速率
O
v
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
(3)方均根速率：气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2
N v2dN
0
v2 f ( v )dv 3kT
N
0
m
dN
3
f ( v ) Ndv v2
f (v)3mkT
4
3
f (v)
m1
m1 m2 m3
m2
分子质量越小，速率
大的分子数越多。
m3
O
v
§10.2 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
例3 （教材例10.3） 试计算气体分子热运动速