(完整版)高中数学数列知识点整理(可编辑修改word版)
高中数学数列知识点总结(精华版)
..一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.⑴数列中的数是按一定“次序〞排列的，在这里，只强调有“次序〞，而不强调有“规律〞．因此，如果组成两个数列的数一样而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n与项数n是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列a n的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果数列a n的第一项〔或前几项〕，且任何一项a n与它的前一项a〔或前几项〕间的关系可以用一个式子来表示，即a n f(a n1)或a n f(a n1,a n2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,a n2a n1，其中na n2a n1是数列a n的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式①Sn a1a2a；②nS(n1)1a n.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何nN,均有a n1a n.②递减数列:对于任何nN,均有a n1a n.③摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,⋯⋯.⑤有界数列:存在正数M使a n M,n N.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项a使得a n M.n1、n*a2(nN)nn156，那么在数列{}a的最大项为__〔答：n125〕；2、数列{}a的通项为nana n，其中a,b均为正数，那么a n与a n1的大小关系为___〔答：bn1aa n1〕；n23、数列{a}中，a是递增数列，XX数的取值X围〔答：3〕；ann，且{}nnn4、一给定函数yf(x)的图象在以下图中，并且对任意a(0,1)，由关系式a n1f(a n)1*得到的数列{}a满足a n1a n(nN)，那么该函数的图象是〔〕〔答：A〕neord完美格式..二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
(完整版)高中数学数列知识点整理
1数列中a n 与S n 之间的关系:a nS ‘（n 1）注意通项能否合并。
S n & i ,（n 2）.2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a n - a n 1=d ， (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数 a 、A b 成等差数列或a n pn q （p 、q 是常数）⑷前n 项和公式：n n 1 S n n^d2⑸常用性质： ① 若 mn p q m,n, p,q N ，贝U a m a n a p a q；② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,，仍组成等差数列； ③ 数列 a n b （ ,b 为常数）仍为等差数列；④ 若｛a n ｝、｛0｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n pb n ｝ （k 、p 是非零常数）、｛a p nq ｝（ p,q N ）、，…也成等差数列。
⑤单调性： a n 的公差为d ，则：i) d 0 a n 为递增数列； ii) d 0 a n 为递减数列； iii) d 0a n 为常数列；⑥数列｛a n ｝为等差数列 a n pn q （ p,q 是常数）⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2kS k 、S 3k S 2k …是等差数列。
3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数a 、Gb 成等比数列G 2 ab, （ ab 同号）。
反之不一定成立。
数列⑶通项公式：a n a 1(n 1)d a m (n m)dn a-i a n2⑶通项公式：a nn 1n maga m q⑷前n 项和公式：a 1 1 q n S i1 qa 1 a n q 1 q⑸常用性质①若m n pq m,n, p,q N , 则 am ana p a q；② a k ，a k m ，a k 2m ,为等比数列， 公比为 q k （下标成等差数列，则对应的项成等比数列）③ 数列a n （为不等于零的常数）仍是公比为 q 的等比数列；正项等比数列 a n ；则lg a n 是公差为lg q 的等差数列；④ 若a n 是等比数列，则 ca n , a n 2 ,a n r（r Z ）是等比数列，公比依次是⑤ 单调性：a i 0,q 1或印 0,0 q 1 a “为递增数列； a i 0,0 q 1或q 0,q1a .为递减数列；q 1 a n 为常数列； q 0a n 为摆动数列；⑥ 既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
数列知识点总结(高中数学)
数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列；4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。
2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。
1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2ba A +=，则b A a ,,是等差数列。
2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是等差数列。
(完整版)高考数学专题《数列》超经典
高考复习序列-----高中数学数列一、数列的通项公式与前n 项的和的关系①11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩（注：该公式对任意数列都适用）②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1−s n−1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列⑴ 通项公式与公差：定义式：d a a n n =--1一般式：()q pn a d n a a n n +=⇔-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-ma a d mn --=⇔；⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：前n 项和公式：1()n n n a a s +=1(1)n n na d -=+211()2d n a d n =+-.前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=22，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。
n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差数列；②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，⋅⋅⋅）仍是等差数列；③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ，即m 2d=(S 2m -S m )- S m ；B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。
高中数学数列知识点总结
高中数学数列知识点总结导语：数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
下面是我整理的高中数学数列知识点总结，供参考。
数列的相关概念1.数列概念①数列是一种特殊的函数。
其特殊性主要表现在其定义域和值域上。
数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。
图像法;c.解析法。
其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。
③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
等差数列1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)dn=1时a1=S1n≥2时an=Sn-Sn-1an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。
这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。
有关系：A=(a+b)÷23.前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)∴Sn=n(a1+an)÷2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)亦可得a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷nan=2sn÷n-a1有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+14.等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。
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高一数学期末复习专题解三角形3. 正、余玄定理的解题类型: (1) 两类正弦定理解三角形的问题： ① 已知两角和任意一边，求其他的两边及一角 ② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角 (2) 两类余弦定理解三角形的问题： ①已知三边求三角.②已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式.5. 解题中利用 ABC 中：ABC，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如:sin(A B) si nC,cos(A B) cosC, tan (A B) tanC,.A B C AB .CAB C sincos —,cos sin ,ta ncot .2 2 2 2 2 26、 三角公式： (1) 倍角公式： (2) 两角和、差公式：1正弦定理：a b c2Rsin AsinB sin Ca:b:c sin A:sin B:sin C .cos A2a b 2c 2bc cos A2.余弦定理： b22a c 2 2ac cos B 或 cos B2cb 2a 2ba cos Ccos Cb 22c 2a2bc2 22ac b2ac222ba c2ab数列基础知识点和方法归纳1.等差数列的定义与性质(1)定义：a n 1 and （ d 为常数），通项公式： a n ai n 1 d(2)等差中项： x , A y 成等差数列 2A x y (3) 前n 项和： S na 1 a n nnnn n 1d 122(4)性质： a n 是等差数列① 任意两项间的关系式； a n = a m + （n — m ）d （m 、n € N ） ② 若 m n p q ，贝U a m a . a p a q ;③ S n , S 2n S n , S 3n S 2n ……仍为等差数列，公差为n 'd ; ④ 若三个成等差数列，可设为a d , a, a d⑤ 若a n , b n 是等差数列，且前n 项和分别为S n , T n ，则空 乩b m T 2m 1⑥a n 为等差数列 S n an 2 bn （ a,b 为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）S n 的最值可求二次函数S n an 2 bn 的最值；或者求出a .中的正、负分界项,a o即：当a ,, d 0，解不等式组时o 可得§达到最大值时的n值.a o当a ,0, d 0,由“ 可得S n 达到最小值时的n 值.a n 1 0⑦项数为偶数2n 的等差数列a n 有n(a n a n 1)6, a . 1为中间两项)⑧ 项数为奇数2n 1的等差数列a n 有:S偶S奇nd ,a n 1S2n 1 (2n 1)a n(a n为中间项),a n ,32.等比数列的定义与性质(1) 定义：也a nq （ q 为常数，q 0),(2) (3) (4) 通项公式: 等比中项: 前n 项和: 性质： a n a nX 、S nG 、y 成等比数列na(q 1) a 11 q n 1 q(q 1)是等比数列 ①任意两项间的关系: —m - na m = a n . q②若 m n p q ，贝U a . a p- a qG 2 xy ,或 G 、、xy（要注意！）(m 、n € N ).③S n , S 2nS n , S sn S ?n ……仍为等比数列，公比为ql注意：由S n 求a n 时应注意什么?n 1 时，a 1 S i ； n 2 时，a nS n S n 13.求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法 如：数列a n , 1 12a 1 尹2 夬n 2n 5, 求 an解：n 1时, n 2时，為 2 1 / 1尹214 2n①-②得：寺a n2，…a n 14(n 1) 2n1( n 2)5& 1a n 1, 3注意到a n 1 Sn 1 S n ，代入得S n［练习］数列a n 满足S n a 1 n 2 时，a nS n S n 14，求 a n又S 4 , • S n 是等比数列，S n 4(2)叠乘法如：数列a n 中, 3,3a nn求a n n 1解: a2a1 a3a2 a n 1又a1 3, —a n(3)等差型递推公式由a n a n 1 f(n).a o，求a n，用迭加法a2 a i a3 a2 f(2)f⑶两边相加得an a i f (2) f (3) f (n)--a n a0f(2)f(3)……［练习］数列a n中，a11 (4)等比型递推公式a n ca n 1d( c、d为常数，可转化为等比数列 ,设a n x令(c 1)x d , x d5・■ i c 1d d n 1…a n a1cc 1 c 1(5)倒数法如：a11,an 12a n求a n 2由已知得：1a n 21a n 12a n2••• 1为等差数列，11 ,a n a1 a n a n…a n a n a n 1 f (n)f(n)a n 3n1a n 2，求a n a n(3n1),a n丄a n公差为1,a n是首项为a ia n—,c为公比的等比数列c 11a n(附：公式法、利用a n S(nS n S n1)1 (n2)、累加法、累乘法•构造等差或等比3换元法)4.求数列前n 项和的常用方法(1) 公式法 (2)裂项相消法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项da 1a n 1(3)错位相减法由 S n qS n ，求 S n , 其中q 为b n 的公比.(4)分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列， 也不是等比数列的数列，若将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。
数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。
我们用｛aₙ} 来表示一个数列。
二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。
例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。
2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。
三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。
通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。
四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
高一数学必修一 - 数列知识点总结
高一数学必修一 - 数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
a. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
如果数列的公差为d，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
b. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
如果数列的公比为r，则数列的通项公式为：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$，其中$a_n$为第n项，$a_1$为首项，n为项数。
2. 数列的性质a. 通项公式通项公式是数列中任意一项与项数之间的关系式。
根据数列的类型，可以通过公式求解任意项。
b. 公差和公比对于等差数列，公差是指相邻两项之间的差值。
公差可以用于确定数列的特征和性质。
对于等比数列，公比是指相邻两项之间的比值。
公比可以用于确定数列的特征和性质。
c. 首项和末项首项是数列中的第一项，通常用$a_1$表示。
末项是数列中的最后一项，通常用$a_n$表示。
d. 项数项数是数列中项的个数，通常用n表示。
e. 等差数列的和等差数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$，其中$S_n$表示前n项和。
f. 等比数列的和等比数列的前n项和可以通过公式求解：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前n项和。
3. 数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，其中一些常见的应用包括：a. 金融计算数列可以应用于金融中的利息计算、贷款计算等，帮助人们进行财务规划和计算。
b. 物理学数列可以应用于物理学中的运动学问题，如运动物体所经过的位置、速度等的计算。
c. 统计学数列可以应用于统计学中的数据分析和预测，帮助人们了解和预测事物的发展趋势。
总结数列是数学中非常重要的概念，常见的数列包括等差数列和等比数列。
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⎨ p+nq 数列1、数列中a n 与S n 之间的关系：a =⎧S1n S -S , (n = 1), (n ≥ 2). 注意通项能否合并。
⎩n n-12、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即a n －a n-1=d ，（n≥2，n∈N+），那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b 成等差数列⇔A =a +b 2⑶通项公式：a n =a1 + (n -1)d =a m + (n -m)d或a n =pn +q ( p 、q是常数）.⑷前n 项和公式：S n =na1+n (n -1)d =n (a1+a n)2 2⑸常用性质：①若m +n =p +q (m, n, p, q ∈N +)，则a m +a n =a p +a q ；②下标为等差数列的项(a k,a k+m,a k+2m, )，仍组成等差数列；③数列{a n+b}（,b为常数）仍为等差数列；④若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n +pb n }{a }( p, q ∈N *) 、，…也成等差数列。
⑤单调性：{a n}的公差为d，则：ⅰ）d>0⇔{a n}为递增数列；ⅱ）d<0⇔{a n}为递减数列；ⅲ）d=0⇔{a n}为常数列；( k 、p 是非零常数)、⑥数列{ a n }为等差数列⇔a n =pn +q （p,q 是常数）⑦若等差数列{a n }的前n项和S n ，则S k 、S2k -S k 、S3k-S2k…是等差数列。
3、等比数列⑴定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
⑵等比中项：若三数a、G、b 成等比数列⇒G2=ab, （ab 同号）。
反之不一定成立。
k k +m k +2m ⎨ ⑶通项公式： a = a q n -1 = a q n -mn 1 ma (1- q n )a - a q⑷前n 项和公式： S n =⑸常用性质11- q = 1 n1- q①若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q ；② a , a , a , 为等比数列，公比为 q k(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)③数列{a n } （为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；正项等比数列{a n } ；则{lg a n } 是公差为lg q 的等差数列；④若{a }是等比数列，则{ca }，{a 2}⎧ 1 ⎫n n n⎨ a ⎬ ⎩ n ⎭{a r }(r ∈ Z ) 是等比数列，公比依次是 q ，q 2 1q r .， ， nq⑤单调性：a 1 > 0, q > 1或a 1 < 0, 0 < q < 1 ⇒ {a n }为递增数列； a 1 > 0, 0 < q < 1或a 1 < 0, q > 1 ⇒ {a n }为递减数列； q = 1 ⇒ {a n } 为常数列； q < 0 ⇒ {a n } 为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列{a n }的前n 项和 S n ，则 S k 、 S 2k - S k 、 S 3k - S 2k … 是等比数列.4、非等差、等比数列通项公式的求法观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，公式法：若已知数列的前n 项和 S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式 a n = ⎧S 1S - S , (n = 1) , (n ≥ 2) 构造两式作差求解。
⎩ nn -1用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a 1 和a n 合为一个表达，（要先分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情况分别进行运算，然后验 证能否统一）。
累加法：形如 a n +1 = a n + f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构造：类型Ⅲ 类型Ⅱ 类型Ⅰ⎪ ⎪ ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨ n -2⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)将上述n - 1个式子两边分别相加，可得： a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1 , (n ≥ 2)①若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;② 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;④若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和.累乘法：形如 a= a ⋅ f (n )⎛ a n +1 =⎫f (n ) 型的递推数列（其中 f (n ) 是关于n 的函数）可构n +1⎧ a n⎪ a n⎪ ⎝ an⎭= f (n -1) ⎪ n -1 ⎪ a n -1造： ⎪ a f (n - 2)⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n - 1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1 , (n ≥ 2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
构造数列法：㈠形如 n +1 n q （其中 q 均为常数且 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列;（2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列;（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设 a n +1 += p (a n + ) ,展开移项整理得 a n +1 = pa n + ( p -1),与题设类型Ⅴ 类型Ⅳ =⎩ ⎭a n +1 = pa n + q 比较系数（待定系数法）得=q , ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q ) ⇒ a + q = p (a + q ) ,即p -1 n +1 p -1 n p -1 n p -1n -1 p -1⎧a + q ⎫构成以 a + q为首项，以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公 ⎨ n p -1⎬ 1p -1 ⎩ ⎭ ⎧ q ⎫ 式求出⎨a n + p -1⎬的通项整理可得 a n .法二：由 a= pa+ q 得 a = pa+ q (n ≥ 2) 两式相减并整理得 a n +1 - a n= p , 即 n +1nnn -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以 a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 a n .㈡形如 a n +1 n 1) 型的递推式：⑴当 ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设 a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以 a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项 公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得 a n .法二：当 f (n ) 的公差为 d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ，a n = pa n -1 + f (n -1) 两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得：b n = pb n -1 + d 转化为类型Ⅴ㈠求出 b n ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 a n .⑵当 ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设 a n +f (n ) = p [a n -1 + f (n -1)]，通过待定系数法确定的值，转化成以a 1 + f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + f (n )} 的通项整理可得 a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得 a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相n +1 n n +1 n 1 n +1 nn +减得 a- a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n = p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为 a = pa + q n （其中 p ，q 均为常数）或 a = pa + rq n（其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1= p • an + ， qn +1q q n q引入辅助数列{b }（其中b =a n），得： b = p b + 1 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。
nnq nn +1q n q⑶当 f (n ) 为任意数列时，可用通法：在 a= pa + f (n ) 两边同时除以 p n +1 可得到 a n +1 = an + f (n ) ，令 a n = b ，则 n +1 np n +1 p n p n +1 p n nb = b f (n ) ，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出b之后得 a = p n b .n +1 n p n +1n n n对数变换法：形如 a = pa q ( p > 0, a > 0) 型的递推式： 在原递推式 a= pa q 两边取对数得lg a= q lg a + lg p ，令b = lg a 得：n +1n +1nnnb n +1 = qb n + lg p ，化归为 an +1 = pa n + q 型，求出b n 之后得 a =10b n .（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）。
倒数变换法：形如 a n -1 - a n = pa n -1a n （ p 为常数且 p ≠ 0 ）的递推式：两边同除于 a n -1a n ，转化为1 = 1 + p 形式，化归为 a = pa + q 型求出 1 的表达式，再求a ；a n a n -1n +1 n n a n还有形如a= ma n 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 1 = m 1 + m 形式，化归 n +1 pa + q a q a pn 为 a n +1 = pa n + q 型求出 1 的表达式，再求a n .a nn +1 n形如 a n +2 = pa n +1 + qa n 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{a n - a n -1} 的形式求解。