圆的对称性(2)
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
北师大版数学九年级下册《2 圆的对称性》教案
北师大版数学九年级下册《2 圆的对称性》教案一. 教材分析《2 圆的对称性》这一节的内容，主要让学生理解圆的对称性，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
同时，让学生会利用圆的对称性解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对轴对称图形和中心对称图形有了初步的认识。
但是，对于圆的对称性的理解还需要进一步的引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生理解圆的对称性，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
2.让学生能够利用圆的对称性解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。
2.如何利用圆的对称性解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生观察、思考、讨论，培养学生的几何思维。
六. 教学准备1.准备一些有关圆的对称性的图片和案例。
2.准备一些实际的数学问题，让学生解决。
七. 教学过程1.导入（5分钟）a.引导学生回顾轴对称图形和中心对称图形的概念。
b.提问：圆是轴对称图形吗？圆有几条对称轴？2.呈现（10分钟）a.展示一些圆的对称性的图片，让学生观察。
b.引导学生发现圆的对称性，总结出圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。
3.操练（10分钟）a.让学生分组讨论，找出一些实际的数学问题，利用圆的对称性解决。
b.每组选取一个问题，进行展示和讲解。
4.巩固（10分钟）a.让学生独立完成一些有关圆的对称性的练习题。
b.讲解答案，分析错误的原因。
5.拓展（10分钟）a.引导学生思考：圆的对称性在实际生活中有哪些应用？b.让学生举例说明，进行分享和讨论。
6.小结（5分钟）a.回顾本节课所学的内容，总结圆的对称性的重要性和应用。
b.强调圆的对称性的理解和运用。
7.家庭作业（5分钟）a.布置一些有关圆的对称性的练习题，让学生独立完成。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
3.2圆的对称性(北师大版)
A
M└
●
∴AM=BM,
⌒ =BC, ⌒ AC ⌒ ⌒ AD=BD.
D
• 杨老师提示: • 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三 种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形
D
B E
D
A
O
O
O
A
E C
A
B
C
A
E C
A
B
O E C B
C
D
E
O
A
E D
B
B
M
●
O
D
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 ⌒ AB(用 两个字母).
C
⌒ 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 AMB (用三个字母).
弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
A B
A
B
同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫 做同心圆。 r
1
r2 O
O
r
O
r
等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
A B O
M└
●
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
垂径定理及逆定理
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ , ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 结论 命 题
C
A
M└
●
B O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
已知：⊙O中弦AB∥CD. C A
青岛版初中数学《4.1_圆的对称性(2)圆心角_弧_弦_弦心距之间的关系》课件
2、在⊙O中， AB = AＣ ，∠B=70°，则∠A= ＿＿＿
Ｂ ３、如图：AB为⊙O的直径， BC = CD = DE ， ∠COD=35°， 则∠AOE=＿＿＿＿度。 A E D C
圆的对称性
---圆心角、弧、弦之间的关系
圆绕圆心旋转
2
圆绕圆心旋转
2014-11-11
3
圆绕圆心旋转
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圆绕圆心旋转
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5
圆绕圆心旋转
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6
圆绕圆心旋转
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7
圆绕圆心旋转180°后仍与原 来的圆重合。
·
下面的说法正确吗?为什么? 如图,因为 AOB AOB 根据圆心角、弧、 弦的关系定理可知：
AB AB
A
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⌒
⌒
O
B
B
26
A
例题3
如图，已知AB、CD为 ⊙O的两条弦， AD=BC ，求证AB＝CD.
C B O D A
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练习1
圆心角、弧、弦心距
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧, ③两条弦中,有一组量相等,那么它们所对应的其余 各组量都分别相等.
D
A
●
D O
A
●
B
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A ′ B′
2.2圆的对称性(解析版)
2.2圆的对称性【推本溯源】中心对称1.一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？可以和原来图形重合。
因此，圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
2.旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
3.在纸上画半径相等的圆O和圆O′，再画相同的圆心角的∠AOB和∠A′OB′，连接AB、A′B′。
在所画图中还有哪些相等的线段、相等的弧？AB=A′B′弧AB=弧A′B′证：因此，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等几何语言：∵'''∠∠=AOB A O B，∴ AB=A B''，AB=A B''4.那么在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？因此可得：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
另外两组几何语言：（1）∵ AB=A B''，∴'''∠∠=AOB A O B AB=A B''∵半径OA重合，'''∠∠=AOB A O B，∴半径OB与OB'重合，∵点A与点A'重合，点B与点B'重合，∴AB与A B''重合，弦AB与弦A B''重合，∴AB=A B''，AB=A B''．（2）∵AB=A B''，∴ AB=A B'''''∠∠=AOB A O B5.我们知道，将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。
我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。
因此，一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
教育部参赛 5.2圆的对称性2 翟赛花
沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？
●
O
圆的对称性
• 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴.
●
O
画⊙O的一条弦AB.
C M└
●
问题1:这个图是轴对称图形吗？
B
A
O
过O画AB的垂线交⊙O于C、D两 点，垂足为M.
D
问题2：过O点作垂直AB的直线有几条？
C
A
M└
5、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一 些油后，截面如图， （1）若油的最大深度为16cm，求油面宽 度AB。 （2）若油面宽度AB=48cm，则油的最 大深度为多少？
要学会总结基本 图形与方法！
C
D
如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
∴AM=BM.∠AOC=∠BOC ⌒ ⌒ ∴ ∠AOD=∠BOD, AC =BC
D
⌒ ⌒ ∴ AD=BD
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
基本图形：
C A M O B
C A M O B A
C M O B
• 老师提示: 如果只要得到平分弦时，我们可只作OP⊥AB． 则定理符号语言表述为 ∵ OP⊥AB ∴AP=BP
B
变式3.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘
米，弓形高CE=2cm，求⊙O的半径。
例题解析
例1：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8 ㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半 径。
2014新版浙教版九年级数学上3.2圆的轴对称性(2)ppt课件
结论
O A E D B
｝｛
CD⊥AB
EA=EB
直径平分弧
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦
请你用命题的形式表述你的结论?
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
直径(或过圆心的直线)垂直于弦
｛
（1）直径平分弦
（2）直径平分弦所对的弧
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
(1)当两条弦在圆心的两侧时 C
A
●
O B
D
(2)当两条弦在圆心的同侧时
C
A
●
O B
D
师生共同总结：
１．本节课主要内容： 垂径定理的另两个定理．
2．垂径定理的应用： （1）计算（2）证明．
3．解题的主要方法： （1）连接弧的中点与圆心和画半径是圆中常见的辅助线； （2）已知弦长,弓形高,求半径（或弦心距)时,经常利 用的勾股所对是弦的长)
为36m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7m，求桥拱 的半径.
练习2：如图，在直径为130mm的圆铁片上切下一
块高为32mm的弓形铁片,求弓形的弦AB的长.
32mm B O
A
已知圆O的半径为5cm,AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 求AB与CD间的距离.
EA=EB (AB非直径)
结论
O
｝｛
CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ AD=BD
A
E D
B
直径平分弦(非直径)
｛
（1）直径(或过圆心的直线)垂直于弦
（2）直径平分弦所对的弧
请你用命题的形式表述你的结论?
4.1 圆的对称性 第2课时
M
N
跟踪训练
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF 已知：如图，AB、CD是 的两条弦，OE、 为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： 的弦心距 （1）如果AB=CD，那么 如果AB=CD， AB=CD ⌒ ⌒ ___________,________, _________. ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD （2）如果OE=OF，那么 如果OE=OF， OE=OF ⌒ ⌒ ___________,________,__________. ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
= 75
本课小 结
圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 圆的对称性 圆心角、 圆心角、弧、 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 弦、弦心距之 间的关系 证明圆弧相等：（1 证明圆弧相等：（1）定义 ：（ （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、 圆心角、 证明线段相等：（1）直线形的方法 证明线段相等：（1 ：（ （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦、之间的关系 圆心角、 弦、之间的关系 垂径定理 及其推论
例
题
【例1】如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心 如图， EPF的平分线上的一点， 的平分线上的一点 求证： 的圆和角的两边分别交于点 A、B和C、D，求证：AB=CD 证明： OM⊥AB，ON⊥CD， 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD， 为垂足. M，N为垂足.
∠MPO = ∠NPO OM ⊥ AB ⇒OM = ON ON ⊥ CD ⇒ AB = CD.
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 若旋转角度不是180° 而是旋转任意角度， 180 过后的图形能与原图形重合吗？ 过后的图形能与原图形重合吗？
圆的对称性
知识点3.圆的对称性
圆的对称性包括：轴对称性、中心对称性、旋转不变性。
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
旋转不变性：圆围绕着圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
提醒：（1）圆的对称轴是一条直线，所以不能说“直径就是圆的对称轴”，而是要注意强调“直径所在的直线”是圆的对称轴。
（2）圆的对称轴有无数条。
例1如图所示的是两个相等的圆相交形成的图形，下列结论
正确的是（）
A、它既是中心对称图形，又是轴对称图形。
B、它是中心对称图形，但不是轴对称图形。
C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形。
D、它既不是中心对称图形，也不是轴对称图形。
提醒：
应用上面的结论时应注意以下几点：
①因为给出一个已知能够得出三个结论，所以在具体运用时，可以根据需要选择结论中的有关部分，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”。
②千万不能忽略了“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果没有这个前提条件，
即使圆心角相等，所对弧、弦也不一定相等，如图所示，两个圆的圆心
相同，AB与对应同一个圆心角，但AB与不是等弧,AB≠。
③因为一条弦所对的弧有两条，所以由“弦相等”得出“弧相等”时，
这里的“弧相等”指的是对应劣弧与劣弧与劣弧相等，优弧与优弧相等。
例：如图所示⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC,AB,AC分别交⊙O于D,E两点。
求证BD=DE=EC 。