2013届高考数学一轮复习精品学案：第24讲 三角恒等变形及应用
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析
Word File山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析撰写人：XXX第 2 课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简 1.化简tanα＋1tan π4 ＋α2＝( ) A.cosα B．sinα C.1cosα D.1sinα 答案 C 解析原式＝2tan α21－tan 2 α2＋1－tan α21＋tan α2 ＝2tan α2 ＋1－tan α221－ta n 2 α2＝1＋tan 2 α21－tan 2 α2 ＝cos 2 α2 ＋sin2 α2cos 2 α2 －sin2 α2＝1co sα . 2.化简：1＋sinθ＋cosθsin θ2 －cosθ22＋2cosθ(00，∴ 2＋2cosθ＝4cos 2 θ2 ＝2cosθ2 . 又(1＋sinθ＋cosθ) sin θ2 －cosθ2 ＝2sin θ2 cosθ2 ＋2cos2 θ2 sin θ2 －cosθ2 ＝2cos θ2sin 2 θ2 －cos2 θ2＝－2cos θ2 cosθ，故原式＝－2cos θ2 cosθ2cos θ2＝－cosθ. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 1. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果为________．答案－2sin4 解析原式＝ 4cos 2 4＋2 sin4－cos4 2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π40，θ∈ 0，π2，所以 02)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2 ，π2，则α＋β＝________. 答案－3π4 解析由根与系数的关系且 a>2 得，tanα＋tanβ＝－3a0.所以tanα0)在区间－π4 ，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是( ) A.12 ，23 B. 13 ，23 C.13 ，23 D. 12 ，23 答案 D 解析 f(x)＝2sinωx ·1－cos ωx＋π22－sin 2 ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin 2 ωx＝sinωx. 所以区间－π2ω ，π2ω(ω>0)是函数 f(x)含原点的递增区间．又因为函数 f(x)在－π4 ，3π4上单调递增，所以－π4 ，3π4⊆－π2ω ，π2ω，所以－π2ω ≤－π4 ，π2ω ≥3π4，又ω>0，所以 00)个单位长度，平移后的图象关于 y 轴对称，则 a 的值可能为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 答案 B 解析 f(x)＝2 3sinx·cosx－2cos 2 x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π6.将其图象向左平移 a 个单位长度，所得图象对应的解析式为 y＝2sin 2x＋a－π6＝2sin 2x＋2a－π6，因为平移后的图象关于 y 轴对称，所以2a－π6 ＝kπ＋π2 ，k∈Z.即a＝kπ2＋π3 ，k∈Z.当 k＝0 时，a＝π3 . 2.(2020·石家庄模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|b>c B．b>a>c C.c>a>b D．a>c>b 答案 D 解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝si n13°. b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝1－tan 2 39°1＋tan2 39°＝1－sin2 39°cos 2 39°1＋sin2 39°cos 2 39°＝cos 2 39°－sin 2 39°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b. 2.化简cos 2 x－π12＋sin 2 x＋π12＝( ) A.1＋ 12 cos2x B．1＋ 12 sin2x C.1＋cos2x D．1＋sin2x答案 B 解析原式＝1＋cos 2x－π62＋1－cos 2x＋π62＝1＋ 12cos 2x －π6－cos 2x＋π6＝1＋12 ·2sin2xsinπ6 ＝1＋12 sin2x. 3.(2020·湖北重点中学联考)已知 A(x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转30°到 OB，交单位圆于点 B(x B ，y B )，则 x A －y B 的最大值为( ) A. 2 B.32 C．1 D. 12 答案 C 解析设 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为α，根据三角函数定义 x A ＝cosα，y B ＝sin(α＋30°)，所以 x A －y B ＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12 cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为 1.故选 C. 4.(2020·济南一模)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若 m 2 ＋n＝4，则m n2cos 2 27°－1 ＝( ) A.8 B．4 C．2 D．1 答案 C 解析由题意得 n ＝4－m 2 ＝4－4sin 2 18°＝4cos 2 18°，则m n2cos 2 27°－1 ＝2sin18° 4cos 2 18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°sin36° ＝2，故选 C. 5.已知α 为第四象限角，sinα＋cosα＝ 15 ，则tanα2 的值为( ) A.－ 12 B. 12C．－ 13 D. 13 答案 C 解析将sinα＋cosα＝ 15 的等号两边同时平方，得 1＋2sinαcosα＝125 ，得2sinαcosα＝－2425 ，所以(sinα－cosα)2 ＝1－2sinαcosα＝ 4925 .因为α 为第四象限角，所以sinα0，所以sinα－cosα＝－ 75 ，结合sinα＋cosα＝15 ，解得sinα＝－35 ，cosα＝ 45 .所以 tanα2 ＝sin α2cos α2＝2sin α2 cosα22cos 2 α2＝sinα1＋cosα ＝－13 .故选C. 6.(2021·福州外国语学校适应性考试)已知 A，B 均为钝角，sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝5－ 1510，且 sinB ＝1010，则 A＋B＝( ) A. 3π4 B.5π4 C. 7π4 D. 7π6 答案 C 解析因为 sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝ 1－cosA2＋ 12 cosA－32sinA＝ 12 －32sinA＝5－ 1510，所以 sinA＝55，因为 A，B 均为钝角，所以 A＋B∈(π，2π)，由 sinA＝55得 cosA ＝－ 2 55，由 sinB＝1010得 cosB＝－ 3 1010，所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，所以 A＋B＝7π4. 7.(2020·洛阳三模)函数 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2x·sinπ4的单调递减区间是( ) A. kπ＋π8 ，kπ＋5π8，k∈ZB. kπ＋π8 ，kπ＋3π8，k∈ZC. kπ－π8 ，kπ＋3π8，k∈ZD.kπ＋3π8，kπ＋5π8，k∈Z 答案 B 解析 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2xsinπ4 ＝log 12 sin2x－π4.令 t＝sin 2x－π4，则 y ＝log 12 t.因为 y＝log12 t 在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数 y＝log 12 sin 2x－π4的单调递减区间，只要求出 t＝sin 2x－π4的单调递增区间，同时注意 t＝sin 2x－π4>0.由2kπ0，∴2sinα＝3cosα，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cosα＝213 ，sinα＝313 ，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22sinα＋cosαsinα＋cosα 2 ＋cos 2 α－sin 2 α＝24cosα ＝268. 5.设函数 f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意x∈R，有 g x＋π2＝g(x)，且当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)．求函数 g(x)在[－π，0]上的解析式．解 (1)函数f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x ＝22 cos2xcos π4 －sin2xsinπ4＋sin 2 x ＝ 12 cos2x －12 sin2x＋12 －12 cos2x＝12 －12 sin2x，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π2＝π. (2)当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)，即 g(x)＝ 12 －12 －12 sin2x ＝12 sin2x. 当x∈ －π2 ，0 时，x＋π2 ∈ 0，π2，因为 g x＋π2＝g(x)，所以 g(x)＝g x＋π2＝ 12 sin 2 x＋π2 ＝－ 12 sin2x. 当x∈ －π，－π2时，x＋π∈ 0，π2，可得 g(x)＝g(x＋π)＝ 12 sin[2(x＋π)]＝12 sin2x. 所以函数 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－ 12 sin2x －π2 <x≤0 ，12 sin2x －π≤x≤－π2.山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析中考化学《第十一单元,盐,化肥》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第一单元,走进化学世界》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第三单元,物质构成奥秘》巩固复习题精编（含详细答案解析）最新人教版三年级数学上册第一学期期末总复习教案教学设计全册Best work give best you最好的资料给最好的你。
2013年高考数学成功方案系列课件第三章第四节简单的三角恒等变换
∴－π2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－ 1－cos2α－β＝－ 47，
∴tan(α－β)＝csionsαα－－ββ＝－ 37.
[答案]
－
7 3
1．定义运算 a
b＝a2－ab－b2，则 sin
π 6
π6＝ ( )
A．－12－
3 4
B．－12＋
3 4
C．－12
解析：sin
π 6
D.
(2)∵tan α＝－13，∴5sin2α2＋8sin2sα2incoαs－α2＋π411cos2α2－8
＝5sin2α2＋cos2α2si＋n α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
α＋3cos α α－cos α
所以π6≤2x－π3≤23π，则有12≤sin(2x－π3)≤1. 因为函数f(x)＝4sin2(π4＋x)－2 3cos 2x＋t(x∈P)的最小值为3， 所以4×12＋2＋t＝3，解得t＝－1. (2)因为2＋m<f(x)在x∈P上恒成立，则由已知可得2＋m<3，得 m<1，故m的取值范围是(－∞，1)．
α·(1＋csoins
α sin α·
α 2 α)
sin 2cos2
cos2
α
α
＝2scionsαα＋2scionsαα·csoins αα·scionsα22＝2scionsαα＋2csionsα22
＝2scionsαα＋4ssiinn2αα2＝2cos
α＋4sin2α2 sin α
＝21－2sisni2nα2α＋4sin2α2
.
解析：sin 2A＝2sin Acos A＝－34<0. 又 A 为△ABC 的内角，∴sin A>0，cos A<0.
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第27讲正、余弦定理及应用
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第27讲 正、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R Cc B b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第24讲 三角恒等变形及应用
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第24讲 三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。
历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第24课 二倍角的三角函数教师用书-人教版
第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图241，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图241 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。
高考数学(三角恒等变形)第一轮复习
高考数学（三角恒等变形）第一轮复习资料知识小结1.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 2.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．5. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.6、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 试题选讲第一节 同角三角函数的基本关系A 组1．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________． 解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.∵sin α＝55，∴cos α＝ 1－(55)2＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4.答案：π42．已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．解析：∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π.∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－45)×35＋(－35)×45＝－2425.答案：－24253．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.解析：tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，则sin(α＋β)cos(α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－3＝－32.答案：－324．(2008年高考山东卷改编)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．解析：由已知得32cos α＋12sin α＋sin α＝453，即12cos α＋32sin α＝45，得sin(α＋π6)＝45，sin(α＋76π)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－455．(原创题)定义运算a b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12π12＝________.解析：sin π12π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cosπ12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234.答案：－1＋2346．已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方得sin α＝12.又π2<α<π.所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×(－35)＝－43＋310.B 组1.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α＝cos 2α－sin 2α(sin α＋cos α)2·1＋tan α1－tan α＝cos α－sin αsin α＋cos α·1＋tan α1－tan α＝1－tan α1＋tan α·1＋tan α1－tan α＝1. 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________．解析：∵cos(π4＋x )＝35，∴cos x －sin x ＝352，∴1－sin2x ＝1825，sin2x ＝725，∴sin2x －2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x －sin x )cos x －sin xcos x＝sin2x ＝725.3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.解析：cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin(α－π3)＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，由已知得：(12＋32)sin α＝(12＋32)cos α，tan α＝1.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈(π4，3π4)，α－π4∈(0，π2)，又cos(α－π4)＝35，∴sin(α－π4)＝45.∵β∈(0，π4)，∴3π4＋β∈(3π4，π)．∵sin(3π4＋β)＝513，∴cos(3π4＋β)＝－1213，∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π4)＋(3π4＋β)]＝－cos(α－π4)·cos(3π4＋β)＋sin(α－π4)·sin(3π4＋β)＝－35×(－1213)＋45×513＝5665，即sin(α＋β)＝5665.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327. 6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.解析：∵α在第一象限，且cos α＝35，∴sin α＝45，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝1＋2(22cos2α＋22sin2α)cos α＝2cos 2α＋2sin αcos αcos α＝2(sin α＋cos α)＝2(45＋35)＝145.7．已知a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则tan(α＋π4)的值为________．解析：a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，又α∈(π2，π)，∴cos α＝－45，tan α＝－34，∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17.8.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______． 解析：由tan(70°－10°)＝tan70°－tan10°1＋tan70°·tan10°＝3，故tan70°－tan10°＝3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°＝tan70°tan10°3(1＋tan70°tan10°)－3＝tan70°tan10°3tan70°tan10°＝33.9．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．解析：∵sin α＋cos α≠0，cos α＝－14，∴sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1＝24cos α＝－ 2.10．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.解：原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2.11．已知向量m ＝(2cos x 2，1)，n ＝(sin x2，1)(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (C )的值． 解：(1)f (x )＝m ·n －1＝(2cos x 2，1)·(sin x 2，1)－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .∵x ∈R ，∴函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)∵f (A )＝513，f (B )＝35，∴sin A ＝513，sin B ＝35.∵A ，B 都为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45.∴f (C )＝sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665.∴f (C )的值为5665. 12．(2010年南京调研)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos 2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.第二节 两角和与差及二倍角的三角函数A 组1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.解析：由于α∈(－π2，π2)，sin α＝35得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π4)＝－22(cos α－sin α)＝－210.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.解析：∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π8.12＋12 12＋12cos θ＝ 12＋12cos 2θ2＝ 12－12cos θ2＝sin θ4.3．(2010年南京市调研)计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.4．(2009年高考上海卷)函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．解析：y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝sin2x ＋1＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1≥1－ 2.5．(原创题)函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 解析：f (x )＝(2010sin 4x ＋1)(2010cos 4x ＋1)20102sin 2x cos 2x＝20102sin 4x cos 4x ＋2010(sin 4x ＋cos 4x )＋120102sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋201120102sin 2x cos 2x －22010≥22010(2011－1)． 6．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．解：∵(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0，又α∈(π4，π2)，∴tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，(1)tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝43＋11－43＝－7.(2)cos2α＝2cos 2α－1＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，cos(π3－2α)＝cos π3cos2α＋sin π3sin2α＝12×(－725)＋32×2425＝243－750.B 组1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.解析：tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322.2．(2009年高考陕西卷改编)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103.3．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是解析：a ＝2sin59°，c ＝2sin60°，b ＝2sin61°，∴a <c <b .或a 2＝1＋sin28°<1＋12＝32，b 2＝1＋sin32°>1＋12＝32，c 2＝32，∴a <c <b .4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.5．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．解析：由题意知，tan α＝3，sin(2α＋π4)＝22(sin2α＋cos2α)，而sin2α＝2tan α1＋tan 2α＝35，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝22(35－45)＝－210. 6．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．解析：f (x )＝sin2x (1－2sin 2x )＝sin2x cos2x ＝12sin4x ，所以T ＝2π4＝π2.7．(2010年无锡质检)2cos5°－sin25°cos25°的值为________．解析：由已知得：原式＝2cos(30°－25°)－sin25°cos25°＝3cos25°cos25°＝ 3.8．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.解析：|a －2b |2＝(cos10°－2cos70°)2＋(sin10°－2sin70°)2＝5－4cos10°cos70°－4sin10°sin70°＝5－4cos60°＝3，∴|a －2b |＝ 3.9．(2010年江苏省南通市调研)已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.解析：因为1－cos2αsin αcos α＝1，即1－1－tan 2α1＋tan 2α＝12×2tan α1＋tan 2α，所以2tan α＝1，即tan α＝12，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)tan α＝－13－121－16＝－1.10．已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．解：(1)∵tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α，tan α＝2，∴tan(α＋π4)＝1＋21－2＝－3.(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52. 11．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°.＝35×12－45×32＝3－4310，∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435.12．(2009年高考江西卷)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .(1)求角A ，C .(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解：(1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ， 即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ， 得sin(C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6或B －A ＝5π6(舍去)，得A ＝π4，B ＝5π12.故A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即 a 22＝c32，得a ＝22，c ＝2 3.。
人教A版高中数学选修三角恒等变换教案复习
三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式. 难点:变换中的技巧. 复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代一、关于和角与差三角公式 特别注意公式的结构,用活公式.:sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得:2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得 tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+o o o o例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin.1212x x x x ππ-+例化简化简求值 7.:tan15tan 30tan15tan 30++o o o o 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a c a αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m mm y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=-Q U L 分析且得9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证 :tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是:tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan 3)(1tan 44)++++ooooL 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+o o o 例求值:50,10,80,60,90,.o o o o o 分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60+=+-=++==o o ooooo oo o ooo o o o o 思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==o o o o o o o oooo o oooo oL 思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tantan .22cos cos 2x x x x x-=+例求证 :,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos222222x x x x xx xx x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值:()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin;cos tan 22722αβαβαβ+++==∴=33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A CA C A Cπ+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-o o o例求的值:103020=-o o o分析 17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证:2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x xx πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+L 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--o o o o oo例已知求的值求的值 :(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。
第24讲 倍角公式及简单的三角恒等变换35
＝4sins3in0°2－0°10°＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)因为1si－n αcocoss2αα＝1，所以sin2sαinco2αs α＝2tan α＝1，
所以tan α＝12，又tan(β－α)＝－13，
所以tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα
＝2cos
40°cos
30°＋sin 40°sin cos 40°
30°－sin
40°
＝ c3ocsos404°0°＝ 3.
训练手册
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
(2)(2018·临沂期中)若 sin(π6－α)＝ 36，则 cos(23π＋2α)的值为
()
A．－23
B．－13
2
1
C.3
课时小结
【例 1】(1) 4cos 50°－tan 40°＝( )
A. 2
2＋ 3 B. 2
C. 3
D．2 2－1
解：(1)原式＝4sin
40°－csoins
40° 40°
＝4sin
40°cos 40°－sin cos 40°
40°＝2sin
80°－sin cos 40°
40°
＝2cos40°－ cos304°0°－sin 40°
＝1＋－－13－1312×12＝－1.
复习目标
课前预习
高频考点
考点二·三角函数的化简
课时小结
训练手册
【例 2】(2018·湖南长沙一模)化简：2sinπ－coθs2＋θ2 sin 2θ＝________.
解：2sinπ－coθs2＋2θ sin
2013届高考数学理一轮复习课件4.21三角恒等变换
D. 3
∴sin2α＝34.
∵α∈(0，π2)，∴sinα＝ 23，α＝π3
∴tanα＝tanπ3＝ 3，选 D.
2．已知函数 f(x)＝sinx－cosx 且 f′(x)＝
2f(x)，f′(x)是 f(x)的导函数，则co1s2＋x－sinsi2nx2x＝
(A )
A．－159
19 B. 5
11 C. 3
＝4
2－7 18
3 .
【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的 正弦、同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦 与余弦等基础知识，同时考查基本运算能力．
1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给 值求值、给值求角．
2．三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考 ，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到 中间”去具体操作．
3．(20114江苏)已知 tan(x＋π4)＝2，则ttaann2xx
的值为
9
.
【解析】∵tan(x＋π4)＝11＋－ttaannxx＝2 ∴tanx＝13 ∴tan2x＝1－2tatannx2x＝43 故ttaann2xx＝13×43＝49.
4．(2011 重庆)已知 sinα＝12＋cosα，且 α
5．已知 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，
β 为第三象限角，则 sin(β＋54π)＝
72 10
.
【解析】由已知得 sin[(α－β)－α]
＝－sinβ＝53
∴sinβ＝－53
∵β 为第三象限角
∴cosβ＝－54
∴sin(β＋54π)＝sinβcos54π＋cosβsin54π
7．已知向量 a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1) 且 a∥b，其中 θ∈(0，π2)．
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 简单的三角恒等变换
第四章
第4课时
高考调研
(2)原式＝cos20° cos40° cos80° 2sin20° cos20° cos40° cos80° ＝ 2sin20°
高三数学（新课标版· 理）
2sin40° cos40° cos80° 2sin80° cos80° ＝ ＝ 8sin20° 4sin20° sin160° sin20° 1 ＝8sin20° 8sin20° 8. ＝ ＝
第四章
第4课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
思考题 3 求值： (1)sin6° sin42° sin66° sin78° ； (2)(tan10° 3)sin40° － .
第四章
第4课时
高考调研
【解析】
第四章
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高考调研
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π 1 2π 4．已知 sin( ＋α)＝ ，则 cos( －2α)的值等于 6 3 3 ________．
7 答案 －9
解析 π π π π π ∵6＋α＋3－α＝2，∴sin(6＋α)＝cos(3－α)＝
1 2π π 12 2 π ，∴cos( －2α)＝cos2( －α)＝2cos ( －α)－1＝2×( ) 3 3 3 3 3 7 －1＝－ . 9
第四章
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高考调研
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第四章
第4课时
高考调研
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题型一
化简问题
1＋cosx－sinx 1－cosx－sinx 例 1 已知 f(x)＝ ＋ 且 x≠2kπ 1－sinx－cosx 1－sinx＋cosx π ＋2，k∈Z.且 x≠kπ＋π，k∈Z. (1)化简 f(x)； 1＋tan 2 x (2)是否存在 x，使得 tan · f(x)与 相等？若存在，求 2 sinx x 的值；若不存在，请说明理由．
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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第24讲 三角恒等变形及应用一．课标要求：1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二．命题走向从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。
历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中。
4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
四．典例解析题型1：两角和与差的三角函数例1．已知0cos cos 1sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。
分析：因为）（βα+既可看成是的和，也可以与βα看作是2βα+的倍角，因而可得到下面的两种解法。
解法一：由已知sin α+sin β=1…………①， cos α+cos β=0…………②， ①2＋②2得 2+2cos 1=-）（βα； ∴ cos 21-=-）（βα。
①2－②2得 cos2α+cos2β+2cos （βα+）=－1， 即2cos （βα+）〔1cos +-）（βα〕=－1。
∴()1cos -=+βα。
解法二：由①得12cos2sin 2=-+βαβα…………③由②得02cos2cos2=-+βαβα…………④④÷③得，02cot =+βα ()112cot 12cot 2tan 12tan 1cos 2222-=++-+=+++-=+∴βαβαβα 点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin α、cos α 、 sin β 、 cos β，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。
例2．已知2ta n t a n 560x x αβ-+=，是方程的两个实根根，求()()()()222sin 3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值。
分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值。
解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin 3sin cos cos sin cos αβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式()()()()222tan 3tan 1213113tan 111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式。
点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。
（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。
（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如()()()()()()()()。
，，，βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，， （2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222。
分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点。
解析：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以， 又因2sin 2sin cos 2121243αααπαπ==-<<，所以， 所以，原式=2sin α。
（2）原式=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2 =12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααπα。
点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换。
（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。
（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。
例4．若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ。
分析：注意224442x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及的两变换，就有以下的两种解法。
解法一：由πππππ2435471217<+<<<x x ，得， 34cos sin .4545x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因，cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin tan 7.10x x =-=从而22222sin cos 2sin 28.1tan 1775x x x x ⎛⎛⎛⋅+ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---原式解法二：()2sin cos 1tan sin 2tan 1tan 4x x x x x xπ+⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭原式，27sin 2sin 2cos 22cos 1424425x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦而sin 44tan 43cos '4x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，7428.25375⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭所以，原式 点评：此题若将3cos 45x π⎛⎫+=⎪⎝⎭的左边展开成3cos cos sin sin 445x x ππ⋅-=再求cosx ，sinx的值，就很繁琐，把作为整体x +4π，并注意角的变换2·，x x 224+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如()++=βαα2()βα-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()()αβαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，等。
题型3：辅助角公式例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin5cos 5cos5sinπππ=-+。