三角恒等变形测试题及答案解析
《三角恒等变换》测试题(有答案解析)
《三角恒等变换》试 题一、选择题1、若α为第四象限角，则（ ）A. 02cos >αB.02cos <αC.02sin >αD. 02sin <α2、已知41tan =α，31)tan(=-βα，则=βtan （ ）A ．117B ．711-C ．131-D ．1313、已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则=α2cos （ ）A ．35-B ．95-C ．95D ．354、︒︒-︒︒15sin 45cos 15cos 45sin 的值为（ ）A ．23-B ．21C ．21-D ．235、设向量)sin ,2(),1,(cos αα=-=，若⊥，则=-)4tan(πα（ ）A ．3-B ．3C ．31D ．31-6、已知点)32cos ,32(sin ππP 落在角θ的终边上，则=θtan （ ） A. 3- B.33 C ．33-D.37、已知函数x x f 2sin )6(=-π，则)2(πf 等于（ ） A ．21 B ．21- C ．23D ．23-8、已知角α为三角形的一个内角，且满足0tan sin <αα，则角α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角9、已知21tan =α，52)tan(-=-βα，那么)2tan(βα-的值为（ ）A.121 B.43 C. 89-D.8910、已知锐角βα、满足51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα、的大小关系是（ ）A ．βα<B ．βα>C ．βαπ<<4D ．αβπ<<411、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生 成”函数。
给出下列函数：①x x x f cos sin )(+=；②)cos (sin 2)(x x x f +=；③x x f sin )(=；④)1(sin 2)(+=x x f ，其中“互为生成”函数的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④12、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则2tan θ等于（ ）A ．m m --93B ．mm --93C ．31D ．5二、填空题13、若33sin =α，则=α2cos ___________． 14、计算=︒⋅︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan ___________．15、若)20(51cos sin π<≤-=+x x x ，则=x 2cos ___________．16、当函数)20(cos 3sin π<≤-=x x x y 取得最大值时，=x ___________．三、解答题17、已知43tan -=α，计算下列各题：（1）ααααcos 4sin cos 2sin 3-+； （2）αααα22cos cos sin 3sin 2-+．18、已知20,53cos παα<<=.（1）求αtan 的值；（2）求)cos(2cos απα--的值.19、已知点A 、B 、C 的坐标分别为)sin ,(cos )3,0()0,3(ααC B A 、、，)23,2(),sin ,(cos ππαααα∈∈.（1=，求角α的值；（2）若1-=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++的值.20、已知函数42cos )62sin()62sin()(++-++=x x x x f ππ.（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值. （2）已知5)(=αf ，求αtan 的值.21、已知βα、为锐角，34tan =α，55)cos(-=+βα.（1）求α2cos 的值；（2）求)tan(βα-的值．22、设函数2cos 2)32cos()(2xx x f ++=π，[]π,0∈x . （1）求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值； （2）求)(x f 的最小值及)(x f 取最小值时x 的集合；（3）求)(x f 的单调递增区间。
高中试卷-专题5.5 三角恒等变换(含答案)
专题5.5 三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.)4sin(2cos sin πααα±=±（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin α＝(sin α2±cos α2)2,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，(π4＋α)＋(π4－α)＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50°°-°°等于（ ）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-°【来源】陕西省西安市莲湖区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900°°-°°=-°°-°°=-+=-=o o o 故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，且()1tan 3αb +=，则tan b 的值为（ ）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【来源】辽宁省沈阳市第一中学2021-2022学年高一下学期第三次阶段数学试题【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπαæö-=+ç÷èø，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αb +=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αb αb αb ααb α-+-=+-===-éùëû+++´.故选：D3．已知,αb 均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，则()sin αb -=（ ）A ．35B ．45CD ．23【来源】辽宁省县级重点高中协作体2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αb αb ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααb b +=+=，则2153sin 44b =，又,αb均为锐角，所以sin b =cos b =所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αb αb αb -=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αb +=，()3sin 5αb -=，则tan tan αb 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【来源】内蒙古自治区包头市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αb αb αb αb αb αb ì+=+=ïïíï-=-=ïî，解得2sin cos 51cos sin 5αb αb ì=ïïíï=-ïî，所以tan sin cos 2tan cos sin ααbb αb==-.故选：B5．已知sin sin 13πq q æö++=ç÷èø，则tan 6πq æö+=ç÷èø（ ）ABC ．D ．【来源】陕西省汉中市六校联考2021-2022学年高一下学期期末数学试题（B 卷）【答案】D【解析】sin sin(13πq q ++=，则1sin sin 12q q q +=，即312q =，1cos 2q q +=sin 6πq æö+ç÷èøcos 6πq æö+==ç÷èø所以tan 6πq æö+==ç÷èø故选：D6．下面公式正确的是（ ）A ．3sin cos 2πq q æö+=ç÷èøB ．2cos212cos q q =-C ．3cos sin 2πq q æö+=-ç÷èøD ．cos(sin 2πq q-=【来源】陕西省宝鸡市渭滨区2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πq q æö+=-ç÷èø，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1q q =-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πq q æö+=ç÷èø，故C 错误；对D ，cos()sin 2πq q -=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αb +=，1tan(44πb -=，则tan()4πα+的值为（ ）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【来源】内蒙古自治区呼伦贝尔市满洲里市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】B【解析】：因为2tan()5αb +=，1tan()44πb -=，所以()tan()tan 44ππααb b éùæö+=+--ç÷êúèøëû()()tan tan 41tan tan 4παb b παb b æö+--ç÷èø=æö++-ç÷èø213542122154-==+´.故选：B 8．设1cos102a =o o，22tan131tan 13b =+oo，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b<<D ．b c a<<【来源】湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =°=°+°=°=°o ，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b °°°===°°=°°+°+°，sin 25c ===o ，因为函数sin y x =在0,2πæöç÷èø上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<o o o ，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()6πα+=2cos(2)3πα-=（ ）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【来源】海南省海口市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（A ）【答案】B【解析】：因为sin()6πα+=，所以2cos 2cos 263παππαéùæöæö-=-ç÷ç÷êúèøë+øèû6cos 2πα÷+æö=-çèø212n 6si παéùæö=--ç÷êúøë+èû21123éùæêú=--=-ççêúèëû故选：B10．若11tan ,tan()72b αb =+=，则tan =α（ ）A ．115B ．112C ．16D ．13【来源】北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72b αb =+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αb b ααb b αb b -+-+-===éùëû+++´.故选：D.11．已知3cos 16πααæö--=ç÷èø，则sin 26παæö+=ç÷è（ ）A ．13-B ．13C ．D【来源】四川省内江市2021-2022学年高一下学期期末数学理科试题【答案】B【解析】：因为3cos 16πααæö--=ç÷èø，即3cos cos sin sin 166ππαααæö-+=ç÷èø，即13sin 12αααö-+=÷÷ø3sin 12αα-=1cos 123παααöæö=+=÷ç÷÷èøø，所以cos 3παæö+=ç÷èø所以sin 2cos 2662πππααæöæö+=-++ç÷ç÷èøèø2cos 22cos 133ππααéùæöæö=-+=-+-ç÷ç÷êúèøèøëû21213éùêú=--=êúëû.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αb b æöÎ=-ç÷èø是第三象限角，则()cos αb -=（ ）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【来源】西藏林芝市第二高级中学2021-2022学年高一下学期第二学段考试（期末）数学试题【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2αæöÎç÷èø，可得3cos 5α===-由5cos ,13b b =-是第三象限角，可得12sin 13b ===-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αb αb αb æöæöæö-=+=-´-+´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø故选：A13．若sin 2α=()sin b α-=,4απéùÎπêúëû，3,2b ππéùÎêúëû，则αb +的值是（ ）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπéùéùÎ\ÎêúêúëûëûQ ，又∵sin 22,,,242πππααπαéùéù=\ÎÎêúêúëûëû，∴cos2α==又∵35,,,224πππb πb αéùéùÎ\-Îêúêúëûëû，∴()cos b α-==于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αb αb ααb ααb α+=+-=---éùëûææ==ççççèè5,24αb πéù+Îπêúëû，则74αb π+=.故选：B.14．)sin20tan50=oo （ ）A ．12B ．2C D ．1【来源】安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题【答案】D 【解析】原式()()()2sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos 9050++===-oooooooo o 2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===o o o o o.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααb αb =+=<<<<，则角b 的值为（ ）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】A 【解析】∵0,022ππαb <<<<，0αb π\<+<，由1cos 7α=，()sin αb +=sin α=，11cos()14αb +=±，若11cos()14αb +=，则sin sin[()]b αb α=+-sin()cos cos()sin αb ααb α=+-+1110714=-<，与sin 0b >矛盾，故舍去，若11cos()14αb +=-，则cos cos[()]b αb α=+-cos()cos sin()sin αb ααb α=+++111147=-´+12=，又(0,)2πb ÎQ ，3πb \=.故选：A.161712πα<<，且7cos 268παæö+=-ç÷ø，则αö=÷ø（ ）A ．B ．CD ．14-【来源】河南省南阳地区2021-2022学年高一下学期期终摸底考试数学试题【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππααæöæö+=-+=-ç÷ç÷èøèø，得215sin 1216παæö+=ç÷èø．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 12παææö+Î-çç÷çèøè，所以sin 12παæö+=ç÷èø所以5cos cos sin 1221212ππππαααæöæöæöæö-=-+=+=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø故选：A17．已知sin cos αα-=π£，则sin 2æçè ）A C ．D 【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 4παααæö--=ç÷èø即sin 4παæö-=ç÷èø因为0απ££，所以3444πππα-£-£，所以044ππα<-£，即42ππα<£，所以22παπ<£，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππαααæö-=-ç÷èø314525æö=´--=ç÷èø；故选：D18．若10,0,cos ,cos 224342ππππb αb αæöæö<<-<<+=-=ç÷ç÷èøèøcos 2b αæö+=ç÷èø（ ）A B ．C D ．【来源】广东省佛山市顺德区乐从中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442b ππb ππb ππb ααααéùæöæöæöæöæöæöæö+=+--=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøèøèøèøèøëû，因为0,022ππαb <<-<<所以3,444πππαæö+Îç÷èø，,4242πb ππæö-Îç÷èø，因为1cos 43παæö+=ç÷èø，cos 42πb æö-=ç÷èø所以sin 4παæö+=ç÷èø，sin 42πb æö-=ç÷èø则1cos 23b αæö+==ç÷èøC19．已知πcos sin 6ααæö-+ç÷èø，则2πcos 3αæö+ç÷èø的值是（ ）A ．45-B ．45C ．D 【来源】广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】A【解析】由πcos sin 6ααæö-+=ç÷èøππ3πcos cossin sin sin sin 6623ααααααæö++=+=-=ç÷èø所以，π4cos 35αæö-=ç÷èø，所以，2πππ4cos cos πcos 3335αααæöæöæöæö+=--=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø.故选：A.20．已知,2παπæöÎç÷ø，且25，则cos()α-=（ ）A B C D 【来源】陕西省商洛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】C【解析】因为,2παπæöÎç÷èø，所以35,444πππαæö+Îç÷èø．又2sin 45παæö+=ç÷èø，所以cos 4παæö+==ç÷èøcos()cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααααéùæöæöæö-==+-=+++=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππæö--ç÷èø上单调递增【来源】湖北省部分普通高中联合体2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 22)2sin(223f x x x x x x π==+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；()2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,)26x ππÎ--时，22(,0)33x ππ+Î-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22 ）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+°-°C ．cos 75°°D ．cos15°°【来源】江西省南昌市第十中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°=-°-°°C ：cos 75sin1530°°=°°=°=，符合；D ：cos152sin(3015)2sin15°°=°-°=°¹.故选：ABC23．已知函数2()cos sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2πæöç÷èø上单调递增D ．若()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，则3m π³【来源】江苏省南京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x x f x x x π-æö=-=-=+-ç÷èø，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππæöç÷èø上不单调，故C 不正确；当2x m π-££时，++366x m πππ-££，因为()f x 在区间,2m πéù-êúëû上的最大值为12，即11sin 622x πæö+-£ç÷èø，所以sin 16x πæö+£ç÷èø，所以+62m ππ³，解得3m π³，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x Î，时，()f x 的（ ）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06éùêúëû，【来源】江苏省徐州市2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πωæö=+ç÷èø，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x πæö=+ç÷èø，当π[02x Î，时，72,666x πππéù+Îêúëû，所以1sin 2126x πæö-£+£ç÷èø，所以12sin 226x πæö-£+£ç÷èø，所以 ()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x πæö=+=ç÷èø，72,666x πππéù+Îêúëû，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ£+£，得06x π££，所以()f x 的增区间为π06éùêëû，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（ ）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63éù-êúëû上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【来源】广东省佛山市顺德区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题【答案】ACD【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x æö=-==ç÷ç÷èøπ2cos 23x æö=+ç÷èø，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x éùæö=++=+=ç÷êúëûèø成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +£+£+Î，得：π5πππ,36k x k k +££+ÎZ ，即()f x 在区间π5π,36éùêúëû上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f æöæö=´+=ç÷ç÷èøèø，所以函数()f x 的图象关于点π,012æöç÷èø成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x éùæöæöæö=+=++=+=ç÷ç÷ç÷êèøèøèøëû，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36×-×o o o o (2)sin7cos37cos(7)sin(37)×+-×-o o o o (3)ππcos sin 1212×(4)22ππsincos 88-【来源】黑龙江省鸡西市第四中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900×-×=+==o o o o o o o .(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37×+-×-=×-×o o o o o o o o1sin(737)sin(30)2=-=-=-o o o .(3)ππ1π1cossin sin 1212264×==.(4)22πππsin cos cos 884-=-=27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πb b <<=()sin αb +的值.【来源】广东省珠海市2021-2022学年高一下学期期末数学试题（A 组）【答案】(1)34-(2)【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α==±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sintan cos ααα==(2)π0,cos 2b b <<，故sinb =；()34sin =sin cos cos sin 55αb αb αb ++=28．已知角α为锐角，2πb απ<-<，且满足1tan23=α，()sin b α-(1)证明：04πα<<；(2)求b .【来源】江西省名校2021-2022学年高一下学期期中调研数学试题【答案】(1)证明见解析(2)3.4πb =【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα´===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2πæöç÷èø上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1αααααì==ïíï+=î，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πb απ<-<)=所以()cos b α-==()()()sin sinsin cos cos sin b αbααb ααbαéù=+-=-+-ëû3455æ=´+=çè又5224πππαb πα<+<<+<，所以3.4πb =29．已知α，b 为锐角，πsin 3αæö-=ç÷èø()11cos 14αb +=-．(1)求cos α的值；(2)求角b ．【来源】江苏省南京市六校联合体2021-2022学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2αæöÎç÷èø，所以ππ336παæö-Îç÷ø-，，又πsin 3αæö-=ç÷èø所以π13cos 314αæö-===ç÷èø所以ππcos =cos +33ααéùæö-ç÷êúèøëûππππ1cos cos sin sin =33337ααæöæö=---ç÷ç÷èøèø(2)因为α，b 为锐角，所以0αb <+<π，则()sin 0αb +>，因为()11cos 14αb +=-，所以()sin αb +==又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin b αb ααb ααb α=+-=+-+éùû111714=+=因为b 为锐角，所以π3b =．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αb ，都是锐角，()3cos 5αb +=，求sin b 的值.【来源】湖北省部分市州2021-2022学年高一下学期7月期末联考数学试题【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a ααααααæö-=-+=-=ç÷èø，1sin 2a =.(2)因为αb ，都是锐角,所以0αb <+<π，()4sin 5αb +==，1sin cos 2a a =Þ=，()()()43sin cos c s 1si o 55n sin sin 2αb ααb ααb b α=+=+-=+-=´éùëû31．已知tan ,tan αb 是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αb +(2)()()sin cos αb αb +-；(3)()cos 22αb +.【来源】江苏省泰州市兴化市楚水实验学校2021-2022学年高一下学期阶段测试一数学试题【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αb αb +=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αb αb αb -++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αb αb αb αb αb αb αb αb -+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αb αb αb αb αb αb αb -+-+-++====++++++。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知23cos sin 2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59C ．536D ．518-2．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ） A ．1 B ．22-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 4．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（ ） A ．210-B ．2 C ．72D ．7210-5．函数()sin 3cos ([,0])f x x x x π=-∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-6．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-7．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17188．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222b c a +=，2bc =，则角C 的大小是（ ）A ．6π或23π B ．3πC ．23π D ．6π 9．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）AB．C．D．3+10．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 11．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7B ．11C ．14D ．2812．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） AB ．13C ．13-D． 二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______.14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．16．化简tan 20tan 25tan 20?tan 25︒+︒+︒︒=_____.17．已知方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，α，,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________.18．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______. 19．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.20．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 三、解答题21．已知函数2211()sin 2cos 2cos 2sin 22,22f x x x x x x R =+-+∈． （I ）求函数|()|f x 最小正周期和最小值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度，得到()y g x =图象．若对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数m 的最大值．22．设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域.23．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．24．（1）化简：(cos 20tan 20sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---. 25．求值：（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒+--+-；（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭26．已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.你需要在①､②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半； ②纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移4π个单位.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C.【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()4πα-=sin()4πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.4．B解析：B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.5．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D. 6．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan165θθθθθθθθθ====++.【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.7．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.8．A解析：A 【分析】由222b c a +=可得cosA =2bc =可得2A 4=结合内角和定理可得C 值. 【详解】∵222b c a +=，∴cos A 2222b c a bc +-===， 由0＜A ＜π，可得A 6π=，∵2bc =，∴2A =∴5sin 6C sinC π⎛⎫-=⎪⎝⎭)1sinCcosC 122cos C +-=解得50C 6π<<∴2C=3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.10．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin 510αβ==，cos 510αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．11．D解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解解析：16【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查解析：199【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出25PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，()2241125PD =+--=，2220119PA PD r =-=-=，则19tan 19DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析：3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除cos cos8πα，即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为：3 【点睛】 本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.16．1【详解】分析：首先从式子中分析得出角的大小借助于两角和的正切公式得到与之间的关系借助于角的正切值求得结果详解：因为所以所以有故答案为：1点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题在解题的过程中涉及解析：1 【详解】分析：首先从式子中分析得出2025︒︒+角的大小，借助于两角和的正切公式，得到tan 20tan 25︒︒+与tan 20tan 25︒︒⋅之间的关系，借助于45︒角的正切值，求得结果. 详解：因为tan 20tan 25tan(2025)1tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒++=-，所以1tan 20tan 25tan 20tan 25︒︒︒︒-=+， 所以有tan 20tan 25tan 20tan 251︒︒︒︒++=， 故答案为：1.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意45︒角的正切值的大小.17．【分析】根据方程的两根为得到由两角和的正切公式得到再确定的范围求解【详解】因为方程的两根为所以则因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：34π-【分析】根据方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β，得到tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+，由两角和的正切公式得到()tan αβ+，再确定αβ+的范围求解. 【详解】因为方程23310x ax a +++=，()2a >的两根为tan α，tan β， 所以tan tan 3,tan tan 31a a αβαβ+=-⋅=+， 则()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，因为2a >，所以tan tan 30,tan tan 310a a αβαβ+=-<⋅=+>， 所以tan 0,tan 0αβ<<，α，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭， (),0αβπ+∈-，所以34παβ+=-. 故答案为：34π- 【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得m =cos α=， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.19．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】 由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．（I ）2π.（Ⅱ）8π. 【分析】（I ）先将函数解析式整理，得到()4224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的周期，即可求出函数 |()|f x 的最小正周期；再由正弦函数的取值范围，即可求出函数的最小值； （Ⅱ）记()()()h x f x g x =-，根据题中条件，先判断 ()h x 在[0,]m 上是增函数；再由题中条件，得到函数()h x 的解析式，根据正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】（I ）2211()sin 2cos 2cos 2sin 2222f x x x x x =+-+ 11sin 4cos 4222x x =++ 11cos 4sin 4222x x =++4204x π⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2T π=，当sin 414x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，函数 |()|f x 的最小值为42. （Ⅱ）因为对任意12,[0,]x x m ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-， 即()()()()1122f x g x f x g x -<-， 记()()()h x f x g x =-， 即()()12h x h x <，所以()h x 在[0,]m 上是增函数.又3()sin 42sin 42828424g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以3()()()442424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 4cos sin 424x x π=⨯=，令24222k x k ππππ-≤≤+，求得2828k k x ππππ-≤≤+. 故()h x 的单调增区间为,2828k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈， 所以实数m 的最大值为8π. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移，利用构造函数的思想，求正弦型函数的单调区间，以及利用单调性求参数是解决本题的关键.22．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域． 【详解】解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=32cos222x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()112x π≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．23．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭， 所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2． 所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 24．（1）2-；（2）详见解析. 【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos xx x=，代入后化简证明. 【详解】（1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅⎪⎝ sin 203cos 20cos 20cos 20sin 40⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x--==++ ()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x xx x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==--- 21sin 212sin xx-=-【点睛】思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.25．（1）0（2【分析】（1）利用诱导公式化简，即可求解； （2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-， 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.【详解】利用（1）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;︒︒︒=⨯︒+-+=-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒-=== 【点睛】关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.26．（1）函数的周期为2π；（2）条件选择见解析，max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）用正弦余弦的二倍角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期； （2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，可得()g x 的最值；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，由此可求得最值．【详解】（1）∵函数1cos 1()sin()1226x f x x x π+=++=++， 所以函数的周期为2π；（2）<选择①>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈. 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =，使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； <选择②>依题意：()cos(2)16g x x π=-++， 令226x k πππ+=+，即5()12x k k Z ππ=+∈，使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x = 使函数()g x 取得最大值的集合为5|,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】关键点点睛：在解决正弦型函数的周期，最值，单调性等性质时，关键在于利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数的标准形，再利用整体代换的思想求解．。
高一数学三角恒等变换试题答案及解析
高一数学三角恒等变换试题答案及解析1.(12分)（１）求的值．（２）若，,，求的值．【答案】（1）1（2）【解析】(1)原式……6分（2），①②①-②得，. ……12分【考点】本小题主要考查利用和差角公式、同角三角函数基本关系式等求三角函数值，考查学生的运算求解能力.点评：解决给值求值问题时，要尽量用已知角来表示未知角.2.设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sin B．cosC．－cos D．－sin【答案】C【解析】∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.3.已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B．C．－a D．a【答案】C【解析】法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－a.4.若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.【答案】【解析】∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝＝＝.5.求sin42°－cos12°＋sin54°的值．【答案】【解析】sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.6.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.7.的值为()A．2＋B．C．2－D．【答案】C【解析】sin6°＝sin(15°－9°)＝sin15°cos9°－cos15°sin9°，cos6°＝cos(15°－9°)＝cos15°cos9°＋sin15°sin9°，∴原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝＝2－，故选C.8.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.9.已知sinα＝，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是() A．－7B．7C．－D．【答案】B【解析】由sinα＝，α为第二象限角，得cosα＝－，则tanα＝－.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.10.若a＝tan20°，b＝tan60°，c＝tan100°，则＋＋＝()A．－1B．1C．－D．【答案】B【解析】∵tan(20°＋100°)＝，∴tan20°＋tan100°＝－tan60°(1－tan20°tan100°)，即tan20°＋tan60°＋tan100°＝tan20°·tan60°·tan100°，∴＝1，∴＋＋＝1，选B.11.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.12.若π<α<，化简＋.【答案】－cos【解析】∵π<α<，∴<<，∴cos<0，sin>0.∴原式＝＋＝＋＝－＋＝－cos.13. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.14.已知0<α<<β<π，cosα＝，sin(α＋β)＝－，则cosβ的值为() A．－1B．－1或－C．－D．±【答案】C【解析】∵0<α<， <β<π，∴<α＋β<π，∴sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝－，故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.＝________.【答案】【解析】＝cos cos－sin sin＝cos cos＋sin sin＝cos＝cos＝.17.已知α、β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则sin(α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α为锐角，tanα＝，∴sinα＝，cosα＝，同理可由tanβ＝得，sinβ＝，cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.18.函数y＝cos x＋cos的最大值是________．【答案】【解析】法一：y＝cos＋cos＝cos·cos＋sin sin＋cos＝cos＋sin＝＝cos＝cos≤.法二：y＝cos x＋cos x cos－sin x sin＝cos x－sin x＝＝cos，当cos＝1时，y＝.max19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高三数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原函数在轴左侧是一段正弦型函数图象，在轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于轴对称的点至少有对，可将左侧的图象对称到轴右侧，即，应该与原来轴右侧的图象至少有个公共点如图，不能满足条件，只有此时，只需在时，的纵坐标大于，即，得．【考点】分段函数，函数图象，正弦型函数，对数函数2.若，则函数的最大值是___________．【答案】【解析】由题意因为，所以，所以函数的最大值是．【考点】求最大值．3.已知，，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】,【考点】三角函数的性质4.若，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得又为第二象限角，所以，选B．【考点】两角差余弦公式5.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．-2D．【答案】C【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选C．【考点】三角函数的性质．6.设的最小值为，则．【答案】【解析】，根据题意，结合二次函数在某个区间上的最值问题，对参数进行讨论，当时，其最小值为，所以不合题意，当时，其最小值为，解得，当时，其最小值为，无解，所以．【考点】倍角公式，二次函数在给定区间上的最值问题．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（）A．1B．-5或3C．D．-2【答案】D【解析】根据题意有是函数图像的对称轴，从而有，所以有，故选D．【考点】三角函数的性质．8.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．y=sin2x+cos2xB．y=sin2xcos2xC．y=cos（4x+）D．y=sin22x﹣cos22x【答案】D【解析】因为A项为非奇非偶函数，B项是奇函数，C项是奇函数，只有D项是符合题意的，故选D．【考点】诱导公式，倍角公式，三角函数的奇偶性和周期．9.函数的最大值为．【答案】【解析】解析式表示过的直线的斜率，由几何意义，即过定点（4，3）与单位圆相切时的切线斜率为最值．所以设切线得斜率为k，则直线方程为，即 ,【考点】三角函数最值【方法点睛】本题主要考查三角函数最值问题及转化的思想，解决问题的根据是根据所给函数式子转化为直线与圆的位置关系问题，即将所给式子看做定点与单位圆上点的连线的斜率的范围问题，通过模型转化使问题定点巧妙解决，属于经典试题．10.（本题满分12分）如图，在中，边上的中线长为3，且，．（1）求的值；（2）求边的长．【答案】（1）（2）4【解析】（1）利用角的关系，再结合两角差正弦公式展开就可求解（2）先在三角形ABD中，由正弦定理解出BD长，即CD长：由正弦定理，得，即，解得…故；再在三角形ADC中由余弦定理解出AC：；AC= 4试题解析：（1）（2）在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；【考点】正余弦定理11.中，，则的最大值为．【答案】【解析】设，由余弦定理的推论，所以，设，代入上式得，，故，当时，此时，符合题意，因此最大值为，故答案为：．【考点】解三角形．【思路点睛】首先假设，然后再根据余弦定理的推论，可得，找到与的关系，再设，代入上式得，利用根的判别式，进而求出结果．本题的关键是利用余弦定理的推论．12.已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数在区间上的单调减区间．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由图象中的最高点和最低点的纵坐标得到关于的方程组求得，再利用图象得到函数的周期，进而得到值，最后代入最低点坐标或最高点坐标结合的范围求出，即得到函数的解析式；（2）先求出，利用两角和差的正弦公式将其化为的形式，再利用整体思想求其单调递减区间．试题解析：（1）由图知，解得，又，所以，所以，将点代入，得，再由，得，所以；（2）因为由，解得；又，故所求的单调减区间为，．【考点】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变形．13.已知角的终边经过点（-4，3），则= ，= ；【答案】;【解析】由题意可得.【考点】任意角三角函数的定义.14.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）在解三角形的背景下，考查正弦定理，余弦定理，知值求值．（Ⅱ）综合余弦定理，求三角形的面积公式，需要把作为整体求之．试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得将上式代入已知即，即．∵∵∵B为三角形的内角，∴．（Ⅱ）由余弦定理得，结合，可得，所以△ABC的面积．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式．15.在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若，，则．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，．∵，∴，∴，∴，∴．【考点】解三角形．【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据三角形内角和，进而求得．16.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积，则 .【答案】【解析】由余弦定理，，又，，，即，，．【考点】1、余弦定理；2、同角三角函数的基本关系；3、三角形面积公式.【思路点睛】本题主要考查的是余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式，属于容易题.因为题目求，且的面积，边的平方的形式一般想到余弦定理，面积展开后利用余弦定理即可求得与的关系，从而利用同角三角函数的基本关系求得.17.（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（Ⅱ）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．解：（Ⅰ）∵2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC∴2sinBcosA=sin（A+C）∵A+C=π﹣B∴sin（A+C）=sinB＞0∴2sinBcosA=sinB∴cosA=∵A∈（0，π）∴A=；（Ⅱ）∵b=2，c=1，A=∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴b2=a2+c2∴B=∵D为BC的中点，∴AD=．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值．18.在中，已知．（Ⅰ）求sinA与角B的值；（Ⅱ）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．【解析】（I）给出了关于角的两个三角函数值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式可求得其正弦、余弦，再根据三角形的性质可求得的值；（II）在第一问的基础上，利用正弦定理可求得边，再由余弦定理求边，注意利用三角形基本性质舍解．试题解析：（Ⅰ）∵，，又∵，．∵，且，．（Ⅱ）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），，．【考点】三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系式及利用正、余弦定理在解三角形．19.已知，则的值为．【答案】．【解析】，故填：．【考点】三角恒等变形．20.在中，角A，B，C的对边分别为，，，若，则角的值为（）A．或B．或C．D．【答案】A．【解析】，，∴或，故选A．【考点】余弦定理．【思路点睛】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．21.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变【答案】A【解析】这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍（纵坐标不变）即可，因此为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.【考点】三角函数的图象变换．【方法点睛】本题是一个三角函数的图象变换问题，属于容易题.一般的要得到函数（其中）的图像可按以下步骤进行：先把的图象向左（）或向右（）平移个单位，再将所得函数的图象上各点的横坐标扩大（）或缩小（）为原来的（纵坐标不变），再把所得函数图象上各点的纵坐标扩大（）或缩小（）为原来的倍（横坐标不变），最后再将所得图像向上（）或向下（）平移个单位，即可得到函数的图象.22.如图，在中，，，点在边上，且，.（I）求；（II）求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由图可知，所以，又，所以，再由两角差的正弦公式可求得；（Ⅱ）由题意可用正弦定理、余弦定理即可求出、的长，在中，有，又从而可求得；在中，由余弦定理得，，从而可求出.试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以【考点】1.解三角形；2.两角差的正弦公式.23.设的内角对边分别为，已知，且.（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的值.【答案】(1);(2)。
(好题)高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(答案解析)
一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．若sin 3cos 0θθ+=，则2cos sin 2θθ+的值（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．在ABC中，cos A =，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．24．函数2()sin 2f x x x =+-()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]35．设等差数列{}n a 满足：()22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,10ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020πB ．1010π C ．505π D ．4040π 7．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈8．已知cos 2π3)4αα=+，则1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-99．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．8310．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-711．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．11012．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③二、填空题13．已知函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，且点P 在角6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的终边上cos α=_______. 14．已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，则tan θ=________. 15．已知α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10sin α=，()cos 5αβ+=，则()cos 2αβ+=______.16．已知(0,)θπ∈，且sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=__________．17．已知tanα＝2tan 8π，则3cos 8sin 8αππα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．18．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 19．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 20．在ABC 中,已知tansin 2A BC +=,给出以下四个论断: ①tan tan A B =,②1sin sin A B <+≤22sin cos 1A B +=,④222cos cos sin A B C +=,其中正确的是__________.三、解答题21．已知cosα5=，sin （α﹣β）10=，且α、β∈（0，2π）．求：（Ⅰ）cos （2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 22．已知3sin 5α=-，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()παπααππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值．23．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数()2sin(2)f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②函数())cos(2)(0)f x x x ωπωω=-->； ③函数()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭； 问题：已知________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=α的值．24．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．25．已知函数2()2sin cos f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()3f x m <+恒成立，求实数m 的取值范围． 26．已知sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根，且α是第二象限角． （1）求cos2α的值； （2）求2sin cos sin 3cos αααα-+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 42πθ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．D解析：D 【分析】先根据题意得tan 3θ=-，再根据正弦的二倍角公式化简得2212tan 1cos sin 21tan 2θθθθ++==-+.【详解】解：由sin 3cos 0θθ+=得tan 3θ=-.所以2222222cos sin 2cos 2sin cos cos sin 2cos sin cos sin θθθθθθθθθθθ+++==++ 22222222cos 2sin cos 12tan 51cos cos cos sin 1tan 102cos cos θθθθθθθθθθθ++-====-++， 故选：D. 【点睛】本题解题的关键是将等式2cos sin 2θθ+变形化简得2212tan cos sin 21tan θθθθ++=+，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.3．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-=+-（））1222222223sin x x sin x x sin x π==+=+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，5．D解析：D 【解析】因为22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得2272718cos 2cos()cos()1sin()a a a a a a a -+-+=+，再运用积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181[cos 2cos 2]21sin()a a a a -=+，再由差化积公式可得727218sin()sin()1sin()a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以5210d d ππ=-⇒=-，故对称轴方程故等差数列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110a ππ<<，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10d π=-，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+变形为221()()222020n d d S n a n n a n ππ=+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110a ππ<<． 6．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质， 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.8．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin22sin coscos2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以24cos22cos1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos2sin229παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，所以4sin29α=，所以1sin cos1229tan4tan cos sin sin cos sin229ααααααααα+=+====.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.9．C解析：C【分析】利用辅助角公式将函数()y f x=的解析式化简为()2sin3f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Zπππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin2sin3f x x x xπωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8xπ=对称，则()832k k Zπππωπ+=+∈，得()483k k Zω=+∈，ω>，当0k=时，ω取得最小值43.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.11．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．12．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin sin ,sin 2sin 362ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】由指数为0时可得定点进而可得和利用展开即可得解【详解】由所以函数（且）过定点所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用展开求解【分析】由指数为0时可得定点P ，进而可得sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭和cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用cos cos[()]66ππα=α+-展开即可得解.【详解】由(012f a =-=，所以函数()2x f x a -=-0a >且1a ≠）过定点P ，所以1sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，cos 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 所以cos cos[()]cos()cossin()sin 666666ππππππα=α+-=α++α+11132326=+⨯=.. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用cos cos[()]66ππα=α+-展开求解.14．【分析】把已知等式两边平方求出的值再利用完全平方公式求出的值联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得的值【详解】已知平方得得解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系齐次方程的求解属解析：43-【分析】把已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，再利用完全平方公式求出sin cos θθ-的值，联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得tan θ的值． 【详解】已知1sin cos 5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos 2sin cos 25θθθθθθ+=++=，得12sin cos 25θθ=-， ∴()222sin cos sin cos 2sin cos 125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin 0,cos 0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系，齐次方程的求解，属于中档题．15．【分析】利用同角三角函数的平方关系求得的值然后利用两角和的余弦公式可求得的值【详解】因为则又所以所以故答案为：【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值同时也考查了同角三角函数基本关系的应用考查计算能解析：2【分析】利用同角三角函数的平方关系求得cos α、()sin αβ+的值，然后利用两角和的余弦公式可求得()cos 2αβ+的值. 【详解】 因为α、0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0αβ<+<π， 又10sin10，()cos 5αβ+=，所以，cos 10α==，()sin αβ+==所以()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβααβααβααβ+=++=+-+⎡⎤⎣⎦-=故答案为：2. 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：2425【分析】根据sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以224sin 4sin 2cos 2co 25s 21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故答案为：2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.17．3【分析】由诱导公式对原式化简用两角和差公式展开分子分母同除即可得结果【详解】故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式三角恒等变换等基本数学知识考查了运算求解能力属于基础题目解析：3 【分析】由诱导公式对原式化简3cos()sin()88sin()sin()88ππααππαα-+=--，用两角和差公式展开，分子分母同除cos cos8πα，即可得结果.【详解】3cos()sin()sin cos cos sin tan tan 888883sin()sin()sin cos cos sin tan tan88888πππππαααααπππππααααα-+++====---- 故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、三角恒等变换等基本数学知识，考查了运算求解能力，属于基础题目.18．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.19．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则12=平方得2213144a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 222sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ， 当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.20．②④【分析】已知式子变形可得逐个选项判定即可【详解】解：因为所以整理得所以①中：因为所以不一定等于故①不正确；②中：因为又因为所以所以故②正确；③中：不一定成立故③不正确；④中：所以故④正确【点睛】解析：②④ 【分析】已知式子变形可得2A B π+=，逐个选项判定即可.【详解】 解：因为tansin 2A BC += 所以sin22sin cos 22cos 2A BA B A B A B +++=+ 整理得()cos 0A B += . 所以2A B π+=.①中：因为2A B π+=，所以tan A 不一定等于tan B ，故①不正确；②中：因为sin sin sin cos 4A B A A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭又因为3444A πππ<+<，所以sin 124A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以1sin sin A B <+≤故②正确；③中：22222sin cos sin si n 12n si A B A A A ==+=+，不一定成立，故③不正确； ④中：2222cos cos cos sin 1A A B A +==+,22sin si 1n 2C π==,所以222cos cos sin A B C +=.故④正确. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，命题的真假的判断，属基础题.三、解答题21．（Ⅰ）10；（Ⅱ）4π．【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sin α和cos （α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值；（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵02παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴α﹣β∈（2π-，2π），∵cos 5α=，()sin 10αβ-=，∴sin α5==，cos （α﹣β）10==， ∴cos （2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos （α﹣β）cosα﹣sin （α﹣β）sin α=-=（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos α cos （α﹣β）+ sinα sin （α﹣β）2=+=， 又∵02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴β4π=．【点睛】关键点点睛：拆角2()αβαβα-=-+，()βααβ=--是本题解题关键. 22．（1）45；（2）34-. 【分析】（1）先求出4cos 5α=，再利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值.（2）先求出3tan 4α=-，再利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系化简后可得所求的值. 【详解】 （1）因为3sin 5α=-，且α为第四象限角，故4cos 5α=. 原式()cos sin cos t 45an cos ααααα===-⋅-.（2）由（1）得4cos 5α=，故3tan 4α=- 原式222sin cos 2sin sin tan =2sin cos 2cos cos 34ααααααααα==+-+=. 【点睛】思路点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.23．（Ⅰ）()2sin(2)6f x x π=+（Ⅱ）12πα=或4πα=【分析】分别选择①，②，③求出函数()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出()f x 的递增区间； （Ⅱ）代入()f α，根据α的范围可求出结果. 【详解】因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．所以22T ππ=⨯=， 选择①，则22ππω=，得1ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+， 所以()()2sin 2()1212g x f x x ππϕ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)6x πϕ=-+，因为()g x 的图象关于原点对称，所以()g x 为奇函数，所以(0)0g =， 所以2sin()06πϕ-=，所以6k πϕπ-=，k Z ∈，所以6k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以0,6k πϕ==，所以()2sin(2)6f x x π=+， 选择②，())cos(2)f x x x ωπω=--(0)ω>=()()2cos 2x x ωω+2sin(2)6x πω=+，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+， 选择③，()4cos sin 1(0)6f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 66x x x ππωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1-=14cos cos 12x x x ωωω⎫+-⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x ωωω=+-2cos 2x x ωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22ππω=，所以1ω=，所以()2sin(2)6f x x π=+， （Ⅰ）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为[,]36ππk πk π-++，k Z ∈.（Ⅱ）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f α=2sin(2)6πα+=sin(2)62πα+=， 因为02πα<<，所以72666πππα<+<， 所以263ππα+=或2263ππα+=，得12πα=或4πα=.【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出()f x 的解析式是解题关键.24．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-. 【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭， 所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2． 所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-. 【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 25．（1）π；（2）1m >- 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将()f x 化简，再利用周期公式即可求解； （2）不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，转化为()max 3m f x +>，利用正弦函数的性质求()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值即可求解. 【详解】2()2sin cos f x x x x =--1cos 2sin 22sin 22sin 223x x x x x π+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==-， （2）不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()max 3m f x +>， 因为,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以20,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得()[]2sin 21,23f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以()max 2f x =，即 32m +>，解得：1m >- 所以实数m 的取值范围是1m >- 【点睛】关键点点睛：对于恒成立问题求参数，常采用分离参数的方法，不等式()3f x m <+对于,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，等价于()max 3m f x +>，,04x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，只需要求()f x 在,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值即可. 26．（1）725；（2）109-.【分析】（1）由韦达定理及α是第二象限角可以求得sin α和cos α的值， 再由22cos 2cos sin ααα=-计算即可；（2）由（1）可知sin α和cos α的值，然后代值计算即可.【详解】（1）因为sin α、cos α分别是方程2255120x x +-=的两根， 所以有1sin cos 512sin cos 25αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 又α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，3sin 5α∴=，4cos 5α=-， 2222437cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）知，3sin 5α=，4cos 5α=-， 3422sin cos 21055934sin 3cos 93555αααα⎛⎫⨯-- ⎪-⎝⎭∴===-+⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭. 【点睛】易错点睛：本题易忽略角α的范围，从而导致错解sin α和cos α的值，最后结果错误.。
三角恒等变换常考题(含答案)
三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。
三角恒等变换练习题及答案
1．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．－ 3解析：选B 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.2．3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( )A.12B.22C ．1 D. 2 解析：选D 3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2.故选D.3．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，∴AB ＝4 2. 4．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，选C. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 解析：选D 因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－12，又0<B <π，所以B ＝2π3，故选D. 6．已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝( )A.79 B ．－79 C.19 D ．－19解析：选D 由题意知3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，由于α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，因而cosα≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝22，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－19. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则c b sin B＝( ) A.32 B.233 C.33 D. 3解析：选B 由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3.对于b 2＝ac ，由正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，由正弦定理，得c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C ＝233.故选B. 9．已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝( ) A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3解析：选A 由cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13. 10．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，则cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.725 B.925 C.1625 D.2425解析：选B 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，所以cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α，又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925. 11．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32. 答案：3212．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为a 海里和2a 海里，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 和B 的距离为________海里．解析：依题意知∠ACB ＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC 中，由余弦定理知AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝7a 2＝7a .即灯塔A 与灯塔B 的距离为7a 海里． 答案：7a13．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sin B ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝43，则b ＋c ＝________.解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin B cos A ，又sin B ≠0，∴tan A ＝3，∴A ＝π3. 由S ＝12bc ×32＝43，得bc ＝16，由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：8。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
高三数学三角恒等变换试题答案及解析
高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2
3
4
5
6
7
8
910Biblioteka 1112C
B
B
C
D
A
C
B
A
A
A
A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
13. 14. 15.
16.[解析]①②．③中 是 的对称中心．
17.[解析]sinA＋cosA＝ cos(A－45°)＝ ， ∴cos(A－45°)＝ ．
(参考评分说明:把角分解得2分,求出角的范围的2分,求出三角函数值的6分,求出数值的2分)
20.[解析]：依题知α≠ ，cosα≠0．方程可化为6tan2α＋tanα－2＝0． tanα＝－ 或 (舍)．∴sin(2α＋ )＝sin2αcos ＋cos2α·sin ＝sinαcosα＋ (cos2α－sin2α)
20．已知6sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝0，α∈[ ,π]，求sin(2α＋ )的值．
21．在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
22.已知函数
(1)求 值的；
(2)求 的最大值和最小值。
三角恒等变换测试题参考答案及评分标准
∵0°＜A＜180°，∴A－45°＝60°，A＝105°，
∴tanA＝tan(60°＋45°)＝―2― ，sinA＝sin(60°＋45°)＝ ，
∴S△ABC＝ AC·AB．s5inA＝ ×2×3× ＝ ( ＋ )．
三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15._________________________ 16._______________________
三．解答题本题共小题（,每小题12分,满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.已知 求 和
19．设cos(α－ )＝－ ，sin( －β)＝ ，且 ＜α＜π，0＜β＜ ，求cos（α＋β）．
三角恒等变形测试题及答案解析
则tanA=，△ABC的面积为
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)
11.________________________ 12._______________________
13._________________________ 14.______________________
18.[解析]因为 >0,且 ≠1,所以α是第一或第四象限的角.
当 是第一象限的角时, >0.
当 是第四象限角时,
(参考评分说明:写对角所在象限得2分,分两中情况每种得6分.)
19.[解析]：∵ ＝(α― )―( －β)．∵α∈( ,π)β∈(0, )．∴ ＜α－ ＜π，－ ＜ －β＜ ．∴由cos(α－ )＝－ 得sin(α－ )＝ ，由sin( －β)＝ ．得cos( －β)＝ ．∴cos ＝cos[(α― )―( ―β)]＝…＝ ．∴cos(α＋β)＝2×( )2－1＝－ ．