2017年北京大学金秋营试题及解答
2018年北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2018年北京大学金秋营数学试题
1、设△ABC 的垂心为H ，中点三角形的内切圆为T ，圆心为S 。
直线l ‖AB ，m‖AC ，且都与T 相切（AB,l ；AC,m 分别在S 同侧），l 与m 交于T 。
射线AT 上一点N 满足AN=2AT ，Q 是优弧（BAC ）的中点，点R 让四边形AHRQ 成为平行四边形。
证明：HR ⊥RN 。
2、给定整数k ＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+34
3k ⎢⎥+⎢⎥
⎣
⎦+1组整数解（m, n, r ）.
3、给定正整数k. A,B,C 三个人玩一个游戏（A 一边,B 和C 一边）：A 先从集合{1，2，…，n}中取k 个数交给B ，B 从这k 个数中选择k-1个有序地给C ，若C 能够确定B 没给C 的数是什么，则B,C 赢了，求最大的正整数n ，使B,C 有必胜策略。
4、确定全部f ∈Z[x](deg f≤2),使存在g ∈Z[x],满足x 3-1|f(x)g(x)-1.
6、平面上是否存在某个有限点集A 和某个有限直线集B ，满足A 中的每个点恰好在B 中三条直线上，且B 中每条直线恰好经过A 中的三个点。
8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+ ,n)|m+
2
k, n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k, 使得存在
a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
【部分试题参考解答】
第1题参考解答
第2题参考解答
第5题参考解答。
2017北京大学自主招生面试真题
2017北京大学自主招生面试真题
2017年6月11日，北京大学率先开始了自主招生测试，2017年北京大学有1522人通过了自主招生初审。
为方便2018届考生参考，湖南自主招生华夏高考网特意对北京大学自主招生的考试试题做相关整理，希望对大家备考有做帮助。
据考生反映，北大自主招生笔试科目为语文、数学、英语三科，题型均为选择题。
其中，语文试题涉及大量古诗词、文化常识等内容。
莫言的小说《奇遇》成为阅读理解的考查内容，其中一道考题是将结尾文章补充完整，选择文中主角母亲最可能说的一句话是什么。
面试试题：
1、对中国人口政策沿革的思考;
2、社会效应相关名词解读;
3、集体行为逻辑和破窗效应，举两个事例说明破窗效应，并说明解决破窗效应的条件;
4、古诗词题题目;
5、高晓松的“诗和远方”的看法
6、阅读理解材料选择莫言的小说《奇遇》，考的是原句填空。
7、英语阅读的题目涉及迪士尼的创始人事迹等等。
2023年北京市北京大学数学金秋营试题
第一天1.有一些石子，每个石子的重量可能为、、、、12345．求最小的正整数N ，使得只要这些石子的总重量不小于N ，就一定能将这些石子分为5堆，满足第i 堆的总重量不小于i 2023，≤≤i 15．2.对于整系数多项式=++⋅⋅⋅++>−−P x x a x a x a m m m m 01011()()，如果不存在次数小于m 的整系数多项式、Q x R x ()()，使得、P x Q x R x ()()()对应的系数模2同余，就称P x ()是模2不可约的．对正整数n ，求所有形如++⋅⋅⋅++x x x a a a n 122212的模2不可约的多项式，其中>>⋅⋅≥⋅a a a n 012为整数．3.ABCD 为圆O 的圆内接四边形，、AB CD 交于点E ，、AD BC 交于点F ，、AC BD 交于点G ．EF 的中垂线分别与AC 的中垂线、BD 的中垂线交于点H 、I ，△HIO 的外接圆和圆O 的公共弦分别与AC 、BD 交于点J 、K ．若EF 的中垂线与圆O 相切，证明：△GJK 的外接圆与圆O 相切．4.设=G V E ,()为简单无向图，对于V 的非空子集A ，如果A 中的顶点两两不相邻，且−V A 中的每个顶点均与A 的某个顶点相邻，就称A 是一个极大独立集．求无三角形的2023阶图的极大独立集数量的最大值．第二天1.甲乙两人由甲开始轮流在黑板上写大于1的整数，要求新写的数不能是已经写的数的自然数系数线性组合，第一个不能写数的人输．甲乙谁有必胜策略？2.设n 为正整数，求最小的正整数c ，使得对任意n 次整值多项式P x ()及非负整数k ，cP x k ()()也是整值多项式，其中P x k ()()表示P x ()的第k 阶导数．3.设、m a 是大于1的整数．定义正整数集上的函数f x ()，满足：=f 10()，设>x 1的标准分解式为=⋅⋅⋅αααx p p p k k 1212，则令=−−⋅⋅⋅−αααf x m p p p k k k 1111212()()()()．令=a a 1，=+a f a n n 1()，=⋯n ,.1,2证明：存在正整数b ，使得数列a n {}从某一项开始恒为b ．4.设函数→f g ,:满足：（a ）对任意两个不同的整数x y ,，有−−x y f x g y g x f y |()()()()； （b ）对任意整数x ，有+>f x g x 022()()；（c ）存在多项式P x ()，使得对任意整数x ，有+<f x g x P x ()()()． 证明：存在正整数m ，函数→c :，及整系数多项式、p x q x ()()，使得对绝对值充分大的整数x ，都有=mf x p x c x ()()()、=mg x q x c x ()()()．。
北大清华 综合营考试试题汇总PDF
北京大学&清华大学2013-2017 综合营考试真题汇总目录北京大学 (2)2017 年考试真题 (2)2016 年考试真题 (5)2015 年考试真题 (10)2014 年考试真题 (10)2013 年考试真题 (15)清华大学 (16)2017 年考试真题 (16)2016 年考试真题 (17)2015 年考试真题 (20)北京大学2017 年考试真题一、北大综合营作用说明获得优秀营员癿可以享叐博雅初审通过癿优惠，考试成绩是优秀营员资格癿唯一标准。
（近几年都是如此）二、测试科目语文数学英语（三科共计三个小时），物理化学（共计两个小时），学习能力测试（一个小时）学习能力测试是 17 年新加癿，没考过癿自劢联想公务员考试癿言语推理和量化推理考试时间：第一天（如果算报道癿话是第二天）三、测试难度2016 癿数学比 2017 癿简单。
2016 癿化学有物质结构而 2017 没有。
2016 癿物理有 3-4 大题 2017 没有。
整体来讲，难度适中，但丌要妄想会有高考那种送分题。
四、考试真题（一）语文填空题 1、咫尺天涯中，咫和尺哪个更大2、青红皂白癿皂是什么意思3、怙恶丌悛，度德量力注音4、一堆古书和名家著作里面找出几句挖空让你填一段文言文没有标点，自行断句然后翻译一篇现代文阅读作文题丌超过 600 字癿作文，用癿是文言文材料，但是敀事是老敀事，也很好懂。
（二）数学（三）英语有单选，完型，阅读理解，没有作文和听力（四）物理化学物理化学都是选择题和大题，涉及到部分选修内容。
2017 最后一题目是阿基米德浮力定律压卷……（五）学习能力测试学习能力测试，60 分钟 80 道选择题理论上来讲是做丌完癿，所以说要先挑像是言语推理这样题干简洁明快得分率还高癿题来做。
2016 年考试真题5、一条直线与双曲线交于 A ，B 两点，与该双曲线的渐近线交 子 C ，D 两点，证明 zAC = B D.6、设锐角 α，β 满足 S i J 12α + sin 2 ß= s in (α + β). *α+ β 的信7、己知 t ::.A .8C 面权为1. D ，E 分别为线段 A B ，AC 上的点. F 为线段 D E 上一点i 己.x= AD ，y = A -E ::-， Z = DFy+z-x =l. 求 S 6〓F 的级大倍以及对应的 X ，)'，Z 一A 一B" 一AC 一.一E，己知ρI4U-U 〓撞 AB C20 16 年北京大学暑期夏令营测试物理-、选得lHiI 、情块A 静罩在半阁柱 B 的最高点.B 的我面光滑，初始时系统静止.现给 d 一个轻微拨 动，使得 A 沿B 的表面下滑，若在下滑过程中，两者分离，记分离时 A 的角位置为 B (A和闺心的连线与坚直方向 的夹角f 0" <θ<90.).对于两种情况 〈(1) m >>m8 '(2) m ，，-<<m sA. 两种情况下 • A 都不会分离 B . 只有一种情况 A 会飞离C . 都能飞离 . ( 1) 的9 更大D. 都能飞离，(2)的8 更大2、一个_j 揭开口的容器和一个质蠢忽略不计 的语塞构成一个封闭系统， 1主系统与外界绝热.其中一个质续不可忽略的挡!fk 把内部空间分成两个部分，两部分有质 fit 不同、 温度梅同的 向 科气体.系绞处处无摩擦.现在把挡饭缓慢抽 出， 边程中不满气 ，虫。
北京大学2017年暑期学堂试题
.北京大学2017年暑期学堂试题1. 如图所示，光滑的斜面上放置着两个质量不同的小滑块，初始时用外力将其固定，两块间的间距为d ，现将外力撤去，两物块沿斜面下滑，那么两物块的间距d 会( ) A. 变大 B. 不变 C. 变小D. 先变大后变小2. 以一定速度向斜上方发射一枚铅球，空气阻力可忽略不计，请问应该以什么样的发射角度发射，才能使铅球落地时的运动距离最远( )A. 大于 45B. 等于 45C. 小于 45D. 无法确定 3. 有一个近乎真空的容器，其体积为L V 2.11=，测得其内部压强为mmHg P 51101-⨯=，现将其温度升高至C 300，吸附在壁上的分子由于受热而逸出，此时又测得其内部压强为mmHg 2101-⨯，求吸附在壁上分子的数量级为( )A. 1910B. 1810C. 1710D. 16104. 在炎热的夏天，向远处的柏油马路看去，路面特别明亮光滑，像用水淋过一样.其原理时在温度和重力的影响下，空气的折射率随着高度的升高而变大，从远处的光线将会被弯曲，看起来就好像是路面上有一块反射镜.请问以下四种生活现象中，与此现象产生的原理相同的是哪两种( ) A. 海市蜃楼B. 沙漠神泉C. 白天，地表附近的气温较上层的气温高，声音在地表附近的传播较上层快，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向上拐弯的.D. 黑夜，地表附近的气温较上层的气温低，声音在地表附近的传播较上层慢，于是在地面上的生源发出的声音向四周传播时是向下拐弯的5. 将一个电子放于一个匀强电场中，那么( ) A. 电子将沿电场方向做匀速运动B. 电子将沿电场相反反向做匀速运动C. 电子将沿电场方向做匀加速运动D. 电子将沿电场相反方向做匀加速运动6. 有一只孤独的变色龙，在沙漠严寒的冬日，一面正对太阳，另一面背对太阳，为了使其体温维持稳定，其颜色需要变化为( ) A. 向光侧颜色深，背光侧颜色浅 B. 向光侧颜色浅，背光侧颜色深 C. 向光侧和背光侧都要颜色深D. 向光侧和背光侧都要颜色浅7. 空间中存在一个圆环、一个圆盘和一个圆球，三者半径相同并带有等量同种电荷，试问三者中心电势的大小关系为( ) A. 圆球>圆盘>圆环 B. 圆球>圆环>圆盘 C. 圆盘>圆球>圆环D. 圆环>圆盘>圆球8. 一个导体球壳A 内部有一个小导体B ，下列说法正确的是( ) A. 若只有A 带电，则AB U 为正或为负B. 若B 带负电，则AB U 的正负与A 的带电量无关C. 若B 不带电，则AB U 的正负与A 的带电量无关D. 若B 带正电，则无论A 带何种电荷，0 AB U9. 在广袤的宇宙中，存在着这样一颗不断自转的行星，质量为M 均匀分布，半径为R ，在其上的未知生命对于重量的变化非常敏感，有一个热爱旅行的未知生命感受到他在赤道上重量恰好为在极地重量的%99，现在这些未知生命希望能够发射一次卫星，请问： (1) 该星球极点处的逃逸速度；.(2) 如何使得发射所需的能量最小，应该在何处以怎样的速度发射？10.真空中存在着两个点电荷21q q 、，其电量之和为q ，相距为d ，相互作用力为f (吸引为负，排斥为正)，静电力常量为k ，请问：(1) 要使得21q q 、有取值，以上的量需要满足什么关系？ (2) 在满足(1)的条件下，两点电荷的电量。
2017年北京大学博雅计划数学试题分析
2017年北京大学博雅计划数学试题分析选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方，得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ，12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C.52.函数21()|2||||1|2f x x x x，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B.335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos55 的值为（ ）A.1B.114C.1D.前三个答案都不对 54.解：π3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos)(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π5542sin sin 55，从而 原式11111.244故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，ABD DBC ，则该圆的直径为（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对55.D56.已知三角形中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为（ ）57.已知x 为实数，使得2、x 、2x 互不相同，且其是有一个数恰为别一个数的2倍，则这样的x 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对 57.B 58.设整数a 、m 、n 满足 则这样的整数组(,,)a m n 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对58.C59.设111123571111log πlog πlog πlog πS ，则不超过S ，且与S 最接近的整数为（ ）A.5B.4C.5D.前三个答案都不对59.A60.已知复数z 满足2z z是实数，则|i |z 的最小值等于（ ） A.3 B.2C.1D.前三个答案都不对 60.解：设复数i z a b ，从而 222222222(i)22i i ((i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b ， 由题意得222a b ，即在复平面内，复数z 对应的点在圆222a b 上运动，而|i |z 的几何意义是动点(,)P a b 到定点(0,1) 1.从而选D.61.已知正方形ABCD 的边长为1，1P 、2P 、3P 、4P 是正方形内部的4个点，使得1ABP 、2BCP 、3CDP 、4DAP 都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于（ ）A.2B.4C.18D.前三个答案都不对 61.解：以C 为坐标原点，CD ，CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系.由题意知11(,122P、21,22P、31(,)22P、41(1,)22P ，易知四边形1234PP P P为正方形，从而12342132411||||1)222P P P S PP P P 四边形P 选A.62.已知某个三角形的两条高线的长度分别为10和20，则它的第三条高线长度的取值区间为（ ） A.10(,5)3 B.20(5,3 C.20(,20)3D.前三个答案都不对 62.解：设ABC 的面积为S ，所求的第三条高线为长为h ，则三边长分别为210S ，220S ，2S h .则22.1020S S 由三角形的三边关系，得222,20102222010.S S S h S S Sh 解得20203h ，从而选C. 63.正方形ABCD 与点P 在同一个平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC ，则||PD 的最大值为（ ）A.2B.C.1D.前三个答案都不对63.解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设(,)P x y ，由题意得2221x y y ，即22(1)2x y ，即动点P 在圆22(1)2x y 上运动.||PD 的长即为圆上动点P 到定点(0,1)D 的距离，易知D 距离圆心的距离为2，从而最大值为2选A.64. 方程43log (23)log (42)x x x x的实根个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.前三个答案都不对64.解：令43log (23)log (42)x x x x t ，从而234x x t ，423x x t，两式相加，得4343x x t t，令()43x x f x ，从而得()()f x f t .因为()f x 为增函数，从而.x t 所以原方程只有一个根，选B.65.使得2x x 和222x x都是整数的正实数x 的个数为（ ） A.1 B.2 C.无穷多 D.前三个答案都不对 65.解：因这2x x 为整数，故22(x x 必为整数，即2244x x 为整数，由于222x x 为整数，所以22x 为整数.从而2x 必为2的因数.从而21x 或22x .因为0x ，所以1x或x当1x 时，2x x为整数，满足题意；当x 2x x不是整数，不合题意，舍去. 故满足题意的实数x 只有 1.x 故选A. 66.满足4(())()f f x f x 的实系数多项式()f x 的个数为（ ）A.2B.4C.无穷多D.前三个答案都不对66.D67.使得327p p 为平方数，且不大于100的素数p 的个数为（ ）A.0B.1C.2D. 前三个答案都不对67.解：因为3227(7)p p p p ，因为若327p p 是平方数，由27p p 无整数解，从而7p 为平方数.若p 为个位数字，且p 为质数，从而p 所有可能的取值为2,3,5,7，因为平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，检验知只有2符合题意；若p 为两位质数，则7p 必为偶数，因为两位平方数的未两位数字是0偶、1偶、4偶、9偶、25、6奇，从而7P 的未两位数字必是0偶、4偶、6奇三种情况.（1）若p 7 未两位是0偶的形式，则p 只能是13、23、53、73、83，而此时7p 不是平方数；（2）若p 7 未两位是偶4的形式，则p 只能是17、37、47、67、97，而此时7p 不是平方数；（3）若p 7 未两位是6奇的形式，则p 只能是29、89，检验知29符号题意.综上知2p 或29p ，满足条件的p 只有2个，故选C.68. 函数()(1)(2)(3)f x x x x x 的最小值为（ ）A.1B.32C.2D.前三个答案都不对 68.解：令13[(1)(2)(3)]42t x x x x x ，从而3.2x t 所以22311319()()()(().222244f xg t t t t t t t 再令2221195[(()]2444m t t t ，从而254t m ， 于是2()()(1)(1)1 1.g th m m m m当0m ，即2t （此时322x ）时“＝”成立.从而选A. 69.动圆与两圆1:C 221x y 和2:C 22670x y x 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.抛物线D.前三个答案都不对69.解：由圆2C 的方程22670x y x ，得22(3)2x y ，从而可知2C 的圆心为(3,0)，半径为2r ，从而可知1C 与圆2C 相外离.设动圆的圆心P ，从而212121||||1 1.PC PC r r r r 由双曲线的定义可知，动圆的圆心轨迹是双曲线靠近2C 的那支，即双曲线的右支，故选B.70.在ABC 中，4sin 5A ，4cos 13B ，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.无法确定 D.前三个答案都不对70.解：4cos 13B ，得sin 13B ，由于4sin 5A 13 ，所以π2A B ，从而3sin 5A ，所以434cos cos()sin sin cos cos 0513513C A B A B A B ，从而C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形. 故选A.总体评价1.保持了近几年北京大学博雅计划自主招生的几格（1）仍然是20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分；（2）时间紧，题量大.三个小时内要完成语、数、外三科试题的解答，很少有学生完成；（3）D选项一律是“前三个答案都不对”.很具有迷惑性，有时候甚至比较棘手.例如第5题，答案数字不怎么完整.在考场时间紧张的情况下，是否相信自己的判断，对考生来说是一个考验；再如第9题，答案明显是个负数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要估算；（4）风格灵巧，强调多想少算.比如第1题，看出来配方的技巧就可以秒杀.如果硬算的话，可能比较造成悲剧；（5）不追求知识的全面覆盖.数论、函数、平面几何、三角等一向是北京大学各种自主招生考试中的高频考点.在2017年的自主招生考试中依然也是考查的重点. 而概率、统计、导数、立体几何等考点一向被北京大学冷落，2017年的这场考试也不例外；（6）经典试题有一定的重现率.比如第6题就是平面几何中的经典问题，第9题中用到对数运算公式等，这在北京大学的自主招生考试中也是屡见不鲜的.2.相对于近几年的北京大学的各场自主招生的相关考试而言，这份试卷的难度不高，在平均线以下；3.有较好的区分度，能够达到北京大学自主招选拔的目的.与高考试题的对比1.有些试题即使放在高考中也不是难题.比如第19题、第20题.这类题基本每份自主招生的试卷中都有，但一般来讲数量较少；2.有些试题的考点同时也是高考考查的重点，但相对高考而言，综合性较强.考生若想在有限的时间内顺利解决的话，得有很好的基本功. 比如第18题，如果做成四次函数求最值，将会十分麻烦.代数变形后进行换元，处理成二次函数才是解决此类问题的正途.再如第14题，每一步可能都不算难，用到的知识也是高考要求的，但步骤一多，考生可能就处理不好；3.一多半的试题或者为是高考重点要求的（如数论，同时也是自主招生考试中考查最多的知识点，但高考很少涉及），或者是在高考大纲范围内，但考查方法较为灵活（如12题，需要将多个高量之间的本质关系想清楚才能顺利解决）.对考生的启示1.有针对性的训练是有必要的.比如在高考中很少考到数论的相关问题，即使考到，最多无非是奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但自主招生考试对数论的要求却较高.事实上，数论的相关问题很容易体现出“多想少算”的特点，非常符合自主招生的选拔要求.再如平面几何，高中生很可能还比不上初中生，毕竟高考中的平面几何问题都非常简单.如果平时没有有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点就很容易抓瞎，遇到那些虽然在高考大纲范围内，但风格不太一样的试题，也很难顺利解决.2.研习真题真的很重要往年的自主招生试题，全国高中数学联赛的试题，甚至自省的预赛题，都是很好的备考材料.平时练习多思考、多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性就会相当大.3.试题的难度在总体上会保持稳定2017年北京大学博雅计划的自主招生试题相对容易，这只是正常的波动.2018年可能会比2017年稍微难一些，但难度应该也不会太大，对此大家应该有心理准备.4.选择题的“考场技巧”平时需要多练最近两年北京大学的博雅计划自主招生考试全是选择题，必要的时候可能猜.事实上，一道试题即使不完全会，也不能空着.可能会有同学问：“选错不是倒扣1分吗？”可是如果我们从数学角度算算期望的话，一道试题随机选择的得分期望是0.5分.如果能排除两个错误选项的话，得分的期望值就会更高.。
2017年北京大学自主招生数学学科试题(含解析)
数学试题1．已知实数a ，b 满足(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1)，求1b a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．以上答案均不正确2．在三角形ABC 中，已知4sin 5A =，4cos 13B =，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．无法确定D ．以上答案均不正确3．已知2x x +和222x x+均为整数，则正实数x 的可能取值有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．4 D ．以上答案均不正确4．复数z 满足2z z+为实数，求|z +i |的最小值（ ） 5的实数(a ，m ，n )有（ ）组6．圆上四点ABCD 逆时针排列，已知AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，∠DBC ＝∠DBA ，求圆的直径（ ）A． B． C． D ．以上答案均不正确7．已知p 为100以内的质数，且满足p 3+7p 2为完全平方数，求p 的个数（ ） 8．函数f (x )＝x (x +1)(x +2)(x +3)的最小值为（ ） A ．-1.5 B ．-1 C ．-2 D ．以上答案均不正确9．已知三角形的两条高为10和20，求第三条高的取值范围（ ） 10．已知三角形的三条中线为9，12，15，求三角形的面积（ ） 11．已知111123571111log πlog πlog πlog πS =+++，求不大于S 的最大整数（ ） 12．求方程log 4(2x +3x )＝log 3(4x -2x )整数解的个数（ ）13．求π31cos 1cos π55⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ）14．设ABCD 是边长为1的正方形，正方形所在平面上的点P 满足|P A |2+|PB |2＝|PC |2，求|PD |max （ ）数学 答案1、【解答】C ．对(a 2+4)(b 2+1)＝5(2ab -1) 直接展开，有a 2b 2+a 2+4b 2+4＝10ab -5。
2017年北京大学优特测试数学试题及答案
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15. 方程组
xy3 −4y2 −11y+30 = 1, x + y = 2 B ．4
的实数解的组数是
A ．3
C ．5
D ．6
16. 设实数 k1 ,k2 满足 k2 > k1 > 0，且 k1 k2 = 4，两双曲线 C1 ,C2 的渐近线分别是 k1 y = ± (x − 2) + 2 和 y = ±k2 (x − 2) + 2，且 C1 ,C2 都经过原点，则双曲线 4 C1 ,C2 的离心率 e1 ,e2 的比值 √ √ 2 2 16 + k1 16 + 16k1 A． B ． C ．1 D ．2 2 2 16 + 16k2 16 + k2 17. 已知圆 C1 ,C2 均过点 (3, 4)，且其半径之积 r1 r2 = 80．若 x 轴是 C1 ,C2 的公切 线，且 C1 ,C2 的另一条公切线 l 通过原点，则直线 l 的斜率为 √ √ √ √ 8 5 8 5 8 3 8 3 A ．± B ．− C ．± D ．− 11 11 15 15 √ √ 18. 在 △ABC 中，cos A + 2 cos B + 2 cos C 的最大值是 √ 1 A． 2 + 2 √ B ．2 2 − 1 C ．2 √ D ．2 2
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√ 7. 过原点的直线 l 与双曲线 xy = −2 2 交于 P ,Q 两点，其中 P 在第二象限，Q 在第四象限，现将上下两个半平面沿 x 轴方向折成直二面角，则 |P Q| 的最小 值是
14. 设函数 f (x) = x2 − ln x,g (x) = x − 1，直线 y = m 分别交曲线 y = f (x) 和