A题 一个飞行管理问题

A 题 一个飞行管理问题
一．模型假设 由题目所给条件有以下假设：飞机用几何上的点代表（不考其尺寸）；位
置由坐标（x ，y ）给出；已在区域内的飞机，按给定方向角飞行，一定不会碰撞。

另做如下假设：飞机调整方向角的过程可以在瞬间完成，即可在保持位置不变的情况下完成方向角的调整。

二．基本模型 设初始时刻为新进入飞机到达区域边缘的时刻。

记（x i 0 ，y i 0）和θi 0
为
初始时刻第I 架飞机的坐标和方向角， θi 为初始瞬间第I 价飞机调整后的方向角。

d ij （θi ，θj ）为 i ，j 为两价飞机分别以方向角 θi ，θj 飞行时在区域内的最短距离。

模型为： 求 θi （i=1，2，…6）使 Min J=
∑
=6
1
i │θi -θi 0
│ ⑴
S.t. │θi -θi 0
│≤π/b I = 1，2，…6 ⑵
d ij （θi ，θj ）›8 （i ，j=1，2，…6，i ≠j ） ⑶
注： 目标函数⑴ 可易为J=
Max
i
│θi -θi 0
│ ；约束条件 ⑶仅限于区域内。

d ij 的数学描述：记飞机速度均为v （=800公里/小时），T i ，T j 分别为第i ，j 架 飞机以θi ，θj 飞行在区域内的飞行时间，且T ij =min （T i ，T j ），则
d 2
ij （θi ，θj ）=
min
0T t I J
≤≤｛［（x i 0-x j 0）+vt （cos θi -cos θj ）］2+［（y i 0-y j 0
）+vt
（sin θi -sin θj ）］2
｝ ⑷
T i =()
()()()
()()()()()()
()()⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--πππππππθθθθθθθθθθθθ22/3cos /,cos /160min 2/3,sin /,cos /min 2/,cos /160,cos /min 2/0,cos /160,cos /160min 00000000i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i v v v v v v v v y x y x y x y x ⑸
令 ()()[]
(
)
()()
()[]
()()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-++=--+-+=-+-=2002002002
0022
2s i n s i n
c o s c o s s i n s i n c o s c o s j i j i j i j i j i j i j i j i y y x x c y y x x v b v a θθθθθθθθ ⑹
则(
)
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥-++--≥=++=
≤≤ij
ij ij ij T t ij aT b c bT aT aT b a b c b c c bt at d ij
,20,/20,22202
min ⑺
三、模型求解
1， 直接搜索 将允许调整的方向角范围[]6/,
6/00πθπθ+-i i 分成2M 等分，
令分点上的值为k i θ（k=1，2，…2M+1），对允许调整方向的不同组合{}θθθk k k 6
2
1
6
21,,
（
6,2,1,12,2,1 =+=j M k
j
）进行搜索，求解⑴，⑶。

为达到允许误差给出的精度要求，需采用较小的搜索步长，计算量较大，应采取一些减少计算量方法，如：
i ） 先用较大的步长，求得近似解。

据此缩小搜索范围，再在小范围内用较小步长作进一步搜索。

ii ） 按方向角调整幅度由小到大的次序进行搜索，这样第一次得到的可行解即为最优解。

iii ） 一旦发现飞机i ，j 的某对方向角.,θθk
k j
i
j
i ⑶式不成立，则对飞机s
（≠ij ）的任意方向角
θk s s ，都不必再对组合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧θθθs j i s j i ,,进行搜索。