湖北省黄冈中学2014届高三5月模拟考试 数学文试题
黄冈市2014届高三5月份适应性考试文数试题与答案
黄冈市2014届高三5月适应性考试文科数学（参考答案）一 、A 卷CCAAB CBACC B 卷DDDAB DCDCC二、11． 2- 12．甲 13．13 14. 22)2(+≥n f n 15. π116. 3 17.①②③ 三、18.解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A C ---+=- 得53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A ……5分又π<<A 0,则 54sin =A ……6分(Ⅱ)由正弦定理,有 B b A a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B . …………9分 根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ,解得 1=c 或 7-=c (负值舍去), …………10分向量BA 在BC =B 22……12分 19.(1)当0=b 时，2=n a 符合题意。
当0≠b 时，c a b a a n n n +-=-+)1(1为常数，故1=b ，得n a n 2= 所以，2=n a 或n a n 2=…………6分（只求得一个得3分）（2）由数列{}n a 为等比数列，所以3122a a a =得c c bc 222=+0=c 或22=+c b ，…………8分若22=+c b 得22=a ，故2=n a 不满足341256n S < 所以0=c ，得12-=n n b a 。
…………9分 由任相邻的三项均能按某种顺序排成等差数列，即 若112222+-+=⋅n n nb b b 得1=b 。
舍…………10分若112222+-+=⋅n n n b b b 得1=b （舍）或2-=b 舍。
…………11分若n n n b b b222211+=⋅-+得1=b 舍或21-=b …………12分 故41341(1())32256n n S =--<得10241023)21(1<--n8,6,4,2=n 即所求值的集合为{2,4,6,8}…………13分20.证明：(I) ∵DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，∴DC//EB ，又∵DC ⊄平面ABE ，EB ⊂平面ABE ， ∴DC ∥平面ABEl =平面ABE 平面ACD ，则DC ∥l又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE 所以l ∥平面BCDE-----------------4分(II)在△DEF中，3FD FE DE ==，由勾股定理知，FD FE ⊥ 由DC ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴DC ⊥AF ， 又∵AB=AC ，F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ， 又∵DC∩BC=C ，DC ⊂平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴AF ⊥平面BCDE ，∴AF ⊥FD ，又∵AF ∩FE=F ，∴FD ⊥平面AFE ， 又FD ⊂平面AFD ，故平面AFD ⊥平面AF E………………..9分 (III)13ABCDE A BCDE BCDE V V S AF -==⨯=()222212131⨯⨯+⨯=2 ………..13分由已知得：，∴，∴．……………分(2)当02a <≤时，2222()112148()2a a x x ax f x x a x x x-+--+'=+-==， 因为02a <≤，所以2108a ->，而0x >，即221()0x ax f x x-+'=>，故()f x 在(0,)+∞上是增函数．………………………8分(3)当(1, 2)a ∈时，由(2)知，()f x 在[1，2]上的最小值为(1)1f a =-，故问题等价于：对任意的(1, 2)a ∈，不等式1ln a m a ->恒成立．即1ln am a-<恒成立记1()ln a g a a -=，（12a <<），则2ln 1()ln a a ag a a a--+'=，…………………………10分令()ln 1M a a a a =--+，则()ln 0M a a '=-<所以()M a ，所以()(1)0M a M <=……………………………………………………11分故()0g a '<，所以1()ln a g a a -=在(1,2)a ∈上单调递减所以212(2)log ln 2m g e -≤==- 即实数m 的取值范围为2(,log ]e -∞-．………………………………………………13分22.（1）解（1）x y m ,C :m m 2222214>+=-，以N ，P 为焦点的椭圆 2分x y m ,C :m m 2222214<-=-，以N ，P 为焦点的双曲线 4分（2）由（1）曲线C 为x y 2215+=，设E(x ,)00，分别过E 取两垂直与坐标轴的两条弦CD ，C D ''，则ECEDEC ED 22221111+=+''，即x x x 22200211115=+-解得x 0=，所以E 若存在必为()0定值为6. （6分）下证(,)0满足题意。
湖北省黄冈市高三数学5月适应性考试试题 理 新人教A版
黄冈市2014年高三年级5月份适应性考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数1322z i =-+，则复数z 3=( ) A . 1 B . -1 C . 2 D . -2 2. 设全集U =R ，A ={x |x (x -2)<0}，B ={x |y =ln (1-x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≤1}3. 已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2-a ≥0”，命题q :“∃x ∈R 使x 2+2ax +2-a =0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A . {}1a a ≥B . {}212a a a -或≤≤≤C . {}21a a -≤≤D . {}21a a a -=或≤4. 函数y =sin 2x +acos 2x 的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线8x π=-对称，则a =( )A . 1B . 3C . -1D . - 35. 在区域20200x y x y y ⎧+-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩≥内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2+y 2=1内的概率为( )A ．8π B ．6π C ．4π D ．2π 6. 非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB ACBC ABAC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12AB AC ABAC⋅=u u u r u u u r u u ur u u u r ，则⊿ABC 为( )A . 三边均不等的三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰非等边三角形 7. 甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种A . 30B . 36C . 60D .72 8. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是( )A .253πB .343πC .1633π+D .16123π+9. 过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左焦点F (-c ，0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若|FE |=|EP |，则双曲线离心率为( )A 15+B 13+C 422-D 422+ 10. 函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象关于直线2bx a =-对称。
2014年湖北省黄冈市高三五月调考数学试卷(文科)
12014年湖北省黄冈市高三五月调考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|-3＜x＜1，x∈R}，N={-3，-2，-1，0，1}，则M∩N=（）A.{-2，-1，0，1}B.{-3，-2，-1，0}C.{-2，-1，0}D.{-3，-2，-1}2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A.￢p：∃x∈A，2x∈BB.￢p：∃x∉A，2x∈BC.￢p：∃x∈A，2x∉BD.￢p：∀x∉A，2x∉B3.2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度，安庆市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所不同的中学抽取60名教师进行调查．已知A，B，C学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A.10 B.12 C.18 D.244.函数y=x-的图象大致为（）A. B. C. D.5.将函数f（x）=sin（2x+θ）（＜＜）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（，），则φ的值可以是（）A. B. C. D.6.若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A.2B.5C.2或5D.或7.直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x-2）在，上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[-2，1]B.[-5，0]C.[-5，1]D.[-2，0]9.若满足条件的整点（x，y）恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.010.设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当取得最小值时，x+2y-z的最大值为（）A.0B.C.2D.二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.设m∈R，m2+m-2+（m2-1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ______ ．12.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是______ ．13.定义某种运算S=a⊗b，运算原理如图所示，则式子（2tan）⊗lne+lg100⊗（）-1的值为______ ．14.设n为正整数，，，＞，＞，经计算得＞，＞，观察上述结果，对任意正整数n，可推测出一般结论是______ ．15.已知x2+y2=4，则满足|x+y|≤且|x-y|≤的概率为______ ．16.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10，则h=______ ．17.下列命题：①已知平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ．②E，F，G，H是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则EG2+HF2=10③过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的垂心．其中正确命题的序号是______ ．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin （A+C）=-．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．19.已知数列{a n}首项a1=2，且对任意n∈N*，都有a n+1=ba n+c，其中b，c是常数．（1）若数列{a n}是等差数列，且c=2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{a n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使{a n}的前n项和S n＜成立的n取值集合．20.在几何体ABCDE中，，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；（2）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；（3）求几何体ABCDE的体积．21.已知函数f（x）=lnx+x2-ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知P是圆M：x2+y2+4x+4-4m2=0（m＞2）上任意一点，点N的坐标为（2，0），线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C．（1）求出轨迹C的方程，并讨论曲线C的形状；（2）当m=时，在x轴上是否存在一定点E，使得对曲线C的任意一条过E的弦AB，。
湖北省武汉市2014届高三5月模拟考试数学(文科类)试题
武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试文 科 数 学2014.5.8一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={0，1，2}，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．9 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tan α≠1 B ．若α=4π，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠4πD ．若tan α≠1，则α=4π3．函数－x )的定义域为A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1]4．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A 5．设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n －1B ．S n =3a n －2C ．S n =4－3a nD ．S n =3－2a n6．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定7．执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =A ．1111234+++B ．1111232432+++⨯⨯⨯C ．111112345++++D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯8．若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是A ．(,)-∞+∞ B.(2,)-+∞ C.(0,)+∞ D.(1,)-+∞9．已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6- D10．设a ＞0，b ＞0，下列命题中正确的是A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＜bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＜b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．若复数i +=1z （i 为虚数单位) z -是z 的共轭复数，则2z +z -²的虚部为 ．12．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 ．13．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 ．14．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则→AP ·→AC ＝ ． 16．在区间]3,3[-上随机取一个数x ，使得1|2||1|≥--+x x 成立的概率为____.17．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，也有另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；（Ⅱ）求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=.{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令112-=n n a b )(*N n ∈，求数列}{n b 的前n 项和T n ．20．（本小题满分13分）如图，在△ABC 中，∠B ＝π2，AB ＝BC ＝2，P 为AB 边上一动点，PD ∥BC 交AC 于点D ，现将△PDA 沿PD 翻折至△PDA ′，使平面PDA ′⊥平面PBCD ．（Ⅰ）若点P 为AB 的中点，E 为A ′C 的中点，求证：A ′B ⊥DE ； （Ⅱ）当棱锥A ′-PBCD 的体积最大时，求PA 的长．21．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝(2x2－4ax)ln x＋x2（a＞0）．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x∈[1，＋∞)，不等式(2x－4a)ln x＞－x恒成立，求a的取值范围．22．（本小题满分14分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．B 8．D 9．A 10．A二、填空题11．0 12．78 1314．18＋9π 15．18 16．1317．以O 、A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线三、解答题18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝1－cos x ． 由f (α)＝335，得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α＞0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．（Ⅱ）f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12．从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ．故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n ． （Ⅱ）由（Ⅰ），知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以12n n T b b b =+++ =111111(1-+++-)4223n n+1⋅- =11(1-)=4n+1⋅n4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1)．20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）如图，设F 为A ′B 的中点，连结PF ，FE ．则有EF ∥BC ，EF ＝12BC ，PD ∥BC ，PD ＝12BC ，∴DE ∥PF ，又A ′P ＝PB ，∴PF ⊥A ′B ， 故A ′B ⊥DE ．（Ⅱ）令PA ＝x （0＜x ＜2），则A ′P ＝PD ＝x ，BP ＝2－x ．因为A ′P ⊥PD ，且平面A ′PD ⊥平面PBCD ， 故A ′P ⊥平面PBCD ．∴V A ′-PBCD ＝13Sh ＝16(2－x )(2＋x )x ＝16(4x －x 3)．令f (x )＝16(4x －x 3)，由f ′(x )＝16(4－3x 2)＝0，得x ＝233．当x ∈(0，233)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(233，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．∴当x ＝233时，f (x )取得最大值，故当V A ′-PBCD 最大时，PA ＝233．21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝(4x －4a )ln x ＋2x 2－4axx ＋2x ＝4(x －a )(ln x ＋1)（x ＞0），令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝1e．①当0＜a ＜1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，a )，(1e ，＋∞)；单调递减区间为(a ，1e)．②当a ＝1e 时，f ′(x )≥0，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间．③当a ＞1e时，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )的单调递增区间为(0，1e )，(a ，＋∞)；单调递减区间为(1e ，a )．（Ⅱ）由(2x －4a )ln x ＞－x （x ≥1），得(2x 2－4ax )ln x ＋x 2＞0，即f (x )＞0对x ≥1恒成立． 由（Ⅰ）可知，当0＜a ≤1e时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＞0恒成立；当1e＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＞0恒成立； 当a ＞1时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，则f (x )min ＝f (a )＞0，即(2a 2－4a 2)ln a ＋a 2＞0，解得1＜a ＜e ． 综上可知，a 的取值范围为(0，e)．22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）解法1：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根， 所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.。
湖北省黄冈中学高三数学5月第二次模拟考试试题 文 新人教A版
数学（文）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．如果复数(2)bi i -(其中b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．2B ．2-C ．1-D ． 12．已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是( )A ．x ∀∈R ，21x≠ B ．x ∀∉R ，21x≠ C ．0x ∃∈R，021x≠D ．0x ∃∉R，021x≠3．“2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均 值为1，则样本方差为（ ）A．5 B ．65 CD ．25．若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1，其中b a ,b a x g x+=)(的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知()2sin(2),6f x x π=+若006(),[,]542f x x ππ=∈，则0cos 2x =（ ） A ． B ． C ． D ．7．在平行四边形ABCD 中，2,30,AB AD A ==∠=点M 在AB 边上，1,4AM AB =则DM DB ⋅=（ ）A ．1-B ． 1C ．14D ．14-8．设,x y ∈R ,1,1a b >>，若2x y a b ==，24a b +=，则21x y +的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()(f x x ∈R)是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()||f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110．已知12,F F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(,0)M t 为一个切点，则（ ）A ．2t <B ．2t =C ．2t >D ．t 与2的大小关系不确定二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清楚，模棱两可均不得分．11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生 人．12．在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于14的概率是_________． 13．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,MN b =,则a b +=_________．14．执行如右下图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 ． 15．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为 ．正视图 侧视图俯视图（第15题图） （第14题图）16．设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若z 的最小值1，则（Ⅰ）k 的值为 ；（Ⅱ）z 的最大值为 ．17．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第n 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n 表示)三、解答题：本大题共5小题，共6518．（本题满分12分） 在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且222212,S q b S b =+=．（Ⅰ）求na 与nb ；（Ⅱ）数列{}n c 满足n n S c 1=，求{}n c 的前n 项和n T ．2212231图1图2图319．（本题满分12分）在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．20．（本题满分13分）如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ．该曲线段是函数()2πsin()0,0,[4,0]3y A x A x ωω=+>>∈-时的图象，且图象的最高点为(1,2)B -,赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD //EF ；赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE ． (Ⅰ)求ω的值和DOE ∠的大小；(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在 半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，求“矩形 草坪”面积的最大值，并求此时P 点的位置. 21．（本题满分14分）已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数bax x g +=21)(的图象为直线l ．(Ⅰ) 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值；(Ⅱ) 设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为12,,x x 且12x x ≠, 求证：1212()()2x x g x x ++>．22．（本题满分14分）抛物线P :py x 22=上一点(,2)Q m 到抛物线P 的焦点的距离为3，,,,A B C D 为抛物线的四个不同的点，其中A 、D 关于y 轴对称，00(,)D x y ，11(,)B x y ，22(,)C x y ，2010x x x x <<<- ，直线BC 平行于抛物线P 的以D 为切点的切线．（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）证明：CAD BAD ∠=∠；（Ⅲ）D 到直线AB 、AC 的距离分别为m 、n，且m n +=，ABC ∆的面积为48，求直线BC 的方程．数学（文）试卷答案及解析 选择填空：BAADD CCBCB11．20 12．12 13．7 14．23 15．542π+16．1 ，7 17．66, 22n n - 1．【解析】(2)2bi i b i -=+，故选B ．2．【解析】特称命题的否定是全称命题，故选A ．3．【解析】若直线214a y ax y x =-+=-与垂直，则=14aa -⨯-，即2a =±，选A.4. 【解析】有题意可得第五个值为1- ，方差为222221[(2)(1)012]25-+-+++=.选D.5．【解析】由图1知01,a b <<<故选D ．6．【解析】06(),5f x =03sin(2),65x π∴+=004[,],cos(2),4265x x πππ∈∴+=- 00003cos 2sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 63636310x x x x ππππππ-∴=++=+++=选C ．7．【解析】法一：21111()()444 4.DM DB DA AB DB AD DB DB DB ⋅=+⋅=+⋅==.法二：以D 为原点，,DA DB 所在的边分别为,x y 轴轴，建立平面直角坐标系，则11(01),),.44A B M DM DB⋅=，，故选C．8．【解析】由题意得：2211log,loga bx y==，2222222212log log log log()2,2a ba b a bx y++=+=≤=故选B．9．【解析】由题意可得(4)()()f x f x f x+=-=，∴函数的周期是4，可将问题转化为()y f x=与1||yx=-在区间[10,10]-有几个交点．画图知，有10个交点,选C．10．【解析】设圆C与直线1F A的延长线、2AF分别相切于点,,P Q则由切线的性质可知：221122211,,,22, AP AQ F Q F M F P F M F M F Q AF AQ a AF AP a F M ===∴==-=--=-122, 2.MF MF a t a∴+=∴==故选B．11．【解析】2405020600⨯=．12．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，以AB为底边，要使PAB∆的面积大于14,则为P点到AB的距离12h>，∴概率为1.213．【解析】{05},2,5M x x a b=<<∴==，7.a b∴+=14．【解析】2,5,|25|8x y==->否，∴5x=，11y=，|511|8->否，∴11x=，23y=，|1123|8->，∴输出y，∴23y=．15．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分2π，所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+．16．【解析】作出不等式组表示的平面区域，由题意可知直线1kx y+=过点(1,0), 1.k∴=当直线2x y t+=过点59(,)24时，z有最大值7.17．【解析】设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，an ＝an －1＋5＋4(n －2)，所以an ＝a1＋5(n －1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n －2)]＝2n2－n. 18．【解答】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126解得4-=q （舍）或3=q ，3d =．故33(1)3n a n n=+-= ，13-=n n b ．（Ⅱ）(33)2211,()2(33)31n n n n S C n n n n +=∴==-++，211111212(1)()()(1)32231313(1)n nT n n n n ⎡⎤∴=-+-++-=-=⎢⎥+++⎣⎦．19．【解答】（Ⅰ）∵侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，∴AC BC ⊥， 又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥BC ，又1AA AC A =，∴BC ⊥平面1A AC ，∵BC ⊂平面1A BC，∴平面1A BC ⊥平面1A AC；（Ⅱ）设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ， K^S*5 当点C 是弧AB 的中点时，2,AC BC r ==111212(2)(2)33A BCC B V r r h r h-=⋅⋅⋅=,2=V r hπ圆柱， ∴111=2:3A BCC B V V π-圆柱：．20．【解答】（Ⅰ）由条件，得2A =，34T =． ∵2πT ω=，∴π6ω=．∴ 曲线段FBC 的解析式为π2π2sin()63y x =+． 当x=0时，3y OC ==．又CD=3，∴ππ44COD DOE ∠=∠=，即． （Ⅱ）由（Ⅰ）知6OD =．当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE上，故OP =． 设POE θ∠=，π04θ<≤，“矩形草坪”的面积为)()26sin cos sin S θθθθθθ=-=111π6(sin 2cos2))32224θθθ+-=+-． ∵π04θ<≤，故πππ2=428S θθ+=当时，时，取得最大值3．21．【解答】(Ⅰ)3ln )(3,2+-=∴-==x x xx F b a10ln 11ln 1)(222=⇒=--=--='x x x x x x x F)(,0)(),1,0(x F x F x '>'∈单调递增，)(,0)(),,1(x F x F x '<'+∞∈单调递减，2)1()(max ==F x F(Ⅱ)不妨设21x x <，要证2)()(2121>++x x g x x ,只需证21211()()22x x a x x b ⎡⎤+++>⎢⎥⎣⎦ （﹡） 1111ln 12x ax bx x =+，2222ln 12x ax bx x =+，212121211ln ln ()()()2x x a x x x x b x x ∴-=+-+-，将（﹡）两边同乘以21x x -得，21212121211()()()()2()2x x a x x x x b x x x x ⎡⎤++-+->-⎢⎥⎣⎦，只需证212121()(ln ln )2()x x x x x x +->-，即证221211()ln2()x x x x x x +>-，令)(2ln)()(111x x x xx x x H --+=，),(1+∞∈x x ，只需证)(0)(2ln)()(1111x H x x x xx x x H =>--+=，1ln )(11-+='x x x x x H ，令1ln)(11-+=x x x x x G ，∴ 0)(21>-='x x x x G ，∴)(x G 在),(1+∞∈x x 单调递增．∴0)()(1=>x G x G ，即0)(>'x H ，∴)(x H 在),(1+∞∈x x 单调递增．∴0)()(1=>x H x H ，即0)(2ln)()(111>--+=x x x xx x x H ，∴2)()(2121>++x x g x x ．22．【解答】（Ⅰ） |QF|=3=2+2p， ∴p =2．（Ⅱ）∴抛物线方程为y x 42=， A(4,200x x -)， D(4,200x x )， B(4,211x x ) ，C(4,222x x )， 2x y =' ∴221212124442BCx x x x xk x x -+===-，0212x x x =+∴，2202202044,4ACx x x x k x x --==+22011010444AB x x x xk x x --==+，201012020444AC AB x x x x x x x k k --+-∴+=+==，所以直线AC 和直线AB 的倾斜角互补， BAD CAD ∴∠=∠． （Ⅲ）设α=∠=∠CAD BAD ，则m=n=|AD|sin α，4)2.0(,22sin παπαα=∴∈=∴ ，0204:x x x y l AC+=-∴ 即024x x x y ++=，把:ACl 024x x x y ++=与抛物线方程y x 42=联立得：0442002=---x x x x ，20204x x x x --=-∴，402+=∴x x ，同理可得401-=x x ，00004,2,x x x x -<-<∴>48)4(4)42(2)24(221||||212000=-=-+==∴∆x x x AC AB S ABC ， 40=∴x ，xy l B BC 2:)0,0(=∴∴．。
2014年湖北省黄冈市武穴中学高考数学一模试卷(文科)
2014年湖北省黄冈市武穴中学高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若，则A∪B为（）A.，，B.，C.，D.，，【答案】D【解析】解：由得，，，∴A={1，}，B={-1，}，∴A∪B={1，-1，}故选D．由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．本题考查了集合的交集和并集的运算，先根据交集求出参数的值，再求并集．2.设i是虚数单位，若复数a-（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】解：∵=（a-3）-i是纯虚数，∴a-3=0，解得a=3．故选D．利用复数的运算法则把a-（a∈R）可以化为（a-3）-i，再利用纯虚数的定义即可得到a．熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．3.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A∴若α∥β可得l⊥β，∴“l⊥m若l⊥m，则l不一定垂直β，∴α与β不一定平行；∴α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件，故选A．已知直线l⊥平面α，根据线面垂直和面面平行的性质进行判断；此题本题空间几何体为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，还考查了线面垂直和面面平行的性质；4.若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且，则tana6的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵∴∴，故选B．根据所给的前11项的和，根据前11项的和等于11倍的第六项，写出第六项的结果是，求出第六项的正切值是-，得到结果．本题考查等差数列的性质，考查特殊角的正切值，是一个综合题目，这种题目是综合数列和三角的题目，是一种常见的组合，要引起注意．5.函数是（）A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数【答案】D【解析】解：∵f（x）=cos2x+cosx，f（-x）=cos（-2x）+cos（-x）=cos2x+cosx=f（x），∴f（x）=cos2x+cosx是偶函数；又f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2-，当cosx=1时，f（x）取得最大值2；当cosx=-时，f（x）取得最小值-；故选：D．利用函数的奇偶性的定义判断后，再利用升幂公式，将f（x）化为f（x）=2-，利用余弦函数的性质与二次函数的性质即可求得答案．解能力，属于中档题．6.如图，△ABC 中，AD=DB ，AE=EC ，CD 与BE 交于F ，设 ， ， ，则（x ，y ）为（ ） A.（，） B.（，） C.（，） D.（，） 【答案】 A【解析】解：∵△ABC 中，AD=DB ，AE=EC ，CD 与BE 交于F ， ∴F 是△ABC 的中线CD 、BE 的交点，可得F 为△ABC 的重心，延长AF 交BC 于G ，则AG 为BC 边上的中线，可得 =， ∵， ∴ = • =． ∵ ， ， ， ∴x =y =，故选：A根据题意，得到F 为△ABC 的重心，延长AF 交BC 于G ，则AG 为BC 边上的中线，可得 = ．由三角形的中线的性质得 ，从而得到 =．由此利用平面向量基本定理，即可算出x 、y 的值．本题给出三角形的重心，求向量的线性表示式．着重考查了三角形中线的性质、重心的性质和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．7.已知函数f （x ）=，则使函数g （x ）=f （x ）+x -m 有零点的实数m 的取值范围是（ ）A.[0，1）B.（-∞，1）C.（-∞，1]∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪（1，+∞） 【答案】 D【解析】解：函数g （x ）=f （x ）+x -m 的零点就是方程f （x ）+x =m 的根，作出h （x ）=f （x ）+x = 当 时 当 时的图象，观察它与直线y =m 的交点，得知当m ≤0时，或m ＞1时有交点，即函数g （x ）=f （x ）+x -m 有零点． 故选D ．作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判8.如图，F1，F2是双曲线C1：x2-=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知，|F1F2|=|F1A|=4，∵|F1A|-|F2A|=2，∴|F2A|=2，∴|F1A|+|F2A|=6，∵|F1F2|=4，∴C2的离心率是=．故选B．利用双曲线的定义，可求出|F2A|=2，|F1F2|=4，进而有|F1A|+|F2A|=6，由此可求C2的离心率．本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A.10cm3B.20cm3C.30cm3D.40cm3【答案】B【解析】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题11.已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×（2）2=∴h===先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜，则不等式f（lg2x）＜+的解集为（）A.（0，）B.（0，）∪（10．+∞）C.（，10）D.（10，+∞）【答案】B【解析】解：令lg2x=t，（t＞0），则不等式＜即为不等式＜，令，则′′＜，所以F（t）=f（t）-在（0，+∞）内单调递减，又，所以＜的解集为（1，+∞），由＞，得＜＜或＞，所以不等式＜的解集为，，∞．故选：B．令lg2x=t，（t＞0），则＜，令，则′′＜，由此利用导数性质能求出不等式＜的解集．本题考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若α为锐角，且，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵0＜α＜，∴＜α+＜，∵cos（α+）=，∴sin（α+）==，则sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=．故答案为：由α为锐角，根据cos（α+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+）的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．14.设x，y满足约束条件，向量=（y-2x，m），=（1，-1），且∥，则m的最小值为______ ．【答案】-6【解析】解：由向量，，，，且，得m=2x-y，根据约束条件画出可行域，设m=2x-y，将m最小值转化为y轴上的截距，当直线m=2x-y经过点A（1，8）时，m最小，最小值是：2×1-8=-6．故答案为：-6．先根据平面向量共线（平行）的坐标表示，得m=2x-y，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=2x-y过可行域内的点A时，从而得到m值即可．本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．15.若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______ ．【答案】4【解析】解：圆x2+y2+2x-4y+1=0即（x+1）2+（y-2）2=4，圆心为（-1，2），半径为2，设圆心到直线2ax-by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得2=4，d=0，即直线2ax-by+2=0经过圆心，∴-2a-2b+2=0，a+b=1，则+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，2ax-by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．16.已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014= ______ ．【答案】4009【解析】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=-3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n-1）．∴x8=x1+14=-3．∴x1=-17．∴通项x n=2n-19．∴x2014=2×2014-19=4009．故答案为：4009．根据条件关系求出数列的首项以及通项公式即可得到结论．本题考查数列的性质和应用，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知a，b，c是△ABC三边长且a2+b2-c2=ab，△ABC的面积，．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求a，b的值．【答案】解：（Ⅰ）∵a2+b2-c2=ab，∴cos C==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（Ⅱ）∵△ABC的面积S=，∴=10，∴a+b=13②，由①②，解得a=8，b=5或a=5，b=8．【解析】（Ⅰ）利用cos C=，求角C；（Ⅱ）利用三角形的面积公式及余弦定理，可求a，b的值．本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积公式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．18.已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=a n log2a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}为等比数列，a1=2，∴a2=a1q=2q，a3=a1q2=2q2∵4a1是2a2，a3，的等差中项，∴8a1=2a2+a3，即，16=2或=4q+2q2解得，q=2或q=-4∵数列{a n}各项均为正数，∴q=-4舍去，∴q=2，∴列{a n}的通项公式a n=2n（Ⅱ）把a n=2n代入b n=a n log2a n，得，b n=2n log22n=n2n，∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n2n①2S n=1×22+2×23+3×24+…+n2n+1②①-②，得-S n=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1∴S n=-2n+1+2+n2n+1=（n-1）2n+1+2【解析】（Ⅰ）欲求数列{a n}的通项公式，因为数列{a n}为等比数列，a1=2，所以只需求出q，根据4a1是2a2，a3，的等差中项，就可找到含q的方程，解出q即可．（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求数列{a n}的通项公式代入b n=a n log2a n，化简，即得数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法，求和即可．本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减法求数列的和，属于数列的常见题型，应当掌握．19.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且EF=BD．（1）求证：BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）求几何体ABCDEF的体积．【答案】（1）证明：记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，∵EF∥BD且EF=BD，∴EF∥BO且EF=BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，∴BF∥平面ACE；（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD=D，∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF=BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，，，∴梯形的面积为，由（1）知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积．【解析】（1）记AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，则可证出四边形EFBO是平行四边形，从而BF∥EO，最后结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；（3）利用条件公式求几何体的条件．本题以一个特殊多面体为例，考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定理、空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理，属于中档题．20.如图，椭圆C：＞＞经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：（1）椭圆C：＞＞经过点P（1，），可得＞＞①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k-注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+-（+）=2k-×⑤④代入⑤得k1+k2=2k-×=2k-1又k3=k-，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意【解析】（1）由题意将点P（1，）代入椭圆的方程，得到＞＞，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．21.已知函数f（x）=ax-e x（a＞0）．（1）若，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）当1≤a≤e+1时，求证：f（x）≤x．【答案】解：（1）当时，，，′，′，故函数f（x）在处的切线方程为，即（2）令g（a）=x-f（x）=-ax+x+e x，只需证明g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立，一方面，g（1）=-x+x+e x=e x＞0①另一方面，g（1+e）=-x（1+e）+x+e x=e x-ex，设h（x）=e x-ex，则h′（x）=e x-e，当x＜1时，h′（x）＜0；当x＞1时，h′（x）＞0．∴h（x）在（-∞，1）单调递减；在（1，+∞）单调递增．∴h（x）≥h（1）=e-e•1=0，即g（1+e）≥0②由①②知，g（a）≥0在1≤a≤e+1时恒成立故当1≤a≤e+1时，f（x）≤x．【解析】（1）根据导数的几何意义，曲线f（x）在x=x0处的切线方程为y-f（x0）=f'（x0）（x-x0），代入计算即可．（2）作差并将x-f（x）=-ax+x+e x看成是关于a的函数g（a），要证明不等式成立，只需证明g（a）≥0对于一切1≤a≤e+1恒成立即可，亦即证明．本题中涉及到高考常考内容，即导数的几何意义，一般会以填空选择题的形式呈现，属于容易题；第二问中的证明中，由1≤a≤e+1知，需要将函数看成关于a的函数，再通过相关函数知识解决，学生在处理时，往往容易把它当成关于x的函数，从而没法继续证明．所以，在解题时看根据题目给的条件，分辨哪个是自变量，哪个是参数，是至关重要的．22.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若，求的值．【答案】证明：（Ⅰ）连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线．…（5分）（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，R t△ABC中，∠∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，∴∠∠．∵R t△HOD中，∠，∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，∴R t△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，R t△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°∴△ADE∽△ADB，可得，∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2∴AE=8x又∵OD∥AE，∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）【解析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（II）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，因为AB是⊙O的直径，所以在R t△ACB 中，求出∠，再利用OD∥AE，所以∠DOH=∠CAB，得到R t△HOD中，∠=∠．设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，用勾股定理，在R t△HOD中算出DH=4x，再在R t△HAD中，算出AD2=80x2．最后利用△ADE∽△ADB，得到AD2=AE•AB=AE•10x，从而AE=8x，再结合△AEF∽△ODF，得出．本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体，通过证明圆的切线和求线段的比，考查了相似三角形的性质、相似三角形的判定、圆的切线的判定定理等知识点，属于中档题．23.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q，．联立，解得或．∴P，．∴|PQ|==2．【解析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x-1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【答案】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x-a|≤m，即a-m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x-2|+t≥|x|．当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2-x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2-x+t≥-x，即t≥-2恒成立．综上不等式的解集为（-∞，]．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。
湖北省黄冈中学高三模拟考试数学试题
湖北省黄冈中学 2014届高三五月模拟考试数学（理工类）本试题卷共 6页，共 22题，此中第 15、 16题为选考题．满分 150分．考试用时 120分钟．★祝考试顺利 ★命题：潘际栋审稿：张智 校正：尚厚家注意事项：1．答卷前，考生务 势必自己的姓名、准考 证号填写在 试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点．用 一致供给的 2B 铅笔将答题卡上试卷种类 A 后的方框涂黑．2．选择题 的作答：每题选出答案后，用一致供给的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案 标号．答在试题卷、底稿纸上无效．3．填空题和解答 题的作答：用一致供给的 署名笔将答案直接答在答 题卡上对应的答题地区内．答在试题卷、底稿纸上无效．4．选考 题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的地点用 一致供给的 2 B 铅笔涂黑．考生应依据自己 选做的题目正确填涂 题号，不得多项选择．答题答在答题卡上对应的答题地区内，答在试题卷、底稿纸上无效．5．考生一定保持答 题卡的整齐 ．考试结 束后，请将本试题卷和答题卡一并上 交．一、选择题：本大题共 10小题，每题 5分，共 50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6} ，M ＝ {1,4} ，N ＝{2,3} ，则会合 {5,6} 等于 ( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(?U M)∪(?U N)D ．(?U M)∩(?U N)2．已知命题 p ：$x ? R, 使 sin x < 1x 成立．则 ? p 为（ ）1 21A ．$ x ? R , 使 sin x = x 成立B ．" x ? R, sin x < x 均成立22C ．$x ? R, 使 sin x 3 1 x 成立D ．" x ? R, sin x 3 1 x 均成立223．由曲线 y x 2 , y x 3 围成的关闭图形的面积为（ ）A ．1B ．1C ．1D ．712 43124．向圆 内随机投 掷一点，此点落在 该圆的内接正n 边形( n3,nN * ) 内的概率 为 P n以下论断正确的选项是（）A ．跟着n 的增大， P n增大B ．跟着n 的增大， P n减小C ．跟着n 的增大， P n先增大后减小D ．跟着n 的增大， P n 先减小后增大5．为 获得函数ysin( x) 的图象，可将函数ysin x 的图象向左平移m3个单位长度，或向右平移 n 个单位长度（m ，n 均为正数），则 | m n | 的最小值是（ ） A ．4B ．2C ．D ．2333n, S mm(m, n N * 且 m6．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且S nn)mn，则以下各值中能够为 S n m 的值的是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5x 2 y 1 07．已知变量 x, y 知足不等式 组 2x y 2 0 ，则 z 2x 2 y 的最小 值为 ()x y2 0A ．5B ．2C ．33 221D ．338．气象意义上从春天 进入夏天的 标记为：“连续 5天的日均匀温度均不低于 22C ”．现 有甲、乙、丙三地连续 5天的日均匀温度的 记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数 为24，众数为 22 ； ② 乙地：5个数据的中位数 为27，整体均值为 24 ； ③ 丙地：5个数据中有一个数据是32 ，整体均值为 26 ，整体方差为 10.8 ． 则必定进入夏天的地域有 ( ) A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9．在等腰梯形 ABCD 中，E, F 分别是底边 AB, CD 的中点，把四边形 AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面 记为，P ，设 PB, PC 与 所成的角分 别为1, 2( 1, 2均不为0) ．若 1 2 ，则点 P 的轨迹为（） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线cosxk 在 (0, ) 有且仅有两根，记为 , ()10．已知对于 x 的方程x，则以下的四个命 题正确的选项是（ ）A ．sin 2 2 cos 2B ．cos2 2 sin 2C ．sin 2 2 sin 2D ．cos2 2 sin 2二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每题 5分，共 25分．请将答案填在答题卡对应题号的地点上．答错地点，书写不清，含糊其词均不得分 ． （一）必考题（11—14 题）11．已知某四棱锥 ，底面是边长为 2的正方形，且俯视图如右图所示 . 若该四棱锥的侧视图为 直角三角形，则它的体积为 __________．( x, y, z) ，若x 2 y 2 z 2112．设 a (1,1, 2) ,b 16 ，1则 a b 的最大值为 ．213．过抛物 线 C : x 22y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点，若抛物线 C在点 B 处的切线斜率为1，则线段 AF．14．已知数列 A ：a 1, a 2 , a 3 , , a n (n 3， n N *)中，令T A x | x a i a j ,1 i j n,i, jN *， 表示会合 T A 中元素的个数．card (T A )（1）若A :1,3,5,7,9 ，则 card(T A )；（2）若 （ 为常数，且 ， i n 1 ）则 card (T A )． a i 1 a i c c c 0 1（二）选考题（请考生在第 15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定地点将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑．假如全选，则按第 15题作答结果计分 .）15．（选修4-1：几何证明选讲）C 如图，PC 切圆 O 于点 C ，割线 PAB 经过圆心 O ， 弦CD AB 于点E ，已知圆O 的半径为3，B ·PA 2 ，则 CE ______． OEAP 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） D已知在平面直角坐 标系 xoy 中，圆C 的参数方程 为x3 3cos,( 为参数），以ox 为极轴成立极 y 1 3sin坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos()0. 则圆 C 截直线l 所得的弦 长6为．三、解答题：本大题共 6小题，共 75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（本小题满 分12分）已知 ABC 中，AC 1, ABC2,BAC x ，记 f ( x) AB BC ．（1）求f ( x) 分析式并 标出其定义域； 3（2）设 g( x) 6mf ( x) 1 ，若g(x) 的值域为(1,3] ，务实数 m 的值 ．218．（本小题满 分12分）一个盒子中装有大批形状大小一 样但重量不尽同样的小球，把它 们编号，利用随机数表法抽取 50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15],(15,25],(25,35] ，(35,45],由此获得 样本的重量 频次散布直方 图，以下图． （1）求a 的值；（2）依据样本数据，试预计盒子中小球重量的均匀 值； （3）从盒子中随机抽取 3个小球，此中重量在(5,15] 内的小球个数 为 ，求的散布列和希望．19．（本小题满 分12分）已知某几何体的直 观图和三视图以以下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯 视图为直角梯形，（1）求证：BN平面 C 1 B 1 N ；（2）设 为直线 C 1N 与平面 CNB 1 所成的角，求 sin 的值；（3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点 P ，使MP//平面 CNB 1 ，求BP的值 ．PC开始4输入 a 1, d , k8 侧视图S 0,M0,i1正视图4 ik ? N4Yai 1a id输出 S俯视图1CC 1Ma iai 1CC结BB 1S S MMMCANi i 1（第19题图）（第20题图）20．（本小题满 分12分）已知数列 { a n } 的各项均为正数，察看程序框 图，当 2 时，2 ；kS3 ． 3当 k 3 时，S4（1）试求数列 { a n } 的通项；（2）设若 [ x] 表示不大于 x 的最大整数（如[2.10] 2,[0.9] 0 ），求 T [log 2 1] [log 2 2] [log 2 3][log 2 (2 a n1)] [log 2 (2a n)] 对于 n 的表达式．21．(本小题满分13分)x 2 y 2已知 A,B 是椭圆 C : 2 b 2 1(a b 0)a的左 ,右极点，B(2,0)，过椭圆 C 的右焦点F 的直线交椭圆于点 M, N, 交直线 x 4 于点 P，且直线 PA ，PF ，PB的斜率成等差数列．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若记AMB ,ANB 的面积分别为 S 1 , S 2 求S 1S 2的取值范围．22．（本小题满 分14分）设 g( x) e x ，f (x) g[ x (1 )a] g( x) ，此中a,是常数，且 01．（1）求函数 f (x) 的最值；（2）证明：对随意正数 a ，存在正数 x ，使不等式g( x) 11 a 成立；x（3）设 1 0, 2 0，且121 ，证明：对随意正数 a 1 , a2 都有：a 1 1 a 2 21a 1 2a 2 ．2014年届湖北省黄 冈中学五月模 拟试题1．【答案D 】2． 【答案】D【分析】原命题为特称命题，故其否认为全称命题，即 p : xR ,sin x x ．2 3．【答案A 】【分析】S1 x 3)d ( x)( 1 x 31 x 4) |1 1( x 234124．【答案】A1nr 2sin 2 n sin 22【分析】2 n n ,设 f x,可知P nr 22x sinf ' x sin2cos 2x cos 22 可[3, 4] 时 f ' x sin 22 0 当x x x , xxxx,x(4, ) 时, f ' xcos2tan22 0 ,故 P n 在 n 3(nN * ) 时单一递加.xxx5．【答案B 】【分析】由条件可得, n 2k 2 5, k 2 N ) ，则m 2k 1(k 133| m n | | 2( k 1 k 2 )4 ，易知k 1k 2 1 时 | mn |min2 | 336．【答案D 】SAn 2 Bn n(An B)m 1【分析】由已知，设 S n An2Bn ，则 nmS mAm 2Bmm(Am B)n 1n两式相减得， B(m n) 0 ，故B 0, A1 。
黄冈中学高三五月模拟数学
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{|ln(12)}A x y x ==-，2{|}B x x x =≤，全集U A B = ，则()U C A B = （ ）A ．(,0)-∞B ．1(,1]2-C ．1(,0)[,1]2-∞ D ．1(,0]2- 2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数22z a i =+的模等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．11 3.已知2()4f x x =-，()|2|g x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x =是奇函数C ．()()()2f x g x h x x =-是偶函数 D ．()()2()f x h xg x =-是奇函数4. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与y 轴的交点坐标为(0,)2c ，则此双曲线的离心率是（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．25.现有4种不同的颜色为我校校训四个主题词（如图）涂色，则相邻的词语涂色不同的概率为（ ） A ．332 B ．1564 C ．2164D ．27646.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是12,,O O O ，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A O B C A D B →→→→→→的路线运动（其中12,,,,A O O O B 五点共线），记点P 运动的路程为x ，设21||y O P =，y 与x 的函数关系为()y f x =，则()y f x =的大致图象是（ ）7.执行如图所示的程序，若0.9P =，则输出的n 值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68.设,(0,)2παβ∈，且1tan tan cos αββ-=，则（ ） A ．32παβ+=B ．22παβ+=C ．32παβ-=D ．22παβ-=9.不等式组230330210x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),231p x y D x y ∀∈+≥-；2:(,),253p x y D x y ∃∈-≥-；311:(,),23y p x y D x -∀∈≤-；224:(,),21p x y D x y y ∃∈++≤. 其中的真命题是（ ）A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．34,p p10.已知点A 是抛物线2:2(0)M y px p =>与圆222:(4)C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离等于a ，若抛物线M 上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2 B ．23 C ．723 D ．72611.已知函数2()ln xf x x e t a =+-，若对任意的[1,]t e ∈，()f x 在区间[1,1]-总存在唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,]e B ．1(1,]e e +C ．(1,]eD ．1[1,]e e+12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ） A ．22 B ．723C ．11D ．23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在1020161(1)x x++的展开式中，含2x 项的系数为 .14.在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”； 第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”； 第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”； 第四个人说：“我是老实人”.请判断一下，第四个人是老实人吗？ .（请用“是”或“否”作答）15.已知,AD BE 分别是ABC ∆的中线，若1AD BE ==，且23AB AC ∙= ，则AD 与BE的夹角为 .16.在四边形ABCD 中，117,6,cos 14AB AC BAC ==∠=，6sin CD DAC =∠，则BD 的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值.（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零点中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）；①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9544P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9974P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.（2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品（ⅰ）从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； （ⅱ）从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z .19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的等比三角形，过1AC 作平面1ACD 平行于1BC ，交AB 于D 点. （1）求证：CD AB ⊥；（2）若四边形11BCC B 是正方形，且15A D =，求二面角11D ACB --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，ABF ∆的周长最大值为8. （1）求椭圆的方程；（2）若直线l 过点(4,0)M -，求当ABF ∆面积最大时直线AB 的方程. 21. （本小题满分12分）已知函数1()(cos ),x f x e a x a R -=-+∈. （1）若函数()f x 存在单调增区间，求实数a 的取值范围； （2）若0a =，证明：1[,1]2x ∀∈-，总有'(1)2()cos(1)0f x f x x -+-->. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 是圆O 的直径，BC CD =，AD 的延长线与BC 的延长线交于点E ，过C 作CF AE ⊥，垂足为点F . （1）证明：CF 是圆O 的切线； （2）若4,9BC AE ==，求CF 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2222x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||FA FB 的值； （2）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数2()|sin |f x x θ=+，2()2|cos |g x x θ=-，[0,2]θπ∈，且关于x 的不等式2()()f x a g x ≥-对x R ∀∈恒成立.（1）求实数a 的最大值m ；（2）若正实数,,a b c 满足232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.参考答案CBDAC ACDCC BC13.45 14.是 15.120 16.817.（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得：123n n a S -=+， 两式相减，得：11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，∴13n na a +=. 当1n =时，13a =，21123239a S a =+=+=，则213a a =， ∴数列{}n a 是以13a =为首项，公比为3的等比数列，∴1333n n n a -=⨯=. （2）由（1）得：(21)(21)3n n n b n a n =-=-∙，①-②得：231213232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--∙23132(333)(21)3n n n +=+⨯+++--∙2113(13)32(21)313n n n -+-=+⨯--∙-16(22)3n n +=---∙∴1(1)33n n T n +=-∙+.18．（1）()(62.867.2)0.80.6826P X P X μσμσ-<≤+=<≤=≥(22)(60.669.4)0.940.9544P X P X μσμσ-<≤+=<≤=< (33)(58.471.6)0.980.9974P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；（2）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06. （ⅰ）由题意可知Y ～(2,0.06)B ，于是()20.060.12E Y =⨯=， （ⅱ）由题意可知Z 的分布列为故21129469462221001001003()0120.1225C C C C E Z C C C =⨯+⨯+⨯==.19．（1）证：连结1AC ，设1AC 与1AC 相交于点E ， 连接DE ，则E 为1AC 中点，∵1//BC 平面1ACD ，DE =平面1ACD 平面1ABC ， ∴1//DE BC ，∴D 为AB 的中点， 又∵ABC ∆是等边三角形，∴CD AB ⊥，（2）因为222115AD A A A D +==，所以1AA AD ⊥， 又1B B BC ⊥，11//B B A A ，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，所以1A A ⊥平面ABC ， 设BC 的中点为O ，11B C 的中点为1O ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，1OO 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.则1113(1,0,0),(0,2,3),(,0,),(1,2,0)22C AD B -， 即1133(,0,),(1,2,3),(2,2,0)22CD CA CB === ，设平面1DAC 的法向量为1111(,,)n x y z =，由11100n CD n CA ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ ，得1111133022230x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，令11x =，得1(1,1,3)n =- ， 设平面11ACB 的法向量为2222(,,)n x y z =，由21210n CA n CB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得22222230220x y z x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得23(1,1,)3n =- ， ∴121212111105cos ,35||||753n n n n n n ∙--<>===-⨯， 故所求二面角的余弦值是10535. 20．（1）设椭圆的右焦点为'F ，由椭圆的定义，得''||||||||2AF AF BF BF a +=+=， 而ABF ∆的周长为''||||||||||||||4AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++=， 当且仅当AB 过点'F 时，等号成立， 所以48a =，即2a =，又离心率为12，所以1,3c b ==， 所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）设直线AB 的方程为4x my =-，与椭圆方程联立得22(34)24360m y my +-+=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则222576436(34)144(4)0m m m ∆=-⨯+=->，且1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以212211843||234ABF m S y y m ∆-=∙-=+② 令24(0)t m t =->，则②式可化为21818183316316416323ABF t S t t t t t∆==≤=++∙. 当且仅当163t t =，即2213m =±时，等号成立. 所以直线AB 的方程为22143x y =-或22143x y =--. 21．（1）由已知得'111()(cos )sin ((sin cos ))x x x f x e a x e x e a x x ---=--+-=-+，因为函数()f x 存在单调增区间，所以方程'()0f x >有解.而10x e ->恒成立，即(sin cos )0a x x -+>有解，所以min (sin cos )a x x >+， 又sin cos 2sin()[2,2]4x x x π+=+∈-，所以2a >-. （2）因为0a =，所以1()cos x f x e x -=，所以2(1)cos(1)x f x e x --=-，因为'12()cos(1)2(sin cos )cos(1)x f x x ex x x +--=--， 所以'21(1)2()cos(1)cos(1)[2(sin cos )]x x f x f x x x ee x x -+-+--=-+-， 又对于任意1[,1]2x ∈-，cos(1)cos(1)0x x -=->， 要证原不等式成立，只要证212(sin cos )0x x ee x x -++->， 只要证1222sin()4x e x π--<-，对于任意1[,1]2x ∈-上恒成立， 设函数()2222sin()4g x x x π=---，1[,1]2x ∈-， 则'2()222cos()22(cos())424g x x x ππ=--=--， 当(0,1]x ∈时，'()0g x <，即()g x 在(0,1]上是减函数， 当1[,0)2x ∈-时，'()0g x >，即()g x 1[,0)2-上是增函数， 所以，在1[,1]2-上，max ()(0)0g x g ==，所以()0g x ≤.所以，2222sin()4x x π-≤-，（当且仅当0x =时上式取等号）①设函数12()22x h x x e -=-+，1[,1]2x ∈-，则'1212()222(1)x x h x e e --=-=-， 当11[,)22x ∈-时，'()0h x <，即()h x 在11[,)22-上是减函数， 当1(,1]2x ∈时，'()0h x >，即()h x 在1(,1]2上是增函数， 所以在1[,1]2-上，min 1()()02h x h ==，所以()0h x ≥，即1222x e x --≤-， （当且仅当12x =时上式取等号）②，综上所述，122222sin()4x e x x π--≤-≤-， 因为①②不能同时取等号，所以1222sin()4x e x π--<-，在1[,1]2x ∀∈-上恒成立， 所以1[,1]2x ∀∈-，总有'(1)2()cos(1)0f x f x x -+-->成立. 22．（1）证明：连接,OC AC ，∵BC CD =，∴CAB CAD ∠=∠，∴AB 是圆O 的直径，∴OC OA =，∴CAB ACO ∠=∠，∴CAD ACO ∠=∠，∴//AE OC ，∵CF AE ⊥，∴CF OC ⊥，∴CF 是圆O 的切线.（2）∵AB 是圆O 的直径，∴090ACB ∠=，即AC BE ⊥.∵CAB CAD ∠=∠，∴点C 为BE 的中点，∴4BC CE CD ===.由割线定理：EC EB ED EA ∙=∙，且9AE =，得329ED =. 在CDE ∆中，CD CE =，CF DE ⊥，则F 为DE 的中点. ∴169DF =，在Rt CFD ∆中，2222164654()99CF CD DF =-=-=.∴CF 的长为4659. 23．（1）曲线C 的直角坐标方程为221124x y +=. 左焦点(22,0)F -，代入直线AB 的参数方程，得22m =-，直线AB 的参数方程是222222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入椭圆方程得2220t t --=，所以||||2FA FB ∙=.（2）设椭圆C 的内接矩形的顶点为(23cos ,2sin )θθ，(23cos ,2sin )θθ-， (23cos ,2sin )θθ-，(23cos ,2sin )θθ--，(0)2πθ<<，所以椭圆C 的内接矩形的周长为83cos 8sin 16sin()3πθθθ+=+， 当32ππθ+=时，即6πθ=时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16.24．（1）2()()f x a g x ≥-，即2()()f x g x a +≥，min [2()()]a f x g x ≤+.又2222222()()2|sin |2|cos |2|(sin )(cos )|2|sin cos |2f x g x x x x x θθθθθθ+=++-≥+--=+=，所以2a ≤，a 的最大值2m =.（2）因为234a b c ++=，所以222222222222216(23)(123)()(123)14()a b c a b c a b c =++≤++++++=++， 所以22287a b c ++≥.。
黄冈市2014届高三5月份适应性考试理数试题与答案
黄冈市2014年高三年级5月份模拟考试数学试题（理科）参考答案二、填空题11、20 12、11 13 14、6174 15、5 16 三、解答题17、解：（1）c o s xf (x )c o s x c o s s i n x s i n 1222332ππ-=-+c o i n x c o sx 111222222=+-x 122=. ……………………（3分） 所以当x k 222ππ=-+，即x k (k Z )4ππ=-+∈时，f (x )取得最大值，[f(x )]最大值，……………………（4分） f (x )的最小正周期T 22ππ==，（5分）故函数f (x )π. ……………………（6分）（2）由C f ()124=-，即i n C 1124=-，解得sin C =。
又C 为锐角，所以C 3π=. …………………………（8分）由13cosB =求得sin B =.因此s i n A s i n [(B C )]s i n (B C )π=-+=+ s i n B c o s C c o s B s i n C =+12⨯+⨯. …………………………（12分） 18、①解：令n=2，则f ()1124=令x n 1=得n f()f()n n 1112-+= …………（4分） ②nn a f ()f ()f ()f ()n n 1110-=++⋅⋅⋅++ n n a 122+⇒= n n a f ()f ()f ()f ()n n 1101-=++⋅⋅⋅++ nn a 14+⇒= ………… （8分） ③n nb b ()(n )a n n (n )n n n 22441616111624111===<=-≥---当2n ≥时nT ()n23211116122=+++⋅⋅⋅+ ()n (n )11116112231=+++⋅⋅⋅+⨯⨯- n S n1632=-=n n T S ∴≤ ………………（12分）19、解：（1）证：∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ∴AB ⊥面ACC 1A 1，即有AB ⊥CD ；又AC=A 1C ，D 为AA 1中点，则CD ⊥AA 1 ∴CD ⊥面ABB 1A 1 …… （6分）（2）∵A 1C=AC=a,AA 1=2a, ∴A 1C ⊥AC,A 1C ⊥平面ABC.如图所示以点C 为坐标系原点，CA 为x 轴，过C 点平行于AB 的直线为y 轴，CA 1为z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz ，则有A(a,0,0),B(a,a,0),A 1(0,0,a), B 1(0,a,a) C 1(-a,0,a)，设E (x ,y ,z)，且101B E B B (),λλ=<<即有(x a ,y a ,z )(a ,,a )0λ--=- 所以E 点坐标为(()a ,a ,a )1λλ- 由条件易得面A 1C 1A 地一个法向量为n (,,)1010= 设平面EA 1C 1一个法向量为n (x ,y ,z)2=， 由21121n A C n A E ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 可得a x ()a x a y ()a z 0110λλ-=⎧⎨-++-=⎩令y=1，则有n (,),21011λ=- …………（9分） 则n n co s n n1212132π⋅===，得1λ=- ………… （11分）所以，当BE BB 11=-时，二面角E —A 1C 1—A 的大小为3π …………（12分）20、解：（1）由题设知，“0ξ=”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知P ()(q )(q ).212011003ξ==--=，解得q .208= …………（3分） （2）根据题意P P ()(q )C (q )q ....ξ===--=⨯⨯⨯=11122221107520208024. …………（4分） P P ()q (q ).(.)..2221231025108001ξ===-=⨯-= ............（5分） P P ()(q )q (22)3124107508048ξ===-=⨯= …………（6分） P P ()q q q (q )q 41212251ξ===+- ......025080250208024=⨯+⨯⨯=. …………（7分）因此E (00032024300140485024363)ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………（8分） （3）用C 表示事件“该同学选择第一次在A 处投，以后都在B 处投，得分超过3分”，用D 表示事件“该同学选择都在B 处投，得分超过3分”，则P (C )P ()P ()P P (34)45048024072ξξ==+==+=+=. …………（9分）P (D )q C q (q )q (212)2222210820802080896=+-=+⨯⨯⨯=. …………（11分） 故P （D ）> P （C ） ………… （12分）即该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率。
湖北省黄冈中学2014届高三5月适应性考试 数学理B卷试题 Word版含答案
湖北省黄冈中学2014届高三适应性考试数学（理工类）试题本试卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数720146i 8i +（其中i 是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知条件:p 2log (1)1x -<；条件:q |2|1x -<，则p 是q成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 3．a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简 cos()a πθ-的结果是（ ）A ．sin θB ．sin θ-C ．cos θD ．cos θ-4．在长为5cm 的线段AB 上任取一点C ，以,A C B C 为邻边作一矩形，则矩形面积小于24cm 的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．453题图5．在△ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（ ） A ．52- B ．52 C ．54 D ．54-6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次不同视为不同情形）共有（ ） A ．10种 B ．15种 C ．20种 D ．30种 7．设函数()n f x =，其中n 是集合{1,2,3}的非空真子集的个数，则()f x 的展开式中常数项是（ ）A ．52- B ．160- C ．160 D ．208．如图是函数5cos(2)6y x π=-在一个周期内的图象，则阴影 部分的面积是（ ）A．32 B ．32 C ．34 D ．549．函数e x y m =+（其中e 是自然对数的底数）的图象上存在 点(,)x y 满足条件：2e x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2[2e ,0]-B ．2[1,2e e ]--C ．22[2e ,2e e ]--D ．2[2e ,1]-- 10．定义函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间[1,2](n n*)∈N 内的所有零点的和为（ ）A ．nB ．2nC ．3(21)4n -D ．3(21)2n -二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．函数1ln(1)y x=+的定义域为12．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是正视图侧视图俯视图13．已知222(1)(1)(1)4x y z ++++-=，则23x y z ++的最大值是 14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，轴的12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同成以的两点(1,2)i P i =，使得△12(1,2)i PA A i =构率e12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心的取值范围是（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆圆OO 于D ，,,C D P 共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则的半径是16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin()13πρθ+=，则两曲线交点间的距离是三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数1()2sin cos()2f x x x ϕ=--（02πϕ<<）的图像过点(,1)3π. （Ⅰ）求ϕ的值；PABO15题图CD 14题图（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.18．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率0.25，在B 处的命中率为0.8,该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分. （Ⅰ）求该同学投篮3次的概率；（Ⅱ）求随机变量X 的数学期望EX .19．（本小题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，213121,1a a a a =+-=，数列{}n b 满足321()23n n b b b b a n n*+++⋅⋅⋅+=∈N . （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若*n ∀∈N ，n n S a λ>恒成立，求λ的取值范围.20．（本小题满分12分）如图1，AD 是直角△ABC 斜边上的高，沿AD 把△ABC 的两部分折成直二面角 （如图2），D F A C⊥于F .（Ⅰ）证明：BF AC ⊥；（Ⅱ）设DCF θ∠=，AB 与平面BDF 所成的角为α，二面角B FA D --的大小为β，求证：tan tan cos αθβ=；（Ⅲ）设AB AC =，E 为AB 的中点，在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥平面PBF ?若存在，求DPPC的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分13分)动圆E 过点(1,0)F ，且与直线1x =-相切，圆心E 的轨迹是曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点(4,2)Q 的任意一条不过点(4,4)P 的直线与曲线C 交于,A B 两点，直线AB 与直线4y x =+交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在实数λ，使得123k k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．图2BCADF EP D图1AC B22．（本小题满分14分）已知()(1)e x f x x a =--（其中e 是自然对数的底数）. （Ⅰ）若x ∀∈R ，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅱ）若数列{}n x 满足1ln(e 1)ln n x n n x x +=--，且11x =，证明： （ⅰ）数列{}n x 的各项为正且单调递减； （ⅱ）12n n x >.湖北省黄冈中学2014届高三适应性考试数学（理工类）答案及评分标准一、A 卷答案BCABC CBBDD B 卷答案BACBD CBDAD 以下是A 卷答案1.720146i 8i 6i 8+=--,共轭复数为86i -+，对应的点位于第二象限,选B.2.2log (1)101213x x x -<⇒<-<⇒<<;|2|112113x x x -<⇒-<-<⇒<<.选C.3. 由程序框图知，12,1;1,2;,3;2,4,2a i a i a i a i ===-=====，直到2014i =，故2a =,cos()cos(2)cos a πθπθθ-=-=,选A.4.设AC x =，则(5)4x x -<，解得1x <或4x >，又05x ≤≤，所以01x <≤或45x <≤，于是所求的概率为25，选B. 5.由12BD BC =得，D 是BC 的中点，所以1()2AD AB AC =+. 22111115()()()()222244AD BD AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=-,选C.6.两人比赛局数为3局、4局或5局.当局数为3时，情况为甲或乙连赢3局，共2种;当局数为4时，若甲胜，则甲第4局胜，且前3局胜2局，有23C 3=种情况，同理乙胜也有3种情况，共6种；当局数为5时，前四局甲、乙各胜两局，最后一局赢的人获胜，有242C 12=种情况.故总共有20种情况,选C.7.3226n =-=，所以6()f x=，其展开式通项是66C (rr r -6626(1)2C r r r r --=-⋅，故3r =时，通项是常数项3336(1)C 2160-⋅=-，选B.8.函数的周期T π=，2623πππ+=.阴影部分面积为: 22363600665515155cos(2)cos(2)sin(2)|sin(2)|6626264x dx x dx x x ππππππππππ---=---=⎰⎰.选B.9.当e x y m =+的图象与e y x =相切时，设切点为00(,e )x x ，则切线斜率为0x e .由0x e e =得01[0,2]x =∈.所以当e x y m =+的图象与e y x =相切于(1,e)时，m 的值最大.此时0m =. 当e x y m =+过原点时，1m =-.此时e 1x y =-的图象与直线2x =的交点为2(2,e 1)-在点(2,2)的上方.故当e x y m =+图象过点(2,2)时，m 的值最小，此时22e m =-.综上所述，2[2e ,0]m ∈-，选D. 10. ()()60g x xf x =-=⇒6()f x x=. 作出函数()f x 在[1,2]上的图象，它是顺次连接点3(1,0),(,4),(2,0)2的两条线段；再作函数在(2,4]上的图象，它是前一段图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标缩为原来的12得到的，即为顺次连接点(2,0),(3,2),(4,0)的两条线段；再作函数在(4,8]上的图象，它是顺次连接点(4,0),(6,1),(8,0)的两条线段；……；如此下去，可得函数()f x 的图象.而反比例函数6y x =的图象正好过点3(,4),(3,2),(6,1)2，…. 所以函数的零点从小到大依次构成首项为32，公式为2的等比数列,该数列记为{}k a ，则1322k k a -=⋅.又1232223222k n n k n k k n --+⋅⇒⇒-+⇒≤≥≥≤,故函数的[1,2]n上有n 个零点，它们的和为3(12)32(21)122n n -=--，选D.以下是解答：xx11.111011x x x+>⇒>-⇒<-或0x >;2101x x -⇒-≥≤≤1.故所求定义域为(0,1]. 12. 几何体是一个半球和一个圆台的组合体,体积为 32214121243(2244)2333V πππ=⋅⋅+⋅+⋅+=. 13.由柯西不等式得，23(1)2(1)3(1)x y z x y z ++=++++-=等号当且仅当111023y z x +-+==>，且222(1)(1)(1)4x y z ++++-=，即1313x y z =时成立，故所求的最大值为14.以12A A 为直径的圆与线段BF 有两个不同的交点，所以圆的半径大于点O 到BF 的距离，且小于OB 的长.故a a b ><，解得e <15. 连接AD ，则AD 是圆的直径,于是90ACD ∠=.PB 为ABC ∆外接圆O 的切线PDB BAD BCD ⇒∠=∠=∠, BD 平分PBC ∠PBD DBC ⇒∠=∠,又90BCD CBD PBD ∠+∠+∠=，∴30BCD CBD PBD ∠=∠=∠=.∴30BAD ∠=∴22BD PD ==，24AD BD ==，∴圆O 的半径是2. 16.1C 的一般方程为224y x -=.曲线2C 的直角坐标方程为20y -=.由22420y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得交点坐标为4)-，它们之间的距离为三、17.（Ⅰ）12sin cos()1cos()3323πππϕϕ--=⇒-………………………………3分 ∵02336ππππϕϕ<<⇒-<-<,∴366πππϕϕ-=-⇒=.…………………………………6分（Ⅱ）111()2sin cos()2sin sin )6222f x x x x x x π=--=+-2cos sin x x x =+…8分1cos21222x x -+-sin(2)6x π=-, ……………………………………10分 ∴当222,262k x k k πππππ--+∈Z ≤≤时，即在区间[,]()63k k k ππππ-+∈Z 上()f x 单调递P ABO15题图CD增. …………………………………………………………………12分 18.（Ⅰ）10.80.250.8P =-⨯=.……………………………………………………………4分 （Ⅱ）(0)0.750.20.20.03P X ==⨯⨯=; 12(2)0.75C (0.20.8)0.24P X ==⨯⨯=;(3)0.250.20.20.01P X ==⨯⨯=; (4)0.750.80.80.48P X ==⨯⨯=;(5)0.250.80.250.20.80.24P X ==⨯+⨯⨯=.…………………………………………………9分随机变量X 的分布列为∴00.0320.2430.0140.4850.24 3.63EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………12分19.(Ⅰ)设公比为q ，则21222n n q q q a -=⇒=⇒=.111b a ==.……………………………………………………………………………………2分2n ≥时，122212222n n n n nn n n b a a b n n-----=-=-=⇒=⋅. ∴21,12,2n n n b n n -=⎧=⎨⋅⎩≥………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）012122322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，1212222322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=-----+⋅=-⋅+.∴1n =时，11S =；2n ≥时，012122322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，1212222322n n S n -=+⋅+⋅++⋅，两式相减得：1221112222(1)21n n n n S n n ---=-----+⋅=-⋅+.∴*n ∀∈N ,有1(1)21n n S n -=-⋅+.……………………………………………………………7分 nn n nS S a a λλ>⇒<,记n n n S c a =，则111(1)211122n n n n n c n ----⋅+==-+， ∴11111(1)10222n n n n n c c n n +--=+---=->， ∴数列{}n c 递增，其最小值为11c =.故1λ<.…………………………………………………………………12分20.（Ⅰ）∵,AD DB AD DC ⊥⊥，∴BDC ∠是二面角B DAC --的平面角.又∵二面角B DA C --是直二面角，∴BD DC ⊥,∴BD ⊥平面ADC ，∴B D A C ⊥，又DF AC ⊥，∴AC ⊥平面B D F ，∴B F A⊥.…………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）tan AF ABF BF αα∠=⇒=,cos DFBFD BFββ∠=⇒=. 又tan AFADF DCF DFθθ∠=∠=⇒=，∴tan cos tan AFBFθβα==.………………………8分(Ⅲ)连接CE 交BF 于点M ，连接PM ,则PM ∥DE . ∵AB AC =,∴AD DC =,∴F 为AC 的中点， 而E 为AB 的中点，∴M 为ABC ∆的重心, ∴12EM MC =,∴12DP PC =. 即在线段DC 上是否存在一点P ，使得DE ∥PBF ， 此时12DP PC =.………………………………………………………………12分21. (Ⅰ)点E 到A 的距离与到直线1x =-的距离相等，所以曲线C 是以A 为焦点的抛物线.设为22y px =，则122pp =⇒=，故曲线C 的方程为24y x =.…………………………………………4分(Ⅱ)设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为2(4)y k x -=-. 由2(4)4y k x y x -=-⎧⎨=+⎩得4282(,)11k k M k k +---.∴382421142341k k k k k k --+-==+--.………………………6分 图2BCADFEP M设1122(,),(,)A x y B x y .由22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩得，2222(844)161640k x k k x k k --++-+=. ∴2212122284416164,k k k k x x x x k k -+-++==.………………………………………………8分 ∴121212121244(4)2(4)24444y y k x k x k k x x x x ------+=+=+---- 121212122(8)1122()2444()16x x k k x x x x x x +-=-+=----++ 2222228442(8)216164844416k k k k k k k k k k -+-=--+-+-⋅+ 423k +=……………………………………………………………………………11分 ∴1232k k k +=,即2λ=.………………………………………………………………………13分22.（Ⅰ）()(1)e e e x x x f x x x '=--=-.在(,0)-∞上，()0f x '>，()f x 单调递增；在(0,)+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；∴max ()(0)10f x f a ==-≤.∴1a ≥.………………………………………………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明0n x >.当1n =时，110x =>，结论成立；若n k =时结论成立，即0k x >. 令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，在(0,)+∞上()0g x '>，()g x 递增. 而(0)0g =，∴在(0,)+∞上()0g x >，∴e 1x x ->. 于是，由e 10ln(e 1)ln 0k k x x k k x x ->>⇒-->,即10k x +>，1n k =+时结论成立. 由数学归纳原理，*,0n n x ∀∈>N .又由（Ⅰ）知0x >时，e 1(1)e 10e x xx x x ---<⇒<. ∴1e 1ln(e 1)ln ln ln e n nn x x x n n n n x x x x +-=--=<=,数列{}n x 单调递减.……………………9分（ⅱ）我们先证明112n n x x +>.① 2222111ln(e 1)ln e 1e (e )2e 10222n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x +>⇔-->⇔->⇔-⋅->.② 令2()e 12e x x h x x =--，则2()2e 2e 2e 2e (e 1)x x x x x h x x x '=--=--，在(0,)+∞上，()0h x '>，()h x 递增.而(0)0h =，∴在(0,)+∞上，()0h x >.故②成立，从而①成立. 由于112x >，所以 1212111112222n n n n n x x x x --->>>>=.………………………………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖北省黄冈中学2014届高三5月模拟考试 数学文试题本试题卷共6页，共22题．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2014},{|01}M x x N x x =<=<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．MN R =B ．{|01}M N x x =<<C ．N M ∈D ．M N φ=2．已知命题p ：,x R $ 使1sin 2x x<成立． 则p Ø为（ ）A ．,x R $ 使1sin 2x x=成立B ．,x R " 1sin 2x x<均成立C ．,x R $ 使1sin 2x x ³成立 D ．,x R " 1sin 2x x ³均成立3．若函数f(x)＝sinωx ＋3cosωx ，x ∈R ，又f(xB1B)＝－2，f(xB2B)＝0，且|xB1B －xB2B|的最小值为3π4，则正数ω的值为( ) A.13B.23C.43D.324．在函数()y f x =的图象上有点列(,)n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可以为 ( )A ．()21f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()log f x x =D ．3()()4xf x =5．如图，已知P 是边长为2的正三角形的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）A ．最大值为8 Ｂ．是定值6 Ｃ．最小值为2Ｄ．与P 的位置有关6．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,32]C ．(28,57]D ．(30,57]7．当实数,x y 满足不等式022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(0,1]B ．(,1]-∞C ．(1,1]-D ．(1,2)8．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲 线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．) C ． (1,3) D．9．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+内存在最小值，则实数k 的取值范围是（ ）. A ．[1,)+∞ B ．3[1,)2 C ．[1,2) D ．3[,2)210．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起，所在的平面为α，且α⊥平面BEFC ，P ∈α，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线二、填空题：本大题共7小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．已知m R ∈，复数112m i i +-+的实部和虚部相等，则m = ． 12．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．13．若函数()(0xf x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 14. 右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是 ．15.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =．16．路灯距地平面为8m ，一个身高为1．75m 的人以57m/s 的速率，从路灯在地面上的射影点C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为 m/s ． 17．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n -是质数，则12(21)n n --是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，请写出所给的四位数的所有正约数之和可表示为 ．（请参照6与28的形式给出） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+ （1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()22A f =,1b =，2c =，求a 的值.P 60俯视图A BC D FE P19．（本小题满分12分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中俯视图中060DAB ∠=．E 为侧棱PD 的中点． （1）求证：PB//平面AEC ；（2）若F 为侧棱PA 上的一点，且PFFA λ=， 则λ为何值时，PA ⊥平面BDF ？并求此时几何体F —BDC 的体积．20． (本小题满分13分) 已知单调递增的等比数列{aBnB}满足：aB2B ＋aB3B ＋aB4B ＝28，且aB3B ＋2是aB2B ，aB4B 的等差中项．（1）求数列{aBnB}的通项公式；（2）若12log n n nb a a =⋅，SBnB ＝bB1B ＋bB2B ＋…＋bBnB ，求使SBnB ＋n·2Pn ＋1P ＞50成立的正整数n 的最小值． 21．（本题满分14分）已知函数2()2,f x x x =+()e xg x x =.（1）求()()f x g x -的极值；（2）当(2,0)x ∈-时，()1()f x ag x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．（本题满分14分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．2014年届湖北省黄冈中学五月模拟试题参考答案 1．【答案】B 【解析】{|2013}{|01}{|01}MN x x x x x x =<<<=<<2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ．3．答案：B解析：因为f(x)＝2sin(ωx ＋π3)，|x1－x2|的最小值为344T π=，故3T π=，所以ω＝23. 4．【答案】 D【解析】对于函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x 上的点列(xn ，yn)，有yn ＝3()4nx ，由于{xn}是等差数列，所以xn+1－xn ＝d ，因此1n n y y +＝113()334()()344()4n n n n x x x d x ++-==，这是一个与n 无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.5．【答案】B【解析】设BC 的中点为D ，,AP AD 的夹角为θ，则有()2AP AB AC AP AD ⋅+=⋅22||(||cos )2||6AD AP AD θ=⋅==。
6．【答案】C【解析】当输出k ＝2时，应满足211152(21)1115x x +≤⎧⎨++>⎩，得28<x≤57．7．【答案】B【解析】画出可行域，直线2ax y +=恒过定点（0，2），则可行域恒在直线2ax y +=的下方，显然当0a ≤时成立，当0a >时，直线即为 12x ya +≤，其在x 轴的截距2201a a ≥⇒<≤，综上，可得1a ≤。
8．【答案】A【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a <⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．9．【答案】B【解析】因为()f x 定义域为(0,)+∞，又1()4f x x x '=-，由()0f x '=，得12x =.据题意，111210k k k ⎧-<<+⎪⎨⎪-≥⎩，解得31.2k ≤<10．【答案】B【解析】如图，连接,PE PF 易知12,BPE CPF θθ∠=∠=，由12tan tan θθ=，可得12tan tan θθ=，故BE CF PE BEPE PF PF CF =⇒==定值，且此定值不为1，故P 点的轨迹为圆。
（到两定点的比为不为1定值的点的轨迹为圆――――阿波罗尼斯圆）11．【答案】12【解析】：()()()()()()1111111211222m i i m m i m i i i i +-++-+-=-=-++-，则1m m =-，所以12m =12．【答案】-【解析】a 在b 方向上的投影为5cos ,5===-a b a b a a b aa b b ．13．【答案】1a >【解析】作图分析知当01a <<时只有一个零点，当1a >时有两个零点14.【答案】45PABC FDE【解析】记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是1(80290389210)905⨯⨯+⨯+++++=，乙的5次综合测评的平均成绩是1442(8039023379)55x x +⨯⨯+⨯+++++=，令442905x +>，解得8x <，即x 的取值可以是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是84105=。