2019届高三数学(人教A版全国通用)一轮复习讲义：§1.1集合及其运算

§1.1 集合及其运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7.能使用维恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和维恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度. 1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A)

真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 维恩(Venn)图

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

知识拓展 1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ ) (5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × ) 题组二 教材改编 2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________. 答案 {x|x是直角} 3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________． 答案 2 解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2＋y2＝1

与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素． 题组三 易错自纠 4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 C 解析 当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素个数为3，故选C. 5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x____________． 答案 (3，＋∞) 解析 A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，

∵A⊆B，B＝{x|x3. 6．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 答案 0或98

解析 若a＝0，则A＝

2

3，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝98.

综上，a的值为0或98. 题型一 集合的含义 1．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________. 答案 0或1 解析 若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A中含有元素－3，－1，－4，满足题意； 若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A中的三个元素为－4，－3，－3，不满足集合中元素的互异性； 若a2－4＝－3，则a＝±1，当a＝1时，集合A中的三个元素为－2,1，－3，满足题意； 当a＝－1时，不符合题意． 综上可知，a＝0或a＝1. 2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 答案 B 解析 当a＝0时，a＋b＝1,2,6； 当a＝2时，a＋b＝3,4,8； 当a＝5时，a＋b＝6,7,11. 由集合中元素的互异性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8个元素． 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二 集合的基本关系 典例 (1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 答案 B 解析 ∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}， ∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x________________________________________________________________________． 答案 [2 018，＋∞) 解析 由x2－2 019x＋2 018<0，解得1故A＝{x|1又B＝{x|x

可得a≥2 018. 引申探究 本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．

答案 (－∞，1] 解析 A＝{x|1

思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、维恩(Venn)图等来直观解决这类问题． 跟踪训练 (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( )

A.13或－12 B．－13或12 C.13或－12或0 D．－13或12或0 答案 D 解析 由题意知，A＝{2，－3}． 当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝1a， 由B⊆A，可得1a＝－3或1a＝2， ∴a＝－13或a＝12. 综上可知，a的值为－13或12或0. (2)已知集合A＝y y＝x2－32x＋1，x∈34，2，B＝{x|x＋m2≥1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________________________． 答案 －∞，－34∪34，＋∞ 解析 因为y＝x－342＋716，x∈

3

4，2，

所以y∈716，2.又因为A⊆B，所以1－m2≤716， 解得m≥34或m≤－34.

题型三 集合的基本运算

命题点1 集合的运算 典例 (1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅ 答案 A 解析 ∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}． 又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}． 故选A. (2)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C 解析 ∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. 命题点2 利用集合的运算求参数 典例 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12 C．a≥－1 D．a>－1 答案 D 解析 因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 答案 D 解析 由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. (3)设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的