第3节 函数的极限
高等数学第3章第3节函数极限存在条件
§３ 函数极限存在条件引 言在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”．我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务．本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的． 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）．一、归结原则定理１（Heine 定理） 设f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔对任何含于00(;)U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞都存在且相等．注１．{}()n f x 是数列，lim ()n n f x →∞是数列的极限．所以这个定理把函数()f x 的极限归结为数列{}()n f x 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”．由此，可由数列极限的性质来推断函数极限性质． 注２．从Heine 定理可以得到一个说明0lim ()x x f x →不存在的方法，即“若可找到一个数列{}n x ，0lim n n x x →∞=，使得lim ()n n f x →∞不存在；”或“找到两个都以0x 为极限的数列{}{},n n x x '''，使l i m (),l i m (n n n n f x f x →∞→∞'''都存在但不相等，则0lim ()x x f x →不存在． 例１ 证明01lim sinx x→不存在． 注３．对于00,,,x x x x x x +-→→→+∞→-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．如当0x x +→时有：定理２ 设函数f 在0x 的某空心邻域00()U x +内有定义，0lim ()x x f x A +→= ⇔对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有lim ()n n f x A →∞=.二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以0x x +→这种类型为例叙述如下:定理３ 设f 为定义有00()U x +上的单调有界函数，则右极限0lim ()x x f x +→存在．注：定理３可更具体地叙述如下：f 为定义在00()U x +上的函数，若（１）f 在00()U x +上递增有下界，则0l i m ()x x f x +→存在，且0()lim ()inf ()x x x U x f x f x ++→∈=；（２）f 在00()U x +上递减有上界，则0lim ()x x f x +→存在，且00()lim ()sup ()x x x U x f x f x ++→∈=. 三 函数极限的Cauchy 收敛准则定理４（Cauchy 准则） 设函数f 在00(;)U x δ'内有定义，0lim ()x x f x →存在⇔任给0ε>，存在正数()δδ'<，使得对任何00,(;)x x U x δ'''∈有|()()|f x f x ε'''-<．注：按照Cauchy 准则，可以写出0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在0ε>，对任意(0)δ>，存在00,(;)x x U x δ'''∈使得|()()|f x f x ε'''-≥.例：用Cauchy 准则说明01lim sinx x→不存在． 综上所述：Heine 定理和Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具． 作业：p55. 1, 2, 4.。
3-3函数极限存在的条件
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐§3.3 函数极限存在的条件本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限)(lim 0x f xx 为例一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：二单调有界定理:三Cauchy 准则:1.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义{}.)(),(,),(),(,)(.),(),,(2100时的子列当为函数即则称数列时使得有数列中或可以是设在过程a x x f x f x f x f x f a x n a x x x x a a x n n n n →→∞→≠→-+ 定理.)(lim ,)()(,)(lim A x f ax x f x f A x f n n n ax =→=∞→→则有当是数列若一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：证Ax f x x =→)(lim 0.)(,0,0,00ε<-δ<-<>δ∃>ε∀∴A x f x x 恒有时使当,lim 00x x x x n n n ≠=∞→且又 .0,,0,00δ<-<>>∃>δ∴x x N n N n 恒有时使当对上述,)(ε<-A x f n 从而有.)(lim A x f n x =∞→故数学分析第3.3节例如,1sin lim 0=→xxx xxy sin =,11sin lim =∞→nn n ,11sin lim =∞→nn n 1sin 1lim22=+∞→n n n 2 函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等Heine 定理，又称归结原则数学分析第3.3节一Heine 归结原则——函数极限与数列极限的关系：f0x 0()U xTh 3.8 设函数在点的某空心邻域内有定义.)(lim 0x f x x →⇔0()n x U x ∈)(lim ,0n n n x f x x ∞→→则极限存在,对任何且都存在且相等.{}()n f x lim ()n n f x →∞()f x {}()n f x 注１．是数列，是数列的极限。
03第一章第3节函数的极限02153 共34页PPT文档
要使 f(x)0充分小， x充 只分 要大即可，
即 （ 0 无论多么小）， 要使f(x)0,只要x充分大即可办到，
x 多大就能办到？
2
因为f(x)0sinx 1 xx
所 以 只 要1 x,即x1即 可 ，
若取X 1,
则x 当 X时，f(恒 x)0有 .
综上可知：
当 x 时f(， x)sx ixn 0, 0,
X 0 ,使 x 当 X 时 ,恒 f(x 有 ) 0 .
3
1.定义（ X语言: ）
设f (x)当x 大于某一正数时有意义， 0
（无论多么小） ,总 X 0 ,使 当 xX 时 ,恒 有
f(x)A .,
则称A 常 叫f数 做 (x)当 x 时的极限，
记 作lim f(x)A x
或
f(x ) A(当 x ).
几何解释:
f(x ) A A f(x ) A ,
4
所 以 0 , 可 找 到 X X () 0 ( 不 唯 一 ) ， 当 x X 时 ，
3 2
,
故
lxi m 5 2x33x32 3.
7
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问 题 :函 数yf(x)在xx0的 过 程 中 ,对 应 函 数 值f(x)无 限 趋 近 于 确 定 值A,数 学 上 如 何
描 述 ？ 例 f(x ) 5 x 1 ,当 x 1 时 f(x ) ， 6 ;
当0x1时, 就有x2 12,
x1
所以
lim x2 1 2.
x1 x 1
13
例3 证 :当 x 明 0 0 时 ,x l x i0 m x x 0 .
数三高数上学习重点及考查范围
高数数三学员必做题学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6) (8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5) (8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。
第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。
第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题1－44,6★1,5大家要搞清楚无穷大与无界的关系第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论)习题1－51(5)★(11)(13)★,3,51(9)(10)(14),2(1),4有理分式函数当x 的极限要记住结论，以后直接使用。
学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注1第1章第6节极限存在准则两个重要极限函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）两个重要极限（注意极限成立的条件，熟悉等价表达式）利用函数极限求数列极限习题1－61(2)(6)★,2(1)(4)★,4(1)(3)★4(5)1. 利用单调有界原理推导第二个重要极限可以不用细看；2. “柯西极限存在准则”考研不要求.第1章第7节无穷小的比较无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法习题1－71,2★,3(1),4(3) ★(4) ★3(2)例1和例2中出现的所有等价无穷小都要求熟记.第1章第8节函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型习题1－83(4),4★,5 1熟记：1. 连续性的定义；2. 间断的定义与间断点的分类第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性习题1－93(4)(6)(7)★,4(4)★(6)★,6★1,3(5),4(3),5 ——第1章第10节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)习题1－101,3★ 5考研不要求的内容：1. “三、一致连续性”第1章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13 1,2 ——学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注2第2章第1节导数概念导数的定义、几何意义单侧与双侧可导的关系可导与连续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程习题2－13,6,7,8,13★,16(2)★,179(2)(5),11,14 ——第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式复合函数的求导法则基本初等函数的导数公式分段函数的求导习题2－22(9)★,3(2), 7(8)★,8(5),11(6)(9) 2(6)(7),6(4)(8),7(4),9,10(2),11(4)考研不要求的内容：1. “例17 双曲函数与反双曲函数的导数”第2章第3节高阶导数高阶导数n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）习题2－31(3), 3(2),4(1),8★,10(2)★,1(9)(10), 9,11(3)例3例4例5的结论要求记住，以后可直接利用。
《高职工科应用数学》第一章第3节极限的概念与性质PPT课件
极限的概念与性质
2 .数列极限的概念与性质
2．数列极限的性质 性质 1.1（唯一性） 若数列{xn} 收敛，则数列{xn} 的极限唯一．
性质 1.2（有界性） 若数列{xn} 收敛，则数列{xn} 一定有界．
性质 1.3（夹逼准则） 设数列{xn} ，{yn} 及{zn} 满足条件：
（1）存在自然数 N0 ，当 n N0 时，有 yn xn zn ；
极限的概念与性质
主
目
1
古代极限思想
录2
数列极限的概念与性质
3
极限的概念与性质
极限的概念与性质
1. 古代极限思想
引例 1.4 （无穷等比数列）我国春秋战国时期的哲学家庄子在《庄子·天下篇》中提到：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中隐含着一个无穷等比数列，即
1，1 ，1 ， 24
，1 2n
，
，
若将此数列中的各项对应到数轴上， 可直观地看出，当 n
（2）
lim
n
yn
a
， lim n
zn
a
，
那么数列{xn} 的极限存在，且
lim
n
xn
a
．
极限的概念与性质
3. 函数极限的概念与性质
1．函数极限的概念 1）当自变量 x 时函数 f (x) 的极限 x 是指 x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况． （1） x 取正值且无限增大，记作 x ． （2） x 取负值且绝对值无限增大，记作 x ．
无限增大时，
点
1 2n
无限接近
于原点，说明数列的项
1 2n
无限接近于常数
0，这就体现了极限思想．
极限的概念与性质
第三节 函数极限
第三节 函数极限教学目的：1、掌握函数极限的定义，函数的左右极限的概念。
2、理解函数的极限与其左右极限的关系。
3、知道极限的唯一性，局部有界性，保号性的性质定理。
教学重点:1、函数极限的定义，函数的左右极限的概念。
2、极限的唯一性，局部有界性，保号性的性质定理教学难点:1、函数极限的定义，函数的左右极限的概念。
教学过程一、变量趋于有限值时函数的极限1、变量趋于有限值的含义自变量x 趋于有限值0x ，即x 无限接近0x ，记为x →0x 。
注意这里不限制x 大于或小于0x ，但x 不得等于0x .若x 仅从右侧趋于0x ，即x >0x ，且趋向于0x ，记为00x x →+ 0 +→⇔0x x若x 仅从左侧趋于0x ，即x <0x ，且趋向于0x ，记为00x x →- 0 ⇔-→0x x .即x →0x 00x x x x +-⎧→⎪⎨→⎪⎩ 2、0x x →时函数极限的定义例1 函数1214)(2--==x x x f y 的定义域是),21()21,(+∞-∞ ， 在定义域内，12)(+=x x f ，它的图像是除去点)2,21(的一条直线（如图）． 从图像上看，尽管)(x f 在点21=x 处无定义，但当x 无限接近21时，)(x f 无限接近于2，我们称21→x 时， )(x f 以2为极限． 由此我们得到，一般地如果当x 无限接近0x （x 可以不等于0x ）时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称)(x f 当0x x →时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0或 )()(0x x A x f →→． 在例1中，21→x 时2)(→x f 是指 |21|-x 充分小时2)(-x f 可任意小．由于2)(-x f =|21|2212-=-+x x ，所以，要2)(-x f 任意小，即对任给的小正数ε，有2ε<-|21|x ，于是要1||22x ε-<，这表明|21|-x 也是充分小．反过来说，如果2|21|ε<-x ，则ε<-2)(x f 成立．于是取2εδ=，用以下语言描述“21→x 时，)(x f 以2为极限”. 0>∀ε，0>∃δ（取2εδ=），当δ<-<|21|0x 时，有ε<-|2)(|x f 成立． 通过以上分析，可得0x x →时函数极限的εδ-定义．定义 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，当δ<-<||00x x 时，不等式ε<-|)(|A x f 成立，则称当0x x →时，函数)(x f 以常数A 为极限，记作 A x f x x =→)(lim 0或 )()(0x x A x f →→．注意：定义中0||0>-x x 表示0x x ≠，所以0x x →时)(x f 有没有极限与)(x f 在点0x 处有没有定义无关．定义可简单表叙为：0)(lim 0>∀⇔=→εA x f x x ，0>∃δ，当δ<-<||00x x 时，有ε<-|)(|A x f 成立．3、0x x -lim )(x f =a 的几何解释：∀ε>0，∃δ >0，使得对于位于点0x 的δ去心邻域内的任何x ，函数曲线()y f x =的图形位于这两条直线y A ε=-与y A ε=+ 之间。
第三节函数极限的定义
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完 落在以 yA 直 为线 中,宽 心2为 线 的带形 . 区域
例2 证l明 im ax0(a1). x
证 这 里 f(x ) A a x 0 a x (x0)
这 里 f(x)Asinx0sinx 1
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xx
要 使 f(x)A, 只 要 1 , 即 | x | 1 ,
|x |
0, 取X10, 则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
4. 水平渐近线 (horizontal asymptote)
如果 lim f(x)c或limf(x)c,则称y直 c是 线
则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 . 记 li f ( x m 为 ) A , 或 f ( x ) 者 A ( x ) .
x
"X"定义
limf(x)A
x+
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 |f ( x ) A 有 | .
几何意义
对 0,X0当 xX时 ,函y数 f(x)图形完全 落在以 yA 直 为线 中,心 宽2线 为 的带形 . 区域
5 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 . 6 . x x 0 且 无 限 接 近 于 x 0 , 为 x x 0 .
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x 时的变.化趋 x
播放
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 six 时 n无限接 0. 近
江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量)
如果lim u存在, 而c为常数, 则
lim( cu) c lim u .
如果lim u存在, 而n是正整数, 则
推论2
lim u (lim u) .
n n
n 前已证 lim x x0 , 所 以 lim x n x0 . x x
0
x x0
2 例1 lim ( x 3 x 1) lim x lim 3 x 1 2 x 2 x 2 x 2
定理表明： 极限概念可以用无穷小量概念来描述.
无穷小量的性质：
定理 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；
2° 无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。
7
sin x 例1 求 lim . x x
1 解 当x 时, 为无穷小, x
而 sin x是有界函数.
n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
25
因为 lim a
n 2n
0 , 所以原极限为-1；
an an 1 a 2 n 1, lim 当 a 1 时， lim n n 2 n n a a n 1 a 1 , 0 a 1 a n a n 所以 lim n 0, a 1 . n n a a 1, a 1
x1 1 lim . x 1 x 3 2
5
第四节
定义
无穷小(量)和无穷大(量)
一、无穷小(量)
以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 x 0 1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
第三节 极限的运算法则
x −1 . 例6 求 lim x →1 x −1
共扼因子法
( x − 1)( x + 1) 解 原式 = lim = lim( x + 1) = 2 . x →1 x →1 ( x − 1)( x + 1)
1+ x −1 例7 求 lim . x→0 1+ x −1
3
变量代换法
解
令 x +1 = t , x → 0, ⇒ t →1,
0
x → x0
例1 lim ( x + 3 x + 1) = lim x 2 + lim 3 x + 1
2 x → −2 x → −2 x → −2
= ( −2) 2 + 3 ⋅ ( −2) + 1= −1 .
3
x3 − 1 . 例2 求 lim 2 x→2 x − 3 x + 5
解
x −1 x→2 lim 2 = x→2 x − 3 x + 5 lim( x 2 − 3 x + 5)
证略
1
说明： 说明： 有两层意思: 1. lim u + v) = lim u + lim v 有两层意思 ( 也存在； (1) 在lim u和lim v都存在的前提下， 都存在的前提下， 也存在 和 都存在的前提下 lim(u+v)也存在； (2) lim (u+v)的数值等于 lim u+ lim v. 的数值等于 2. lim (u+v)存在 不能倒推出 存在, 都存在. 存在 不能倒推出lim u和lim v 都存在 和 3. 若lim u存在 而 lim v不存在 则lim (u+v)必不存在 存在,而 不存在,则 必不存在. 存在 不存在 必不存在 反证: 反证: v = ( u + v ) − u 存在, 存在, 若 lim (u+v) 存在 已知 lim u 存在 存在, 由定理知 lim v 存在 矛盾 4. 可推广到有限多项 可推广到有限多项.
第三节函数的极限讲解教学教案
定理 lim f(x)A x
lim f(x)A .
x
lim f(x)A且
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A+
A
A–
–X
0
X
x
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A
A
–X
0
X
x
.
x 趋于无穷大时的极限
limf(x)A 的 几 何 解 释
x
A的邻域, X > 0, 对满足 |x| > X 的一切点 x, 其相应的曲线上的点
定义
lim f(x)A
xx0
0, 0,
使当 0 |xx0|时,恒有 |f(x ) A |.
函数的极限 limf(x)A 的 几 何 解 释
xx
0, 0, 当
y
f (x)
0| xx0|δ时A,+
恒f有 (x)A.
A的邻域,
A
x0的空心 邻域,
该邻域内所有点 x A–
的纵坐标 f(x)落在
落在绿色区域内.
y
f (x)
A
A AA
A
A AA
A
–X
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x x0
o
机动
x
目录
x0
上页 下页 返回
x
结束
2. 保号性定理 定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. (P37定理3) ( f ( x) 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) ( A) 则在对应的邻域 即 0 , 当
lim f ( x) A 或
当 时, 有
即
几何解释: y A A A
y f (x)
这表明: 极限存在 函数局部有界
x0 x0 x
机动
(P36定理2)
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 证明
证:
f ( x) A
时,
故 0 , 对任意的 0 , 当 总有 因此
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 左极限与右极限
f ( x0 ) lim f ( x) A 左极限 :
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
x x0
解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
则 A 0.
证: 用反证法.
( f ( x) 0)
( A 0)
假设 A < 0 , 则由定理 1, 与已知
存在
的某去心邻域 , 使在该邻域内 (同样可证 f ( x) 0 的情形)
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
机动
目录
上页
下页
返回
结束Leabharlann 例2. 证明 证: 2 x 1
只要
0 , 欲使
取 , 则当 0 x 1 时 , 必有 2
因此
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当 时 , 必有
x 1 2 x 1
x
两种特殊情况 : lim f ( x) A
0 , X 0 , 当 f ( x) A
时, 有
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
lim f ( x) A
x X 或x X
几何解释:
y
A A
A f ( x) A
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
上
( 0)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
推论: 若
时, 有 分析:
A , 则在对应的邻域 若取 2 A 3A f ( x) A 0: 2 2
则存在
(P37 推论)
使当
上
3A A f ( x) A 0: 2 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理 2 . 若在
x x0
任给精度 , 要求 x 2 A
间接观测值 面积
A x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1 . 设函数
则称常数 A 为函数
x x0
在点
当
的某去心邻域内有定义 ,
时的极限, 记作
若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A
y f (x)
X
A
X
o
x
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 例6. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x
故 0 , 欲使 取X 即 就有
y
1 y x
o
x
1
,
因此 注:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义及应用 2. 函数极限的性质: 保号性定理
Th1 Th2 Th3
与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 2. 设函数 f (x) 2 x 1, x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 x1 a 3 . 作业
例3
P37 1(4) ; 2(2) ; 5 ; 6 ; 7 ; 9
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 3 .
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
机动
( P38 题8 )
上页 下页 返回 结束
目录
例5. 设函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 x 1 , x 0 y x 1 讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
第三节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1. 时函数极限的定义 面积为A )
引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 直接观测值 边长
确定直接观测值精度 :
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
可用 保证 . 故取
且
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
因此
x x0
lim