29.3切线的性质和判定-冀教版九年级数学下册教案
九年级数学下册 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.3 切线的性质和判定教学课件
12/11/2021
第五页，共二十页。
思考(sīkǎo)2： 1.如何用语言叙述上述结论? 2.如何用几何(jǐ hé)语言表示你得出的结论?
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径(bànjìng). 几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T,
∴OT⊥l.
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即
于P， PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结(lián jié)OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
O
E B PC
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C。∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。
12/11/2∴021PE为⊙0的切线。
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课堂(kètáng)小结
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第三页，共二十页。
共同(gòngtóng)探究1： 如图所示,直线(zhíxiàn)l为☉O的一条切线,切点为
T,OT为半径.在直线l上任取一点P,连接OP.观察OT 和OP的数量关系,猜想OT与切线l具有怎样的位置
关系.
思考1:
假设(jiǎshè)猜想不成立,即假设
,则过点O作OP⊥l,垂足
判断(pànduàn)
1. 过半径的外端的直线(zhíxiàn)是圆的切线（× ）
2. 与半径垂直的直线是圆的切线（
）×
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）×
O
lr
A
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O r
l
A
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O
r
l
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一 不可:
冀教版九年级数学下册第二十九章《切线的性质和判定》课件
复习
1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.我们学习过哪些切线的判断方法？
如图，在⊙O中经过半径OA的外端点A 作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？ 直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
l A
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
由d=r
直线 l 是⊙O的切线．
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂 直于这条半径的直线是圆的切线。
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线
段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
3. 圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)
( 数学教案 )学校：_________________________年级：_________________________教师：_________________________教案设计 / 精品文档 / 文字可改九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)Mathematics is a tool subject, it is the basis for learning other subjects, and it is also a subject that improves people's judgment, analysis, and comprehension abilities.九年级数学：切线的判定和性质(教学设计方案)（一）教学目标：1、使学生深刻理解切线的判定定理，并能初步运用它解决有关问题；2、通过判定定理和切线判定方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；3、通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性．教学重点：切线的判定定理和切线判定的方法；教学难点：切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．教学过程设计（一）复习、发现问题1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?２、观察、提出问题、分析发现（教师引导）图(2)中直线l是⊙O的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便．我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢?如图，直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现：(1)直线l经过半径OC的外端点C；(2)直线l垂直于半径0C．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．（二）切线的判定定理：1、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、对定理的理解：引导学生理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．（三）切线的判定方法教师组织学生归纳．切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．（四）应用定理，强化训练'例1已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．分析：欲证AB是⊙O的切线．由于AB过圆上点C，若连结OC，则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥OB。
冀教版九年级下册数学《切线的性质和判定》PPT(第2课时)
知2－讲
导引：(1)已知BC是⊙O的直径，可连接CD，构造直径 所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE是⊙O的切线，而点D在圆上，可联想 到连接OD，设法证DE⊥OD即可．
解：(1) 连接CD，如图. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB， ∵AD＝DB， ∴AC＝BC＝2OC＝10.
知1－练
6 如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D 是BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列 结论中正确的个数是(D )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ 1 AC；④DE是⊙O的切线．
2
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 2 切线的性质和判定的应用
知2－导
例2 [中考·湖州]如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O 于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连接DE. (1)若AD＝DB，OC＝5， 求切线AC的长； (2)求证：DE是⊙O的切线．
B．3个
C．2个
D．1个
1 知识小结
切
线
↗的
判
圆
定
的
切
线
↘切 线 的
性
质
↗ → ↘ ↗ → ↘
定义法 数量法d=r 判定定理
切线和圆只有一个公共点 圆心到切线的距离等于半径 圆的切线垂直于过切点的半径
2 易错小结
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心 的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
（来自《典中点》）
知识点 2 切线长定理的应用
知2－讲
例2 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B， BC为⊙O的直径，连接AB，AC，OP. 求证：(1)∠APB＝2∠ABC； (2)AC∥OP.
最新冀教版初中数学九年级下册精品课件29.3 切线的性质和判定
l是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法：
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂 直。即“连半径，得垂直”。
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径， 再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线 段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半 径）
怎样的位置关系.
思考1:
假设猜想不成立,即假设
,则过点O作OP⊥l,垂足
为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.则OP
OT(填“>”“<”或“=”),即圆心O到
直线l的距离
圆的半径.则直线l与圆的位置关系
为
.这与直线与☉O相切矛盾.
如图示,假设OT与l不垂直.过点O作OP⊥l,垂足为P. ∵ OP是垂线段,所以OP<OT(垂线段最短),即圆心O 到直
线l的距离小于圆的半径. ∴由此得到直线l与☉O相交. ∴ 这和直线l与☉O相切矛盾, ∴ OT⊥l.
思考2：
1.如何用语言叙述上述结论? 2.如何用几何语言表示你得出的结论?
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T,
∴OT⊥l.
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂 直。即“连半径，得垂直”。
〖例1〗 PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是
⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数.
A
解: 连结OA ，OB
∵ PA、PB是⊙O的切线， P
OC
∴OA⊥PA ，OB⊥PB .
B
又∵ ∠APB=40°， ∴∠AOB=140 °.
又∵弧AB=弧AB，
JJ冀教版 九年级数学 下册春 部优公开课堂教学课件 第二十九章 直线与圆的位置关系 29.3 切线的性质与判定
分析：根据切线的判定定理， 要证明AC是⊙O的切线，只要
A
E
F
证明由点O向AC所作的垂线段
OF是⊙O的半径就可以了，而 B
O
C
OE是⊙O的半径，因此只需要
证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC.
∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB.
又∵△ABC 中，AB ＝AC ，
交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(2)若AP＝ 3 ，求⊙O的半径．
解析：(1)根据已知条件我们易得
∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出 C
∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC= AP；这样就凑齐了角边角，可证得
A
O
B
P
△ACB≌△APO；
要点归纳
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共
点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
2.数量关系法：圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时，直线与 圆相切；
dr l
3.判定定理：经过半径的外端且垂直
O
于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
B
例2 如图,∠ABC=45°，直线AB
⊙O的直径为6.
求证：直线AB是⊙O的切线.
连接 O
作垂直 O
AC B
AC B
对比思考
要点归纳
证切线时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径,证垂直;
(2) 无交点，作垂直,证半径.
例1
例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1) 见切点，连半径，得垂直.
【冀教版】2019年春九年级数学下册学案：29.3 切线的性质和判定
29.3 切线的性质和判定［学习目标］1．理解切线的判定定理，会准确过圆上一点画圆的切线；切线的性质定理及推论，能 正确区分判定和性质的题设和结论；2．会用圆的判定定理进行简单的证明. 3.掌握圆的判定和性质的综合应用. ［学法指导］本节课的学习重点和难点是理解并掌握切线的判定定理、性质及其应用；学习中注重动手操作、观察、发现、总结等活动去发现相关结论，并注意区分切线的判定定理和性质定理，在解决问题中培养分析问题和解决问题的能力，总结常用辅助线的做法.［学习流程］ 一、导学自习⒈切线的定义：直线与圆有 公共点时，这条直线叫做圆的切线. 2.切线的判定方法：（1）和圆有 公共点的直线是圆的切线.（即切线的定义） (2)到圆心的距离 半径的直线是圆的切线. 二、研习展评 活动1：（1）做一做：如图1，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l OA ,则圆心O 到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O 有什么位置关系？为什么？ (2)从作图中得到切线的判定定理：经过____________并且_______于这条半径的的直线是圆的切线.定理必须满足哪两个条件，如果只满足一个条件，画图看一看，此时所画的 直线是不是圆的切线. 定理的几何语言：如图2，________________,_________∴直线l 是⊙O 的切线（3）已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？画一画！ 活动2: 如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB 是⊙O 的切线.（分析：已知AB 经过圆上的点C ，要用上面的判定定理，应该连接 ， 证明 ） 证明：小结：当直线与圆有公共点，常连接 和公共点得半径，证明直线垂直于 .（图1）（图2）（图3）活动3: 已知：如图4，P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点．PE ⊥OA 于E ．以P 点为圆心，PE 长为半径作⊙P ．求证：⊙P 与OB 相切．（分析：OB 与圆没有公共点，应该选用哪种判定方法？怎样作辅助线？）小结：当直线与圆没有公共点，常过圆心作直线的 ，证明圆心到直线的距离等于 . 活动4：（1）想一想：如图，直线l 是⊙O 的切线，切点为A ，那么直线l 与半径OA 是否一定垂直呢？（可以用反证法证明，选学） (2)切线的判定定理：圆的切线_________经过切点的 .定理的几何语言：如图1，直线l 是⊙O 的切线 ______________.∴由性质定理，容易得到下面的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必过 . 经过切点且垂直于切线的直线必过 .小结：一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的 条，就必然满足 条.活动5: 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连接BC .若30P ∠=︒，求B ∠的度数.活动6: 如图，ABC ∆为等腰三角形，AB AC =,O 是底边BC的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切.小结：已知一条直线是圆的切线时，辅助线常连结圆心和切点. ［课堂小结］（图4）1.圆的切线有哪几种判定方法？分别是什么？2.证明圆的切线时，常常要添加辅助线，有两种方法： （1）当直线与圆有公共点时，简说成“连半径，证垂直”； (2) 当直线与圆没有公共点时，简说成“作垂直，证半径”.3.切线分别有哪些判定方法和性质？（口述）［当堂达标］1.下列说法正确的是（ ）A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2.已知:如图5,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C ,点B 在圆上,且AB BC =,30A ∠=︒.求证:直线AB 是⊙O 的切线.［课后作业］已知：如图6，△ABC 内接于⊙O ，过A 点作直线DE ，当∠BAE =∠C 时，试确定直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．已知：如图7，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．（图6） （图7）。
2020春冀教版九年级数学下册 第29章 【教案】切线的性质
切线的性质建议思考的问题：如何处理好课本的知识点，才更利于学生掌握？学生会选择正确的性质定理去证明一些简单的几何例题吗？课堂实录：（一）引入[师]：前面两节课我们学习了直线与圆的三种位置关系。
那么是哪三种位置关系呢？设o的半径为r，圆心o到直线l的距离d，那么这三种位置关系与d与的关系是什么？[点评]：采用这种方法复习的目的是已达到，可是引入新课未免平淡，针对性也不强。
[生]：直线l与圆o相交 d<r；直线l与圆o相离 d>r；直线l与圆o相切 d=r （学齐声回答，看来这个问题难度较低，不至于引人入胜。
）[师]：请同学们翻开书本，看图6-8，我提几个问题。
如果AT切O于A，那么半径OA有什么关系？过点A的直线AT的垂线一定过圆心吗？过圆心引AT的垂线一定过切点A吗？从而引出课题（板书节）请同学分组讨论，并回答。
（学生中少有讨论，大多数同学感到茫然）[师]：有谁来回答这个问题？大家比一比，赛一赛？（教师提出问题后没有学生回答）[点评]：显然这几个问题与前面的问题比较起来难度有较大的提高。
梯度过于明显。
最后教师采取了点名的方法叫了三名成绩优异的学生回答出了垂直过圆心、过切点。
新课的引入在这里，教师已陷入被动与学互动变成了个别优秀学生的秀场，何来比一比，赛一赛？如果没有学生的积极主动参与是不能取得好的效果的。
[师]：刚才这几位同学的回答非常正确，你们真棒！[点评]：对学生的回答用赞赏语言，适时地进行激励，激发学生的学习兴趣。
[师]：1、大家抬头黑板，听听我的分析：由直线L和O相切可推半径OA与OA 的长度有什么关系？因此它们在位置上有什么关系（由学生集体回答）2、思考下列问题：过圆心垂直于切线的直线（OA）过切点的半径过切点与切线垂直的直线这三者之间有什么关系？[点评]：为什要听老师析呢：分析后学生是否就真正理解了呢？思考的这三个问问题都是老师事先设计好的，至于为什么要这样设计，有什么应用意义，在引入切线的三条性质的问题情境创设上是还有改变目前的这种“八股”模式？课后分析与思考：《数学课程标准》强调：“参加特定数学活动，具体情境中初步认识对象的特征。
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29.3 切线的性质和判定-冀教版九年级数学下册教案
一、知识点概述
本节课主要内容为圆的切线的性质和判定，通过学习，可以掌握以下知识点：1. 切线的定义 2. 切线的性质 3. 切线的判定
二、教学内容及教学方法
1. 切线的定义
教师可通过讲解圆周角和切线的关系来引出切线的定义，简单明了地解释切线是什么。
学生可以通过画图示意图来加深对切线的理解。
教学方法推荐采用讲授法和示例法。
2. 切线的性质
在掌握了切线的定义之后，教师可通过课件展示或者图片演示等方式来讲解切线的性质，如切线与半径垂直、切点处切线只有一个等等。
学生可以通过练习例题来加深对切线的理解。
教学方法推荐采用讲授法、示例法和练习法。
3. 切线的判定
在掌握了切线的性质之后，学生需要进一步学习切线的判定方法。
教师可通过举例讲解判定方法，并提示学生掌握图形的性质。
学生可以通过练习例题来巩固切线的判定方法。
教学方法推荐采用讲授法、示例法和练习法。
三、教学重难点
1. 教学重点
1.切线的定义
2.切线的性质
3.切线的判定
2. 教学难点
1.切线的判定方法
2.应用切线解题
四、教学步骤
步骤一：介绍切线的定义及性质
1.教师讲解切线的定义，以及切点、切线和圆的位置关系。
2.教师讲解切线的性质，如切线与半径相垂直等。
步骤二：讲解切线的判定方法
1.教师给出例题，引导学生分析图形，寻找切线的判定方法。
2.教师讲解判定方法，并提示学生掌握图形的相关性质。
步骤三：练习
1.学生通过练习例题，巩固切线的概念、性质和方法；
2.引导学生应用切线解题；
3.学生可以尝试给出自己的解决思路，进行讨论和交流。
五、教学效果评价
教学效果可通过以下方式进行评价： 1. 教师可以通过课堂练习和讨论等方式，了解学生对切线概念、性质和应用的掌握情况； 2. 随堂测评的方式，及时发现学
生掌握情况，巩固学生的理解； 3. 期中、期末考试等方式进行总体评价。