考研数学习题课讲义--1 极限与连续
考研数学习题课讲义第一讲 函数、极限与连续2016年大纲解读考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数, 基本初等函数的性质及其图形, 初等函数函数关系的建立; 数列极限与函数极限的定义及其性质, 函数的左极限与右极限; 无穷小量和无穷大量的概念及其关系, 无穷小量的性质及无穷小量的比较; 极限的四则运算, 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： ll ll llxx→00ssll ss xx xx=11, ll ll ll nn→∞�11+11nn �nn =ll ll ll xx→∞�11+11xx �xx=ee .函数连续的概念, 函数间断点的类型, 初等函数的连续性, 闭区间上连续函数的性质.考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
6. 掌握极限的性质及四则运算法则。
7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
知识细节：1. 确定函数的几种方式:(1) 显函数 (2) 隐函数 (3) 参数方程(4) 幂指函数(对数恒等式) yy =ff (xx )gg (xx )=ee gg (xx )ll ss ff (xx ) (5) 变限积分函数 yy =∫ff (tt )ddtt xxaa 或 yy =∫ff (tt )ddtt φφ(xx )aa(6) 由极限确定的函数: yy =ll ll ll nn→∞ff (xx ,nn ) 或 yy =ll ll ll tt→xxff (xx ,tt )2. 几个关于函数的性质的结论(1) 设 f (x ) 在区间[−l , l ]上有定义, 则 f (x ) + f (−x )为偶函数, f (x ) − f (−x ) 为奇函数.(2) 设 f (x ) 为可导的偶函数(或奇函数), 则 f ′(x ) 为奇函数(或偶函数); 若 f (x ) 为可导的周期函数, 则 f ′(x ) 为同周期的周期函数.(3) 设 f (x ) 连续, FF (xx )=∫ff (tt )ddtt xx00+CC (C 为任意常数), 则 f (x ) 为奇函数 ⇔ F (x ) 为偶函数; 若 f (x ) 为偶函数, 则只有 ∫ff (tt )ddtt xx00 是奇函数.[说明: 周期函数的原函数不一定是周期函数, 如 f (x ) = cos x + 1 的周期为 2π, 但 F (x ) = sin x + x 不是周期函数.](4) 单调函数的导数和原函数不一定是单调函数. 3. 关于极限的运算法则的说明(1) 极限的四则运算法则的前提(和差积商可拆)是各部分的极限存在(处理的依然是类似于数的运算法则----有限可算, 拆开时部分式不能有∞, 分母不能出现0);(2) 凡是极限中出现有悖于数的运算法则的, 均要按极限的方式处理(未定式极限);(3) 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim[ f (x ) ± g (x )]一定不存在; 若 lim f (x ) 与 lim[ f (x ) ± g (x )] 都存在, 则 lim g (x )一定存在; 若 lim f (x ) 与 lim g (x ) 一个存在一个不存在, 则 lim f (x )g (x ) 可能存在也可能不存在, 若存在时一般为0(有界量与无穷小的乘积还是无穷小)[两个都不存在时lim f (x )g (x )可能存在也可能不存在].(4) 幂指函数极限运算常用公式: ll ll ll ff (xx )gg (xx )=AA BB (ll ll ll ff (xx )=AA >00,ll ll ll gg (xx )=BB ); ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).(1∞)4. 几个常用结论(1)>∞<==++++++−−∞→mn m n m n b a bx a x b a x a x a m m m n n n x ,,0,lim 01010010100(2) 几个常见易出错的不存在极限: ;arctan lim ;lim x e x x x ∞→∞→xe x xx 1arctanlim ;lim 010→→及它们的变形 (3) 常用的数列极限: ll ll ll nn→∞√aa nn=11(aa >00),ll ll ll nn→∞√nn nn=11.(4) 无穷小的和差运算规则: 和差取大(低阶)常考题型及其解法与技巧题型一 求函数表达式注意: 在利用给定条件求复合函数的表达式时, 注意换元与迭代的思想.例1 设,1||,01||,1)(>≤=x x x f 则 f {f [ f (x )]}等于 ( ). (A) 0 (B) 1 (C) ,1||,01||,1>≤x x (D) ,1||,11||,0>≤x x 例2 设 gg (xx )=�22−xx ,xx ≤00xx +22,xx >00,ff (xx )=�xx 22,xx <00−xx ,xx ≥00, 则g [f (x )] = _______.练习 设 ff (xx )=�xx , xx ≤00xx +xx 22,xx >00, 则 f [ f (x )] = _____________________.题型二 对函数性质的理解例2 当 x → 0 时, ff (xx )=11xx 22ssll ss 11xx 是 ( ).(A) 无穷小量 (B) 无穷大量(C) 有界但非无穷小量 (D) 无界但非无穷大量例3 设 f (x ) 是连续函数, F (x ) 是 f (x ) 的一个原函数, 则 ( ). (A) 当 f (x ) 是奇函数时, F (x ) 必是偶函数 (B) 当 f (x ) 是偶函数时, F (x ) 必是奇函数(C) 当 f (x ) 是周期函数时, F (x ) 必是周期函数(D) 当 f (x ) 是单调增加函数时, F (x ) 必是单调增加函数练习(1) 设 f (x ) 是奇函数, 除 x = 0 外处处连续, x = 0 为其第一类间断点, 则∫xt t f 0)(d 是(A) 连续的奇函数 (B) 连续的偶函数 (C) 在 x = 0 间断的奇函数 (D) 在 x = 0 间断的偶函数 (2) 设f (x )连续, 则下列函数中, 必为偶函数的是∫x t t f A 02)()(d ∫xt t f B 02)()(d∫−−x t t f t f t C 0)]()([)(d ∫−+xt t f t f t D 0)]()([)(d题型三 数列的极限一、 对概念、性质的理解注意: 此类问题主要考查对极限定义与性质的理解, 一般借助于极限存在的几何意义处理更有效；另外要注意几个基本的结论：子列原理、单调有界原理. 例4 数列{x n } 收敛于实数 a 等价于 ( )(A) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的无穷多项 (B) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 内有数列的有穷多项 (C) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的无穷多项 (D) 对任给 ε > 0, 在 (a − ε, a + ε) 外有数列的有穷多项例 5 设函数 f (x ) 在 (−∞, +∞) 内单调有界, {x n } 为数列, 下列命题正确的是 ( ).(A) 若 {x n } 收敛, 则 {f (x n )} 收敛 (B) 若{x n } 单调, 则 {f (x n )} 收敛 (C) 若{f (x n )} 收敛, 则 {x n } 收敛 (D) 若{f (x n )} 单调, 则 {x n } 收敛 练习(1) “存在正数 ε0, 使满足 |xx nn −AA |≥εε00的 x n 有无穷多项”是数列{x n }不收敛于 A 的 ( ).(A) 充分必要条件 (B) 必要但非充分条件 (C) 充分但非必要条件 (D) 既非充分又非必要条件(2) 设数列{x n }是数列, 下列命题不正确的是( ).(2015年数学三) (A) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa ;(B) 若ll ll ll nn→∞xx 22nn =ll ll ll nn→∞xx 22nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .(C) 若 ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 则ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa ; (D) 若ll ll ll nn→∞xx 33nn =ll ll ll nn→∞xx 33nn+11=aa , 则ll ll ll nn→∞xx nn =aa .二、 通项是 n 项和的数列的极限 设 xx nn =∑aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法:(1) 求出和的通项(相对简单:拆项相消、等比数列等); (2) 定积分定义(注意转换) ∑ff (ξξii )ΔΔxx ii nn ii =11→∫ff (xx )ddxx bbaa ; (3) 夹逼准则.例 6 求下列数列的极限:(1) ll ll ll nn→∞�11�nn +11+11�nn +22+⋯+11�nn +nn �(2) ll ll ll nn→∞11nn �11�nn +11+nn+22�nn +22+nn+⋯+nn�nn +nn+nn�练习(1) 求 ll ll ll nn→∞�11nn 22+11+22nn 22+22+⋯+nnnn 22+nn � ;(2) 求 ll ll ll nn→∞�ssll ssππnnnn+11+ssll ss22ππnn nn+11+⋯+ssll ss ππnn+11�三、 通项是 n 项乘积的数列的极限设 xx nn =∏aa ii nn ii=11, 求 ll ll ll nn→∞xx nn .一般解法: (1) 求出积的通项; (2) 利用对数化为和的形式; (3) 夹逼准则. 例7 求下列数列极限(1) ll ll ll nn→∞11nn �nn (nn +11)(nn +22)…(22nn −11)nn(2) ll ll llnn→∞11∙33∙55∙… ∙(22nn−11)22∙44∙66∙… ∙(22nn )四、 通项由递推公式给出的数列的极限设 xx nn+11=ff (xx nn ), 求ll ll ll nn→∞xx nn . (注意: 通项也可能是其他形式).一般解法: 先利用单调有界原理证明极限存在, 再令ll ll ll nn→∞xx nn =aa , 通过递推公式解方程求出极限.例8 (2006年数学一) 数列 {x n } 满足 0 < x 1 < π, x n +1 = sin x n (n = 1, 2, …). (1) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(2) 计算 .lim 211nx n n n x x+∞→练习(1) 设 x 1 > 0, x n +1 = 11−ee −xx nn , n = 1, 2, ….(i) 证明 n n x ∞→lim 存在, 并求其极限;(ii) 计算ll ll ll nn→∞xx nn xxnn+11xx nn−xxnn+11.(2) 设 a > 0, x 1 > 0, 且定义 xx nn+11=1144�33xx nn +aaxx nn33�(nn =11,22,…), 证明当 n →∞时,数列 {x n } 的极限存在并求出该极限值.五、 利用函数的极限求数列极限注意: 一般是含有 n 的未定式极限, 应该按数列极限处理, 若用到罗比达法则, 最好先求出 x →+∞ 时的极限, 再利用函数极限与数列的极限关系(结论也可以用来说明极限不存在)得出结果.例9 .arctan 2lim nn n∞→π练习求 ll ll ll nn→∞nn �ee �11+11nn �−nn−11�.题型四 函数的极限一、分段函数的极限求分段函数在分段点处的极限, 要利用:.)(lim )(lim )(lim 0A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=−+→→→例11 (2000年数学一) 求.||sin 11lim /4/10+++→x x x x x e e例12 当 x → 1 时, 函数xx 22−11xx−11ee11xx−11的极限为 ( ).(A) 2 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在二、未定式极限未定式的类型: “0000,∞∞; ∞−∞,00∙∞; 11∞,0000,∞00”. 注意各部分均为极限、罗比达法则不是万能的(先确定极限的类型，再考虑方法，一定要与数的运算分开).1.0000,∞∞型未定式常用方法: 无穷小的等价代换(代换原则: 因式替代); 罗比达法则(注意条件, 使用罗比达法则后及时整理并分离出极限存在的因式); 无穷大转换为无穷小等. 例13 求.)(arcsin arcsin lim3x xx x −→例14 求.ln ln lim 2xt dt x xx ∫+∞→例15 求.sin 114lim 22xx x x x x +++−+−∞→例16 求.)1ln()cos 1(1sin)cos 1(sin 3limx x x x x x ++−+→练习：求下列极限 (1) 213lim21−++−−→x x xx x(2) .13cos 21lim 3−+→x x x x(2004年数学二) (3) 30sin arctan lim x xx x −→(2007年数学二) (4) ll ll llxx→−∞�33xx 22+xx−11+xx−11�xx +ccccss xx2. ∞−∞,00∙∞型未定式方法: 转化为 0000,∞∞ 型(通分、构造分母等)例17 求.11ln lim 2+−∞→x x x x例18 求.2arctan 2lim 22x x x −∞→π练习: 求下列极限(1) .cos sin 1lim 2220−→x x x x (2) .lim−−++∞→x x x x x3. 11∞,0000,∞00型未定式方法: 非1∞类型常使用对数恒等式(或取对数后化为00∙∞型未定式).uu (xx )vv (xx )=ee vv (xx )ll ss uu (xx ).; 1∞类型: ll ll ll uu (xx )→00vv (xx )→∞(11+uu (xx ))vv (xx )=eell ll ll uu (xx )vv (xx ).例19 求.arcsin lim 210x x x x→例20 求.lim ln 10xkx x+→+例21 求ll ll ll xx→+∞(ll ss xx )11xx−11练习: 求下列极限(1) )1ln(12)(cos lim x x x +→(2003年数学一)(2) .sin 1tan 1lim 310x x x x++→三、极限的综合题说明: 这类题目涉及面稍微广泛, 比如导数的定义、已知一个极限求另一个极限等。
极限和连续专题教育课件
lim 2x
x1
实际上我们有
“x x0时”函数极限运算法则：
假如 lim f (x) a ， lim g(x) b 那么
x x0
x x0
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b
x x0
x x0
x x0
lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) a b
x x0
x x0
注：使用极限四则运算法则旳前提 是各部分极限必须存在.
一样有“x 时”函数极限运算法则：
假如 lim f (x) a ， lim g(x) b 那么
x
x
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b
x
x
x
lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) a b
(5) lim 2x ; x2
(3) lim x2 ; x1
(6) lim (2x2 - 1) . x2
对于极限体现式 lim f (x) a ，中旳 x x0，应怎样了解? x x0
应了解为x能够用任何方式无限趋近于 x0 ，其中涉及:
1）从表达 x0 旳点旳左边无限趋近于 x0 ； 2）从表达 x0 旳点旳右边无限趋近于 x0； 3）从表达 x0 旳点旳两侧交错地无限趋近于x0 ； 总之，不论以哪种方式趋近，只要 x x0 ，就有 f ( x) a. 下面讨论函数旳“单侧”极限,即自变量x只能从表达 旳x0点旳一侧
f ( x) 无限趋近于1.
因为x从不同方向无限趋近于0时, f ( x) 所无限趋近旳值不同,
所以, f ( x) 在x=0处无极限. 即 lim f (x)不存在. x0
东南大学考研课件-极限,连续,间断
例2. 设 x1 10, xn1 6 xn
证明:lim n
xn,
并求出此极限。
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例3（. 练习）设x1
2,
xn1
2
1 xn
,n 1
求
lim
n
xn
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例4
(1)
(2)
1
1 2x
lim
x0
1
1 2x
1
2ex
lim(
x0
1
sin x ) x
1ex
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例5 等价无穷小求极限问题
x0
1
(3) （练习）求lim( x e2x )sin x x0
(4) 求limtann( 2 )
n
4n
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例6 未定式极限问题
(1)
求 lim( x0
1 x2
1 x tan
) x
(2)
求
lim(
x0
1 x 1 ex
1) x
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3).已知 lim x0
sin
6x x3
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4).求f ( x ) ln x sin x的间断点,并指出类型. x1
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7) 函数
在
则 a，b 满足
（A） （C）
(a 0,b 1)
内连续，且
（B） （D）
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8.
设 f (x)在(,)上连续且 f [ f (x)] x ，
证明 f (x)存在不动点。
对数求导法则;
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3. 变限函数的导数:
第1章极限与连续
第1章极限与连续万丈高楼平地起，打好基础最要紧．——陈景润初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学则是以极限为基本工具，以变量及变量间的依赖关系，即函数关系为研究对象的一门数学课程．所谓函数关系就是变量之间的依赖关系．极限是研究微积分学的重要工具，是高等数学中最重要的概念之一，微积分学中的许多重要概念，如导数、定积分等，均通过极限来定义．因此，掌握极限的思想与方法是学好微积分学的基础．本章主要介绍变量、函数、极限等基本概念，并引出高等数学中有着广泛应用的一类重要的连续函数．1.1函数1.1.1常量与变量一、常量与变量在研究实际问题时，会遇到各种各样的量．如长度、面积、体积、时间、距离、速度等．这些量可分为两种：—种是在某种过程中保待不变的量，这种量称为常量；还有一种是在某种过程中不断改变的量，这种量称为变量．注意：一个量是常量还是变量，要视具体情况而定．例如，物体在做自由落体运动过程中，在一定高度内重力加速度可看作常量，但超出一定高度时，重力加速度则应看作变量．常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．对某一问题，变量只能在一定范围内取值．为简便起见，变量的取值范围常用区间表示．常用区间有以下几种∈<，列表如下（表1.1）：(,,)a b R a b特别地，(,) a a δδ-+称为点a 的δ 邻域，（其中a ，δ 是实数，且δ>0），记作：U (a ，δ)，点a 叫做这个邻域的中心．δ 叫做这个邻域的半径.如图1.1所示．即{}(, )| ||U a x x a δδ=-<点a 的δ 邻域去掉中心a 后，称为a 的空心δ 邻域，记作U (a ，δ)．如图1.2所示. 即U (a ，δ)=｛x | 0<｜x -a ｜<δ｝图1.1图1.21.1.2 函数的概念一、函数的定义定义 设有两个非空实数集D ，M ，如果对于数集D 中的每一个数x ，按照确定的法则f ，在数集M 中有唯一的一个数y 与之对应，则称y 是在对应法则f 作用下关于x 的在数集D 上的函数．记作y =f (x )，x 称为自变量，y 称为因变量．数集D 称为函数的定义域，数集W =｛y |y = f (x )，x ∈D ｝称为函数的值域，显然W ⊆M ，与x 对应的y 的数值称为函数f 在x 处的函数值．函数y =f (x )中表示对应法则的记号f 也可改用其他字母，例如“ϕ”，“F ”，等．这时函数就记作y =ϕ(x )，y =F (x )，等．在研究同一问题时出现的不同函数，应该用不同的记号．如果对自变量x 的某一个值x 0有确定的y 值f (x 0)与之对应，就说函数y =f (x )在x 0有定义．函数的定义域是自变量的取值范围．定义域和对应关系是函数的两个基本要素．两个函数只有定义域和对应关系完全相同时，才被认为是相同的．例如，函数22sin cos 1y x x y =+=与，它们的定义域和对应关系都相同，所以是相同的函数．又如，函数2111x y y x x -==-与＋，它们的定义域不同，所以是不同的函数．如果自变量在定义域内取某些数值时，对应多个y 值，就称这个对应规则为多值函数，而一个x 有唯一的y 值与之对应的情形，又称为单值函数．以后若无特别说明，函数都是指单值函数．函数可以用公式法、图形法、表格法等给出．在实际问题中，还会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示，如电子技术中的矩形脉冲,0<2,2T E t u T E t T ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩这种函数称为分段函数．注意：分段函数在整个定义域上是一个函数，而不是几个函数，求分段函数值时，应把自变量的值代入相应取值范围的表达式中计算．二、函数的定义域研究函数必须注意函数的定义域．在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义来确定．若不涉及实际问题，其定义域就是使函数表达式本身有意义的自变量的取值范围．例如：（1）在分式中，分母不能为零． （2）在实数范围内，负数不能开偶次方． （3）在对数式中，真数要大于零．（4）在三角函数和反三角函数中，要使三角函数和反三角函数有意义．（5）如果函数表达式中同时含有分式、根式、对数式、三角函数式或反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集．【例1.1.1】 求下列函数的定义域：211(1) lg (3) arcsin413x x y y y x x +===--21(1) 4y x =+－解2240 220x x x x ≠±⎧-≠⎧⎨⎨≥-+≥⎩⎩即 故：函数的定义域为(22)(2)-∞,,+．(2) lg1xy x =- ，使其有意义，须 0 1xx >- 即 10x x ><或故：函数的定义域为(0)(1).-∞+∞,,1(3)arcsin3x y += ，使其有意义，须 -1≤13x +≤1即 -3≤x +1≤3, -4≤x ≤2故：函数的定义域为[4,2].-1.1.3函数的几种特性函数的四个特性在初等数学中已作详细介绍，在此将定义和几何意义列表如下(表1.2)，以方便复习之用（表中Ｄ为函数f (x )定义域）.表１.21.1.4初等函数一、基本初等函数所谓基本初等函数，是指以下这些函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数．现将这些常用的基本初等函数及其定义域与值域、图像、特性列于表1.3．表1.3+∞(0,)续表1.３续表1.３二、复合函数以后我们经常会遇到由几个函数复合起来而得到的函数，例如，y =u 2，而u =sin x ，则y 通过u 而成为x 的函数y =sin 2x ，这时称y =sin 2x 为y =u 2和u =sin x 复合而成．定义 如果y 是u 的函数()y f u =，而u 又是x 的函数()u x ϕ=，且()x ϕ的值域与()y f u =的定义域的交集非空，则y 通过中间变量u 成为x 的函数，把[()]y f x ϕ=称为x 的复合函数，u 称为中间变量．注意 （1）并非任何两个函数都可复合.如22y u x ==+,就不能复合. (2)复合函数也可由两个以上的函数复合而成,复合的方法就是代入. 如ln y u =,sin u v =,2x v =,则lnsin 2xy =,这里,u v 都是中间变量. 【例1.1.2】 指出下列各复合函数的复合过程和定义域．（1）y =（2）y =lg(1-x )解 （1）y 21y u x ==+复合而成，它的定义域为(-∞，+∞)=R ． （2）y =lg (1-x )是由y =lg u 与u =1-x 复合而成，它的定义域是(,1)x ∈-∞．三、初等函数由基本初等函数和常数经过有限次四则运算与有限次的函数复合得到的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：212sin ,ln ,21,arcsin ,x xy y y x x y a y y x======等都是初等函数．注意：分段函数一般都不是初等函数.但是,由于分段函数在其定义域的各个子区间上都是由初等函数表示,故仍可通过初等函数来研究.某些分段函数仍是初等函数，如：, 0, 0x x y x x ⎧=⎨-<⎩≥能化为y，而y是由2y u x =复合而成的，所以这个分段函数是一个初等函数．*1.1.5 经济学中常用的函数一、需求与供给函数1. 需求函数需求是指消费者在一定价格下对商品的需要，消费者愿意购买而且有支付能力的有效需求，需求价格是指消费者对所需要的一定量商品所愿支付的价格．商品的需求量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为需求函数. 记为Q ＝()p ϕ ,一般来说，当商品价格增加时，商品需求量将减少．因此需求函数是递减函数．需求函数的图像称为需求曲线，需求曲线如图1.3所示.需求函数的反函数1()p Q ϕ-=在经济学中也称为需求函数或价格函数.图 1.3图 1.42. 供给函数供给是指在某一时期内，生产者在一定条件下，愿意并可能出售的产品.供给价格是指生产者为提供一定量商品所愿意接受的价格．商品的供给量Q 可看成是商品价格p 的函数，称为供给函数. 记为() , 0Q f p p =>一般来说，当商品价格增加时，商品供给量将增加．因此供给函数是递减函数．供给函数的图像称为供给曲线，供给曲线如图1.4所示．局部市场均衡：当商品的需求价格与供给价格相一致时的价格，称为均衡价格，即当市场的需求量与供给量一致时的商品数量称为均衡数量，需求函数(),d Q p ϕ=供给函数(),s Q f p =（图1.5）则()()d s ds Q p Q f p Q Qϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 二、收益、成本与利润函数１. 收益函数收益是指生产者出售商品的收入.总收益是指将一定量产品出售后所得到的全部收入.总收益记为R .总收益R 为销售价格p 与销售量Q 的乘积，若以销量Q 为自变量，总收益R 为因变量，则R 与Q 之间的函数关系称为总收益函数．在已知需求函数Q ＝()p ϕ时，有1()()R R Q pQ Q Q ϕ-===⋅平均收益函数为1()()R Q AR Q p Qϕ-====总收益销量 ２．成本函数与利润函数总成本是指生产特定产量的产品所需要的成本总额.它包括两部分：固定成本和可变成本.二者之和即为总成本.0()()C C Q C V Q ==+平均成本函数为()C Q AC Q==总成本销量 利润函数是指在假设产量与销量一致的情况下，将总利润函数定义为总收益函数与总成本函数之差.即：()()()L Q R Q C Q =-习 题 1.11． 下列各题中，函数f (x )与g (x )是否相同？为什么？21()ln ()2ln f x x g x x ==（）(2) () ()f x x g x =(3)()()f x g x =2． 求下列函数的定义域：2211(1) (2) 12(3) 32y y x xxy y x x =+=--==-+3． 设|sin |,||30,||3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩（） ≥求2644πππϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（-），并作出函数的图形．4． 下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？21(1)()cos (2) ()(e e )211(3) ()(e e ) (4) ()ln21x x x x f x x x f x xf x f x x--==+-=-=+5．指出下列各复合函数的复合过程：122(1) e3(3) sin (4) cos(31)2(5) arccos(1)xy yxy y xy y x+====+==-6．设f(x)的定义域是[0，1]，问：（1）f(x2)；（2）f(sin x)；（3）f(x+a)，(a>0)；（4）f(x+a)+f(x-a)，(a>0)的定义域各是什么？7．设1, ||1()0, || 1 , ()e,1, ||1xxf x xg xx<⎧⎪===⎨⎪->⎩求f[g(x)]和g[f(x)]，并作出这两个函数的图像．8．有等腰梯形（如图1.6）当垂直于x轴的直线扫过该梯形时，若直线与x轴的的交点坐标为（x, 0），求直线扫过的面积S与变量间的函数关系，指明定义域，并求S(1)，S(3)，S(4)，S(6)的值．9．设某商品的需求关系是2Q+P = 40其中，Q是商品量，P是该商品的价格，求销售10件时的总收入．1.2 函数的极限1.2.1 函数极限的概念一、自变量趋于有限值时函数的极限先来考察f (x )=x +1与g (x )=211x x --两个不同函数，从图1.7和图1.8可看出，当x 无限趋近于1时，f (x )=x +1与g (x )=211x x --都无限趋近于2． f (x )=x +1在x =1处有定义，g (x )=211x x --在x =1处无定义．也就是说，当x 无限趋近于1时，f (x )与g (x )的极限是否存在与其在x =1处是否有定义无关．211x x -- 图1.8+1 图1.7一般说来．为了使0x x →时函数()f x 的极限定义适用范围更广泛，不必要求()f x 在0x 点有定义，只需要求()f x 在点0x 的空心邻城内有定义．于是给出如下定义：定义1 设函数y =f (x )在点0x 的空心邻域0(,)U x δ内有定义，如果当自变量x 在0(,)U x δ内无限趋近于0x 时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称常数A 为函数f (x )当0x x →时的极限．记为0() () ()→=→→lim 或x x f x A f x A x x注意：(1)定义中只须要求是0x 的空心邻域0(,)U x δ内有定义，而与0x 是否有定义无关；(2) 0x x →，意指x 从0x 的左右两侧趋于0x 的两种情形．有时为了研究问题的需要，变量x 变化趋势仅需考察从0x 的单侧方向情形，我们给出以下定义．定义2 设函数y =f (x )在点0x 的右半空心邻域00(,)x x δ+内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0右侧无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的右极限．记为0()+→=lim x x f x A或简记为 f (00+x )=A 或 0()()+→→f x A x x 定义3 设函数y =f (x )在点x 0的左半空心邻域00(,)x x δ-内有定义，如果当自变量x 在此半邻域内从x 0左无限趋近于x 0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某个固定的常数A ，则称常数A 为f (x )在x 0处的左极限．记为-0()→=lim x x f x A或简记为 f (00-x )=A 或 0()()-→→f x A x x 函数的左极限和右极限统称单侧极限． 【例1.2.1】 设, 0()1, 0, 0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在．解 f (x )的图形如图1.9所示，由图不难看出：-00lim ()0 , lim ()0 , lim ()0x x x f x f x f x +→→→=== 【例1.2.2】 设21, 0(), 0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩ 画出该函数的图形，并讨论0lim ()lim ()lim ()x x x f x f x f x -+→→→，，是否存在． 解 f (x )的图形如图1.10所示，由图1.10不难看出：-00lim ()1, lim ()0,x x f x f x +→→== 所以，0lim ()x f x →不存在.由左右极限的定义及上述的两个例子不难看出，左右极限存在如下关系：定理1 函数f (x )在x 0处的极限为A 的充分必要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都为A ．即：()()+-→→==lim lim x x x x f x f x A 二、自变量趋向无穷大时函数的极限定义4 设函数y =f (x )在|x |>a (a >0的某个实数)时有定义，如果当自变量x 的绝对值无限增大时，相应的函数值f (x )无限趋近于同一个固定的常数A ，则称A 为x →∞时函数f (x )的极限.记为() () ()→∞=→→∞lim 或x f x A f x A x由图1.11可知： 1lim0x x→∞= 注意：x → ∞表示x 既取正值而无限增大(x → +∞)，同时也取负值而绝对值无限增大（x → -∞）两种情形．但有时x 的变化趋势只是一种情形，我们给出以下定义：定义5 设函数y =f (x )在（a ，+∞）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x >0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →+∞时f (x )的极限.记为()→+∞=lim x f x A由图1.12可知： lim e 0x x -→+∞=定义6 设函数y =f (x )在（-∞，a ）(a 为某个实数)时有定义，如果当自变量|x |无限增大且x <0时，相应的函数值f (x )无限趋近于某一个固定的常数A ，则称A 为x →-∞时f (x )的极限.记为()→∞=lim x f x A －易得出下面的与定理1相同的结果．图1.13图1.12定理2 lim ()x f x A →∞=的充分必要条件为()()→+∞→∞==lim lim x x f x f x A －由图1.13可知：lim arctan lim arctan 22x x x x ππ→+∞→-∞==-，，故 limarctan x x →∞不存在．1.2.2 数列的极限定义7 定义域为自然数集的函数f (n )，如果记a n = f (n )， n =1，2，3，…则数串a 1，a 2，a 3，…，a n …称为数列或序列，简记为{a n }．其中的每个数称为数列的项，第n 项a n 称为数列的通项或一般项．若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≤1n a +，则称数列{}n a 是单调递增数列；若数列{}n a 对于每一个正整数n ，都有n a ≥1n a +，则称数列{}n a 是单调递减数列．定义8 设数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 无限趋近于某一固定的常数A ，则称数 列a n 当n 无限增大时以常数A 为极限．记为()→∞=→→∞lim 或n n n a A a A n这时也称当n →∞时，数列{}n a 收敛于A ．如果当n →∞时，数列{}n a 不趋近于某一固定常数A ，则称当n →∞时，数列{}n a 发散．【例1.2.3】 观察下列数列的极限：2n11(1) (2) 21(3)(4) 82n n n n a a nn a a ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭解 计算出数列前几项，考察当n →∞时数列的变化趋势，列于表1.4.表 1.4由表1.4可以看出，它们的极限分别是：2n11(1) lim lim =0(2) lim lim(2)21(3) lim lim =0(4) lim lim882n n n n n n n n n n n n a a nn a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==-=⎛⎫=-== ⎪⎝⎭一般地,有下列结论：1(1)lim0 (>0) ,(2)lim 0 (|q|<1),(3)lim n n n n q C C n αα→∞→∞→∞===注意：上述关于函数与数列极限的定义都是一种描述性的定义，从某种角度讲，这种叙 述不够严密．“无限趋近”，不是一个纯粹的数学概念，其精确化的严密定义有“εδ-”，“N ε-”等定义，有兴趣可参看其他书籍，这里不再细述.1.2.3 极限的性质定理3（局部保号性） 若0lim ()x x f x →=A ，且A >0 (或A <0)，则存在点x 0的某一空心邻域，当x 在该邻域内时，就有f (x )>0(或f (x )<0)．定理4如果在x 0的某一空心邻域内f (x )≥0 (或f (x )≤0)，而且0lim ()x x f x →=A ，则A ≥0 (或A ≤0)定理5（局部有界性） 如果0lim ()x x f x →=A 存在，则f (x )必在x 0的某空心邻域内有界．定理6（唯一性） 若0lim ()x x f x →=A 存在，则极限值是唯一的．说明 （1）上述定理中把x →x 0改为x →∞，相应结论仍成立. （2）收敛数列也具有上述相类似的性质．习 题 1.21． 观察并写出下列极限：332221(1) lim (2) lim 24(3) lim (4) lim(52)2x x x x x x x x x →∞→-→+-++ 2． 求||(),(),x x f x x x xϕ==当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在．3． 证明函数21, 1()1, 11, 1x x f x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩在x →1时极限不存在．4． 观察并写出下列极限：21311lim(2) lim 21lim 0.9999n n n n n n n →∞→∞→∞→∞++⋅⋅⋅（）个1.3 无穷小量和无穷大量极限运算法则1.3.1 无穷小与无穷大一、无穷小的概念与性质定义1 如果一个变量在某一变化过程中以零为极限，则称它为无穷小量，简称无穷小． 【例1.3.1】 因为1lim 10x x →-=（），所以函数x -1当x →1时为无穷小．因为1lim 0x x →∞＝，所以函数1x当x →∞时为无穷小． 注意：（1）一个函数f (x )是无穷小，必须指明自变量x 变化趋势.（2）不要把一个绝对值很小的常数(如0.0000001)说成是无穷小,因它的极限不为零. （3）数“0”可看成无穷小． 无穷小有下列性质：性质1 两个无穷小的代数和仍为无穷小．注意：本定理可推广为有限个无穷小的代数和仍为无穷小，但无限个无穷小的代数和就不一定是无穷小．例如：22222123(1)111lim lim lim 2222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎡⎤++++==+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 性质2 有界变量与无穷小的乘积为无穷小．推论 常数与无穷小的乘积为无穷小，有限个无穷小的乘积也为无穷小． 不难推出，函数与其极限，无穷小三者间存在如下关系：定理1 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是该函数的极限．即0()() (→=⇔=+→lim x x f x A f x A x x αα是时的无穷小）二、无穷大的概念与无穷小的关系定义2 如果一个变量在某个变化过程中，绝对值无限增大，我们就把这类变量称为无穷大量，简称无穷大．例如，变量f (x )为0x x →时的无穷大，记作0lim ()x x f x →=∞；变量f (x )为0x x →时的正无穷大，记作0lim ()x x f x →=+∞；变量f (x )为0x x →时的负无穷大，记作0lim ()x x f x →=-∞．对于自变量x 的其他变化过程中的无穷大，正无穷大，负无穷大可用类似方法描述．当0x x → (x →∞)时为无穷大的函数f (x )，按函数极限定义来说，极限是不存在的．为 了便于叙述函数的这一形态，也说“函数的极限是无穷大”．不难知道：1011lim,lim 1x x x x-→→=∞=-∞-注意：（1）一个函数f (x )是无穷大，必须指明自变量x 变化趋势.（2）不要把一个绝对值很大的常数(如1000000)说成是无穷大,因它的极限为其本身，其绝对值不能无限增大．易知，无穷大与无穷小存在如下关系：定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f (x )是无穷大，则()1f x 为无穷小；反之，如果f (x )是无穷小，且f (x )≠０，则()1f x 为无穷大． 1.3.2 无穷小的比较虽然无穷小都以零为极限，但它们趋向于零的过程有“快、慢”之别，这种趋向于零的“快、慢”就是无穷小的比较．我们用两个无穷小之比的极限来衡量．定义3 设α (x )，β (x )是同一个变化过程中的两个无穷小．如果()()limx x αβ= 0，就说α(x )是比β (x )高阶的无穷小，记作α(x )=o (β (x ))； 如果()()lim x x αβ=∞，就说α(x )是比β(x )低阶的无穷小；如果()()lim x x αβ=C ≠0；就说α(x )与β(x )是同阶的无穷小；如果()()lim x x αβ=1，就说α(x )与β(x )是等价无穷小，记作α (x )～β (x )．显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形．我们可推出一些重要的等价无穷小，记住这些对求某些函数的极限非常有益．0x →当时，有以下常见的等价无穷小: 21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ,1cos ,e 1,ln(1)2xx x x x x x xx xx x x x --+定理3 设α(x )~α'(x )，β (x )~β '(x )，且()()''limx x αβ存在，则()()()()'='limlim x x x x ααββ 注意：本定理说明可利用等价无穷小求积商问题的极限，若不是积商情形要进行必要转化，切记不得胡乱套用．【例1.3.2】 比较下列无穷小阶的高低：(1)x →∞时，无穷小213x x与2(2) 1 11x x x →--时，无穷小与 解 2221111313(1)lim lim 0,.33x x x o x x x x x x →∞→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭因所以是比高阶的无穷小，即22x 111(2)lim lim(1)2, 11.1x xx x x x →→-=+=---因所以与是同阶无穷小【例1.3.3】 求0tan 2lim sin5x xx→．解 当x →0时，tan2~2,sin5~5x x x x ，所以00tan 222lim= lim sin555x x x x x x →→=【例1.3.4】 求30sin lim3x x x x→+．解 当x →0时，3sin ~,3x x x x +与其本身是等价无穷小，所以332000sin 11limlim lim 3333x x x x x x x x x x →→→===+++ 1.3.3 极限运算法则在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有标明自变量的变化过程，是指x →x 0（或x →∞）这同一个变化过程，以后如遇到这种记号，均这样理解．实际上，下面的定理对于x →x 0及x →∞都成立．定理4 设u ，v 是同一个自变量的函数，并且在同一个极限过程中都有极限：lim u =A ，1im v =B ．则有：（1）lim(u ±v ) =lim u ±lim v=A ±B （2）lim(u ·v ) =lim u ·lim v=A ·B （3）如果B ≠0，则==lim limlim u u Av v B定理4中结论（2）的一个特例是当u =C (C 为常数)，v =f (x )时，得()0→lim ()x x Cf x =C ·0→lim ()x x f x上述定理可推广到有限函数四则运算的情形． 对任意正整数n。
(整理)1韩国平考研串讲之函数极限连续.
数学解题口诀不熟悉的问题熟悉化 复杂的问题简单化 就近分析能做乘法不做除法能做加法不做减法0x x →∞→较难后期复习应注意的问题以做题带动全面 做历年真题通过做全真模拟题系统复习基础知识每套模拟题做两个半小时然后用半个小时总结复习Ch1 函数极限连续（8~18）一、重要概念、公式(一) 函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、有界性）(1)单调性：对于函数()f x ，如果对12x x <，有12()()f x f x <或（12()()f x f x >），则()f x 是单调增加（单调减少）。
注：1º 对可导函数，常通过()f x '判定：()0f x '>单增， ()0f x '<单减；2º 函数不具体的非可导函数，必用定义。
(2)周期性：对于()f x ，如果存在常数0T >，使()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数。
注：①常见函数周期： sin x 和cos x ，周期为2π；tan x 和cot x ， 周期为π②如()f x 以T 为周期，则()f ax b +以aT为周期； ③如()f x 以T 为周期且可导，则()f x '以T 为周期，反之不真，即如()f x 为周期函数，其原函数不一定是周期函数，如()1f x =。
周期函数不一定可导④如()f x 以T 为周期，则()()()202T a nTTT af x dx n f x dx n f x dx +-==⎰⎰⎰⑤()(),f x g x 以1212,T T T T ≠，为周期，则()()()12(),(),()f x g x f x g x f x g x T T ±⨯÷以、的最小公倍数为周期(3)奇偶性：对于()f x ，如果()()f x f x -=，则()f x 偶函数；如果()()f x f x -=-，则()f x 奇函数注：① 讨论奇偶性必注意区间对称性及()f x -与()f x 的关系；② (偶)′＝奇，(奇)′＝偶；③ 偶函数的原函数不一定是奇数，但奇函数的原函数是偶函数； ④ 奇±奇＝奇（不等）， 偶＋偶＝偶 ， 奇＋偶 不定奇·奇＝偶，偶·偶＝偶，奇·偶＝奇（偶≠0）(4)有界性：对于()f x ，如果存在0M >，使()M x f ≤，则称()f x 有界，()f x M ≤有上界； ()f x M >有下界注：① 有界 ⇔ 既有上界又有下界；② 常见函数的有界性：sin x ，cos x ，arcsin x ，arccos x ，arctan x ，cot arc x ； ③ 闭区间上的连续函数一定有界； ④ 极限存在必局部有界，指点的附近。
高等数学(函数极限连续1)-精选文档-文档资料
函数、极限与连续1
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一、 集合及其运算（自己复习）
二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）
实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应
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三、 映射和函数
1、定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
则
y f [ g ( x )] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 R( g ) D( f ) 不可少. 例如, 函数链 : y arcsin u , u cos x , 可定义复合函数
y arcsin cos x, x R 约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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4. 反函数 若函数 f : D f ( D), D, f ( D) R 为单射, 则存在一新映射
f 1 : f ( D) D, 使 y f ( D) , f 1 ( y ) x , 其中 f ( x) y,
1 f 称此映射 为 f 的反函数 .
x f ( n ) , n N . n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续
2018年会计硕士考研辅导课件公共课数学强化提高班高等数学第一章函数极限连续质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）并会应用这些性质。
一、基本内容函数：函数的两个重要特性：对应的规则（相互依赖的规则，表达式）、定义域五类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（知道其基本图形、定义域）基本初等函数：在定义域内连续由基本初等函数通过有限次的四则运算，有限次的复合运算构成了初等函数初等函数：在其定义区间内连续函数基本特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性奇偶性：周期性：其中，T为最小正周期。
例：，没有最小正周期复合函数：反函数：一一对应的函数才有反函数－>单调函数才有反函数罗必塔法则：只适用于连续型，所以不能直接用，但可以将n先化为x，观察的变化趋势，再化为n即可函数连续：，则连续函数的一些性质：有界性，最大最小值（最值定理），介值定理1.利用夹逼定理得：2.利用单调有界数列必有极限得：右极限，左极限连续函数的三种定义1. 2.3.对于当时，有。
函数一点处连续：左右极限存在，并相等，并且等于函数在该点的值二、重点内容利用有关知识求出极限.无穷小：极限为0的变量无穷小的阶数常用的等价无穷小：x→0时，sinx～x , tanx～x ,，，ln （1+x）～x ,，，三、典型例题分析例1：『正确答案』（A）若之取值不包含的间断点，则就没有间断点了。
（B）例如为分段函数：当时取-1，而当>0时取1,则,就没有间断点.（C）无间断点.（D）,因,故的间断点还存在,故选（D）.例2：『正确答案』原式===例3：求『正确答案』注意：1.对于2.由于tanx不易求导，故常化为解：原式=例4：若，则为A.0B.6C.36D.『正确答案』解：由泰勒公式：原式＝而，故，答案：C例5：设试证数列极限存在，并求此极限。
『正确答案』证：设对某个正整数k，有，则有故对任意n , 有，是单调递减数列。
第一章函数极限连续典型例题(考研数学)
第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。
考研数学连续讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编§1.3 连续A 基本内容一．函数连续的概念1、连续的定义定义(1)：设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量x ∆趋近于0时，相应的函数改变量y ∆也趋近于0，即0lim 0=∆→∆y x或 ()()[]0lim 000=-∆+→∆x f x x f x 则称函数()x f y =在点0x 处连续。
定义(2)：设函数()x f y =在点0x 的某个领域内有定义，如果当0x x →时，函数()x f 的极限值存在，且等于0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→则称函数()x f y =在点0x 处连续。
2、左右连续的定义如果()()00lim x f x f x x =-→，则称函数()x f 在点0x 处左连续；如果()()00lim x f x f x x =+→，则称函数()x f 在点0x 处右连续。
由上述定义2可知，如果函数()x f y =在点0x 处连续，则()x f 在0x 处既左连续也右连续。
3、函数在区间内（上）连续的定义如果函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点都连续，则称()x f 在()b a ,内连续。
如果()x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()x f 在闭区间[]b a ,上连续。
二、函数的间断点及其分类1、函数的间断点的定义如果函数()x f y =在点0x 不连续，则称0x 为()x f 的间断点。
2、函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。
如果()x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
1-极限与连续
5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那末 lim f ( x)存在,且等于A . (夹逼准则) x x0 ( x)
(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定
义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.
第
y
y
一
可去型
跳跃型
类
间
断
点
0 x0
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数f ( x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
5、间断点的分类
(1) 跳跃间断点 如果f ( x)在点x0处左,右极限都
存在, 但f ( x0
0)
f (x0
0),
则称点x
为函数
0
f ( x)的跳跃间断点.
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) A 及 f (b) B,
那末，对于A与B 之间的任意一个数C ，在开区间
lim ln(1 2x) x0 sin3x