模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
模糊综合评价的方法
模糊综合评价的方法
模糊综合评价方法是一种用于处理不确定性和模糊性的评价方法，它基于模糊逻辑理论，将模糊集合理论应用于评价问题。
以下是一种常用的模糊综合评价方法：
1. 确定评价指标：首先确定评价对象的各个指标，这些指标可以是
qualitätskriterien（质量标准），wie Snalligkeit（快速性），Zuverlässigkeit （可靠性），剩余期限（余剩期限）等。
这些指标应该与评价对象的特性和要求相关。
2. 选择评价集：根据评价指标的取值范围和等级划分，选择合适的评价集，用于描述指标的表现。
3. 建立模糊评价矩阵：根据评价集和评价指标的要求，建立模糊评价矩阵。
4. 确定权重矩阵：确定各个评价指标的权重，可以采用专家调查、层次分析法等方法。
5. 计算隶属度矩阵：通过将评价指标的取值与评价集进行对比，计算出各个评价指标在不同评价集中的隶属度。
6. 计算模糊评价值：根据权重矩阵和隶属度矩阵，计算出各个评价指标的加权隶属度，并将其进行求和得到模糊评价值。
7. 判断评价等级：根据模糊评价值的大小，将评价对象划分为不同的评价等级，如优秀、良好、一般、较差等。
模糊综合评价方法能够考虑到评价指标之间的相互关系和不确定性因素，提高了评价的准确性和全面性。
但是在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的方法和参数，以达到最优的评价结果。
火灾危险评估中的模糊决策方法有哪些
火灾危险评估中的模糊决策方法有哪些火灾是一种极其危险的灾害，给人们的生命财产安全带来了巨大的威胁。
为了有效地预防和控制火灾，对火灾危险进行准确的评估至关重要。
在火灾危险评估中，模糊决策方法因其能够处理不确定性和模糊性信息而得到了广泛的应用。
一、模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。
它将多个因素对评价对象的影响进行综合考虑，通过建立模糊评价矩阵和确定权重，最终得出综合评价结果。
在火灾危险评估中，首先需要确定评价因素，如火源特性、可燃物分布、建筑结构、消防设施等。
然后，对每个评价因素划分不同的等级，并赋予相应的模糊隶属度。
例如，火源特性可以分为强、中、弱三个等级，分别对应不同的模糊隶属度。
接下来，通过专家打分或实际数据统计等方式确定各评价因素的权重。
最后，利用模糊运算规则计算出综合评价结果，从而判断火灾危险的程度。
这种方法的优点是能够全面考虑多个因素的影响，并且可以处理评价因素的模糊性和不确定性。
但它也存在一定的局限性，例如权重的确定可能存在主观性，评价结果的准确性依赖于评价因素和等级的划分是否合理。
二、模糊层次分析法模糊层次分析法是将层次分析法与模糊数学相结合的一种方法。
层次分析法通过将复杂问题分解为多个层次和因素，并进行两两比较，确定各因素的相对重要性。
而模糊层次分析法则在此基础上，引入了模糊数来表示两两比较的结果，从而更好地处理不确定性。
在火灾危险评估中，运用模糊层次分析法可以构建火灾危险评估的层次结构模型，包括目标层、准则层和指标层。
目标层即为火灾危险程度的评估；准则层可以包括火灾发生的可能性、火灾的危害程度等；指标层则是具体的评估指标，如火源类型、人员密度等。
通过专家判断或问卷调查等方式，对各层次因素进行两两比较，并用模糊数表示比较结果。
然后，利用模糊数的运算规则计算出各因素的权重。
最后，综合各因素的权重和评价结果，得出火灾危险的评估值。
模糊层次分析法在处理复杂系统的多因素决策问题时具有较好的效果，能够有效地降低主观因素的影响，但计算过程相对较为复杂。
聚类分析的方法
聚类分析的方法一、系统聚类法系统聚类分析法就是利用一定的数学方法将样品或变量（所分析的项目）归并为若干不同的类别（以分类树形图表示），使得每一类别内的所有个体之间具有较密切的关系，而各类别之间的相互关系相对地比较疏远。
系统聚类分析最后得到一个反映个体间亲疏关系的自然谱系，它比较客观地描述了分类对象的各个体之间的差异和联系。
根据分类目的不同，系统聚类分析可分为两类：一类是对变量分类，称为R型分析；另一类是对样品分类，称为Q型分析。
系统聚类分析法基本步骤如下（许志友，1988）。
（一）数据的正规化和标准化由于监测时所得到的数值各变量之间相差较大，或因各变量所取的度量单位不同，使数值差别增大，如果不对原始数据进行变换处理，势必会突出监测数据中数值较大的一些变量的作用，而消弱数值较小的另一些变量的作用，克服这种弊病的办法是对原始数据正规化或标准化，得到的数据均与监测时所取的度量单位无关。
设原始监测数据为Xij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m；n为样品个数，m为变量个数)，正规化或标准化处理后的数据为Zij (i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m)。
1. 正规化计算公式如下：（7-32）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）2. 标准化计算公式如下：（7-33）（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）其中：（二）数据分类尺度计算为了对数据Zij进行分类，须对该数据进一步处理，以便从中确定出分类的尺度，下列出分类尺度计算的四种方法。
1.相关系数R两两变量间简单相关系数定义为：（7-34）（i，j＝1，2，…，m）其中一般用于变量的分类（R型）。
有一1≤≤1且愈接近1时，则此两变量愈亲近，愈接近-1，则关系愈疏远。
2.相似系数相似系数的意义是，把每个样品看做m维空间中的一个向量，n个样品相当于m维空间中的n个向量。
第i个样品与第j个样品之间的相似系数是用两个向量之间的夹角余弦来定义，即：（7-35）（i，j＝1，2，…，m）常用于样品间的分类（Q型）。
二级模糊综合评判
.
（3）对U1＝{u1,u2,u3}，不妨设A1＝
(0.03.,306.42,00..2284),且0.13 0.27
模糊数学
之二级模糊综合评判
.
二级模糊综合评判的步骤 应用举例
.
二级模糊综合评判的步骤
（1）划分因素集U＝{u1,u2,…,un} 为若干 组
U＝{U1,U2,…,Uk} ,且
k
U
U i1 i
and Ui
Uj (i j)
U:第一级因素集
Ui:第二级因素集
.
（2）确定评语集V＝ Ui＝{u1(i),u2(i),…,un (i)}进行评判得到综合评判矩阵
（4）对U＝{U1,U2,U3}，不妨设A ＝(0.2,0.35,0.45)
B1 0.30 0.32 0.26 0.27
R B 2 0.26
0.36 0.20 0.20
B3 0.40 0.28 0.30 0.20
BA R
(0.40,0.35,0.30,0.20)
产品质量一级！！！
.
R1 0.20
0.32 0.250.23
0.40 0.22 0.260.12
B1 A1 R1 (0.3,0.32,0.26,0.27)
对U2＝{u4,u5,u6}，不妨设A2＝(0.2, 0.5, 0.3 ),且
0.30 0.28 0.24 0.18
R2 0.26
0.36 0.120.20
数学建模之模糊评价与模糊聚类
一、模糊评价模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评 价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。
运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。
特点：①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。
②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。
③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。
由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。
1.1模糊评价的应用①人事考核中的应用. ②单位员工的年终评定.③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）. ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）. ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。
1.2一级模糊综合评判模型的建立步骤①确定因素集及评语集确定被评价对象的因素集U.{}12=,,,n U u u u .评语集{}12,,,m V v v v =；②构造模糊关系矩阵R.进行单因素评判。
用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系.则有111212122212=,01m m ij n n nm r r r r r r R r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭③确定各因素的权重用i a 表示第i 个因素的权重.11ni i a ==∑.则评价因素权向量A 为()12,,,n A a a a =。
④综合评判由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为:()(),R T F U F V →则评判的综合结果为()11121212221212,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭。
模糊数学-模糊数学基本知识
隶属函数参数化
1. 三角形隶属函数
0
trig ( x;
a,
b,
c)
x a ba
cx
cb
0
xa a xb b xc
cx
trig(x; a,b, c) max(min( x a , c x), 0) ba cb
参数a,b,c确定了三角形MF三个顶点的x坐标。
2. 梯形隶属函数
0
xa
trap(x, a, b, c, d )
g(x;50,20)
bell(x:20,4,50)
❖ (2)模糊子集运算的基本性质
模糊集合间的并、交、补（余）运算 具有如下的性质.
1)幂等律 A~ A~ A~, A~ A~ A~
2)交换律 A~ B~ B~ A~; A~ B~ B~ A~
3)结合律 ( A~ B~) C~ A~ (B~ C~),
论域U上的模糊集A由隶属函数uA来表征， uA的大小反映了x对于模糊子集的从属程度。 模糊子集完全由隶属函数来描述。
❖ 模糊子集的表示方法 （1）向量法
（2）查德表示法 有限集 无限集
模糊集举例 例4 设U={1,2,3,4,5,6}, A表示“靠近4”的数，则 AF (U)，各数属于A的程度A(ui) 如表。
经典集合论的例子： 设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 }
V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V
解： U×V＝{ (红桃，A)，（红 桃, 2），……，（
梅花, K） }
35
模糊关系论例子： 设有一组学生U:
U={ 张三，李四，王五 } 他们对球类运动V:
( A~ B~) C~ A~ (B~ C~).
模糊数学理论
2) 模糊矩阵
2.2模糊等价关系与模糊相似关系 模糊等价关系与模糊相似关系 1）模糊等价关系 ）
2）模糊等价矩阵 ）
3）模糊相似关系与模糊相似矩阵 ）
2.3 截矩阵与传递矩阵 1）截矩阵 ）
Байду номын сангаас
2）模糊传递矩阵 ）
3 模糊聚类分析
所谓聚类分析，就是用数学的方法把事物按一定要求 和规律进行分类，它有广泛的实际应用。在模糊数学产生 之前，聚类分析已是是数理统计中研究“物以类聚”的一 种多元分析方法，它通过数学工具定量地确定、划分样品 的亲疏关系，从而客观地、合理地分型划类。由于客观事 物之间在很多情况下并没有一个截然区别的界限，又由于 分类时所依据的数据指标的变化也大都是连续的，同时许 多客观事物之间的界限往往不一定很清晰，使传统的基于 数理统计原理的聚类分析方法遇到了困难。因此用模糊数 学观点解决聚类分析问题，必然会更符合于实际情况。这 种基于建立模糊相似关系对客观事物进行分类的方法，称 为模糊聚类分析。
注明： 统计量确定满意分类 注明：用F统计量确定满意分类
• 3.1 模糊聚类分析理论：
1)
2)
3)
4)
3.2 基于模糊等价关系的动态聚类分析
例题
此例题可以用截矩阵的方法来实现
3.3 基于模糊相似关系的聚类分析 1）建立模糊相似矩阵 ）
2）传递闭包法 ）
此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。 此外，还有直接聚类法、最大树法、编网法等。
3）模糊集的表示
4）模糊集的运算 ） 模糊集与普通集一样， 模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。 算规律。
A与B的并集、交集及 的补集定义如下： 与 的并集 交集及A的补集定义如下 的并集、 的补集定义如下：
模糊综合评价法
模糊综合评价法-简介模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊集合理论的概念于1965 年由美国自动控制专家查德（L．A．Zadeh）教授提出，用以表达事物的不确定性。
[1]模糊综合评价法-思想和原理模糊综合评价法在客观世界中存在着许多不确定性，这种不确定性表现在两个方面：一是随机性－事件是否发生的不确定性；二是模糊性－事物本身状态的不确定性。
在客观世界中，存在着大量的模糊概念和模糊现象。
一个概念和与其对立的概念无法划出一条明确的分界，他们是随着量变逐渐过渡到质变的。
例如“年轻”和“年老”、“高与矮”、“胖与瘦”、“美与丑”等没有确切界限的一些对立概念都是所谓的模糊概念。
凡涉及模糊概念的现象被称为模糊现象。
现实生活中的绝大多数现象，存在着中介状态，并非非此即彼，表现出亦此亦彼，存在着许多，甚至无穷多的中间状态。
总之，模糊性是事件本身状态的不确定性，或者说是指某些事物或者概念的边界不清楚，这种边界不清楚，不是由于人的主观认识达不到客观实际所造成的，而是事物的一种客观属性，是事物的差异之间存在着中间过渡过程的结果。
模糊数学就是试图利用数学工具解决模糊现象一门学科。
1965年，美国加州大学的控制论专家扎德发表了一篇题为《模糊集合》的重要论文，第一次成功地运用精确的数学方法描述了模糊概念，从而宣告了模糊数学的诞生。
从此，模糊现象进入了人类科学研究的领域。
模糊数学的产生把数学的应用范围，从精确现象扩大到模糊现象的领域，去处理复杂的系统问题。
模糊数学决不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物。
从某种意义上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁，通过它可以把多年积累起来的形式化思维，也就是精确数学的一系列成果，应用到复杂系统里去。
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❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
0.2 0.2 0.4 0.1
现在假定根据实际需要，在对校园网络一期建设做出要求时，主要是硬件建设 （0.5）,其次是人员培训（0.3），对软件建设要求稍低（0.2）。这就构成 一个由三个权数分配构成的一行模糊向量 ；
❖ 模型III：主因素突出型 M(∧, )
n
n
bj
i1(ai
rij )
(ai
i1
rij )
❖ 模型IV：加权平均模型 M(•,+)
n
bj (ai rij ) i1
❖ 最后用最大隶属度原则，最大的bj对应的评语为最 佳的评判结果。
❖ 多层次的模糊综合评判反映了客观事物因素之 间的不同层次，它可以避免当因素过多时，因素重 要程度模糊子集难以区分的问题。
U={硬件建设（u1），软件建设（u2），人员培训（u3）}
而评语论域V表示为：
V={很好（v1），较好（v2），可以（v3），不好（v4）}
亦即分为四个等级，并用百分比或小数表示。现邀请一些专门人 员进行评价，若用人数的百分比来表示评价结果如表所示；
指标
评语
硬件指标
软件指标
人员指标
很好
50% 40% 0%
1
1
100
G3
G6 0
0
00
1
1
100
G7 0
0
00
1
1
100
G8 0
1
00
0
0
010
G9 0
0
01
0
0
001
❖ 模糊综合评判方法
在生产、科研和日常生活中，人们常常需要比较各种事 物，评价其优劣好坏，以作相应的处理。例如，评价某 新产品的整机性能的好坏，评价某设计参数的合理程度 等，以改进产品设计，提高产品的质量。
❖ 模糊相似矩阵的建立方法
❖ 数量积法、最大最小值法、算术平均最小法。。。 。
❖ 夹角余弦法
rij
m
xik x jk
k 1
m
m
xi2k
x
2 jk
k 1
k 1
rij
m
| xik xi | | x jk x j |
k 1
m
m
(xik xi )2
(x jk x j )2
k 1
k 1
x3 x4
0.07 0.15
0 0.07 0 1
0 0.44 0.13 1
0.61 0.9 0.07
0.69 0.81 0
0.04 0
x5
0.18 0 0.44 0.18 1 0.65 0.84 0.1 0.15
x6
1 0.24 0.08 0.13 0.45 0.13 0.13 0.43 0
x7
0.14 0 0.07 0 1 0.59 1 0.09 0
❖ 从矩阵上可看出R具有自反性，因为对角线元素均 为1，而u(x,y)=u(y,x),因此R具有对称性。
❖ 而R◦R=R,因此R具有传递性。 ❖ 所以R关系是模糊等价关系
❖ 相像关系：具有自反性、对称性，不具有传递性。 ❖ 相爱关系：不一定具有对称性 ❖ 仇敌关系：不具有自反性 ❖ 大得多：具有传递性
❖ 具有自反性、对称性的关系，可称为模糊相似关系 。
❖ （2）基于模糊等价关系的模糊聚类方法 ❖ 步骤： ❖ (a)将样本数据标准化，即正规化。 ❖ 一般是将数据压缩到[0,1]区间内，便于对数据进行
聚类分析
❖ (b)计算出被分类对象间相似程度的相似系数rij,从而 建立论域U上的相似关系矩阵R。
❖ 求解步骤： ❖ a. 划分因素集U 按因素集的某个属性，划分成多个子集 因素集的一个划分
U={U1, U2, …, Um}, 满足下面条件：
b. 对因素子集中每一个子集进行单层次模糊综合评判 。
设Ui的因素重要程度模糊子集合为Ai, Ui的ki个 因素对应的综合评判矩阵为Ri ，选择一个一级模型对 Ui进行模糊综合评价，设Ui的模糊综合评价集为
G8
G7 0
0
00
1
1
100
G9
G8 0
0
00
0
0
010
G9 0
0
00
0
0
001
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9
λ=0.95 G1 1
0
00
0
0
000
G5,G6,G7 G2 0
1
00
0
0
010
G2,G8
G3 0
0
10
0
0
000
G4,G9
G4 0
0
01
0
0
001
G1
G5 0
0
00
❖ 所以R4为模糊等价矩阵R*
❖ （4）求相应 -截矩阵，进行分类
x1 x2 x3 x4 x5
λ=0.5 x1 1
0
1
1
1
x1,x3,x4 ,x5
x2
0
1
0
0
0
x2
x3 1
0
1
1
1
x4 1
0
1
1
1
x5 1
0
0
1
1
λ=0.6 x1,x3 x4,x5 x2
x1
x2
x3
x4
x5
x1
1
0
1
0
0
x2
0
1
0
0.1 0.5 0.35 0.05
0
0.11 0.37 0.37 0.1 0.05
权重 A A1 A2 A3
0.93
0.55 0.93 1
❖ (3)求相应 -截矩阵，进行分类
G1
G2
G3 G4
G5
G6
G7 G8 G9
λ=1
G1 1
0
00
0
0
000
G1
G2 0
1
00
0
0
000
G2
G3 0
0
10
0
0
000
G3
G4 0
0
01
0
0
000
G4
G5 0
0
00
1
0
000
G5
G6 0
0
00
0
1
000
G6
G7 0
0
00
0
❖ 例子：
❖ （1）从数值上我们可看出数据的范围基本一致， 省去标准化处理。
❖ （2）使用绝对值差数方法求解模糊关系矩阵，其 中c=0.1
模糊
相似 x1
x2
x3
x4
x5
关系
x1
1
0.1 0.8 0.5 0.3
x2
0.1 1
0.1 0.2 0.4
x3
0.8 0.1 1
0.3 0.1
x4
0.5 0.2 0.3 1
模糊数学
➢ 模糊聚类分析方法 ➢ 模糊综合评判方法
❖ 模糊聚类分析方法 ❖ （1）模糊等价关系
若模糊关系R是论域U上各元素之间的模 糊关系，且满足 (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2R . 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系。
0
100
G7
G8 0
0
00
0
0
010
G8
G9 0
0
00
0
0
001
G9
G1
G2
G3 G4
G5
G6
G7 G8 G9
λ=0.99
G1 1
0
00
0
0
000
G5,G6,G7 G2 0
1
00
0