复变函数课后习题答案(全)
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习题一答案
1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:
(1)
1
32i
+(2)(1)(2)i i i --
(3)131i i i
--(4)821
4i i i -+-
解:(1)1323213i
z i -==
+, 因此:32
Re , Im 1313z z ==-,
(2)3(1)(2)1310
i i i
z i i i -+===---,
因此,31
Re , Im 1010z z =-=,
(3)133335122
i i i
z i i i --=-=-+=
-, 因此,35
Re , Im 32z z ==-,
(4)821
41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re 1, Im 3z z =-=,
2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2
)1-+(3)(sin cos )r i θθ+
(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解:(1)2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
(2
)1-+23
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
(3)(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
(4)(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
(5)2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 3. 求下列各式的值:
..
..
(1
)5)i -(2)100100(1)(1)i i ++-
(3
)(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--(4)
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+-
(5
(6
)解:(1
)5
)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+- (2)100
100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
(3
)
(1)(cos sin )(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--
(4)2
3
(cos5sin 5)(cos3sin 3)
i i ????+- (5
=
(6
= 4.
设1
2 ,z z i =
=-试用三角形式表示12z z 与12z z
解:1
2cos
sin
, 2[cos()sin()]4
466
z i z i π
π
ππ
=+=-+-,所以
12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212
i i ππππππ
=-+-=+,
5. 解下列方程: (1)5
()
1z i +=(2)440 (0)z a a +=>
解:(1
)z i +=由此
25
k i z i e
i π=-=-,(0,1,2,3,4)k =
(2
)z
==11
[cos (2)sin (2)]44
a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的
4个根分别为:
.
.页脚
), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,z x iy =+
z x y
≤≤+
证明:首先,显然有z x y =≤+;
其次,因2
22,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+
从而
z =≥
。
(2)对任意复数12,,z z 有2
2
2
1212122Re()z z z z z z +=++ 证明:验证即可,首先左端2
21212()()x x y y =+++,
而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =
+++++-
2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,
由此,左端=右端,即原式成立。 (3)若a bi +是实系数代数方程101100n
n n a z
a z a z a --++++=L
的一个根,那么a bi -也是它的一个根。
证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()n
n z z =,
由此得到:10110()
()0n
n n a z a z a z a --++++=L
由此说明:若z 为实系数代数方程的一个根,则z 也是。结论得证。 (4)若
1,a =则,b a ?≠皆有
1a b
a ab
-=-
证明:根据已知条件,有1aa =,因此:
1
1()a b a b a b a ab aa ab a a b a
---====---,证毕。
(5)若1, 1a b <<,则有
11a b
ab
-<-
证明:
2
2
2
()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--,
..
..
2
22
1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--,
因为
1, 1a b <<,所以,
2
2
2
2
2
2
1(1)(1)0a b a b a b +--=--<,
因而
2
2
1a b ab
-<-,即
11a b
ab
-<-,结论得证。
7.设
1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式,其中n 为正整数,a 为复数。
解:首先,由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+,
在上面两个不等式都取等号时
n z a +达到最大,为此,需要取n z 与a 同向且1n z =,即n
z 应为a 的单位化向量,由此,n
a z
a
=
, 8.试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。 解:要使三点共线,那么用向量表示时,2
1z z -与31z z -应平行,因而二者应同向或反向,
即幅角应相差0或π的整数倍,再由复数的除法运算规则知21
31
z z Arg z z --应为0或π的整数
倍,至此得到:
123,,z z z 三个点共线的条件是
21
31
z z z z --为实数。
9.写出过121
2, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解:过两点的直线的实参数方程为:
121121()
()
x x t x x y y t y y =+-??
=+-?, 因而,复参数方程为: 其中t 为实参数。
10.下列参数方程表示什么曲线?(其中t 为实参数) (1)(1)z
i t =+(2)cos sin z a t ib t =+(3)i
z t t
=+
解:只需化为实参数方程即可。
.
.页脚
(1),x t y t ==,因而表示直线y x =
(2)cos ,sin x a t y b t ==,因而表示椭圆22
221x y a b
+=
(3)1
,x t y
t
==
,因而表示双曲线1xy = 11.证明复平面上的圆周方程可表示为0zz az az c +++=, 其中a 为复常数,c 为实常数 证明:圆周的实方程可表示为:2
20x y Ax By c ++++=,
代入, 22z z z z x y i
+-=
=,并注意到222
x y z zz +==,由此 022z z z z zz A
B c i
+-+++=, 整理,得022A Bi A Bi
zz z z c -++++=
记2A Bi a +=,则2
A Bi
a -=,由此得到
0zz az az c +++=,结论得证。
12.证明:幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。 证明:首先,arg z 在原点无定义,因而不连续。 对于0
0x <,由arg z 的定义不难看出,当z 由实轴上方趋于0x 时,arg z π→,而当z 由
实轴下方趋于0x 时,arg z
π→-,由此说明0
lim arg z x z →不存在,因而arg z 在0x 点不连续,
即在负实轴上不连续,结论得证。
13.函数1w z
=把z 平面上的曲线1x =和22
4x y +=分别映成w 平面中的什么曲线?
解:对于1x =,其方程可表示为1z
yi =+,代入映射函数中,得
211111iy w u iv z iy y
-=+=
==++, 因而映成的像曲线的方程为22
1, 11y
u
v y y
-=
=++,消去参数y ,得
..
..
2
2
2
1,1u v u y +==+即222
11()(),22
u v -+=表示一个圆周。 对于2
24x
y +=,其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+
代入映射函数中,得
因而映成的像曲线的方程为11cos , sin 22u v θθ==-,消去参数θ,得22
14
u v +=,表
示一半径为1
2
的圆周。
14.指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集,并做图:
解:(1)
0 (0)z z r r -=>,说明动点到0z 的距离为一常数,因而表示圆心为0z ,半
径为r 的圆周。 (2)
0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合,即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。 (3)
138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数,因而表示一个
椭圆。代入,z x iy ==化为实方程得
(4),z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等,因而是i 和i -连线的垂直平分线,即x
轴。
(5)arg()4
z i π
-=
,幅角为一常数,因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为
4
π
的射线。 15.做出下列不等式所确定的区域的图形,并指出是有界还是无界,单连通还是多连通。 (1)23z <<,以原点为心,、外圆半径分别为2、3的圆环区域,有界,多连通
(2)arg (02)z α
βαβπ<<<<<,顶点在原点,两条边的倾角分别为,αβ的角形
区域,无界,单连通
(3)
3
12
z z ->-,显然2z ≠,并且原不等式等价于32z z ->-,说明z 到3的距离比到2的距离大,因此原不等式表示2与3连线的垂直平分线即x =2.5左边部分除掉x =2后的点构成的集合,是一无界,多连通区域。 (4)
221z z --+>,
.
.页脚
显然该区域的边界为双曲线
221z z --+=,
化为实方程为2
2
44115
x y -=,
再注意到z 到2与z 到-2的距离之差大于1,因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分,是一无界单连通区域。 (5)
141z z -<+,代入z x iy =+,化为实不等式,得
所以表示圆心为17(,0)15-
半径为8
15
的圆周外部,是一无界多连通区域。 习题二答案
1. 指出下列函数的解析区域和奇点,并求出可导点的导数。
(1)5
(1)z -(2)3
2z iz +(3)211z +(4)1
3
z z ++
解:根据函数的可导性法则(可导函数的和、差、积、商仍为可导函数,商时分母不为0),
根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式,再注意到区域上可导一定解析,由此得到:
(1)5(1)z -处处解析,5
4[(1)]5(1)z z '-=-
(2)32z iz +处处解析,32
(2)32z iz z i '+=+
(3)211
z +的奇点为2
10z +=,即z i =±,
(4)1
3
z z ++的奇点为3z =-,
2. 判别下列函数在何处可导,何处解析,并求出可导点的导数。
(1)22()f z xy x yi =+(2)22()f z x y i =+ (3)
3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-(4)1()f z z
= 解:根据柯西—黎曼定理: (1)22, u xy v x y =
=,
四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得:0x y ==, 因此,函数在0z =点可导,0
(0)0x x
z f u iv ='=+=,
函数处处不解析。 (2)22, u x v y =
=,
四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,再由柯西—黎曼方程
, x y y x u v u v ==-解得:x y =, 因此,函数在直线y x =上可导, ()2x x y x f x ix u iv x ='+=+=,
因可导点集为直线,构不成区域,因而函数处处不解析。
..
..
(3)32233, 3u x xy v x y y =
-=-,
四个一阶偏导数皆连续,因而,u v 处处可微,并且,u v 处处满足柯西—黎曼方程 , x y y x u v u v ==-
因此,函数处处可导,处处解析,且导数为
(4)
2211()x iy f z x iy x y
z +=
==-+,2222
, x y
u v x y x y ==++, 2222
222222
, ()()x y y x x y u v x y x y --==++, 2222
22
22, ()()
y x xy xy
u v x y x y --==++, 因函数的定义域为0z ≠,故此,,u v 处处不满足柯西—黎曼方程,因而函数处处不可导,
处处不解析。 3. 当,,l m n 取何值时
3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上处处解析?
解:3232
, u my nx y v x lxy =+=+
22222, 2, 3, 3x y y x u nxy v lxy u my nx v x ly ===+=+,
由柯西—黎曼方程得:
由(1)得n l =,由(2)得3, 3n m l =-=-,因而,最终有 4. 证明:若()f z 解析,则有222
(())(())()f z f z f z x y
??'+=??
证
明
:
由
柯
西
—
黎
曼
方
程
知
,
左
端
2
2
=+
22
2222()()x x x x uu vv uu vv uu vv uv vu u v ++++-=+=+ 2
()f z '==右端,证毕。 5. 证明:若()f z u iv =+在区域D 解析,且满足下列条件之一,则()f z 在D 一定为常数。
(1)
()f z 在D 解析,(2)u 在D 为常数,
(3)()f z 在D 为常数,(4)2
v u =(5)231u v += 证明:关键证明,u v 的一阶偏导数皆为0!
(1)()f z u iv =-,因其解析,故此由柯西—黎曼方程得 , x y y x u v u v =-=------------------------(1)
而由()f z 的解析性,又有, x y y x u v u v ==-------------------------(2) 由(1)、(2)知,0x y x y u u v v ===≡,因此12, ,u c v c ≡≡即 12()f z c ic ≡+为常数
(2)设1u c ≡,那么由柯西—黎曼方程得 0, 0x y y x v u v u =-≡=≡,
.
.页脚
说明v 与,x y 无关,因而2v c ≡,从而12()f z c ic ≡+为常数。
(3)由已知,
2
220()f z u v c =+≡为常数,等式两端分别对,x y 求偏导数,得
220
220
x x y y uu vv uu vv +=+=----------------------------(1)
因()f z 解析,所以又有, x y y x u v u v ==--------------------------(2)
求解方程组(1)、(2),得0x y x y u u v v ===≡,说明,u v 皆与,x y 无关,因而为常数,从而()f z 也为常数。
(4)同理,2
v u =两端分别对,x y 求偏导数,得 再联立柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-,仍有
(5)同前面一样,231u v +=两端分别对,x y 求偏导数,得 考虑到柯西—黎曼方程, x y y x u v u v ==-,仍有 0x y x y u u v v ===≡,证毕。
6. 计算下列各值(若是对数还需求出主值) (1)2
i e
π
-(2)()Ln i -(3)(34)Ln i -+
(4)sin i (5)(1)i
i +(6)23
27 解:(1)2
cos()sin()22
i e
i i π
ππ
-=-+-=-
(2)1
()ln
arg()2(2)2
Ln i i i k i k i ππ-=-+-+=-+,
k 为任意整数,
主值为:1
()2
ln i i π-=-
(3)(34)ln 34arg(34)2Ln i i i k i π-+=-++-++
4
ln5(arctan 2)3
k i ππ=+-+,k 为任意整数
主值为:4
ln(34)ln5(arctan )3
i i π-+=+-
(4)..1
sin 22
i i i i e e e e i i i ----=
= (5)(2)
2(1)
4
4
(1)
i i k i k i
iLn i i e
e
e
π
π
ππ
++--++===
24
(cosln sin k e
i π
π--=+,k 为任意整数
(6)22
2
24427(272)273
3
3
33
3
279Ln ln k i ln k i k i e e e
e e
πππ+====,
当k 分别取0,1,2时得到3个值:
..
..
9
,43
99(1)2i e π=-+
,83
99(1)2
i e π=-+
7. 求2
z e 和2z Arge
解:2
222z x y xyi
e
e
-+=,因此根据指数函数的定义,有
2
z e
22
x y e
-=,2
22z Arge xy k π=+,(k 为任意整数)
8. 设i z re θ=,求Re[(1)]Ln z -
解:(1)ln 1[arg(1)2]Ln z z i z k i π-=-+-+,因此
9. 解下列方程: (1
)1z
e
=+(2)ln 2
z i π
=
(3)sin cos 0z z +=(4)shz i =
解:(1
)方程两端取对数得:1
(1)ln 2(2)3
z
Ln k i π=+=++
(k 为任意整数)
(2)根据对数与指数的关系,应有
(3)由三角函数公式(同实三角函数一样),方程可变形为 因此,4
z k π
π+
=即4
z k π
π=-
,k 为任意整数
(4)由双曲函数的定义得2
z z
e e shz i --==,解得
2()210z z e ie --=,即z e i =,所以
(2)2
z Lni k i π
π==+,k 为任意整数
10.证明罗比塔法则:若()f z 及()g z 在0z 点解析,且000()()0, ()0f z g z g z '==≠,
则000()()lim ()()z z f z f z g z g z →'=',并由此求极限00sin 1
lim ; lim
z z z z e z z
→→- 证明:由商的极限运算法则及导数定义知
000000000000
()()()()
lim ()
lim lim ()()()()()lim z z z z z z z z f z f z f z f z z z z z f z g z g z g z g z g z z z z z →→→→----==----00()()
f z
g z '=', 由此,00sin cos lim lim 11
z z z z
z →→==
11.
用对数计算公式直接验证:
(1)2
2Lnz Lnz ≠(2
)1
2
Lnz =
解:记i z
re θ=,则
.
.页脚
(1)左端22()2ln (22)i Ln r
e r k i θ
θπ==++,
右端2[ln (2)]2ln (24)r m i r m i θπθπ=++=++, 其中的,k m 为任意整数。
显然,左端所包含的元素比右端的要多(如左端在1k =时的值为 2ln (22)r i θπ++,而右端却取不到这一值),因此两端不相等。
(2)左端22
1]ln (2)22
m i
Ln re
r m k i θπ
θ
ππ+=
=+++
右端11[ln (2)]ln ()222r n i r n i θ
θππ=++=++
其中,k n 为任意整数,而0,1m = 不难看出,对于左端任意的k ,右端n 取2k 或21k +时与其对应;反之,对于右端任意的n ,当2n l =为偶数时,左端可取,0k l m ==于其对应,而当21n l =+为奇数时,左端可取2,1k l m ==于其对应。综上所述,左右两个集合中的元素相互对应,即二者相等。
12. 证明sin sin , cos cos z z z z ==
证明:首先有
(cos sin )(cos sin )z x x x iy z e e y i y e y i y e e -=+=-==,因此
sin 2i z i z e e z i
--==,第一式子证毕。
同理可证第二式子也成立。 13.
证明
Im Im sin z
z z e
≤≤(即
sin y
y z e ≤≤)
证明:首先,sin 22
2
iz iz
iz
iz
y y y e e e e
e e z e i
---+-+=
≤
=≤,
右端不等式得到证明。
其次,由复数的三角不等式又有
sin 22
2
2
iz iz
y y
y y
iz iz
e e e e e e
e e z i
--------=
≥
=
=
,
根据高等数学中的单调性方法可以证明0x ≥时2
x x
e e x --≥,因此接着上面的证明,有
sin 2
y y e e
z y --≥≥,左端不等式得到证明。
14. 设z R ≤,证明sin , cos z chR z chR ≤≤
证明:由复数的三角不等式,有
sin 22
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y i
----+-++=
≤
==
=,
由已知,
y z R ≤≤,再主要到0x ≥时chx 单调增加,因此有
sin z ch y chR ≤≤,
..
..
同理,
cos 2
2
2
2
iz iz
y
y
iz iz
y y e e e e
e e e e z ch y chR ----++++=
≤
==
=≤证毕。
15.
已知平面流场的复势
()f z 为 (1)2
()z i +(2)2z (3)211
z +
试求流动的速度及流线和等势线方程。
解:只需注意,若记()(,)(,)f z x y i x y ?ψ=+,则
流场的流速为()v f z '=r
, 流线为1(,)x y c ψ≡, 等势线为2(,)x y c ?≡,
因此,有 (1)2
222()
[(1)](1)2(1)z i x y i x y x y i +=++=-+++
流速为()2()2()v f z z i z i '==+=-r
,
流线为1(1)x y c +≡,等势线为22
2(1)x y c -+≡
(2)333223
()3(3)z x iy x xy x y y i =+=-+-
流速为22
()33()v f z z z '===r ,
流线为2313x y y c -≡,等势线为32
23x xy c -≡
(3)2222
111
1()112z x iy x y xyi ==+++-++ 流速为222
222()(1)(1)z z
v f z z z --'===++r , 流线为12
2222
(1)4xy
c x y x y
≡-++, 等势线为22222222
1
(1)4x y c x y x y
-+≡-++ 习题三答案
1. 计算积分2
()c
x y ix dz -+?,其中c 为从原点到1i +的直线段
解:积分曲线的方程为, x t y t ==,即
z x iy t ti =+=+,:01t →,代入原积分表达式中,得
2. 计算积分
z c e dz ?,其中c 为 (1)从0到1再到1i +的折线(2)从0到1i +的直线 解:(1)从0到1的线段1c 方程为:, :01z
x iy x x =+=→,
从1到1i +的线段2c 方程为:1, :01z x iy iy y =+=+→,
.
.页脚
代入积分表达式中,得
11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=-+-+=+-=-; (2)从0到1i +的直线段的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →,
代入积分表达式中,得
1
1
()(1)(cos sin )z
t ti
t c
e dz e
t ti dt i e t i t dt +'=+=++???,
对上述积分应用分步积分法,得 3. 积分
2()c
x iy dz +?,其中c 为 (1)沿y x =从0到1i +(2)沿2y x =从0到1i +
解:(1)积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+,:01t →,
代入原积分表达式中,得 (2)积分曲线的方程为2z x iy x x i =+=+,:01t →,
代入积分表达式中,得 4. 计算积分
c
z dz ?,其中c 为
(1)从-1到+1的直线段(2)从-1到+1的圆心在原点的上半圆周 解:(1)c 的方程为z x =,代入,得
(2)c 的方程为cos sin , :0z x iy i θθθπ=+=+→,代入,得
5. 估计积分2
1
2c
dz z +?的模,其中c 为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。 解:在c 上,
z =1,因而由积分估计式得
222
111222c c c c
dz ds ds ds z z z ≤≤=++-????c =的弧长π= 6. 用积分估计式证明:若
()f z 在整个复平面上有界,则正整数1n >时 其中R c 为圆心在原点半径为R 的正向圆周。 证明:记()f z M ≤,则由积分估计式得 122n n M M R R R
ππ-==, 因1n >,因此上式两端令R →+∞取极限,由夹比定理,得
()lim 0R
n
R c f z dz z →+∞=?,证毕。 7. 通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因,其中积分曲线c 皆为
1z =。
(1)2(2)c
dz
z +??(2)
224c dz z z ++??(3)22c
dz
z +??
..
..
(4)cos c dz z ??(5)z
c
ze dz ?? 解:各积分的被积函数的奇点为:(1)2z =-,(2)2
(1)30z ++=
即1z
=-±,(3
)z =(4), 2
z k k π
π=+
为任意整数,
(5)被积函数处处解析,无奇点
不难看出,上述奇点的模皆大于1,即皆在积分曲线之外,从而在积分曲线被积函数解析,因此根据柯西基本定理,以上积分值都为0。 8. 计算下列积分:
(1)
240
i
z
e dz π
?
(2)2
sin i
i
zdz ππ-?(3)1
sin z zdz ?
解:以上积分皆与路径无关,因此用求原函数的方法:
(1)
4220240
111
()(1)222
i
i i
z
z e dz e
e e i π
π
π
==-=-?
(2)21cos 2sin 2sin []224i
i
i
i
i i
z z z
zdz dz ππππ
ππ----==-??
(3)
1
1
1
1
0000sin cos cos cos z zdz zd z z z zdz =-=-+???
9. 计算22c
dz
z a -??,其中c 为不经过a ±的任一简单正向闭曲线。 解:被积函数的奇点为a ±,根据其与c 的位置分四种情况讨论: (1)a ±皆在c 外,则在c 被积函数解析,因而由柯西基本定理
(2)a 在c ,a -在c 外,则1
z a +在c 解析,因而由柯西积分
公式:221
12z a c c
dz z a dz i i z a z a a z a ππ=+===-+-??蜒 (3)同理,当a -在c ,a 在c 外时, (4)a ±皆在c
此时,在c 围绕,a a -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得:
注:此题若分解22
1111
()2a z a z a z a
=--+-,则更简单! 10.
计算下列各积分
解:(1)
1
1
()(2)
2
z dz i
z z =-+?
?,由柯西积分公式
.
.页脚
(2)
2322
1iz
z i e
dz z -=
+??,
在积分曲线被积函数只有一个奇点i ,故此同上题一样:
‘; (3)
2232
(1)(4)z dz
z z =
++??
在积分曲线被积函数有两个奇点i ±,围绕,i i -分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得: (4)422
1z z
dz z -=-??,在积分曲线被积函数只有一个奇点1,故此 (5)
22
1sin 41z zdz z π=-??, 在积分曲线被积函数有两个奇点1±,围绕1,1-分别做两条相互外离的小闭合曲线12,c c ,则由复合闭路原理得:
(6)22
, (1)n
n z z dz n z =-??为正整数,由高阶导数公式 11. 计算积分312(1)z
c e dz i z z π-??,其中c 为 (1)
12z =(2)1
12
z -=(3)2z =
解:(1)由柯西积分公式
(2)同理,由高阶导数公式 (3)由复合闭路原理
3
(1)z
z e z ==
-11()2!z z e z =''+12e
=-, 其中,12,c c 为2z =分别围绕0,1且相互外离的小闭合曲线。
12.
积分1
1
2z dz z =+??的值是什么?并由此证明012cos 054cos d πθθθ+=+? 解:首先,由柯西基本定理,1
102z dz z ==+??,因为被积函数的奇点在积分曲线外。 其次,令(cos sin )z
r i θθ=+,代入上述积分中,得
考察上述积分的被积函数的虚部,便得到
20
12cos 054cos d π
θ
θθ
+==+?
,再由cos θ的周期性,得
..
..
即012cos 054cos d π
θθθ
+=+?,证毕。
13. 设(),()f z g z 都在简单闭曲线c 上及c 解析,且在c 上 ()()f z g z =,证明在c 也有()()f z g z =。 证明:由柯西积分公式,对于c 任意点0z ,
00001()1()
(), ()22c c f z g z f z dz g z dz i z z i z z ππ==--??蜒, 由已知,在积分曲线c 上,()()f z g z =,故此有 再由0z 的任意性知,在c 恒有()()f z g z =,证毕。
14. 设()f z 在单连通区域D 解析,且()11f z -<,证明 (1) 在D ()0f z ≠;
(2) 对于D 任一简单闭曲线c ,皆有()
0()c
f z dz f z '=?? 证明:(1)显然,因为若在某点处()0,f z =则由已知 011-<,矛盾!
(也可直接证明:
()1()11f z f z -<-<,因此
1()11f z -<-<,即0()2f z <<,说明()0f z ≠)
(3) 既然()0f z ≠,再注意到()f z 解析,()f z '也解析,因此由函数的解析性法则知
()
()f z f z '也在区域D 解析,这样,根据柯西基本定理,对于D 任一简单闭曲线c ,皆有()
0()c f z dz f z '=??,证毕。 15.求双曲线2
2y
x c -=(0c ≠为常数)的正交(即垂直)曲线族。 解:22
u y x =-为调和函数,因此只需求出其共轭调和函数(,)v x y ,则 (,)v x y c =便是所要求的曲线族。为此,由柯西—黎曼方程
2x y v u y =-=-,因此(2)2()v y dx xy g y =-=-+?,再由 2y x v u x ==-知,()0g y '≡,即0()g y c =为常数,因此 02v xy c =-+,从而所求的正交曲线族为xy c ≡
(注:实际上,本题的答案也可观察出,因极易想到
222()2f z z y x xyi =-=--解析)
16.设sin px
v e y =,求p 的值使得v 为调和函数。
解:由调和函数的定义
2sin (sin )0px px xx yy v v p e y e y +=+-=,
因此要使v 为某个区域的调和函数,即在某区域上述等式成立,必须 210p -=,即1p =±。
.
.页脚
17.已知2
2255u v x y xy x y +=-+--,试确定解析函数
解:首先,等式两端分别对,x y 求偏导数,得
225x x u v x y +=+-----------------------------------(1) 225y y u v y x +=-+--------------------------------(2)
再联立上柯西—黎曼方程
x y u v =------------------------------------------------------(3) y x u v =-----------------------------------------------------(4) 从上述方程组中解出,x y u u ,得
这样,对x u 积分,得25(),u x x c y =-+再代入y u 中,得
至此得到:2205,u x x y c =
--+由二者之和又可解出
025v xy y c =--,因此
200()5f z u iv z z c c i =+=-+-,其中0c 为任意实常数。
注:此题还有一种方法:由定理知 由此也可很方便的求出()f z 。 18.由下列各已知调和函数求解析函数()f z u iv =+
解:(1)22, ()1u x xy y f i i =
+-=-+,
由柯西—黎曼方程,
2y x v u x y ==+,对y 积分,得
2
12()2
v xy y c x =++,
再由x y v u =-得2()2y c x x y '+=-+,因此
2
01(), ()2
c x x c x x c '=-=-+,所以
22
011222
v xy y x c =+-+,
因
()1f i =-,说明0,1x y ==时1v =,由此求出01
2
c =
, 至此得到:
2
2
22111
()(2)222f z u iv x xy y y x xy i =+=+-+-++,
整理后可得:211
()(1)22
f z i z i =-+
(2)22
y
v x y
=+,(2)0f = 此类问题,除了上题采用的方法外,也可这样:
22222222222
2()1
()()()
x y xy z i x y x y z zz -=-==++,所以
..
..
1
()f z c z
=-+,
其中c 为复常数。代入
(2)0f =得,1
2
c =,故此
(3)arctan , (0)y
v x x
=>
同上题一样,()x x y x f z u iv v iv '=+=+
22221x y z i z x y x y zz -=+==++, 因此0()ln f z z c =+,
其中的ln z 为对数主值,0c 为任意实常数。
(4)(cos sin )x
u e x y y y =-,(0)0f =
(sin sin cos )x x y v u e x y y y y =-=++,对x 积分,得
再由y x v u =得()0c x '=,所以0()c x c =为常数,由(0)0f =知, 0x y ==时0v =,由此确定出00c =,至此得到:
()f z u iv =+=(cos sin )x e x y y y -(sin cos )x ie x y y y ++,
整理后可得()z
f z ze =
19.设在1z ≤上()f z 解析,且()1f z ≤,证明(0)1f '≤
证明:由高阶导数公式及积分估计式,得
1
112122z ds ππ
π=≤==??,证毕。 20.若
()f z 在闭圆盘0z z R -≤上解析,且()f z M ≤,试证明柯西不等式
()0!
()n n n f z M R
≤,并由此证明维尔定理:在整个复平面上有界且处处解析的函数一定为
常数。
证明:由高阶导数公式及积分估计式,得
1
1111
!!!!()2222n n n n
z z n n M
n M n M
f z ds ds R R R R R ππππ+++===
≤==??蜒,
柯西不等式证毕;下证维尔定理: 因为函数有界,不妨设()f z M ≤,那么由柯西不等式,对任意0z 都有
0()M
f z R
'≤
,又
因
()f z 处处解析,因此R 可任意大,这样,令
R →+∞,得0()0f z '≤,从而0()0f z '=,即0()0f z '=,再由0z 的任意性知()0f z '≡,因而()f z 为常数,证毕。
习题四答案
1. 考察下列数列是否收敛,如果收敛,求出其极限.
.
.页脚
(1)1
n n z i n
=+
解:因为lim n n i →∞
不存在,所以lim n n z →∞
不存在,由定理4.1知,数列{}n z 不收敛.
(2)(1)
n n i
z -=+
解:1sin )22i i θθ+=
+,其中1
arctan
2
θ=,则 ()sin )cos sin n
n
n z i n i n θθθθ-?=+=-
?
??
.
因为lim 0n
n →∞=,cos
sin 1n i n θθ-=,所以()lim cos sin 0n
n n i n θθ→∞
-= 由定义4.1知,数列{}n z 收敛,极限为0.
(3)2
1n i n z e n
π-=
解:因为2
1n i e
π-
=,1
lim 0n n
→∞=,所以21lim 0n i n e
n π-→∞= 由定义4.1知,数列{}n z 收敛,极限为0.
(4)()n n z
z z
=
解:设(cos sin )z r i θθ=+,则()cos 2sin 2n n z
z n i n z
θθ==+,因为limcos2n n θ→∞,limsin 2n n θ→∞都
不存在,所以lim n n z →∞
不存在,由定理4.1知,数列{}n z 不收敛.
2. 下列级数是否收敛?是否绝对收敛?
(1)1!
n
n i n ∞
=∑
解:1
!!n i n n =,由正项级数的比值判别法知该级数收敛,故级数1!
n n i n ∞
=∑收敛,且为绝对收敛.
(2)2
ln n
n i n ∞
=∑
解:22
2cos
sin 22ln ln ln n
n n n n n i
i n n n
ππ
∞∞
∞
====+∑∑∑,
因为2
cos
11112ln ln 2ln 4ln 6ln8n n n π∞==-+-++∑L 是交错级数,根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛,同样可知,
2sin
111121ln ln 3ln 5ln 7ln 9n n n
π∞==-+-++∑L 也收敛,故级数2
ln n
n i n ∞
=∑是收敛的.
..
..
又22111
,ln ln ln 1n n n i n n n n ∞
∞===>
-∑
∑,因为211n n ∞=-∑发散,故级数21ln n n
∞
=∑发散,从而级数2ln n n i n ∞=∑条件收敛. (3)0
cos 2n n in ∞
=∑
解:1110000cos 2222n n n n n n n n n n n n in e e e e --∞
∞∞∞+++====+==+∑∑∑∑,因级数102n n n e ∞+=∑发散,故0
cos 2n n in
∞=∑发散.
(4)()
35!
n
n i n ∞
=+∑
解:(
)
35!
n
n n i n ∞
∞
==+=∑
,由正项正项级数比值判别法知该级数收敛,故级数()0
35!n
n i n ∞
=+∑收
敛,且为绝对收敛.
3. 试确定下列幂级数的收敛半径. (1)()01n
n n i z ∞
=+∑
解:1lim
1n n n c i c +→∞
=+=
R =
. (2)0
!n n n n z n ∞
=∑
解:11(1)!11
lim lim lim 1(1)!(1)n n n n n n n n c n n c n n e
n
++→∞→∞→∞+=?==++,故此幂级数的收敛半径R e =.
(3)1
i
n n
n e z π∞
=∑
解:1
1lim lim 1i
n n n n i
n
n c e c e π
π++→∞→∞==,故此幂级数的收敛半径1R =.
(4)22
1
212n n
n n z ∞
-=-∑
解:令2
z Z =,则221
11
212122n n n n n n n n z
Z ∞
∞--==--=∑∑ 1121
12lim lim 2122n n n n n
n
n c n c ++→∞→∞+==-,故幂级数11212n n n n Z ∞-=-∑的收敛域为2Z <,即22z <,从而幂级数
22
1
212n n
n n z ∞
-=-∑
的收敛域为z <
R = 4. 设级数0
n n α∞=∑收敛,而0n n α∞=∑发散,证明0
n n n z α∞
=∑的收敛半径为1.
证明:在点1z =处,0
n
n n n n z αα∞∞===∑∑,因为0
n n α∞=∑收敛,所以0
n n n z α∞
=∑收敛,故由阿贝尔定理知,
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则2 2z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 22 2=- (C )z z z z 22 2≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3
7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i --43 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44--(B )i 44+(C )i 44-(D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i -(C )等于0(D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) (A )),(y x u 在),(00y x 处连续(B )),(y x v 在),(00y x 处连续 (C )),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续(D )),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是( A ); A 1212()Arg z z Argz Argz =+; B 1212()arg z z argz argz =+; C 1212()ln z z lnz lnz =+; D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是( B ); A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件; B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件; C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件; D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=( 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ), 主值为( 4 5(arctan )3 ln i π+- ). 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =( 0 ). 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛,那么该级数在45 z i =处的敛散性为( 绝对收敛 ). 6、 311z -的幂级数展开式为( 30n n z ∞=∑ ),收敛域为( 1z < ); 7、 sin z z -在0z =处是( 3 )阶的零点; 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是( 4 )阶的极点; 二、计算下列各值 1.3i e π+; 2.tan()4i π -; 3.(23)Ln i -+; 4 . 5.1i 。 解:(略)见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数_期末试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答 (一) 1 .设2z =z 及A rcz 。 解:由于32i z e π- = 所以1z =,2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 .设1 21z z = = ,试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解:由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3.解二项方程440,(0)z a a +=>。 解:1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4.证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 证明:由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ,知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以, 12121-=+z z z z , 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z
复变函数试题及标准答案样本
二.判断题(每题3分,共30分) 1.n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2.)(z f 在0z 点可微,则)(z f 在0z 解析。【 】 3.z e z f =)(是周期函数。【 】 4. 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5. 设级数∑∞=0n n c 收敛,而||0∑∞=n n c 发散,则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6. 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π; 2. 三级极点 ; 3. 23z ; 4. 0 ; 5. 0 ; 6. e 1 ;7. 322)1(26+-s s ;8. 0; 9. 0 ;10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错;2.错;3.对的; 4. 错 ;5.对的 ;6.错; 7.错 ; 8. 错 ;9. 对的 ;10. 错 。 三(8分) 解:1)在2||1< 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2 321+- (D )i 2 1 23+- 3.复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i (B ) )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -4 3 (D )i -- 4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无 界闭区域 10.方程232=-+i z 所代表的曲线是( ) 《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 1.设 z 1 3i ,求 z 及 Arcz 。 解:由于 z 1, Arcz 2k , k 0, 1, 。 3 (z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1) 2 z 1z 2 z 1 z 2 3 第一章习题解 答 (一) 2.设 z 1 i , z 3 1 ,试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1 。 z 2 4 i 6i 1 i i 解:由于 z 1 e 3 4 , z 2 3 i 2e 1 2 2 i i ( )i i 所以 z1z2 e 4i 2e 6i 2e ( 4 6)i 2e 12i i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2 5i 1 1 e 12 。 2 3.解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k i 解: z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4 ,k 0,1,2,3 。 4.证明 z 1 2 2 z 1 z 2 z 1 z 2 证明:由于 2 2 z 1 z 2 z 1 2 2 z 2 2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是: z 2 ) 2 2 ,并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 ) 平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设 z 1, z 2,z 3三点适合条件: z1 z2 z3 0 z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1,z 2, z 3是内 接于单位 圆 z 1 的一个正三角形的顶点。 证 由于 z 1 z 2 z3 1 ,知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。 因为 所以, z 1z 2 z 1z 2 1 , 所以 z 1 z 2 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点),(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 i (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 0) Im()Im(z z -) 1 1.设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ,则=z 2.设)2)(32(i i z +--=,则=z arg 3.设4 3)arg(,5π = -=i z z ,则=z 习题一答案 1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数: (1) 1 32i + (2) (1)(2) i i i -- (3)13 1 i i i - - (4)821 4 i i i -+- 解:(1) 132 3213 i z i - == + , 因此: 32 Re, Im 1313 z z ==-, 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ (2) 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- , 因此, 31 Re, Im 1010 z z =-=, 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- (3) 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - , 因此, 35 Re, Im 32 z z ==-, 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= (4)821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re1,Im3 z z =-=, arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i(2 )1 -+(3)(sin cos) r i θθ + (4)(cos sin) r i θθ -(5)1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解:(1)2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= (2 )1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= (4)(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= (5)2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3. 求下列各式的值: (1 )5)i - (2)100100(1)(1)i i ++- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- (4) 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- (5 (6 解:(1 )5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ (2)100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- (3 )(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数(A) 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空(每题3分, 2. 共30分) 1.= 2.=0是函数的 (说出类型,如果是极点,则要说明阶数) 3. ,则= 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则 9.函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10. 二.判断题(每题3分,共30分) 1.在解析。【】 2.在点可微,则在解析。【】 3.是周期函数。【】 4.每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5.设级数收敛,而发散,则的收敛半径为1。【】 6.能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7.为大于1的正整数, 成立。【】 8.如果函数在解析,那末映射在具有保角性。【】 9.如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10.。【】三.(8分)为调和函数,求的值,并求出解析函数。 四.(8分)求在圆环域和内的洛朗展开式。 五.(8分)计算积分。 六.(8分)设,其中C为圆周的正向,求。 七.(8分)求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ; 2. 三级极点; 3. ; 4. 0 ; 5. 0 ; 6. ; 7. ; 8. 0; 9. 0 ;10. 。 二.判断1.错;2.错;3.正确; 4. 错;5.正确;6.错; 7.错;8. 错;9. 正确;10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ;2. 三级极点;3. ; 4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. ;8. 0 ; 9. 0 ; 10. 0。 二.判断1.错;2.错;3.正确;4. 错;5.正确;6.错;7.错;8. 错;9. 正确;10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ,故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ,故 , 所以。 则 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部;模和辐角以及辐角的主值;并分别写成代数形式,三角形式和指数形式.(其中,,R αθ为实常数) (1)1-; (2) ππ2(cos isin )33-; (3)1cos isin αα-+; (4)1i e +; (5)i sin R e θ ; (6)i + 答案 (1)实部-1;虚部 2;辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±;主辐角为4π 3; 原题即为代数形式;三角形式为 4π4π2(cos isin )33+;指数形式为4π i 32e . (2)略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + (3)略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα (4)略为 i ;(cos1isin1)ee e + (5)略为:cos(sin )isin(sin )R R θθ+ (6)该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1)() 10 3 i 1+-;2)()3 1i 1+-; 答案 1)3512i 512+-;2) ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=; 1.3计算下列复数 (1 (2 答案 (1) (2)(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部. 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈,即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+,根据复数相等,所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值,即为±值. 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=,所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根,则b a i -一定也是该方程的根. 证 因为0a ,1a ,… ,n a 均为实数,故00a a =,11a a =,… ,n n a a =.且()() k k z z =, 故由共轭复数性质有:()()z P z P =.则由已知()0i ≡+b a P .两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P .故b a i -也是()0=z P 之根. 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证.此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的.这一点在代数学中早已被大家认识.特别地,奇次实系数多项式至少有一个实零点. 1.7 证明: 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义. 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-,试求n 的值. 第一套 第一套 一、选择题(每小题3分,共21分) 1. 若( ),则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。 A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续; B. (,)u x y 在区域D 内连续; C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续; D. 以上都不对。 2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =,根据柯西-黎曼方程求出其虚部为( )。 A.cos x e y C -+; B cos x e y C -+; C sin x e y C -+; D cos x e y C + 3. 2|2|1(2)z dz z -==-?( ) 。 A. i π2; B. 0; C. i π4; D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为( )。 A. 1 01 ()2()n n f d c i z ξξ πξ+= -? B. 0()!n n f z c n = C. 2 01()2n k f d c i z ξξπξ= -? D. 210! ()2()n n k n f d c i z ξξ πξ+= -? 5. z=0是函数z z sin 2 的( )。 A.本性奇点 B.极点 C. 连续点 D.可去奇点 6. 将点∞,0,1分别映射成点0,1,∞的分式线性映射是( )。 A.1 z z w -= B. z 1z w -= C. z z 1w -= D. z 11 w -= 7. sin kt =()L ( ),(()Re 0s >)。 A. 22k s k +; B.22k s s +; C. k s -1; D. k s 1 . 二、填空题(每小题3分,共18分) 1. 23 (1)i += [1] ; ---------------------------------------- 装 --------------------------------------订 ------------------------------------- 线 ---------------------------------------------------- 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1.当i i z -+= 11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1- 2.设复数z 满足3 )2(π = +z arc ,6 5)2(π = -z arc ,那么=z ( ) (A )i 31+- (B )i +-3 (C )i 2321+- (D )i 2 123+- 3.复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是( ) (A ))]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i (B ))]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i (C ))]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i (D ))]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4.若z 为非零复数,则22z z -与z z 2的关系是( ) (A )z z z z 222≥- (B )z z z z 222=- (C )z z z z 222≤- (D )不能比较大小 5.设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ,则动点) ,(y x 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线 (D )抛物线 6.一个向量顺时针旋转 3 π ,向右平移3个单位,再向下平移1个单位后对应的复数为 i 31-,则原向量对应的复数是( ) (A )2 (B )i 31+ (C )i -3 (D )i +3 7.使得2 2 z z =成立的复数z 是( ) (A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 8.设z 为复数,则方程i z z +=+2的解是( ) (A )i +- 43 (B )i +43 (C )i -43 (D )i --4 3 9.满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是( ) (A )有界区域 (B )无界区域 (C )有界闭区域 (D )无界闭区域 10.方程232= -+i z 所代表的曲线是( ) (A )中心为i 32-,半径为2的圆周 (B )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (C )中心为i 32+-,半径为2的圆周 (D )中心为i 32-,半径为2的圆周 11.下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为( ) (A ) 22 1 =+-z z (B )433=--+z z (C ) )1(11<=--a az a z (D ))0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12.设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=,则=-)(21z z f ( ) (A )i 44-- (B )i 44+ (C )i 44- (D )i 44+- 13.0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→( ) (A )等于i (B )等于i - (C )等于0 (D )不存在 14.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是( ) … 复变函数与积分变换 (修订版)主编:马柏林 (复旦大学出版社) / ——课后习题答案 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解: ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解: ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解: ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① :∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++. ②解: 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-. ③解: ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???. ④解: ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? . ⑤解: ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???. ∴当2n k =时,()()Re i 1k n =-,()Im i 0n =; 当 21n k =+时, ()Re i 0 n =, ()()Im i 1k n =-. 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解:2i 415-+=+=. 2i 2i -+=-- ②解:33-= 33-=- ③解:()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=. ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解: 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明:当且仅当z z =时,z 才是实数. 证明:若z z =,设i z x y =+, 则有 i i x y x y +=-,从而有()2i 0y =,即y =0 ∴z =x 为实数. 若z =x ,x ∈,则z x x ==.复变函数试题与答案
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