祖冲之家族的天文历算研究及其贡献
祖冲之的科学成就
祖冲之是中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
他的科学成就主要包括以下几个方面：
数学成就：祖冲之最大的数学成就是计算圆周率，将圆周率精确到小数点后第七位，这一纪录在当时的世界是最先进的。
此外，他还与儿子祖暅一起圆满地利用“牟合方盖”解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式。
天文成就：祖冲之创制了《大明历》，最早将岁差引进历法，采用了391年加144个闰月的新闰周。
他首次精密测出交点月日数（27.21223），回归年日数（365.2428）等数据，还发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影长以定冬至时刻的方法。
机械成就：祖冲之设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。
其他成就：祖冲之精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》。
他也是历史上少有的博学多才的人物。
总的来说，祖冲之的科学成就不仅在数学、天文、机械等方面取得了卓越的贡献，而且他的研究工作对于后世产生了深远的影响。
祖冲之：精算圆周率的世界第一人
祖冲之：精算圆周率的世界第一人祖冲之（429—500），河北省涞源县人，南北朝时期的数学家、天文学家。
祖冲之的祖父名叫祖昌，在宋朝做了一个管理朝廷建筑的长官。
祖冲之长在这样的家庭里，从小就读了不少书。
他特别爱好研究数学，也喜欢研究天文历法，经常观测太阳和星球运行的情况，并且做了详细记录。
宋孝武帝听到他的名气，派他到一个专门研究学术的官署“华林学省”工作。
他对做官并没有兴趣，但是在那里，可以更加专心研究数学、天文了。
我国历代都有研究天文的官，并且根据研究天文的结果来制定历法。
到了宋朝的时候，历法已经有很大进步，但是祖冲之认为还不够精确。
他根据自己长期观察的结果，创制出一部新的历法，叫做“大明历”（“大明”是宋孝武帝的年号）。
这种历法测定的每一回归年（也就是两年冬至点之间的时间）的天数，跟现代科学测定的相差只有五十秒；测定月亮环行一周的天数，跟现代科学测定的相差不到一秒，可见它的精确程度了。
公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。
那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。
祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。
戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。
”祖冲之一点也不害怕，并严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。
不要拿空话吓唬人嘛。
”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。
但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。
直到祖冲之死了10年之后，他创制的大明历才得到推行。
尽管当时社会十分动乱不安，但是祖冲之还是孜孜不倦地研究科学。
他更大的成就是在数学方面。
他曾经对古代数学著作《九章算术》作了注释，又编写一本《缀术》。
他的最杰出贡献是求得相当精确的圆周率。
经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在 3.1415926和3.1415927之间，成为世界上最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。
祖冲之家族的天文历算研究及其贡献
第30卷 第4期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.30 No.4 2002年12月Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition)Dec.2002 文章编号:100123857(2002)0420028207祖冲之家族的天文历算研究及其贡献张惠民(陕西师范大学学报编辑部,陕西西安710062)摘 要:运用历史分析和逻辑分析相结合的研究方法,对南北朝祖冲之家族的天文历算研究及其成就进行了系统的整理和评价.研究表明,祖冲之—祖日恒—祖皓祖孙三代,坚持不懈业余研究天文历算,成就卓著.其数学中的圆周率、球体积公式,天文历法中的岁差值及其引入、回归年值的计算等都在世界上处于领先地位,有些成果比阿拉伯国家以至欧洲早700～1100年.他们为中国以及世界科学的发展做出了重要贡献.关键词:数学史;天文学史;祖冲之;祖日恒;大明历;圆周率;开立圆术中图分类号:O112;P1209;P19413 文献标识码:A中国历史上曾经是一个数学发达的国家,出现过一批卓越的数学家,写出了不少重要的数学典籍,取得过辉煌的研究成果.在这些数学人才中,由于世袭家传的影响,出现了不少家族式的科学研究核心[1,2],南北朝时的祖冲之—祖日恒—祖皓家族也是这样一个典型的天文历算世家,他们为中国以及世界科学的发展做出了重要贡献.1 家族生平及其天文历算活动祖冲之(429—500年),字文远,范阳遒县(今河北省涞水县)人,生活在南朝的宋齐之间,是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械制造家.其祖辈原在晋朝为官,后因战乱迁居江南.祖冲之的曾祖父祖台之是晋朝侍中,为朝廷要员,他同时爱好文学,著有《志怪》二卷,被收入《隋书・经籍志》史部《杂传》.其祖父祖昌在刘宋朝廷任大匠卿,是负责营建方面的官吏.祖冲之的父亲祖朔之是刘宋奉朝请,家学渊源是祖冲之从事科学活动极为有利的条件.青少年时祖冲之就思维机敏,勤奋好学,闻名于时.因而,宋孝武帝把祖冲之送进华学省,并赐予房子、车子和衣服等,祖冲之在这里博览群书,思考问题,并进行科学研究.后来,祖冲之离开华林园,先是担任南徐州(今江苏镇江市)从事史,后被调回朝廷任公府参军.一段时间后,又被派任娄县(今江苏省昆山县东北)县令.宋朝末年,祖冲之回到朝廷担任谒者仆射(掌管朝廷重大典礼等礼仪事项).公元479年萧齐朝建立,祖冲之继续在朝廷为官,并被任命为长水校尉,享受四品俸禄,一直到去世.祖冲之一生行政事务虽然很多,可是他仍利用一切业余时间从事天文历法和数学研究.他治学态度严谨,搜集自古以来的大量文献资料和观测记录,对前代历法进行分析比较,同时还进行了实测,对八尺高标杆的日影长度观测长达10年之久.在此基础上,于宋大明六年(462年)完成了《大明历》.在数学研究方面,他研究过《九章算术》和刘徽的注,撰《九章注》九收稿日期:2002208202作者简介:张惠民(1952—),男,陕西彬县人,陕西师范大学副编审卷,《九章术义注》九卷,自著《缀术》,并有《长水校尉祖冲之集》51卷.祖冲之还是一个机械发明家,他制造的指南车,“圆转不穷,而司方如一”,为马钧以来所没有过;制造的千里船、水碓磨等,冠于当时.在担任齐王朝长水校尉时,曾写了《安边论》,提出“开屯田,广农殖”的主张.祖冲之熟读经诗,不但在天文历算方面贡献卓著,而且在文史哲方面造诣精深,他著有《易经义》、《老子义》、《庄子义》、《孝经释》等,并撰小说《述异记》10卷.[3,4,5]祖日恒(又名日恒之),字景烁,祖冲之之子,杰出的数学家和天文学家.其生卒年代无可查考,但其生活大致应在南齐及以后的梁朝,而其科学活动则主要在梁初.祖日恒子承父业,自幼聪颖,勤奋好学,精通天文历算.他在梁朝初年曾两次建议修改历法(504,509年),指出当时所行历法之缺点,建议启用他父亲祖冲之所撰的《大明历》,以纠正何承天《元嘉历》的疏远.经过太史令等实测天象,考验新旧历法的得失后,梁武帝乃颁诏于天监九年(510年)起,采用《大明历》推算历书.在此过程中,祖日恒还对其做过修改论证,使之更为完善.《南史》卷七十二记载:“梁天监初,日恒之更修之,于是始行焉.”祖日恒通过实测北辰纽星去极的度数,证实了岁差现象的存在.他还在嵩山(今河南省登封县境内)上建立八尺铜表,作为日晷.祖日恒曾抄集古代星象记录,撰《天文录》30卷及《天文录经要诀》,著《漏刻经》一卷和《权衡记》等,但都已失传.[6]由于祖日恒为江南著名学者,他还热衷数学教育,向科学家信都芳传授天文历算之术,并相互进行学术交流.祖日恒曾长期在梁朝为官,担任过员外散骑常侍、太府卿、材官将军、南康太守等.祖日恒的儿子祖皓,也精通天文历算,且能文能武.《南史》卷七十二载:“日恒之子皓,志节慷慨,有文武才略.少传家业,善算历.大同中为江都令,后拜广陵太守.”在一次武装叛乱中,祖皓组织反击失利,因而遭遇酷刑之害.[3]祖皓有无天文历算著作行世,史书无考.2 祖冲之的天文历算成就211 数学祖冲之是我国历史上继刘徽之后的又一位伟大的数学家,他在圆周率研究、同余式组以及二次与三次方程求解等方面都有杰出贡献.祖冲之的数学著作都已失传,现在只能从其它著作中找到一些有关祖冲之数学成就的记载.21111 圆周率 圆周率的推算,在某种程度上反映一个时代或民族的数学水平.祖冲之在圆周率方面的研究成果,《隋书・律历志》记有:“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛.自刘歆、张衡、刘徽、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷.宋末,南徐州从事史祖冲之更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽;月肉数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈月肉二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率:圆径七,周二十二.”[7]可知祖冲之求得:311415926<π<311415927,密率:π=355/113(3.1415929),约率:π=22/7(3.142).但史书没有记载祖冲之是用什么方法得到这一结果的.据推测祖冲之仍是按刘徽的割圆术来进行推算.因为祖冲之研究了《九章算术》及刘徽注,并著《九章注》九卷,认为刘徽的结果还不够精密,便采用和刘徽割圆术相仿的方法,计算出S 12288=3.14159251方丈,S 24576=3.14159261方丈.代入刘徽不等式S 2n <S <S 2n +(S 2n -S n ),即得311415926<π<311415927.要得到这一精确度的结果,需要对9位数字的数进行130次以上的各种运算.在祖冲之时代,由于还没有应用小数,因而在实际计算中常用分数来表示圆周率.祖冲之取22/7为约率,这个约率其实是何承天(370—447年)所创(和古希腊数学家阿基米 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献29 德的圆周率暗合).其密率355/113,是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳近似分数[8].其求出方法学术界说法不一,可能是采用调日法、连分数法、不定方程或求一术等.[9]21112 开差幂与开差立 《隋书・律历志》在叙述了祖冲之圆周率后,又说:“又设开差幂、开差立,兼以正圆参之.指要精密,算氏之最者也.”“差幂”一词在刘徽注《九章算术》时就已用过,指的是面积差,开是指由面积求边长.钱宝琮先生认为:“开差幂”就是开方术,“差”就是长短有差的矩形.即设一边是x ,一边是x +k ,而积(幂)是A ,x (x +k )=A 相当于解二次方程.以同一思想去理解“开差立”,是开长、宽、高有差的长方体,相当于解三次方程x (x +k )(x +l )=V .[8]解二次方程在当时并不是件难事,因为《九章算术》中已有此类问题,但求三次方程的一个正根,就比较困难.“开差幂”和“开差立”不一定限于长方形和长方体,也可能包括“开立圆”在内的由面积差求边长(或圆的直径)和由体积差求边长(或球的直径)等复杂的数学问题.[10]但也有人认为[11],《隋书・律历志》中这段话,整段是专门讲圆周律的.“开差幂”、“开差立”并非方程解法,而应该是圆周率算法.且用“指要精密,算氏之最者也”来评论祖冲之圆周率算法再恰当不过.因而,“开差幂”和“开差立”极可能是获得π的分析表达式的方法.21113 《缀术》 《缀术》是中国古代一部很高深的数学著作,《南齐书》和《南史》都说祖冲之“注《九章》,造缀述十篇.”《隋书・律历志》则说祖冲之“所著之书名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理”.唐显庆元年(656年)国子监设算学科,规定此书学习年限长达4年之久,每次考试内容有7条之多,均居十部算经之最,这充分说明《缀术》内容之丰富,学术水平之高.因此书在宋代失传,其具体内容已无从知晓.据有关研究推测,圆周率和球体积无疑是《缀术》的重要内容,也应当是与《九章算术》有关的问题研究,也可能有天文历法计算方面的问题.21114 同余式组 中国古代治历,需要规定一个起算时间,这个起算点称为“历元”,祖冲之更要求历元必须同时是甲子年的开始,而且“日月合壁”、“五星联球”(即日、月、五大行星处在同一方位),这样的历元又称“上元”,并且把上元年到编历年所累积的时间称为“上元积年”.上元积年的推算,需要解一组一次同余式.《大明历》中规定,391年中要有144个闰月,便将391叫章岁,144叫章闰,以101章岁(391ⅹ101=39491)为纪法,岁余为9589.设上元积年为A ,假定已知某年的天正闰余289,冬至气小余38352,则144A ≡289(mod 391),(1);9589A ≡38352(mod 39491),(2).由(1)式,求得A ≡374(mod 391).又从(2)求得,A ≡12495(mod39491).这样便和《孙子算经》的“物不知数”题意相同,可按照《孙子算经》法求得A =51986.[5]《大明历》中推算上元积年,就相当于求解10个同余式.[12]212 天文历法祖冲之在天文历法方面也有卓著的成就,《大明历》是流传至今的祖冲之最完整的科学著作,包括《大明历法》(见《宋书》卷十三《历志》)、《上大明历表》(见《宋书・律历志》、《南齐书・祖冲之传》)、《大明历议》(俗称《驳议》、载《宋书・律历志下》)三部分.祖冲之是在宋大明六年(462年)就献上他的《大明历》,其时年仅33岁.但由于宋孝武帝宠臣戴法兴的反对,当时未能施行.直到梁朝天监九年(510年)才得以颁行,至陈朝灭亡(589年),《大明历》共行用80年.在《上大明历表》中,祖冲之说:“臣博访前坟,远稽昔典,五帝躔次,三王交分,《春秋》朔气,《纪年》薄蚀,(司马)谈、(司马)迁载述,(班)彪、(班)固列志,魏世注历,晋代《起居》,探异今古,观要华戎.书契以降,二千余年,日月离会之徵,星度疏密之验.专功耽思,咸可得而言也.加以亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策,考课推移,又曲备其详矣.”[4]这说明《大明历》是建立在详尽研30 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷究前代天象记录(气朔、交食、五星运动等)的基础上,又对实际天象(曰昝影、漏刻、日月五星位置)进行了认真的观测和精心的计算.并指出何承天的元嘉历已不准确,指出其所定冬至点位置有三度之差,冬至时刻差不多有一日之差,因而势必造成节气不正、闰非其月的严重问题,所以改历势在必行.《大明历》包含了祖冲之对天文历法的许多革新和创造.21111 改变闰法 从秦汉到魏晋,我国历算家基本上采用19年7闰的闰法.后来北凉的赵匪欠在《玄始历》中600年置入221闰.祖冲之追随其后,在391年间置入144个闰月.[13]21212 引入岁差 “岁差”即某年的冬至点在星空中的位置不同于上一年的冬至点在空中的位置,而是略有后退.祖冲之测得冬至日在斗15度,并统计得岁差约45年11个月差1度.虽然这个数据不很准确,但将岁差现象引入历法计算,是祖冲之一大创举.采用岁差的结果,使得周天的度数和一年的日数不一致,即回归年与恒星年有了区别.21213 回归年长度的测算 祖冲之测定的回归年数值达到了很精密的程度,依照《大明历》的有关数据推算,祖冲之的1回归年为36512428日,和理论值仅差46秒.他的测算方法和结果都是十分成功的,其所取1回归年是中国历代历法的最佳值之一[14].21214 发现交点月 交点月即月球两次穿过黄道相应交点(亦为月球所行之白道与黄道之交点)的周期.祖冲之首次计算出1交点月为27121223日,这是相当精密的.与理论值仅差113秒.21215 五大行星会合周期的测定 所谓行星会合周期,其现代解释是地球(观测者所在的地方)、某行星和太阳在一直线时(如太阳在中间叫“上合”,地球和行星在太阳同侧时叫“下合”)两次上合或两次下合的时间.五星会合周期的测定,《大明历》的火、金、水三星分别是78010308日、58319309日、11518797日,其误差依次为:6319分、1317分、312分.这些都比前代的精度有较大提高.3 祖日恒的天文历算成就311 数学祖日恒是他所处时代江南最著名的数学家,北齐颜之推(531—582年)《颜氏家训》卷七杂艺篇有评论:“算术亦是文艺要事,自古儒士,论天道、定律历者,皆学通之.……江南此学殊少,唯范阳祖日恒精之,位至南康太守,河北多晓此学”.关于祖日恒在数学方面的成就,宋沈括《梦溪笔谈》和唐王孝通《上缉古算经表》都提到祖日恒的《缀术》,由于该书失传,我们无法知道具体内容,但《缀术》中必定含有祖日恒的贡献,并体现其数学创造.幸在唐朝太史令李淳风等在注释《九章算术》卷四“少广”开立圆术时引述了祖日恒的研究成果,体现了祖日恒的两项重大创举.31111 球体积公式 球体积的计算曾是数学史上一大难题.在我国古代,《九章算术》中有一个近似公式,以后张衡、刘徽和祖冲之作过研究,其中刘徽构造出“牟合方盖”,从理论上提出了推算球体积的正确途径,祖日恒则在此基础上完整地推导出球体积公式[6].李淳风在《九章算术》开立圆术刘徽注后记载的祖日恒开立圆术如下:祖日恒之开立圆术曰:“以二乘积开立方除之,即立圆径.其意何也?取立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉.又合而横规之,去其前上之廉.于是立方之棋分而为四:规内棋一,谓之内棋.规外棋三,谓之外棋.规更合四棋,复横断之.以勾股言之,令余高为勾,内棋断上方为股,本方之数,其弦也.勾股之法,以勾幂减弦幂,则余为股幂;若令余高自乘,减本方之幂,余即内棋断上方之幂也.本方之幂,即内外四棋之断上幂.然则余高自乘,即外三棋之断 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献31 上幂矣.不问高卑,势皆然也.然固有所归同而涂殊者尔.而乃控远以演类,借况以析微.按阳马方、高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂数,亦等焉.夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异.由此观之,规之外三棋旁蹙为一,即一阳马也.三分立方,则阳马居一,内棋居二可知矣.合八小方成一大方,合八内棋成一合盖.内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较然验矣.置三分之二以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率.故曰丸居立方二分之一也.”对以上方法作如下理解,因为刘徽已经指出牟合方盖与其内切球体积之比是4∶π,因此只要求出牟合方盖与其外切立方体的关系即可.祖日恒只从1/8立方体和所含的1/8牟合方盖入手.如图1,取边长为r 的小立方棋AB CD EFGO ,按刘徽方法分割后,正方体的内切牟合方盖的1/8是A EFGO ,称为内棋.AB CD EFGO 的剩余部分分割成A D EF ,AB GF ,AB CD F 三部图1 开立圆术方棋分割图Fig.1 Dismember for K ailiyuan Shu of Fangqia.分割示意图;b.内棋;c.阳马;d ,e ,f.外三棋分,称为外三棋.若用一平面在内棋的高A O 上任一点N 处(设ON =h ,称为余高)横截AB CD EFGO ,则横截面IJ KN 的面积为球半径的平方(r 2),称为本方.又设正方形N M HL 的面积是a 2,则外三棋的截面L HQ K ,HP J Q ,M I PH 的面积之和为r 2-a 2.由勾股形ON M 知,r 2-a 2=h 2.即余高自乘,而这恰恰等于一个长、宽、高相等的阳马距顶点为h 处的横截面面积[15].此时,祖日恒发现它们的体积关系,提出了“夫叠棋成立积,幂势既同,则积不容异”的原理,其中“势”是高,“幂”是面积,即两个高相等的立体在任意等高处的截面面积相等,则它们的体积就不能不同.因而,就可以得到三外棋的体积的和跟阳马体积相等,即等于小立方体的1/3.因此,内棋(1/8牟合方盖)的体积等于小立方体的2/3.计算如下: 18V (V :牟合方盖体积)=23r 3,于是 V =8×23r 3=163r 3=23(2r )3,这就是牟合方盖的体积.32 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷又因为 V 球∶V 牟=π∶4,因而V 球=π4V =π4×23(2r )3=43πr 3.此公式就是球体体积的正确公式.当时祖日恒以π=22/7入算,公式就变形为V 球=11d 3/21(d =2r ).解出d ,即得祖日恒开立圆术公式d =321V /11.至此,我国数学家彻底解决了球体积的计算问题.31112 祖日恒原理 祖日恒关于球体积的计算,其关键是在深入分析刘徽关于球体积的研究后,总结出“缘幂势既同,则积不容异”的论断,用现在话来说:两个等高的立体,如果在同一高度的截面积恒相等,则此两立体的体积相等.此即相当于积分公式设f (x )≡g (x ),若a ≤x ≤b ,则∫b a f (x )d x =∫ba g (x )d x.1954年,杜石然先生撰《祖日恒之公理》,指出祖日恒先于意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri ,1598—1647年)1100多年创造了与卡瓦列里公理等价的公理,很快得到学术界的公认[15],并被写入中学数学教科书,收入《辞海》条目.祖日恒原理对后来体积理论的发展有深刻的影响.312 天文历法祖日恒的天文历法著作均已失传,其具体内容和成就不可得知.前面已经提到,他对其父的《大明历》做过认真研究修改,又上疏论历指出《大明历》可以纠正何承天《元嘉历》的差错,并促成梁朝采用.他还于505年协助任日方编定《五部目录》中的分术数一部,撰其名录(包括天文部、历算部、五行部、杂占部等).又尝作《浑天论》(当是《天文录》内篇之一),造铜圭影表.[5]4 祖冲之家族天文历算成就的历史评价祖冲之家族的天文历算研究及其成就,在中国以及世界历史上都占有重要位置.祖冲之在公元5世纪所得出的圆周率,到公元15世纪才有阿拉伯数学家阿尔・卡西(1427年)超过他,计算到小数点后16位;在西方,到了公元16世纪,才有法国数学家韦达(Vi èta ,1540—1603年)计算到小数点后10位.祖冲之的密率355/113,是一个很好的近似值,在西方,到公元1573年这一数值才重新被法国数学家奥托(Velentinus Otto ,约1550—1605年)独立提出.为纪念祖冲之首创之功,日本数学家三上义夫在《中日数学发展史》中建议把π=355/113叫做“祖率”.《大明历》是中国古代最具创新的历法之一,给出了许多新思想、新方法和新数据.岁差的引入、闰周的革新、回归年长度的新测、首创计算冬至时刻的方法、给出中国历法史上第一个交点月日数等,是祖冲之的重大天文历法贡献.他提出的45年11月差1度的岁差,尽管这个值比实际值嫌小,但比当时的欧洲还沿用100年差1度的数据精密.祖冲之的回归年为36512428日,这在世界上处于遥遥领先的地位,这个值过了700多年之后才出现了更为精密的结果.而在欧洲,在16世纪以前一直实行的儒略历中,回归年的数值是365125日,其精度不如我国东汉刘洪的《乾象历》,更不用说《大明历》了.祖冲之在《大明历议》中阐发科学精神,捍卫了科学真理,是中国科学史上少见的由科学家撰写的十分精湛的科学批判的檄文.祖冲之享誉世界,莫斯科大学为祖冲之塑了铜像,美国吉利斯皮(C.C.G illispie )《科学家大辞典》为他立了传,国际天文联合会将第1888号小行星和月面上一个环形山用祖冲之命名,全世界公认祖冲之是一个伟大的科学家.祖日恒的开立圆术彻底解决了球体积的计算问题,在数学史上是一杰出贡献.在国外,关于球体积公式,公元前3世纪希腊数学家阿基米德曾有证明.在 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献33 《论球与圆柱》卷一中[16],他以33个命题准备,然后以反证法在命题34得到结论:球体积等于以球的大圆为底、球半径为高的圆锥体体积的4倍.在另一著作《方法》中[16],他讨论球体积公式,取法简便,用力学方法推得上述结果.然后做了严格的论证.与之相比,祖日恒虽然晚于阿基米德,但他的工作简单,更具有直观的几何特色.祖日恒的“叠棋成立积”的思想,把立体看成无限多层平面的叠积而成,与卡瓦列利(1635年)不可分量理论相一致,更体现了一种积分思想.祖冲之、祖日恒、祖皓及其祖上,虽然世代为官,但并没有人担任太史令之类掌管天文历象的职务,就连《大明历》也为私撰[17],并非奉朝廷之命编制,天文历算研究纯属一种业余爱好,但他们家学传世,擅长历算,注重实测,勤于思考,善于汲取前人的成果,并勇于同守旧思想进行斗争,其成果卓著.这种为科学研究奋斗的精神,至今令人景仰.参考文献:[1]张惠民.唐代瞿昙家族的天文历算活动及其成就[J ].陕西师范大学学报(自然科学版),1994,22(2):77～82.[2]张惠民.清代梅氏家族的天文历算研究及其贡献[J ].陕西师范大学学报(自然科学版),1997,25(3):113～118.[3]李延寿.南史卷七十二・文学传[A].见:二十五史(4)[M].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.2862～2863.[4]萧子显.南齐书卷五十二・文学传[A].见:二十五史(3)[M].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.2004.[5]严敦杰.祖冲之科学著作校释[M ].沈阳:辽宁教育出版社,2000.139～141,14,142～151.[6]吴文俊.中国古代数学史大系(第四卷・西晋至五代)[M ].北京:北京师范大学出版社,1999.114～164.[7]魏徵.隋书・律历志卷十六[A ].见:二十五史(5)[M ].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.3298.[8]钱宝琮.中国数学史[M ].北京:科学出版社,1992.83～90.[9]梁宗巨.世界数学史简编[M ].沈阳:辽宁人民出版社,1980.399～403.[10]李迪.中国数学史简编[M ].沈阳:辽宁人民出版社,1984.119～120.[11]汪晓勤.《缀术》中的“刍甍、方亭之问”初探[J 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achievements are in lead in the world then and some of them were made 700～1100years earlier than those of Arab and Europe.K ey w ords :history of mathematics ;history of astronomy ;Zu Chongzi ;Zu G eng ;Daming calendar ;number π;Kailiyuan Shu 34 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷。
祖冲之的主要成就
祖冲之的主要成就
1、数学成就：
祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。
祖冲之还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。
祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
2、历法成就：
祖冲之吸取了赵厞的理论，加上他自己的观察，认为十九年七闰的闰数过多，每二百年就要差一天，而赵厞六百年二百二十一闰也不十分准确。
因此，祖冲之提出了391年144闰月的新闰法。
祖冲之的闰周精密程度极高，按照他的推算，一个回归年的长度为365.2428141日，与今天的推算值仅相差46秒。
一直到南宋的《统天历》，才采用了比这更精确的数据。
3、天文成就：
祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所需的时间，也进行了观测和推算，给出了更精确的五星会合周期。
4、机械制造：
祖冲之设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。
祖冲之改良了水碓磨。
在西晋初年，杜预改进发明了“连机碓”和“水转连磨”。
5、其他成就：
著有《易义》《老子义》《庄子义》《释论语》等关于哲学的书籍，都已经失传了。
文学作品方面他著有《述异记》，在《太平御览》等书中可以看到这部著作的片断。
祖冲之祖籍范阳郡遒县（今河北涞水）
祖冲之祖籍范阳郡遒县（今河北涞水），为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。
祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官，学识渊博，受人敬重。
祖冲之公元429年生于建康（今江苏南京）。
祖家历代都对天文历法素有研究，祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。
在青年时代祖冲之就博得了博学多才的名声，宋孝武帝听说后，派他到“华林学省”做研究工作。
公元461年，他在南徐州(今江苏镇江)刺史府里从事，先后任南徐州从事史、公府参军。
公元464年他调至娄县(今江苏昆山东北)任县令。
在此期间他编制了《大明历》，计算了圆周率。
宋朝末年，祖冲之回到建康任谒者仆射，此后直到宋灭亡一段时间后，他花了较大精力来研究机械制造。
公元494年到498年之间，他在南齐朝廷担任长水校尉一职，受四品俸禄。
鉴于当时战火连绵，他写有《安边论》一文，建议朝廷开垦荒地，发展农业，安定民生，巩固国防。
公元500年祖冲之在他72岁时去世。
祖冲之的儿子祖暅也是中国古代著名数学家。
为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之小行星”。
祖冲之公元429年生于建康（今江苏南京）。
祖家历代都对天文历法素有研究，祖冲之从小就有机会接触天文、数学知识。
在青年时代祖冲之就博得了博学多才的名声，宋孝武帝听说后，派他到“华林学省”做研究工作。
公元461年，他在南徐州（今江苏镇江）刺史府里从事，先后任南徐州从事史、公府参军。
公元464年他调至娄县（今江苏昆山东北）任县令。
在此期间他编制了《大明历》，在《大明历》中，他首次引用了岁差，是我国历法史上的一次重大改革。
他还采用了391年中设置144个闰月的新闰周，比古代发明的19年7闰的闰周更加精密。
祖冲之推算的回归年和交点月天数都与观测值非常接近。
在数学上，祖冲之推算出圆周率的真值应该介于3.1415926和3.1415927之间，比欧洲要早一千多年。
祖冲之研究成果
祖冲之研究成果
祖冲之（AD 429–500）是中国南北朝时期的一位数学家、天文学家和物理学家，他的研究成果包括：
1.圆周率计算：祖冲之在《周髀算经》中使用了连分数方法计算出了圆周率的值，即：
22/7 > π > 355/113
此后，这种方法被广泛应用于计算圆周率，而且在近代的数学研究中仍然具有重要的价值。
2.发现勾股定理：祖冲之创造了一种叫做“勾股数”的数列，其中任意三个数a、b和c满足a² + b² = c²。
这就是著名的勾股定理，至今仍然是数学教育中的重要内容。
3.研究天球运动：祖冲之推荐使用天球昼夜分线来确定地球的方位，并详细研究了太阳、月亮和五星的轨迹。
他还通过观测恒星的视差，估算了地球的大小，并且发现了一些星体的周期性运动。
4.物理学研究：祖冲之进行了一些物理实验，例如测量水的密度和流动速度等，他还研究了音乐的基本元素，提出了“五音”（宫、商、角、徵、羽）的音乐学理论。
总之，祖冲之作为一位多才多艺的科学家，在数学、天文学、
物理学等领域都做出了杰出的贡献，他的研究成果至今仍然具有重要的意义和影响。
祖冲之对历史的贡献
祖冲之对历史的贡献
祖冲之（前247年-前195年），字叔齐，楚国历史上著名的科学家、数学家。
他受周穆王派遣，前往了阿拉伯，参研数学知识并习得阿拉伯天文学，而发展出中国历法，改革了中国历史，带来了巨大的贡献。
祖冲之首先是开展了历法研究，作为古代天文学家，他根据每年天象变化提出了中国古代历法的全面的改革。
他发现月球的大小变化，月相的变化，以及日月的运行规律，它不仅发明了[按揭变化]——根据公历每月的变化来提出改革方案，而且提出了[更数变法]——以二十四节气体系为基础，设计合理的更数变法表。
在实践中，他改进了把月叫闰月的分类计算方式，改革了公元前220年的中国历法。
祖冲之的贡献对历史的影响重大，他的历法改革确定了中国历法的发展路径，也把中国历法与欧洲的历法发展统一在一起，纳入西洋历法的范畴，有利于世界的科学技术的交流和中外文化的交融，拓展了中国历史的水平。
祖冲之发明了什么 主要成就有哪些
祖冲之发明了什么主要成就有哪些
祖冲之的成就主要体现在数学,机械,历法三个方面。
祖冲之提出了用圭表
测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法，发明了千里船、水碓磨，发现了圆
周率，重制了指南车，研制出大明历、述异记。
数学史上的创举——“祖率”
祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精
确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一
位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。
祖冲之还给出圆周率(π)的两个分
数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。
祖
冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人
将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
天文成就
祖冲之对木、水、火、金、土等五大行星在天空运行的轨道和运行一周所
需的时间，也进行了观测和推算，给出了更精确的五星会合周期。
中国古代
科学家算出木星（古代称为岁星）每十二年运转一周。
西汉刘歆作《三统历》时，发现木星运转一周不足十二年。
祖冲之进行了重新测量，得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转
周期为11.858年（今测为11.862年）。
并得出更精确多五星会合周期，木星398.903日（误差0.019日），火星780.031日（误差0.094日），土星378.070 日（误差0.022日），金星583.931日（误差0.009日），水星115.880日（误差0.002日）。
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第30卷 第4期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.30 No.4 2002年12月Journal of Shaanxi Normal University(Natural Science Edition)Dec.2002 文章编号:100123857(2002)0420028207祖冲之家族的天文历算研究及其贡献张惠民(陕西师范大学学报编辑部,陕西西安710062)摘 要:运用历史分析和逻辑分析相结合的研究方法,对南北朝祖冲之家族的天文历算研究及其成就进行了系统的整理和评价.研究表明,祖冲之—祖日恒—祖皓祖孙三代,坚持不懈业余研究天文历算,成就卓著.其数学中的圆周率、球体积公式,天文历法中的岁差值及其引入、回归年值的计算等都在世界上处于领先地位,有些成果比阿拉伯国家以至欧洲早700～1100年.他们为中国以及世界科学的发展做出了重要贡献.关键词:数学史;天文学史;祖冲之;祖日恒;大明历;圆周率;开立圆术中图分类号:O112;P1209;P19413 文献标识码:A中国历史上曾经是一个数学发达的国家,出现过一批卓越的数学家,写出了不少重要的数学典籍,取得过辉煌的研究成果.在这些数学人才中,由于世袭家传的影响,出现了不少家族式的科学研究核心[1,2],南北朝时的祖冲之—祖日恒—祖皓家族也是这样一个典型的天文历算世家,他们为中国以及世界科学的发展做出了重要贡献.1 家族生平及其天文历算活动祖冲之(429—500年),字文远,范阳遒县(今河北省涞水县)人,生活在南朝的宋齐之间,是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械制造家.其祖辈原在晋朝为官,后因战乱迁居江南.祖冲之的曾祖父祖台之是晋朝侍中,为朝廷要员,他同时爱好文学,著有《志怪》二卷,被收入《隋书・经籍志》史部《杂传》.其祖父祖昌在刘宋朝廷任大匠卿,是负责营建方面的官吏.祖冲之的父亲祖朔之是刘宋奉朝请,家学渊源是祖冲之从事科学活动极为有利的条件.青少年时祖冲之就思维机敏,勤奋好学,闻名于时.因而,宋孝武帝把祖冲之送进华学省,并赐予房子、车子和衣服等,祖冲之在这里博览群书,思考问题,并进行科学研究.后来,祖冲之离开华林园,先是担任南徐州(今江苏镇江市)从事史,后被调回朝廷任公府参军.一段时间后,又被派任娄县(今江苏省昆山县东北)县令.宋朝末年,祖冲之回到朝廷担任谒者仆射(掌管朝廷重大典礼等礼仪事项).公元479年萧齐朝建立,祖冲之继续在朝廷为官,并被任命为长水校尉,享受四品俸禄,一直到去世.祖冲之一生行政事务虽然很多,可是他仍利用一切业余时间从事天文历法和数学研究.他治学态度严谨,搜集自古以来的大量文献资料和观测记录,对前代历法进行分析比较,同时还进行了实测,对八尺高标杆的日影长度观测长达10年之久.在此基础上,于宋大明六年(462年)完成了《大明历》.在数学研究方面,他研究过《九章算术》和刘徽的注,撰《九章注》九收稿日期:2002208202作者简介:张惠民(1952—),男,陕西彬县人,陕西师范大学副编审卷,《九章术义注》九卷,自著《缀术》,并有《长水校尉祖冲之集》51卷.祖冲之还是一个机械发明家,他制造的指南车,“圆转不穷,而司方如一”,为马钧以来所没有过;制造的千里船、水碓磨等,冠于当时.在担任齐王朝长水校尉时,曾写了《安边论》,提出“开屯田,广农殖”的主张.祖冲之熟读经诗,不但在天文历算方面贡献卓著,而且在文史哲方面造诣精深,他著有《易经义》、《老子义》、《庄子义》、《孝经释》等,并撰小说《述异记》10卷.[3,4,5]祖日恒(又名日恒之),字景烁,祖冲之之子,杰出的数学家和天文学家.其生卒年代无可查考,但其生活大致应在南齐及以后的梁朝,而其科学活动则主要在梁初.祖日恒子承父业,自幼聪颖,勤奋好学,精通天文历算.他在梁朝初年曾两次建议修改历法(504,509年),指出当时所行历法之缺点,建议启用他父亲祖冲之所撰的《大明历》,以纠正何承天《元嘉历》的疏远.经过太史令等实测天象,考验新旧历法的得失后,梁武帝乃颁诏于天监九年(510年)起,采用《大明历》推算历书.在此过程中,祖日恒还对其做过修改论证,使之更为完善.《南史》卷七十二记载:“梁天监初,日恒之更修之,于是始行焉.”祖日恒通过实测北辰纽星去极的度数,证实了岁差现象的存在.他还在嵩山(今河南省登封县境内)上建立八尺铜表,作为日晷.祖日恒曾抄集古代星象记录,撰《天文录》30卷及《天文录经要诀》,著《漏刻经》一卷和《权衡记》等,但都已失传.[6]由于祖日恒为江南著名学者,他还热衷数学教育,向科学家信都芳传授天文历算之术,并相互进行学术交流.祖日恒曾长期在梁朝为官,担任过员外散骑常侍、太府卿、材官将军、南康太守等.祖日恒的儿子祖皓,也精通天文历算,且能文能武.《南史》卷七十二载:“日恒之子皓,志节慷慨,有文武才略.少传家业,善算历.大同中为江都令,后拜广陵太守.”在一次武装叛乱中,祖皓组织反击失利,因而遭遇酷刑之害.[3]祖皓有无天文历算著作行世,史书无考.2 祖冲之的天文历算成就211 数学祖冲之是我国历史上继刘徽之后的又一位伟大的数学家,他在圆周率研究、同余式组以及二次与三次方程求解等方面都有杰出贡献.祖冲之的数学著作都已失传,现在只能从其它著作中找到一些有关祖冲之数学成就的记载.21111 圆周率 圆周率的推算,在某种程度上反映一个时代或民族的数学水平.祖冲之在圆周率方面的研究成果,《隋书・律历志》记有:“古之九数,圆周率三,圆径率一,其术疏舛.自刘歆、张衡、刘徽、皮延宗之徒,各设新率,未臻折衷.宋末,南徐州从事史祖冲之更开密法,以圆径一亿为一丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽;月肉数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈月肉二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率:圆径七,周二十二.”[7]可知祖冲之求得:311415926<π<311415927,密率:π=355/113(3.1415929),约率:π=22/7(3.142).但史书没有记载祖冲之是用什么方法得到这一结果的.据推测祖冲之仍是按刘徽的割圆术来进行推算.因为祖冲之研究了《九章算术》及刘徽注,并著《九章注》九卷,认为刘徽的结果还不够精密,便采用和刘徽割圆术相仿的方法,计算出S 12288=3.14159251方丈,S 24576=3.14159261方丈.代入刘徽不等式S 2n <S <S 2n +(S 2n -S n ),即得311415926<π<311415927.要得到这一精确度的结果,需要对9位数字的数进行130次以上的各种运算.在祖冲之时代,由于还没有应用小数,因而在实际计算中常用分数来表示圆周率.祖冲之取22/7为约率,这个约率其实是何承天(370—447年)所创(和古希腊数学家阿基米 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献29 德的圆周率暗合).其密率355/113,是分子、分母在1000以内表示圆周率的最佳近似分数[8].其求出方法学术界说法不一,可能是采用调日法、连分数法、不定方程或求一术等.[9]21112 开差幂与开差立 《隋书・律历志》在叙述了祖冲之圆周率后,又说:“又设开差幂、开差立,兼以正圆参之.指要精密,算氏之最者也.”“差幂”一词在刘徽注《九章算术》时就已用过,指的是面积差,开是指由面积求边长.钱宝琮先生认为:“开差幂”就是开方术,“差”就是长短有差的矩形.即设一边是x ,一边是x +k ,而积(幂)是A ,x (x +k )=A 相当于解二次方程.以同一思想去理解“开差立”,是开长、宽、高有差的长方体,相当于解三次方程x (x +k )(x +l )=V .[8]解二次方程在当时并不是件难事,因为《九章算术》中已有此类问题,但求三次方程的一个正根,就比较困难.“开差幂”和“开差立”不一定限于长方形和长方体,也可能包括“开立圆”在内的由面积差求边长(或圆的直径)和由体积差求边长(或球的直径)等复杂的数学问题.[10]但也有人认为[11],《隋书・律历志》中这段话,整段是专门讲圆周律的.“开差幂”、“开差立”并非方程解法,而应该是圆周率算法.且用“指要精密,算氏之最者也”来评论祖冲之圆周率算法再恰当不过.因而,“开差幂”和“开差立”极可能是获得π的分析表达式的方法.21113 《缀术》 《缀术》是中国古代一部很高深的数学著作,《南齐书》和《南史》都说祖冲之“注《九章》,造缀述十篇.”《隋书・律历志》则说祖冲之“所著之书名为《缀术》,学官莫能究其深奥,是故废而不理”.唐显庆元年(656年)国子监设算学科,规定此书学习年限长达4年之久,每次考试内容有7条之多,均居十部算经之最,这充分说明《缀术》内容之丰富,学术水平之高.因此书在宋代失传,其具体内容已无从知晓.据有关研究推测,圆周率和球体积无疑是《缀术》的重要内容,也应当是与《九章算术》有关的问题研究,也可能有天文历法计算方面的问题.21114 同余式组 中国古代治历,需要规定一个起算时间,这个起算点称为“历元”,祖冲之更要求历元必须同时是甲子年的开始,而且“日月合壁”、“五星联球”(即日、月、五大行星处在同一方位),这样的历元又称“上元”,并且把上元年到编历年所累积的时间称为“上元积年”.上元积年的推算,需要解一组一次同余式.《大明历》中规定,391年中要有144个闰月,便将391叫章岁,144叫章闰,以101章岁(391ⅹ101=39491)为纪法,岁余为9589.设上元积年为A ,假定已知某年的天正闰余289,冬至气小余38352,则144A ≡289(mod 391),(1);9589A ≡38352(mod 39491),(2).由(1)式,求得A ≡374(mod 391).又从(2)求得,A ≡12495(mod39491).这样便和《孙子算经》的“物不知数”题意相同,可按照《孙子算经》法求得A =51986.[5]《大明历》中推算上元积年,就相当于求解10个同余式.[12]212 天文历法祖冲之在天文历法方面也有卓著的成就,《大明历》是流传至今的祖冲之最完整的科学著作,包括《大明历法》(见《宋书》卷十三《历志》)、《上大明历表》(见《宋书・律历志》、《南齐书・祖冲之传》)、《大明历议》(俗称《驳议》、载《宋书・律历志下》)三部分.祖冲之是在宋大明六年(462年)就献上他的《大明历》,其时年仅33岁.但由于宋孝武帝宠臣戴法兴的反对,当时未能施行.直到梁朝天监九年(510年)才得以颁行,至陈朝灭亡(589年),《大明历》共行用80年.在《上大明历表》中,祖冲之说:“臣博访前坟,远稽昔典,五帝躔次,三王交分,《春秋》朔气,《纪年》薄蚀,(司马)谈、(司马)迁载述,(班)彪、(班)固列志,魏世注历,晋代《起居》,探异今古,观要华戎.书契以降,二千余年,日月离会之徵,星度疏密之验.专功耽思,咸可得而言也.加以亲量圭尺,躬察仪漏,目尽毫厘,心穷筹策,考课推移,又曲备其详矣.”[4]这说明《大明历》是建立在详尽研30 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷究前代天象记录(气朔、交食、五星运动等)的基础上,又对实际天象(曰昝影、漏刻、日月五星位置)进行了认真的观测和精心的计算.并指出何承天的元嘉历已不准确,指出其所定冬至点位置有三度之差,冬至时刻差不多有一日之差,因而势必造成节气不正、闰非其月的严重问题,所以改历势在必行.《大明历》包含了祖冲之对天文历法的许多革新和创造.21111 改变闰法 从秦汉到魏晋,我国历算家基本上采用19年7闰的闰法.后来北凉的赵匪欠在《玄始历》中600年置入221闰.祖冲之追随其后,在391年间置入144个闰月.[13]21212 引入岁差 “岁差”即某年的冬至点在星空中的位置不同于上一年的冬至点在空中的位置,而是略有后退.祖冲之测得冬至日在斗15度,并统计得岁差约45年11个月差1度.虽然这个数据不很准确,但将岁差现象引入历法计算,是祖冲之一大创举.采用岁差的结果,使得周天的度数和一年的日数不一致,即回归年与恒星年有了区别.21213 回归年长度的测算 祖冲之测定的回归年数值达到了很精密的程度,依照《大明历》的有关数据推算,祖冲之的1回归年为36512428日,和理论值仅差46秒.他的测算方法和结果都是十分成功的,其所取1回归年是中国历代历法的最佳值之一[14].21214 发现交点月 交点月即月球两次穿过黄道相应交点(亦为月球所行之白道与黄道之交点)的周期.祖冲之首次计算出1交点月为27121223日,这是相当精密的.与理论值仅差113秒.21215 五大行星会合周期的测定 所谓行星会合周期,其现代解释是地球(观测者所在的地方)、某行星和太阳在一直线时(如太阳在中间叫“上合”,地球和行星在太阳同侧时叫“下合”)两次上合或两次下合的时间.五星会合周期的测定,《大明历》的火、金、水三星分别是78010308日、58319309日、11518797日,其误差依次为:6319分、1317分、312分.这些都比前代的精度有较大提高.3 祖日恒的天文历算成就311 数学祖日恒是他所处时代江南最著名的数学家,北齐颜之推(531—582年)《颜氏家训》卷七杂艺篇有评论:“算术亦是文艺要事,自古儒士,论天道、定律历者,皆学通之.……江南此学殊少,唯范阳祖日恒精之,位至南康太守,河北多晓此学”.关于祖日恒在数学方面的成就,宋沈括《梦溪笔谈》和唐王孝通《上缉古算经表》都提到祖日恒的《缀术》,由于该书失传,我们无法知道具体内容,但《缀术》中必定含有祖日恒的贡献,并体现其数学创造.幸在唐朝太史令李淳风等在注释《九章算术》卷四“少广”开立圆术时引述了祖日恒的研究成果,体现了祖日恒的两项重大创举.31111 球体积公式 球体积的计算曾是数学史上一大难题.在我国古代,《九章算术》中有一个近似公式,以后张衡、刘徽和祖冲之作过研究,其中刘徽构造出“牟合方盖”,从理论上提出了推算球体积的正确途径,祖日恒则在此基础上完整地推导出球体积公式[6].李淳风在《九章算术》开立圆术刘徽注后记载的祖日恒开立圆术如下:祖日恒之开立圆术曰:“以二乘积开立方除之,即立圆径.其意何也?取立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉.又合而横规之,去其前上之廉.于是立方之棋分而为四:规内棋一,谓之内棋.规外棋三,谓之外棋.规更合四棋,复横断之.以勾股言之,令余高为勾,内棋断上方为股,本方之数,其弦也.勾股之法,以勾幂减弦幂,则余为股幂;若令余高自乘,减本方之幂,余即内棋断上方之幂也.本方之幂,即内外四棋之断上幂.然则余高自乘,即外三棋之断 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献31 上幂矣.不问高卑,势皆然也.然固有所归同而涂殊者尔.而乃控远以演类,借况以析微.按阳马方、高数参等者,倒而立之,横截去上,则高自乘与断上幂数,亦等焉.夫叠棋成立积,缘幂势既同,则积不容异.由此观之,规之外三棋旁蹙为一,即一阳马也.三分立方,则阳马居一,内棋居二可知矣.合八小方成一大方,合八内棋成一合盖.内棋居小方三分之二,则合盖居立方亦三分之二,较然验矣.置三分之二以圆幂率三乘之,如方幂率四而一,约而定之,以为丸率.故曰丸居立方二分之一也.”对以上方法作如下理解,因为刘徽已经指出牟合方盖与其内切球体积之比是4∶π,因此只要求出牟合方盖与其外切立方体的关系即可.祖日恒只从1/8立方体和所含的1/8牟合方盖入手.如图1,取边长为r 的小立方棋AB CD EFGO ,按刘徽方法分割后,正方体的内切牟合方盖的1/8是A EFGO ,称为内棋.AB CD EFGO 的剩余部分分割成A D EF ,AB GF ,AB CD F 三部图1 开立圆术方棋分割图Fig.1 Dismember for K ailiyuan Shu of Fangqia.分割示意图;b.内棋;c.阳马;d ,e ,f.外三棋分,称为外三棋.若用一平面在内棋的高A O 上任一点N 处(设ON =h ,称为余高)横截AB CD EFGO ,则横截面IJ KN 的面积为球半径的平方(r 2),称为本方.又设正方形N M HL 的面积是a 2,则外三棋的截面L HQ K ,HP J Q ,M I PH 的面积之和为r 2-a 2.由勾股形ON M 知,r 2-a 2=h 2.即余高自乘,而这恰恰等于一个长、宽、高相等的阳马距顶点为h 处的横截面面积[15].此时,祖日恒发现它们的体积关系,提出了“夫叠棋成立积,幂势既同,则积不容异”的原理,其中“势”是高,“幂”是面积,即两个高相等的立体在任意等高处的截面面积相等,则它们的体积就不能不同.因而,就可以得到三外棋的体积的和跟阳马体积相等,即等于小立方体的1/3.因此,内棋(1/8牟合方盖)的体积等于小立方体的2/3.计算如下: 18V (V :牟合方盖体积)=23r 3,于是 V =8×23r 3=163r 3=23(2r )3,这就是牟合方盖的体积.32 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷又因为 V 球∶V 牟=π∶4,因而V 球=π4V =π4×23(2r )3=43πr 3.此公式就是球体体积的正确公式.当时祖日恒以π=22/7入算,公式就变形为V 球=11d 3/21(d =2r ).解出d ,即得祖日恒开立圆术公式d =321V /11.至此,我国数学家彻底解决了球体积的计算问题.31112 祖日恒原理 祖日恒关于球体积的计算,其关键是在深入分析刘徽关于球体积的研究后,总结出“缘幂势既同,则积不容异”的论断,用现在话来说:两个等高的立体,如果在同一高度的截面积恒相等,则此两立体的体积相等.此即相当于积分公式设f (x )≡g (x ),若a ≤x ≤b ,则∫b a f (x )d x =∫ba g (x )d x.1954年,杜石然先生撰《祖日恒之公理》,指出祖日恒先于意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri ,1598—1647年)1100多年创造了与卡瓦列里公理等价的公理,很快得到学术界的公认[15],并被写入中学数学教科书,收入《辞海》条目.祖日恒原理对后来体积理论的发展有深刻的影响.312 天文历法祖日恒的天文历法著作均已失传,其具体内容和成就不可得知.前面已经提到,他对其父的《大明历》做过认真研究修改,又上疏论历指出《大明历》可以纠正何承天《元嘉历》的差错,并促成梁朝采用.他还于505年协助任日方编定《五部目录》中的分术数一部,撰其名录(包括天文部、历算部、五行部、杂占部等).又尝作《浑天论》(当是《天文录》内篇之一),造铜圭影表.[5]4 祖冲之家族天文历算成就的历史评价祖冲之家族的天文历算研究及其成就,在中国以及世界历史上都占有重要位置.祖冲之在公元5世纪所得出的圆周率,到公元15世纪才有阿拉伯数学家阿尔・卡西(1427年)超过他,计算到小数点后16位;在西方,到了公元16世纪,才有法国数学家韦达(Vi èta ,1540—1603年)计算到小数点后10位.祖冲之的密率355/113,是一个很好的近似值,在西方,到公元1573年这一数值才重新被法国数学家奥托(Velentinus Otto ,约1550—1605年)独立提出.为纪念祖冲之首创之功,日本数学家三上义夫在《中日数学发展史》中建议把π=355/113叫做“祖率”.《大明历》是中国古代最具创新的历法之一,给出了许多新思想、新方法和新数据.岁差的引入、闰周的革新、回归年长度的新测、首创计算冬至时刻的方法、给出中国历法史上第一个交点月日数等,是祖冲之的重大天文历法贡献.他提出的45年11月差1度的岁差,尽管这个值比实际值嫌小,但比当时的欧洲还沿用100年差1度的数据精密.祖冲之的回归年为36512428日,这在世界上处于遥遥领先的地位,这个值过了700多年之后才出现了更为精密的结果.而在欧洲,在16世纪以前一直实行的儒略历中,回归年的数值是365125日,其精度不如我国东汉刘洪的《乾象历》,更不用说《大明历》了.祖冲之在《大明历议》中阐发科学精神,捍卫了科学真理,是中国科学史上少见的由科学家撰写的十分精湛的科学批判的檄文.祖冲之享誉世界,莫斯科大学为祖冲之塑了铜像,美国吉利斯皮(C.C.G illispie )《科学家大辞典》为他立了传,国际天文联合会将第1888号小行星和月面上一个环形山用祖冲之命名,全世界公认祖冲之是一个伟大的科学家.祖日恒的开立圆术彻底解决了球体积的计算问题,在数学史上是一杰出贡献.在国外,关于球体积公式,公元前3世纪希腊数学家阿基米德曾有证明.在 第4期张惠民:祖冲之家族的天文历算研究及其贡献33 《论球与圆柱》卷一中[16],他以33个命题准备,然后以反证法在命题34得到结论:球体积等于以球的大圆为底、球半径为高的圆锥体体积的4倍.在另一著作《方法》中[16],他讨论球体积公式,取法简便,用力学方法推得上述结果.然后做了严格的论证.与之相比,祖日恒虽然晚于阿基米德,但他的工作简单,更具有直观的几何特色.祖日恒的“叠棋成立积”的思想,把立体看成无限多层平面的叠积而成,与卡瓦列利(1635年)不可分量理论相一致,更体现了一种积分思想.祖冲之、祖日恒、祖皓及其祖上,虽然世代为官,但并没有人担任太史令之类掌管天文历象的职务,就连《大明历》也为私撰[17],并非奉朝廷之命编制,天文历算研究纯属一种业余爱好,但他们家学传世,擅长历算,注重实测,勤于思考,善于汲取前人的成果,并勇于同守旧思想进行斗争,其成果卓著.这种为科学研究奋斗的精神,至今令人景仰.参考文献:[1]张惠民.唐代瞿昙家族的天文历算活动及其成就[J ].陕西师范大学学报(自然科学版),1994,22(2):77～82.[2]张惠民.清代梅氏家族的天文历算研究及其贡献[J ].陕西师范大学学报(自然科学版),1997,25(3):113～118.[3]李延寿.南史卷七十二・文学传[A].见:二十五史(4)[M].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.2862～2863.[4]萧子显.南齐书卷五十二・文学传[A].见:二十五史(3)[M].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.2004.[5]严敦杰.祖冲之科学著作校释[M ].沈阳:辽宁教育出版社,2000.139～141,14,142～151.[6]吴文俊.中国古代数学史大系(第四卷・西晋至五代)[M ].北京:北京师范大学出版社,1999.114～164.[7]魏徵.隋书・律历志卷十六[A ].见:二十五史(5)[M ].上海:上海古籍出版社,上海书店,1986.3298.[8]钱宝琮.中国数学史[M ].北京:科学出版社,1992.83～90.[9]梁宗巨.世界数学史简编[M ].沈阳:辽宁人民出版社,1980.399～403.[10]李迪.中国数学史简编[M ].沈阳:辽宁人民出版社,1984.119～120.[11]汪晓勤.《缀术》中的“刍甍、方亭之问”初探[J 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achievements are in lead in the world then and some of them were made 700～1100years earlier than those of Arab and Europe.K ey w ords :history of mathematics ;history of astronomy ;Zu Chongzi ;Zu G eng ;Daming calendar ;number π;Kailiyuan Shu 34 陕西师范大学学报(自然科学版)第30卷。