高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2
5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
s [规范解答] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为v， 全程运输成本为
a s 2 s y＝a·＋bv ·＝sv＋bv， v v
(2 分)
a y＝sv＋bv，v∈(0，c]
∴所求函数及其定义域为
1.4 生活中的优化问题举例
【课标要求】
1．通过实例体会导数在解决实际问题中的作用．
2．能利用导数解决实际问题． 3．提高学生综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的意 识． 【核心扫描】 利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重点)
自学导引
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题。 2．用导数解决优化问题的基本思路
想一想： 设两正数之和为常数 c， 能否借助导数求两数之积的最大 a＋b 值，并由此证明不等式 ≥ ab(a，b>0)? 2 提示 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为
f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x. c 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝ . 2
比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为 最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．
【变式 2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径 应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解 如图，设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积 S＝2πRh＋2πR2， V 由 V＝πR h，得 h＝πR2，
[思路探索] 解答本题可先设出未知量，根据已知条件寻求未
知量间的关系，写出面积函数，进而用导数法求函数的最值 以及取最值时变量的取值．
解 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm， y－25 则每栏的高和宽分别为 x－20， ，其中 x>20，y>25. 2 y－25 两栏面积之和为 2(x－20)· 2 ＝18 000， 18 000 由此得 y＝ ＋25. x－20 广告的面积
[思路分析] (1)利用题中等量关系找出 y 与 x 的函数关系式，将 x ＝100 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0； (2)求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求最值． 解 (1)由题意，每年销售 Q 万件，共计成本为(32Q＋3)万元．销 售收入是(32Q＋3)· 150%＋x· 50%， 所以年利润 y＝(年收入)－(年成 3 1 1 本)－(年广告费)＝ (32a＋3)＋ x－(32Q＋3)－x＝ · (32Q＋3－x) 2 2 2
2
V 2V 2 则 S(R)＝2πR 2＋2πR ＝ ＋2πR2， πR R
2V 令 S′(R)＝－ R2 ＋4πR＝0，解得 R＝
3 V 2π，
3 4V 3 V V V 从而 h＝ 2＝ ＝ ＝2 ，即 h＝2R. πR π 2π 3 V 2 π 2π 因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x) ＝0的情形，如果函数在这点处有极大(小)值，那么不与端点值 比较，也可以知道这就是最大(小)值．
(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用
函数关系式表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范 围．
[思路探索] 分析各已知条 件之间的关系 ― → 适当选取变量 ― → 构造函数关系 ― →
导数法求最值 ― 确定点C的位置 → 解 如图，由题意知，只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时， 才能使总费用最省， 设点 C 距点 D 为 x km， BC＝ BD2＋CD2＝ 则 x2＋402，又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋ 5a x2＋402(0<x<写出实际问题中变量之间
的函数关系式y＝f(x)； 第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点； 第三步：比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小，确定其 最大值或最小值．
2．解决生活中的优化问题应当注意的问题
(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意
题型一 用料最省问题
【例1】 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙
厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到 河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水 站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和 5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解 收入 利润
1 1 25－ q＝25q－ q2， R＝q· p＝q 8 8
1 2 L＝R－C＝25q－8q －(100＋4q)
1 2 ＝－8q ＋21q－100(0<q<200) 1 L′＝－4q＋21 1 令 L′＝0，即－4q＋21＝0，求得唯一的极值点 q＝84. 所以产量为 84 时，利润 L 最大．
题型三 成本最省，利润最大问题 【例3】 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速
度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单
位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的 平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元． (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出 这个函数的定义域；
(4 分)
(2)由题意 s、a、b、v 均为正数．
a y′＝sb－v2＝0
得 v＝
a b.但 v∈(0，c]．
(6 分)
①若 ②若
a b≤c，则当 v＝
a b时，全程运输成本 y 最小；(8 分)
a b>c，则 v∈(0，c]，
此时 y′<0，即 y 在(0，c]上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小， 当 当 a b≤c 时，行驶速度 v＝ a >c 时，行驶速度 v＝c. b a b； (12 分) (10 分)
－x2＋98x＋35 3x＋1 1 ＋3－x＝ ＝ 32× (x≥0)，所以所求的函数关 2 x＋1 2x＋1
－x2＋98x＋35 系式为 y＝ (x≥0)．当 x＝100 时，y<0，即当年广告 2x＋1 费投入 100 万元时，企业亏损．
－x2＋98x＋35 (2)由 y＝f(x)＝ (x≥0)可得 2x＋1 －2x＋98· 2x＋1－2－x2＋98x＋35 f′(x)＝ 4x＋12 －x2－2x＋63 ＝ 2x＋12
(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将
面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导
数求解函数的最值． (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 ①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实 际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数
关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：
又设当船的速度为每小时 v 海里时，行 1 海里所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总费用是 0.006v3＋96(元)，而行 1 海里所 1 需时间为v小时，所以，行 1 海里的总费用为： 1 96 3 2 q＝v(0.006v ＋96)＝0.006v ＋ v .
96 0.012 3 q′＝0.012v－ v2 ＝ v2 (v －8 000)， 令 q′＝0，解得 v＝20.∵当 v<20 时，q′<0； 当 v>20 时，q′>0， ∴当 v＝20 时取得最小值， 即速度为 20 海里/小时时，航行 1 海里所需费用总和最小．
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人教A版高中数学选修2-2课件：第一章 1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)
唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
数学：1.4《生活中的优化问题》课件(新人教a版选修2-2)
4 3 pr 3
思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位： 分)是多少？ 4
0.2 ?
思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 则函数f(r)的定义域是什么？ （0，6]
3
pr
3
0.8 p r
2
r 思考4：函数 f (r ) = 0.8p ( - r 2 )(0 < r ? 6) 3
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题.
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm.
的影响
【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8π r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？ 半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？
2p r (R - r )(0 < r < R ) 磁盘的存储量 f (r ) = mn
如何变化？有何最值？
R
r
R r = 时，存储量最大. 2
思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？
m r = 时，存储量最大. 2
高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例
+x)
=51
840 ������
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51������8240+240x=2���4���20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预 计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
������
=4
3-
1 3
������
3
,
Q(a)=
9(6-������),3
≤
������
<
9 2
,
4
3-
1 3
������
3
,
9 2
≤
������
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为
高中数学人教A版选修2-2课件：1.4生活中的优化问题举例
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)=
再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=
,
3+5
40
.
3+5
而建造费用为 C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
40
3+5
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·
(2)f'(x)=6−
2 400
(3+5)
令 S'<0,得 20<x<140.
所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当
x=140时,S取得最小值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
-10-
元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4
3
1
3-
3
-19-
目标导航
题型一
题型二
重难聚焦
典例透析
题型三
【变式训练 3】 为了解决老百姓“看病贵”的问题,国家多次下
调药品价格,各大药厂也在积极行动,通过技术改造来提高生产能力,
降低能耗,从而降低药品生产的成本.某药厂有一条价值 a 万元的药
800
(0≤x≤10).
3+5
2 400
= 6 +
2 , 令f'(x)=0,即
(3+5)2
= 6, 解得x1=5,x2=−
25
(
3
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,当 5<x≤10 时,f'(x)>0,
再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=
,
3+5
40
.
3+5
而建造费用为 C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
40
3+5
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·
(2)f'(x)=6−
2 400
(3+5)
令 S'<0,得 20<x<140.
所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当
x=140时,S取得最小值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
-10-
元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4
3
1
3-
3
-19-
目标导航
题型一
题型二
重难聚焦
典例透析
题型三
【变式训练 3】 为了解决老百姓“看病贵”的问题,国家多次下
调药品价格,各大药厂也在积极行动,通过技术改造来提高生产能力,
降低能耗,从而降低药品生产的成本.某药厂有一条价值 a 万元的药
800
(0≤x≤10).
3+5
2 400
= 6 +
2 , 令f'(x)=0,即
(3+5)2
= 6, 解得x1=5,x2=−
25
(
3
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,当 5<x≤10 时,f'(x)>0,
高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》课件
课前探究学习
课堂讲练互动第二页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
自学导引 1．优化问题
生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题。 2．用导数解决优化问题的基本思路
课前探究学习
课堂讲练互动第三页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
想一想：设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大 值，并由此证明不等式a＋2 b≥ ab(a，b>0)? 提示 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为 f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x. 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝2c.
课前探究学习
课堂讲练互动第十八页，编辑活于星页期一规：范点 十训八分练。
令 S′(R)＝－2RV2＋4πR＝0，解得 R＝ 3 2Vπ，
从而 h＝πVR2＝ π
V＝
3
V
2
3
4πV＝2
3
2Vπ，即 h＝2R.
2π
因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
课前探究学习
课堂讲练互动第五页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
名师点睛 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
第一步：建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式y＝f(x)； 第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点； 第三步：比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小，确定其 最大值或最小值．
课前探究学习
课堂讲练互动第八页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
[思路探索] 分析各已知条 件之间的关系 ―→ 适当选取变量 ―→ 构造函数关系 ―→
高中数学(人教A版选修2-2)课件1.4生活中的优化问题举例
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并 求出此时运输成本的最小值． 分析 根据全程运输成本＝每小时运输成本×运输总时 间建立函数关系式，然后利用导数方法求最值．
解 (1)设全程运输成本为f(x)元，则 1 4 1 3 400 f(x)＝(19200x －160x ＋15x)·x 1 3 5 2 ＝48x －2x ＋6000(0<x≤100)． 当x＝60千米/时， 1 5 3 f(60)＝48×60 －2×602＋6000＝1500(元)． 答：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时，全程运输成 本为1500元．
题型三 成本最低利润最大问题 例3 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运 1 输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝ 19200 x4－ 1 3 x ＋15x. 160 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成 本面的宽为x，高为y.则当xy2取极大值 时，横梁的强度最大．又y2＝d2－x2.
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)． f′(x)＝d2－3x2. d 6 令f′(x)＝0，解得x＝ ，y＝ 3 d. 3 根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此f
题型二
用料最省问题
例2 要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧 面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省？ 分析 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价 表示为r的函数．
V 解 由V＝πr h，得h＝πr2，
d 为 3
3 6 强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为 3 d，高为 3 d时，横梁的强度最大．
高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修22
其方法如下: (1)审题:阅读并理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题 的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的 数学模型;
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其 答案.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:
1.4 生活中的优化问题举例
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决某些实际问题的方法,能够利用导数解决简 单的实际生活中的优化问题.
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这 些问题通常称为优化问题.
2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值. 3.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值. 4.解决优化问题的基本思路.
题型一
题型二
题型三
题型四
面积、容积最值问题
【例 1】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制容器的底面的一条边比另一条边长 0.5 m,那么高为多少时,容
器的容积最大?并求它的最大容积.
分析:设底面一条边长为 x m,用 x 表示另一条边长和高,从而表
示出容积,利用对容积函数求导来求最值.
(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性定量分析,做出正确的判断,确定其 答案.
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程
1.如何认识和理解解应用题的解题思路和方法? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问 题抽象成数学问题,就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建 立相应的数学模型,再利用数学知识对数学模型进行分析、研究,得 到数学结论,然后再把数学结论返回到实际问题中去,其思路如下:
1.4 生活中的优化问题举例
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决某些实际问题的方法,能够利用导数解决简 单的实际生活中的优化问题.
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这 些问题通常称为优化问题.
2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数的最值. 3.解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情 境”译为“数学语言”,找出问题的主要关系,抽象成数学问题,然后用 可导函数求最值的方法求最值. 4.解决优化问题的基本思路.
题型一
题型二
题型三
题型四
面积、容积最值问题
【例 1】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果
所制容器的底面的一条边比另一条边长 0.5 m,那么高为多少时,容
器的容积最大?并求它的最大容积.
分析:设底面一条边长为 x m,用 x 表示另一条边长和高,从而表
示出容积,利用对容积函数求导来求最值.
人教A版高中数学选修2-2课件1.4生活中的优化问题举例().pptx
n 以,磁盘总存储量
fr R r 2πr 2π rR r.
m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于r的二次函数,从函数的解析式上可
以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.
2为求fr的最大值,计算f ' r 0.
f ' r 2π R 2r,令 f 'r 0,解得r R .
mn
2
当r R 时,f ' r 0;当r R 时,f ' r 0.因此,当r R
2 r为多少时, 磁盘具有最大的
图1.4 3
存 储 量(最 外 面 的 磁 道 不 存 储 任何 信 息) ?
解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所
以磁道数最多可达 R r . m
又由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内 一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到2πr .所
问题 1瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利
润最大?
2 瓶子半径多大时, 每瓶饮料利润最小?
解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
y fr
0 r 6.
0.2 4 πr3 0.8πr2 3
令f ' r 0.8π r2 2r
0.8π
r3 3
0.
r2 ,
当r 2时,f 'r 0.
道 和 扇 区.磁 道 是 指 不 同 半 径 所 构成 的 同 心 圆 轨 道,
扇 区 是 指 被 圆 心 角 分 割成 扇 形
区 域.磁 道 上 的 定 长 的 弧 可 作为
R
基 本 存 储 单 元, 根 据 其 磁 化 与 否
fr R r 2πr 2π rR r.
m n mn
R
r
图1.4 3
1它是关于r的二次函数,从函数的解析式上可
以判断,不是r越小,磁盘的存储量越大.
2为求fr的最大值,计算f ' r 0.
f ' r 2π R 2r,令 f 'r 0,解得r R .
mn
2
当r R 时,f ' r 0;当r R 时,f ' r 0.因此,当r R
2 r为多少时, 磁盘具有最大的
图1.4 3
存 储 量(最 外 面 的 磁 道 不 存 储 任何 信 息) ?
解 存储量 磁道数 每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽 度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所
以磁道数最多可达 R r . m
又由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内 一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到2πr .所
问题 1瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利
润最大?
2 瓶子半径多大时, 每瓶饮料利润最小?
解 由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润是
y fr
0 r 6.
0.2 4 πr3 0.8πr2 3
令f ' r 0.8π r2 2r
0.8π
r3 3
0.
r2 ,
当r 2时,f 'r 0.
道 和 扇 区.磁 道 是 指 不 同 半 径 所 构成 的 同 心 圆 轨 道,
扇 区 是 指 被 圆 心 角 分 割成 扇 形
区 域.磁 道 上 的 定 长 的 弧 可 作为
R
基 本 存 储 单 元, 根 据 其 磁 化 与 否
人教A版高中数学选修2-2-1·4-数学：1.4《生活中的优化问题举例》课件(新人教A版-选修2-2
512
S'(x) 2 x2
精品课件
2dm
S (x)2x51 x 28 ， S'(x)25 x 1 2 2 令 S ' ( x ) 0 可 解 得 x 1 （ 6 x - 1 6 舍 去 ）
列表讨论如下：
x S '(x) S (x)
(0，16)
-
减函数↘
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 1 2 8 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S(x)(x4)(1282)128 x
2x5128 (x0) x
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
y
1
x33x8 (0x1 2 0 ).
1 2 8 0 0 0 8 0
若已知甲、乙两地相距100千米。
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
最少？最少为多少升？
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
精品课件
例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》课件2
3.对优化问题中的函数关系，要注意 根据实际背景确定函数的定义域，如果 目标函数在定义域内只有一个极值点， 则这个极值点一般就是最值点.
第二十一页，编辑于星期一：点 十八分。
例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费 和它的速度的立方成正比，已知在速度为 每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它 与速度无关的费用是每小时96元，问此轮 船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总 费用最小？
2 36 x
第十一页，编辑于星期一：点 十八分。
思考6：市场上等量的小包装的物品一般比 大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤 装的白酒平均价格要高），在数学上有什 么道理？
将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡 与大包装的利润.
第十二页，编辑于星期一：点 十八分。
细杆 走廊
3 3m
1m
走廊
第二十四页，编辑于星期一：点 十八分。
f (x)min f (2)
3.2 3
f (x)max f (6) 28.8
第十页，编辑于星期一：点 十八分。
思考5：函数 f (r) 0.8 (r 3 r 2)(0 r 6)
3
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径 的大小对制造商的利润产生什么影响？
y
当0＜r＜3时，利润为负值； 当r＝3时，利润为零；当r ＞3时，利润为正值，并随 着瓶子半径的增大利润也 O 相应增大.
r
m 2 时，存储量最大.
r
f (r)
2 r 2 (r m)
n
n
(R r m)(R mn
2 (R m) n
r)
第十八页，编辑于星期一：点 十八分。
理论迁移
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元的 汽车生产线，现要通过技术改造来提高其 生产能力，进而提高产品的增加值.已知投 入x万元用于技术改造，所获得的产品的增 加值为(60－x)x2万元，并且技
第二十一页，编辑于星期一：点 十八分。
例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费 和它的速度的立方成正比，已知在速度为 每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它 与速度无关的费用是每小时96元，问此轮 船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总 费用最小？
2 36 x
第十一页，编辑于星期一：点 十八分。
思考6：市场上等量的小包装的物品一般比 大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤 装的白酒平均价格要高），在数学上有什 么道理？
将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡 与大包装的利润.
第十二页，编辑于星期一：点 十八分。
细杆 走廊
3 3m
1m
走廊
第二十四页，编辑于星期一：点 十八分。
f (x)min f (2)
3.2 3
f (x)max f (6) 28.8
第十页，编辑于星期一：点 十八分。
思考5：函数 f (r) 0.8 (r 3 r 2)(0 r 6)
3
的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径 的大小对制造商的利润产生什么影响？
y
当0＜r＜3时，利润为负值； 当r＝3时，利润为零；当r ＞3时，利润为正值，并随 着瓶子半径的增大利润也 O 相应增大.
r
m 2 时，存储量最大.
r
f (r)
2 r 2 (r m)
n
n
(R r m)(R mn
2 (R m) n
r)
第十八页，编辑于星期一：点 十八分。
理论迁移
例 某汽车制造厂有一条价值为60万元的 汽车生产线，现要通过技术改造来提高其 生产能力，进而提高产品的增加值.已知投 入x万元用于技术改造，所获得的产品的增 加值为(60－x)x2万元，并且技