精选-九年级数学上册第二章一元二次方程1一元二次方程练习新版北师大版
第二章一元二次方程
认识一元二次方程
1．将一元二次方程－3x2－2＝－4x化成一般形式Ax2＋Bx＋C＝0(A＞0)后，一次项和常数项分别是()
A．－4，2B．－4x，2
C．4x，－2 D．3x2，2
2．若方程(k－1)x2＋k x＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是()
A．k≠1 B．k≥0
C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数
3．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为__________________．(化为一般式)
4．根据下表探索一元二次方程x2－6x＋9＝0的解的取值范围.
从表中可以看出方程的解应介于____和____之间．
5．将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数A、一次项系数B和常数项C的值．
(1)(2x－5)(x＋2)＝1；
(2)－2x(x－5)＝3－x；
(3)(2x－1)(x＋5)＝6x.
6．如图所示，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条等宽金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，求满足x的方程．
7．已知方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)有根．
(1)当A＋B＋C＝0时，x为多少？
(2)当A－B＋C＝0时，x为多少？
(3)当4A＋C＝2B时，x为多少？
8．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生756条消息．
(1)列出关于x的方程；
(2)写出方程化为Ax2＋Bx＋C＝0的形式，并指出A，B，C的值．
9．已知关于x的方程(2k＋1)x2－4kx＋k－1＝0.
(1)k为何值时，此方程是一元一次方程？求出这个一元一次方程的根．
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
参考答案
【分层作业】
1． B2． C3． x 2
－20x ＋64＝04．24
5．解：(1)2x 2
－x －11＝0，A ＝2，B ＝－1，C ＝－11. (2)2x 2
－11x ＋3＝0，A ＝2，B ＝－11，C ＝3. (3)2x 2＋3x －5＝0，A ＝2，B ＝3，C ＝－5. 6．解：挂图长为(80＋2x ) cm ，宽为(50＋2x ) cm. ∴(80＋2x )(50＋2x )＝5 400， 化简得x 2＋65x －350＝0.
7．解： (1)只有当x ＝1时，才有A ＋B ＋C ＝0. (2)只有当x ＝－1时，才有A －B ＋C ＝0.
(3)4A ＋C ＝2B ，即4A －2B ＋C ＝0，是当x ＝－2时，代入原方程得到的． 8．解：(1)由题意，得x (x －1)＝756. (2)由x (x －1)＝756， 整理，得x 2－x －756＝0， 则A ＝1，B ＝－1，C ＝－756. 9．解：(1)当2k ＋1＝0，且－4k ≠0， 即k ＝－1
2时，此方程是一元一次方程．
原方程为2x ＝3
2
，
∴x ＝34，即方程的根为x ＝34
.
(2)当2k ＋1≠0，即k ≠－1
2时，此方程是一元二次方程．二次项系数为2k ＋1，一次项
系数为－4k ，常数项为k －1.
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第二章 一元二次方程 分类提升训练(含答案) 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册
第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则 ．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为 ．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为 ．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是 ．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。
北师大版九年级数学上册单元试题及答案第二单一元二次方程(一)
北师大版九年级数学上册单元试题及答案第二章一元二次方程（一）一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1.（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A.﹣3B.2C.0D.32.（3分）方程x2=2x的解是（）A.x=0B.x=2C.x 1=0，x2=2D.x1=0，x2=3.（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=44.（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A.﹣1B.0C.1D.25.（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A.（x+2）2=1B.（x﹣2）2=1C.（x+2）2=9D.（x﹣2）2=96.（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A.x2+130x﹣1400=0B.x2+65x﹣350=0C.x2﹣130x﹣1400=0D.x2﹣65x﹣350=07.（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A.6B.8C.10D.128.（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定9.（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A.1B.1或﹣1C.﹣1D.210.（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生.A.12B.12或66C.15D.33二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）11.（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：12.（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b= ，另一个根是13.（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是14.（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=15.（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是三、按要求解一元二次方程：（20分）16.（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0四、细心做一做17.（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？18.（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？19.（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？20.（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？21.（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q 由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似?（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由.参考答案与试题解析一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1.（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A.﹣3B.2C.0D.3【考点】一元二次方程的一般形式【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有2.（3分）方程x2=2x的解是（）A.x=0B.x=2C.x1=0，x2=2D.x1=0，x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法【专题】因式分解【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根【解答】解：x2﹣2x=0x（x﹣2）=0∴x1=0，x2=2故选C【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根3.（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=4【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】先移项，然后利用数的开方解答【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2∴x1=2，x2=﹣2故选C【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b （a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点4.（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A.﹣1B.0C.1D.2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：要方程无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0解得k＞，则满足条件的最小整数k为2故选D【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根5.（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A.（x+2）2=1B.（x﹣2）2=1C.（x+2）2=9D.（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案【解答】解：移项得：x2﹣4x=5配方得：x2﹣4x+22=5+22（x﹣2）2=9故选D【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方6.（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A.x2+130x﹣1400=0B.x2+65x﹣350=0C.x2﹣130x﹣1400=0D.x2﹣65x﹣350=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】几何图形问题【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400即4000+260x+4x2=5400化简为：4x2+260x﹣1400=0即x2+65x﹣350=0故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简7.（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A.6B.8C.10D.12【考点】勾股定理【分析】设三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3∴x+1=4，x+2=5则三边长是3，4，5∴三角形的面积=××4=6故选：A【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键8.（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论9.（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A.1B.1或﹣1C.﹣1D.2【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0解得k=﹣1故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10.（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生A.12B.12或66C.15D.33【考点】一元二次方程的应用.【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得x（x﹣1）=132解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12答：全组共有12名学生故选：A【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）11.（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：﹣3x2+2x﹣3=0【考点】一元二次方程的一般形式【专题】开放型【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项12.（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4，另一个根是5【考点】一元二次方程的解【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0解得b=﹣4即方程为x2﹣4x﹣5=0（x+1）（x﹣5）=0解得：x1=﹣1，x2=5即b的值是﹣4，另一个实数根式5故答案为：﹣4，5【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解13.（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是y1=﹣，y2=【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】因式分解【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0∴2y+1=0或2y﹣3=0解得y1=，y2=【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则14.（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3【考点】根与系数的关系【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2∴x1+x2=3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=15.（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是y2﹣3y﹣1=0【考点】换元法解分式方程【专题】换元法【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看作一个整体【解答】解：原方程可化为﹣（x2﹣2x）+3=0设y=x2﹣2x﹣y+3=0∴1﹣y2+3y=0∴y2﹣3y﹣1=0【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体三、按要求解一元二次方程：（20分）16.（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）移项得，x2﹣2x=﹣配方得，x2﹣2x+1=﹣+1（x﹣1）2=∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0（5x+2）（7x﹣6）=0∴5x+2=0，7x﹣6=0∴x1=﹣，x2=（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）整理得，3x2+10x+5=0∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40∴x===∴x1=，x2=（4）x2﹣2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0∴x+4=0，x﹣2=0∴x1=﹣4，x2=2【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程四、细心做一做17.（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m答：鸡场的长与宽各为15m，10m【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般18.（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣）即x2﹣31x+30=0解得x1=30 x2=1∵路宽不超过15米∴x=30不合题意舍去答：小路的宽应是1米【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键19.（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求:（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x根据题意，得1500（1+x）2=2160解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800答：2007年该企业盈利1800万元（2）2160（1+0.2）=2592答：预计2009年该企业盈利2592万元【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量20.（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x）由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000解得：x1=，x2=当x1=时，则涨价10元，销量为：400件当x2=时，则涨价30元，销量为：200件答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用21.（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定【专题】几何动点问题【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ =S△ABC列出方程求解（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有=或=，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么=，依此列出比例式=，解方程即可【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m则×2x（6﹣x）=××8×6解得：x=2或x=4故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似当△PCQ与△ACB相似时，则有=或=所以=，或=解得t=，或t=因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似（3）有可能由勾股定理得AB=10∵CD为△ACB的中线∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B又PQ⊥CD∴∠CPQ=∠B∴△PCQ∽△BCA∴=，=解得y=因此，经过秒，PQ⊥CD【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
北师大版数学九年级上册：第二章 一元二次方程 章末练习(含答案)
第二章一元二次方程章末练习一、选择题1.一元二次方程x(x-2)=x-2的解是()A.x1=x2=0B.x1=x2=1C.x1=0,x2=2D.x1=1,x2=22.关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定3.关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根,k的取值范围是()A.k<1且k≠0B.k<1C.k≤1且k≠0D.k≤14.关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,且α2+β2=12,那么m的值为()A.-1B.-4C.-4或1D.-1或45.某厂家2020年1~5月份的口罩产量统计图如图2-Y-1所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程()图2-Y-1A.180(1-x)2=461B.180(1+x)2=461C.368(1-x)2=442D.368(1+x)2=4426.某年级举办篮球友谊赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共要比赛36场,则参加此次比赛的球队数是()A.6B.7C.8D.97.若菱形ABCD的一条对角线长为8,边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根,则该菱形ABCD的周长为()A.16B.24C.16或24D.48二、填空题8.关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2+k-2=0有一个根是0,则k的值是.9.如果关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是.10.在解一元二次方程x2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b,得到的解为x1=2,x2=3;小刚看错了常数项c,得到的解为x1=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程:.11有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了个人.三、解答题12.解下列方程:(1) x2-2x-3=0;(2)x2-5x+6=0;(3) 2x2-5x+3=0.13.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m-2=0.(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+3x1x2=1,求m的值.14.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8,9月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8,9月份营业额的月增长率.15.列方程(组)解应用题某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下,围一块面积为600 m2的矩形试验茶园,便于成功后大面积推广.如图2-Y-2所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽.图2-Y-216.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果,计划以每千克60元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠,现决定降价销售,已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0<x<20)之间满足一次函数关系,其图象如图2-Y-3所示.(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围);(2)商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价多少元?图2-Y-3详解详析1.D2.A[解析] ∵Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,∴方程总有两个不相等的实数根.故选A.3.D[解析] 当k=0时,方程是一元一次方程,有实数根;当k≠0时,方程是一元二次方程,根据题意,得Δ≥0,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-4k×9≥0,解得k≤1.综上k的取值范围是k≤1.故选D.4.A[解析] ∵关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,∴Δ=[2(m-1)]2-4×1×(m2-m)=-4m+4≥0,α+β=-2(m-1),α·β=m2-m,∴m≤1,α2+β2=(α+β)2-2α·β=[-2(m-1)]2-2(m2-m)=12,即m2-3m-4=0,解m2-3m-4=0,得m=-1或m=4(舍去).故选A.5.B[解析] 从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,根据题意可得方程为180(1+x)2=461.故选B.x(x-1)=36,化简,得x2-x-72=0,6.D[解析] 设参加此次比赛的球队数为x.根据题意得12解得x1=9,x2=-8(舍去),∴参加此次比赛的球队数是9.故选D.7.B[解析] 如图所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵x2-10x+24=0,因式分解得(x-4)(x-6)=0,解得x1=4,x2=6.分两种情况:①当CD=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形,不合题意;②当CD=AD=6时,6+6>8,能构成三角形,符合题意.∴菱形ABCD的周长=4CD=24.故选B.8.1 [解析] 把x=0代入方程得k 2+k-2=0,(k-1)(k+2)=0, 可得k-1=0或k+2=0, 解得k=1或k=-2.当k=-2时,k+2=0,此时方程不是一元二次方程,舍去;则k 的值为1.故答案为1. 9.94[解析] 根据题意得Δ=(-3)2-4k=0,解得k=94.故答案为94.10.x 2-6x+6=0 [解析] 根据题意得2×3=c ,1+5=-b ,解得b=-6,c=6,所以正确的一元二次方程为x 2-6x+6=0.故答案为x 2-6x+6=0.11.10 [解析] 设每轮传染中平均每人传染了x 个人.依题意,得1+x+x (1+x )=121, 即(1+x )2=121,解得x 1=10,x 2=-12(舍去).故每轮传染中平均每人传染了10个人. 12.解:(1)原方程可以变形为(x-3)(x+1)=0, x-3=0或x+1=0,∴x 1=3,x 2=-1. (2)∵x 2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0, 则x-2=0或x-3=0,解得x 1=2,x 2=3. (3)这里a=2,b=-5,c=3, 则Δ=(-5)2-4×2×3=1>0, ∴x=5±√12×2,∴x 1=32,x 2=1.13.解:(1)证明:∵Δ=(2m+1)2-4×1×(m-2) =4m 2+4m+1-4m+8 =4m 2+9>0,∴无论m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根. (2)由根与系数的关系,得{x 1+x 2=-(2m +1),x 1x 2=m -2.由x 1+x 2+3x 1x 2=1,得-(2m+1)+3(m-2)=1,解得m=8. 14.解:(1)450+450×12%=504(万元).答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x. 依题意,得350(1+x )2=504,解得x 1=0.2=20%,x 2=-2.2(不合题意,舍去).答:该商店去年8,9月份营业额的月增长率为20%.15.解:设茶园垂直于墙的一边长为x m,则其邻边的长度为(69+1-2x )m .根据题意,得 x (70-2x )=600, 整理,得x 2-35x+300=0, 解得x 1=15,x 2=20,当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意舍去; 当x=20时,70-2x=30,符合题意. 答:这个茶园的长和宽分别为30 m,20 m . 16.解:(1)设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b. 由题意,得当x=2时,y=120;当x=4时,y=140, ∴{2k +b =120,4k +b =140,解得{k =10,b =100,∴y 与x 之间的函数表达式为y=10x+100. (2)由题意得(60-40-x )(10x+100)=2090, 整理,得x 2-10x+9=0, 解得x 1=1,x 2=9.∵让顾客得到更大的实惠,∴x=9.答:商贸公司要想获利2090元,则这种干果每千克应降价9元.。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》训练试题和答案
九上专题训练《一元二次方程》含答案一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣25．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣二．填空题（共5小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝时为一元二次方程．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+ ＝（x﹣）2；（2）x2+ +＝（x+ ）2；（3）x2﹣2x+ ＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣）2﹣．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．专题训练：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A，2x2﹣+1＝0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2＝0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1＝0是一元二次方程；D，ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；故选：C．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1．故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2018＝a（a2+a）+a2+2018＝a+a2+2018，＝1+2018＝2019，故选：B．6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得a2+b2﹣3＝±5，所以a2+b2＝3±5，解得a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．故选：C．7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，4x＝6，x＝，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．故选：B．二．填空题（共8小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝41 ，x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：41，，．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝﹣1 时为一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，为一元二次方程，∴，解得：m＝﹣1．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+ p +＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣ 3 ）2﹣13 ．【解答】解：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+p+＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x2﹣x+）＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x2﹣6x+9﹣9）+5＝2（x﹣3）2﹣13．故答案为：（1），；（2）p，；（3），；（4）3，13．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．【解答】解：解方程x2+3x﹣3＝0的根是x＝，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，因而方程x2+3x﹣3＝0的一个根的相反数是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是﹣即．故本题答案为x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝2或﹣1 ．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．【解答】解：（1）x1＝+，x2＝﹣．（2）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5，由原方程，得x2﹣4x+2＝0，则a＝1，b＝﹣4，c＝2，所以x＝＝2±，故x1＝2﹣，x2＝2+．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，解得，m1＝，m2＝﹣1．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝14 ，＝194 ；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x 的值为1﹣。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版（含答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x﹣1＝7C．7x2+6＝0D．2x2﹣5y＝02．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0B．±3C．3D．﹣33．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2B．2C．0D．﹣2或24．下列配方中，变形正确的是（）A．x2+2x＝（x+1）2B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣15．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A．8B．10C．7D．96．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A．14B．11C．10D．97．受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9B．8.9（1+x）2＝6.2C．6.2（1+x2）＝8.9D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.98．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+3a+2b的值为（）A．2020B．2021C．2022D．20239．若关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，则整数k的最大值为（）A．4B．5C．6D．710．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（）A．7B．﹣1C．7或﹣1D．﹣5或3二．填空题（共10小题，满分40分）11．方程（x+1）2＝9的根是．12．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是．13．一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是．14．方程2x2+1＝3x的解为．15．方程x2﹣4x＝0的实数解是．16．三角形两边的长分别为2和5，第三边的长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则该三角形的周长为．17．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．18．如图，在一块长为30米，宽为24米的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路，其余部分建成花园，已知小路的占地面积为50平方米，设小路的宽为x米，则可列方程为．19．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是米．20．一花户，有25m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为100m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为．三．解答题（共5小题，满分40分）21．解下列方程：（1）2（x+1）2＝8；（2）x（x+1）＝3（x+1）；（3）x2+6x﹣16＝0．22．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．23．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．24．幸福小区规划在一个长为40米，宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若要使草坪的面积为864平方米，求通道的宽度．25．由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上开，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．（1）求出这两次价格上调的平均增长率；（2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：A．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．x﹣1＝7，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C．7x2+6＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；D．2x2﹣5y＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．2．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．3．解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．4．解：x2+2x＝x2+2x+1﹣1＝（x+1）2﹣1，A错误．x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣4﹣3＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）＝（x﹣2）2﹣7．B错误．2x2+4x+3＝2（x2+2x）+3＝2（x2+2x+1﹣1）+3＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3＝2（x+1）2﹣2+3＝2（x+1）2+1．C正确．﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣（x2﹣2x+1）+1＝﹣（x+1）2+1D错误．故选：C．5．解：设共有x支队伍参加比赛，根据题意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支队伍参加比赛．故选：B．6．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，即（1+x）2＝144，解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），故选：B．7．解：依题意得6.2（1+x）2＝8.9，故选：A．8．解：∵a是方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴a2+a﹣2022＝0，∴a2+a＝2022，∵a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+3a+2b＝a2+a+2a+2b＝2022+2×（﹣1）＝2020．故选：A．9．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2＝0有实数根，∴，解得：k≤且k≠5．∵k为整数，∴k的最大值为4．故选：A．10．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7故选：A．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：（x+1）2＝9，x+1＝±3，x1＝2，x2＝﹣4．故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．12．解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1，∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，∴k＝1，故答案为：1．13．解：3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．14．解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2＝．故答案为：x1＝1，x2＝．15．解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案为：x1＝0，x2＝4．16．解：解方程x2﹣8x+15＝0得：x＝3或5，当第三边为3时，2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，舍去；当第三边为5时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+5+5＝12，故答案为：12．17．解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，则a+b＝4，ab＝3，则原式＝＝，故答案为：．18．解：依题意得30x+24x﹣x2＝50，故答案为：30x+24x﹣x2＝50．19．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，解得x1＝3，x2＝2（舍去），∴AB的长为3米．故答案为：3．20．解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26﹣2x）m，根据题意得：x（26﹣2x）＝100．故答案为：x（26﹣2x）＝100．三．解答题（共5小题，满分40分）21．解：（1）2（x+1）2＝8，（x+1）2＝4，x+1＝±2，x+1＝2或x+1＝﹣2，x1＝1，x2＝﹣3；（2）x（x+1）＝3（x+1），x（x+1）﹣3（x+1）＝0，（x+1）（x﹣3）＝0，x+1＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣1，x2＝3；（3）x2+6x﹣16＝0，（x+8）（x﹣2）＝0，x+8＝0或x﹣2＝0，x1＝﹣8，x2＝2．22．解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0解之，得m＝2或m＝1①，由m﹣1≠0，得：m≠1②，由①，②得：m＝2；（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，得x2+5x＝0，x（x+5）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣5．23．解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．24．解：设通道的宽为x米，则种草部分可合成长为（40﹣2x）米，宽为（26﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝864，整理得：x2﹣46x+88＝0，解得：x1＝2，x2＝44（不符合题意，舍去）．答：通道的宽为2米．25．解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为x，依题意得：10（1+x）2＝14.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：这两次价格上调的平均增长率为20%．（2）设每包应该降价m元，则每包的售价为（10﹣m）元，每天可售出（30+5m）包，依题意得：（10﹣m）（30+5m）＝315，整理得：m2﹣4m+3＝0，解得：m1＝1，m2＝3．又∵要让顾客获得更大的优惠，∴m的值为3．答：每包应该降价3元．。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程3x2−5=4x中，关于a、b、c的说法正确的是（）A．a=3,b=4,c=−5B．a=3,b=−5,c=4C．a=−3,b=−4,c=−5D．a=3,b=−4,c=−52．已知关于x的方程x2+bx−a=0有且只有一个根x=a(a≠0)，则b的值为（）A．2B．−2C．±2D．以上都不是3．用配方法解方程x2+4x+3=0，变形后的结果正确的是（）A．(x+2)2=−1B．(x+2)2=1C．(x+2)2=3D．(x+2)2=74．若α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，则3α2+4α+3β+1的值是（）A．−1B．1C．2D．−25．方程(m−2)x2−√3−mx+14=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m≤52B．m≤52且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠26．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1（a，m，b均为常数a≠0），则方程a(x+3+m)2+ b=0的解是（）A．−1或−4B．−2或1C．1或3D．−5或−27．已知关于x的一元二次方程x2−kx+2k−1=0的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=7，那么(x1−x2)2的值为（）A．13或−11B．13C．−11D．118．如果△ABC有两边的长是方程x2−7x+12=0的根，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，那么△ABC的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对二、填空题9．已知关于x的一元二次方程2x2−4x+3=0的两个实数根分别是α，β；则(α+1)(β+1)=．10．某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于x的方程x2−12x+k=0的两根，则k=；11．若a是一元二次方程x2−2023x+1=0的一个根，则代数式a2−2022a+2023a2+1的值为。
北师大版九年级上册 第2章《一元二次方程》 单元测试题
第2章《一元二次方程》单元测试题一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2＝2x+3 B．x2+1＝2xy C．x2+＝3 D．2x+y＝12．一元二次方程x2+2x＝0的根的判别式的值是（）A．4 B．2 C．0 D．﹣43．一元二次方程4x2﹣3x+＝0根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若方程x2+3x+c＝0有实数根，则c的取值范围是（）A．c≤B．c≤C．c≥D．c≥5．二位同学在研究函数y＝a（x+3）（x﹣）（a为实数，且a≠0）时，甲发现当0＜a ＜1时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根．则（）A．甲、乙的结论都错误B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确D．甲的结论错误，乙的结论正确6．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28007．某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A．44% B．22% C．20% D．10%8．一元二次方程x2﹣kx+2＝0的一个根为2，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣39．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1且m≠2 B．m＞1 C．m＞1且m≠2 D．m≠210．设一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x1x2+x2等于（）A．1 B．﹣1 C．0 D．3二．填空题11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx﹣24＝0的一个根为x＝﹣3，则k的值是．12．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为．13．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝．14．若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，则a的最大整数值是．15．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工人．三．解答题16．用适当方法解下列方程．（1）3x2﹣1＝4x（2）2x（2x+5）＝（x﹣1）（2x+5）17．阅读探究：“任意给定一个矩形A ，是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A 的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意得方程组，消去y 化简得：2x 2﹣7x +6＝0，∵b 2﹣4ac ＝49﹣48＞0，∴x 1＝ ，x 2＝ ，∴满足要求的矩形B 存在．（2）如果已知矩形A 的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B ．（3）如果矩形A 的边长为m 和n ，请你研究满足什么条件时，矩形B 存在？18．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x ++1＝0有两个实数根 （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两实数根分别为x 1，x 2，且x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，求k 的值．19．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m %，这样每天可多销售m %；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m 元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m 的值．20．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？参考答案一．选择题1．解：A、x2＝2x+3是一元二次方程，符合题意；B、x2+1＝2xy是二元二次方程，不符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不符合题意；D、2x+y＝1是二元一次方程，不符合题意，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．解：x2+2x＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×0＝4，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．3．解：4x2﹣3x+＝0，这里a＝4，b＝﹣3，c＝，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．解：∵方程x2+3x+c＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×c≥0，解得：c≤，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能根据题意得出△≥0是解此题的关键．5．解：由函数y＝a（x+3）（x﹣）可知，函数与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和，∴函数顶点的横坐标为，∵0＜a＜1，∴＞﹣，∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲的结论错误；∵a（x+3）（x﹣）+5＝0可以化为ax2+（3a﹣2）x﹣1＝0，△＝（3a﹣2）2+4a＝9a2﹣8a+4＝9（a﹣）2+＞0，∴a（x+3）（x﹣）+5＝0必有两个不相等的实数根，故乙的结论正确；故选：D．【点评】本题考查根的判别式；熟练掌握一元二次函数对称性，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．6．解：依题意，设边框的宽为xcm，（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7．解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．解：把x＝2代入x2﹣kx+2＝0得4﹣2k+2＝0，解得k＝3．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9．解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝22﹣4（m ﹣2）（﹣1）＝4m ﹣4＞0且m ﹣2≠0，解得：m ＞1，即m 的取值范围是m ＞1且m ≠2；故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝﹣3，则x 1+x 1x 2+x 2＝2﹣3＝﹣1．故选：B ．【点评】考查了根与系数的关系，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2＝﹣，x 1•x 2＝．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣3代入方程2x 2﹣kx ﹣24＝0，可得2×9+3k ﹣24＝0，即k ＝2， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．解：令x 2﹣x ＝t ，∴t ＝x 2﹣x ＝（x）2﹣≥，∴t 2﹣2t ﹣3＝0，解得：t ＝3或t ＝﹣1（舍去），∴t ＝3，即x 2﹣x ＝3，∴原式＝3+2020＝2023，故答案为：2023．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．13．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，则a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣1）2﹣4×a×1≥0，且a≠0，则a≤且a≠0，则a的最大整数值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．15．解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，依题意，得：x（x﹣1）＝2450，解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．故答案为：50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．解：（1）3x2﹣4x﹣1＝0，△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28，x＝＝，所以x 1＝，x 2＝；（2）2x （2x +5）﹣（x ﹣l ）（2x +5）＝0，（2x ﹣x +1）（2x +5）＝0（x +1）（2x +5）＝0x +1＝0或2x +5＝0，所以x 1＝﹣1，x 2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．17．解：（1）利用求根公式可知：x 1＝＝，x 2＝＝2． 故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：， 消去y 化简得：2x 2﹣3x +2＝0．∵b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B ．（3）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 根据题意得：，消去y 化简得：2x 2﹣（m +n ）x +mn ＝0．∵矩形B 存在，∴b 2﹣4ac ＝[﹣（m +n ）]2﹣4×2mn ≥0，∴（m ﹣n ）2≥4mn ．故当m 、n 满足（m ﹣n ）2≥4mn 时，矩形B 存在．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）套用求根公式求出方程的解；（2）牢记“当△＜0时，方程无实数根”；（3）牢记“当△≥0时，方程有实数根”．18．解：（1）∵关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +k 2+1＝0有两个实数根，∴△＝[﹣（k +1）]2﹣4（k 2+1）＝2k ﹣3≥0，解得k ≥；（2）∵方程的两实数根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2＝k +1，x 1•x 2＝k 2+1，∵x 12+x 22＝6x 1x 2﹣15，∴（x 1+x 2）2﹣8x 1x 2+15＝0，∴k 2﹣2k ﹣8＝0，解得：k 1＝4，k 2＝﹣2，又∵k ≥，∴k ＝4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．19．解：（1）设打x 折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%， 由题意得：≥10%，x ≥8.8，答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；（2）由题意得：5000（1+m %）[50（1﹣3m %）+m ﹣40]＝49000， 5（1+）（50﹣m +m ﹣40）＝49，m 2﹣5m ﹣6＝0，m 1＝6，m 2＝﹣1（舍）．【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．20．解：（1）设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，依题意有（6﹣x ）•2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4，经检验，x 1，x 2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2；（2）设经过y 秒，线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意有 △ABC 的面积＝×6×8＝24，（6﹣y ）•2y ＝12，y 2﹣6y +12＝0，∵△＝b 2﹣4ac ＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分；（3）①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上（0＜x ≤4），设经过m 秒，依题意有（6﹣m ）（8﹣2m ）＝1，m 2﹣10m +23＝0，解得m 1＝5+，m 2＝5﹣，经检验，m 1＝5+不符合题意，舍去，∴m ＝5﹣； ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上（4＜x ≤6），设经过n 秒，依题意有（6﹣n ）（2n ﹣8）＝1，n 2﹣10n +25＝0，解得n 1＝n 2＝5，经检验，n ＝5符合题意．③点P 在射线AB 上，点Q 在射线CB 上（x ＞6），设经过k 秒，依题意有（k ﹣6）（2k ﹣8）＝1，k 2﹣10k +23＝0，解得k 1＝5+，k 2＝5﹣，经检验，k 1＝5﹣不符合题意，舍去，∴k ＝5+； 综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ 的面积为1cm 2．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．。
第二章 一元二次方程 单元测试(含答案) 2024-2025学年北师大版九年级数学上册
第二章一元二次方程一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（ ）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）A．1B．2C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（ ）A．0B．2C．−2D．0或25．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）A．m≥-1B．m≤1C．m≥-1且m≠0D．m≤1且m≠06．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A．x2−2x+3=0B．x2+6x+9=0C．4x2=3x+2D．3x2−x+2=07．一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（ ）A．12x(x+1)=30B．12x(x−1)=30C．x（x+1）=30D．x（x−1）=308．已知m，n是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）A．2020B．2021C．2022D．2023二、填空题（每题4分，共20分）9．已知关于x的方程(m+2)x m2−2+3x−1=0为一元二次方程，则m的值是 ．10．用配方法解一元二次方程x2+4x−3=0，配方后的方程为(x+2)2=n，则n的值为 .11．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2−11x+30=0的一个根，则这个三角形的周长是 .12．若m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，则m+n+3mn的值为 13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元．三、计算题（共10分）14．解方程：（1）x2−8x−9=0；（2）x2−x−1=0．四、解答题（共46分）15．已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的一个根为1，求m的值及另一个根．16．已知关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求m的值．17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？18．据某市车管部门统计，2020年底全市汽车拥有量为150万辆，而截至到2022年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求年平均增长率；（2）如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达多少万辆？参考答案1．B2．A3．D4．D5．D6．C7．D8．C9．210．711．2212．013．3或414．（1）解：x2−8x−9=0 (x−9)(x+1)=0，x1=9，x2=−1；（2）解：x2−x−1=0x2−x=1，x2−x+14=1+14，x2−x+14=54，(x−12)2=54，x−12=±52，x 1=52+12=1+52，x2=−52+12=1−52．15．（1）证明：由题意得，Δ=[−(2m+1)]2−4m(m+1)=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根为1，∴1−(2m+1)+m(m+1)=0，∴m2−m=0，解得m=0或m=1；当m=0时，原方程为x2−x=0，解得x=0或x=1；当m=1时，原方程为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2；综上所述，当m=0时，方程的另一个根为x=0；当m=1时，方程的另一个根为x=2．16．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）解：∵x1和x2是方程x2−2x−m=0的两个实数根，∵x1+x2=2，x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，∴22+2m=6，解得：m=1．17．（1）解：当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；（2）解：设每件商品降价x元，根据题意，得：（50-x）（30+2x）=2000，整理，得：x2−35x+250=0，解得：x=10，x2=25，1∵商城要尽快减少库存，∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．18．（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得150（1+x）2=216．解得：x=0.2或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．∴年平均增长率为20%．（2）解：216（1+20%）2=311.04（万辆）．答：如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达311.04万辆．。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.方程（x+1）（x-1）=0的根是（）A. x1=x²=1B. x1= x²=-1C. x1=1，x²=-1D. x1=1，x²=02.一元二次方程x²-2x-5 =0用配方法解可变形为（）A. （x+1）2=6B. （x+2）2=9C. （x-1）2=6D. （x-2）2=93.方程x²-2x+3 =0的根的情况是：（）A.有两个相等的实数根7B.无实C.有两个不相等的实数根D.只有一个实根4.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a2-1 =0有一个根为0，则a的值为（）A.1B.-1C.+1D.05.一个等腰三角形的两边是方程x²-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10 DBC.8或10D. 66.方程x-2x+m=0有两个相等的实数解，则m的值为（）A.1B.-1C.2D. -27.以1，3为根的一元二次方程是.（）A. x²+4x+3=0B. x²-4x+3=0C. x²+4x-3=0D. -x²+4x+3=08.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程（）A. x（x+1）=120B. x（x+2）=120C. x（x-1）=120D. x（x-2）=1209.一个长方形的长比宽多1，面积为12，则长方形的宽为（）A.3B.4C.523D.610.在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有x人参加会议，则可列方程为（）A. x（x+1）=10B. x（x-1）= 10C. 12（x+1）=10D. 12（x-1）=10二、填空题（每题4分，共28分）11.方程x²=1的解为。
12. 已知m和n是方程3x²-6x-9=0的两根，则m +n= .13.已知代数式x²与2x-1的值相等，则x的值为.14.如果关于x的一元二次方程x²+2x-m=0没有实根，那么m的取值范围是.15.若关于x的方程x²+mx-3=0有一个根为2，则m的值为.16. 一个长方形的周长为8，面积为4，设宽为x，则可列方程为.17.已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+ x1x2=1，出m的值为.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.解方程：（1）x²-4x+3=0；（2）2x²-3x-1 =0；（3）（x+4）2 =2（x +4）.19.已知x=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根.20.如图，在长为10m，宽为8m的矩形试验田上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，要使种植面积（空白部分）为63m2，求道路的宽.四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m=0.（1）当m=0时，求方程的解；（2）当m=1时，求方程的解.22.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元（1）如果第二天第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款?23.已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=p2.求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?25.设等腰三角形的三条边分别为3，m，n，已知m，n是关于x的方程x²-4x+k=0的两个根，求k的值.参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6. A 7.B 8.B 9.A 10.D二、11. X1=1，x2=-1 12.2 13. 114.m< -1 15. -1 216.x(4-x) =4 17.0三、18.解：(1)x2 -4x+4= -3+4 (x-2)2=1x-2=土1x1=1 +2=3x2=-1+2=1(2)∵ a=2，b= -3，c= -1△=b2 -4ac=( -3)2-4x2x( -1)=9+8= 17∴x24317 b b ac-±-±x1 =3174x2317=4(3)(x+4)(x+4-2) =0(x +4)(x+2) =0X1=-4x2=-2.19.解：把x= -1代人方程x2 +mx-5 =0则：(-1)2-m-5=0- m=4m= -4把m= -4代人x2 +mx-5=0则：x2 -4x-5=0X2 -4x+4=5 +4(x-2)2 =9x-2=土3x1 =3+2=5x2= -3+2= -1∴m的值为-4，方程的另一根为520.解：设道路寬x m.根据题意，得(10-x)(8-x) =63x2 -18x +80= 63(x-9)2 =64x-9=土8x 1=8 +9=17(不合题意，舍去)x2 = -8+9=1∴道路宽1m四、21.解：(1)当m=0时，x2 +(m+1)x+m=0 x2 +x+0=0x(x+1) =0∴x=0或x+1 =0∴x1 =0，x2=-1(2)当m=1时，x2 +(m+1)x+m=0X2+(1 +1)x+1=0x2 +2x+1 =0(x+1)2 =0∴x1=x2=-122.解：(1)设捐款增长率为x，依题意，得1 000(1 +x)2=1 440(1 +x)2=1.441 +x= +1.2x= ±1.2-1∴x1 =1.2-1 =0.2 = 20%x2= -1.2-1= -2.2(不合题意，舍去)答：捐款增长率为20%(2)1440x(1 +20%) =1 728元答：第四天该单位能收到1728元捐款。