习题及答案

数学物理方法习题

第一章：

应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、3r ?=

2、0r ??=

3、()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+?

4、21

()0

r ?=

5、()0A ???=

第二章：

1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1）0;

2

Z a Z b z z -=--=

（2）

0arg

4z i z i

π

-<<

+; 1R e()2

z =

2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。

1;

1i

i e

++

3、计算数值（a 和b 为实常数，x 为实变数）

s i n 5i

i

? s i n

s i n ()

i a z i b z

a i

b e

-+

4、函数

1

W z =

将z 平面的下列曲线变为W 平面上的什么曲线？

（1）2

2

4x y += （2）y x =

5、已知解析函数()f z 的实部(,)u x y 或虚部(,)x y υ，求解析函数。 （1）22

sin ;,(0)0;,(1)0x

u e y u x y xy f u f ?==-+===；

（2）

(00)

f υ=

=

6、已知等势线族的方程为2

2

x y +=常数，求复势。 第三章：

1、计算环路积分：

2

2

11

1

3

2

1

2

4

sin

4(1).(2).1

1sin (3).

(4).

()

2

31

(5).

(1)(3)

z z z i z z z z z

e

dz

dz

z z

z

e

dz dz

z

z z dz

z z π

π

+=+====-+-

-+-?

???

?

2、证明：2

1(

)!

2!n

n z n

l

z

z e d n i

n ξξ

πξ

ξ=

?

其中l 是含有0ξ=的闭合曲线。

3、估计积分值

22

2

i

i

dz z

+≤?

第四章： 1、泰勒展开

（1） ln z 在0z i = （2）1

1z

e

-在00z = （3）函数2

1

1z z -+在1z =

2、（1）

1

()(1)f z z z =

-在区域01z <<展成洛朗级数。

（2）

1

()(3)(4)f z z z =

--按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以0z =为中心展开；

②在0z =的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质

5

2

1

(1);

(2)

(1)s i n c o s

z

z z z -+

第五章： 1、计算留数

（1） 2

(1)(1)z

z z -+在1,z =±∞点。

（2） 3

1

sin z

e z -，在0z =点；

（3）

3

1

cos

2z z -在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；

（4） 1z

e

z +在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2、计算围道积分

（1）

5

1

;:2

(3)(1)

l

dz l z z z

=--? （2）

1;:2(1)(2)

2l

z

dz l z z z -=

--?

3、计算实变函数的定积分

（1）

20

2cos dx

x π+? （2）

2

20

sin (0)cos xdx a b a b x

π>>+?（3）220cos (1)

12cos xdx

x πεεε

<-+?

4、计算实变函数的定积分

（1）

2

411

x dx

x ∞-∞

++? （2）

4

4

1dx

x a

∞+?

5、计算实变函数的定积分

（1）

4

cos (0)

1m x dx m x

∞>+? （2）

2

2

2

2

cos ()()

x dx

x a x b ∞++?

（3）

2

2

sin x dx

x

∞?

第六章：

1、在00x =的邻域上求解 0y xy ''-=

2、在00x =的邻域上求解

2

(1)660x y x y y '''--+= 3、在00x =的邻域上求解2

0y y ω''-=

第七章：

1、长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点以横向力0F 拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。

2、一均匀细棒长l ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当

电梯速度达到0υ时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？ 第八章：

1、长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为T 。在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。

2、一均匀细棒长l ，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到0υ时突然停止，秋节竿的振动。

3、求解薄膜限定浓度的扩散问题

薄膜厚度为l ，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为0Φ，此外不再有杂质进入薄膜。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。

4、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件

00

();0;sin

,0

x x a y y b

x

u

A y b y u

u

B u

a

π=====-===

5、细圆环，半径为0ρ，初始温度分布已知为()f ?，?是以环心为极点的极角，环表面绝热，求解环内的温度变化。

6、求解绕圆柱的水流问题。在远离圆柱出水流是均匀的，流速为0υ，圆柱半径为a 。

7、半圆形薄板，半径为0ρ，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为0u ，求稳定状态下的板上温度分布。

8、一均匀细棒长l ，一端固定，另一端在纵向力0()sin F t F t ω=的长期作用下，求解杆的稳恒振动。

9、用冲量定理法求解 200s i n 00()t xx

x x x l t u a u A t u u u x ω?===?-=??

==??

=??

10、用冲量定理法求解 20000()(0)t xx x x x l t u a u bu u u u x x l ?===?-=-??

==??

=<

? b 为常数 第十章：

1、用一层不导电的物质把半径为0r 的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到1υ和2υ，计算电势分布。

2、一空心圆球区域，内半径为1r ，外半径为2r ，内球面上有恒定电势0,u 外球面上有电势保持为

2

10,1

cos ,u u u θ均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。

3、在本来均强的静电场0E

中，放置半径为0r 的导体球，使求解球外的静电场。

4、将(,)(13cos )sin cos f θ?θθ?=+按照求函数,(,)

l m Y θ?展开。

5、设有一均匀球体，在球面上温度为 (13cos )sin cos θθ?+，试在稳定状态下球球内的温度分布。

6、求证：

021

210

cos ()2()()

sin 2()()

m

m m m

m m x J x J x x J x ∞

=∞

+==+-=-∑∑

7、试证平面波能用柱面波展开，即

c o s

01

()2()()c o s

i k n

n n e

J k i J k

n ρ?ρρ?∞

==+∑

其中cos ik e

ρ?

为平面波的振幅因子。

8、计算积分（反复利用递推关系）

4

1()x

J x dx

?

9、半径为a ，高位h 的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为2

(),f ρρ=求解柱体内各点的温度分布。

10、有均匀圆柱，半径为a ，高位h ，柱侧面绝热，上下底温度分别保持为1()f ρ和

2()f ρ，求柱内稳定的温度分布。

数学物理方法习题答案：

第二章：

1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。

（2）左半平面0,x <但是除去圆2

2

(1)2x y ++=及其内部；圆

2211()416x y -

+= 2、2

,cos(2)sin(2)i

e i π

ππ+； 32,2[c o s (3)s i n (3)i

e

i π

ππ+；

,(c o s 1s i n i

e e e i ?+ 3、22k e

ππ

--； (623)

i k e

ππ

+； 4

2

3

5

5c o s s i n 10c o s

s i n

s i n

?

????-

+； 1

1()sin ()cos 2

2

b

b

b b

e e

a i

e e

a

--++- 1()c o s

2

y y

ay b e e x e

----

4、（1）

2

2

1

4u υ+=

变为W 平面上半径为1

2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。

5、(1) z

ie iC -+;

2

(1)

2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标

,,()2

2

u C f z ?

?

υ==+=6、ln C z D +

第三章：

1、 （1）

2i

π （2）、 i

ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π

2、 设

()!n

z z e

f n ξ

ξ= z 为参变数，则 ()

1

2

2

1

1()

1(0)

2!2!1()(

)

!!!

!

n

z n n n l

l

n

n n

n

z z n

z e d f d f

i

n i

n z

d

z

z

e

e

n n d n n ξξ

ξ

ξξξ

ξξπξ

ξπξ

ξ

+===

=

===??

第四章： 1、（1）2

3

2

3

()()ln 22z i

z i z i i i

i

i

---+

-

+

-

（2）

2

3

3

13(1)

2!

3!

e z z z ++

+

+

（3

）2

1

1

111()(

)[(1)(1)](1)

11

22

2

k

k k k

k

k z z i

i i z z z i

z i

z i

∞

=---=

-

=

--++--<+-+∑

2、(1) 1

n

n z

∞

=--∑

(2)

11

()4

3f z z z =

-

-- ①3z <时

1

10

1

1()3

4

k

k k k z ∞

++=-

∑ ，34z <<时

1

1

1

113

4

k

k

k k k k z z -∞

++=-∞

=-∑

∑

，4z >时

1

1

1

11(

)4

3

k

k

k k k z z -++=-∞

-

∑

②

1

1

11(

)3

4

k

k k k z ∞

++=-

∑

③ 031z <-<时

1

(3)

k

k z ∞

=---∑，041z <-<时

1

1

()

(4)

k k

k z ∞

+=---∑

；

④ 031z <-<，041z <-<同③的结果，而31z ->时，21

(3)k

k z ∞

=-∑，41z ->时，

2

1()

(4)k

k

k z ∞

=--∑

3、 （1）两个奇点 1,z z ==∞ 所以，1z =为()f z 的二阶极点。z =∞为()f z 的三阶极点。

（2）奇点为：,0,1,2,4

k

z k k π

π=-

=±±

为()f z 一阶极点；z =∞为()f z 的本

性奇点。

第五章： 1、（1）1R e (1)R e ()0

4sf sf =∞=

1R e (1)4sf -=-

（2） 1R e (0)

2sf =

（3） 1143R e (2)24sf C -==-

143R e (2)R e ()0

R e ()24sf sf sf +∞=∴∞=

（4）

11R e (1)R e ()R e (1)sf sf sf e

e -=

∞=--=-

2、（1）3z =和25

(0,1,2,)k i

k z e k π== 为函数的单极点

1

R e (3)

242sf = 1R e ()0

s f C -∞

==-= 0

R e (3)

R e ()

R e ()0

1

R e ()[R e ()R e (3)]

242k

k k k sf sf sf z sf z sf sf ∞

=∞

=+∞+=∴=-

∞+=-∑∑

51(3)(1)

121l i

dz z z π=---? （2）2Re (2)2i sf i ππ=

3、 （1

）

（2

）

2

2(a b

π- （3）2

2(1)πε

ε-

4、 （1

（2

3

5、 （1

）[cos(sin (e

-+

（2）2

2

()2()b

a

e b e

a a

b π----

（3） 2π

第六章：

1、 0011()()()y x a y x a y x =+

3

6

3014147(32)

()13!

6!

(3)!

k

x

k y x x x

k ???-=+

+

++

+

4

7

31

1225258

(3

1)()4!

7!

(31)!

k k y x x x x x k +???-=+

+

++++

2、0011()()()y x a y x a y x =+

2

420()6(1)(1)68

(23)(2

5)(1)68(2

4)

()12!

4!

(2)!

k k k k y x x x x k -?+-??---??+=+

+

+

+

+

1()y x x =

3、

2

2,1,2,(2)(1)

k

k c c k k k ω+=-

=++

1

0()c o s s i n c y x c x

x

ωωω

=+

第七章： 1、000

()t u F l h x l ==-（在[0,]h 上）

000

()t u

F h l x T l

==-（在[,]h l 上）

2、0x l υ

第八章;

1、初始位移

0000

0000()(0)()()

t t F l x x T l

x x u

u F x l x l x x l ==-<

00

2

2

1

21

(,)sin

sin

cos

n F l

n x n x n at u x t T

n

l

l

l

ππππ∞

==

∑ 2、

02

2

11()()212

2(,)sin cos

1()

2

n n x

n at

l

u x t a

l

l

n ππυπ

∞

=+

+

=

+

∑

3、

2

2

2

2401

22(,)(12)

k a

t

l

k k x u x t e con

l

l

ππ∞

-=Φ=

+

∑

4、

2

3

3

21()[()/]821sin

sin

21(/)

(21)n n sh a x sh b y a Ab

n b

B

x y

n sh b a a

b

n sh a

b

ππππππ

π∞

=+--++

?++∑

5、泛定方程为

2

0t a

u u ??ρ-

= 22

2

(,)(cos sin )n a t

n

n n u t A

n B n e

ρ???∞-

==

+∑

6、

2

00cos cos ,2a

υρ?υ??ρ

π

Γ

++

Γ

为任意值。

7、21

41

(

)sin(21)21k k u k k ρ

?

π

ρ∞

+=++∑

8、0

sin

sin cos(/)

aF x t

YS l a a

ωωωω

2

2

2

2

2

2

2

2

1()2

444

2

4222

21()2

4

4

4

2

41()2(1)12

9(,)cos

11

()()2

2

1

1()()22[

sin cos ]cos

1()2(1)12

cos

11

()()2

2n a n

l

n

n n n a n

t

l

n n A u x t e x l

n n a

l

n a

n t t x

l

l

n A e

x

l

n n a

l

πππ?

π

πωππωωωππ

πω+∞

∞

-

==+

∞

-=+-?=

+

+

+

+

++

?-+-++

+

+

∑∑

∑

1()22()cos

l n n x xdx

l

l

π

??+

=

?

2

2

2

222

2

2

[]421

20

10(,)sin

2()sin

n a b

b

t

x

l

a

a

n n b

x

l a

n n u x t e

e

x

l n x e

xdx

l

l

ππ?π??∞

-+

=?=

=∑?

第十章： 球函数：

1、球内：

21

12

12

210

(43)(21)!!()

()(cos )

2

2

(21)(22)!!k

k l k k k r P k k r υυυυυθ∞

++=+-++=

+

-?++∑

球外:

22

01212

210

(43)(21)!!()()

()(cos )

2

2

(21)(22)!!k

k l k r r k k P r

k k r υυυυυθ∞

++=+-++=

+

-?++∑

2、 1

1221

3

53

1

1

2012

21

12

0255

5

5

321

215

5

(

)(

)1

1

2

22

(,)()

[

](cos )2u u u r u r r r r u r r u r u r P r r r r r

r r r r r

θθ-=+-

?

+-----

3、

3000

2

(,)cos cos r u r E r E r

θθθ

=-+

4

、1,11,12,12,1 (,)(,)(,)](,)(,)]

f Y Y Y Y

θ?θ?θ?θ?θ?

--

=-+-

5、定解问题：

20,

(13cos)sin cos

r a

u r a

uθθ?

=

??=<

?

?

=+

??

121

12

2

2

(,,)cos(cos)()cos(cos)

3

cos sin cos sin2)

2

r r

u r P P

a a

r r

a a

θ??θ?θ?θ?θ

=+

=+

柱函数：

6、提示：利用

1

()

2

x

t

t

e

-

和cos sin

ix

e x i x

=+

7、提示：利用cos

2

i i

e e

??

?

-

+

=

和

1

()

cos

2()

x

t

ik n

t

n

n

e e J x t

ρ?

∞

-

=-∞

==∑

，设i

t ie?

=

9、定解问题

2

2

0,,0

0,

z z h

a

u a z h

u u

u

ρ

ρ

ρ

==

=

??=<<<

??

==

?

?

=

??

00

020

2

030

11

()()

[()4]

(,)2

()()

()

m m

m

m m

m m

x x

sh z J

x a a

u z a

x

x J x

sh h

a

ρρ

∞

=

-

=∑

10、定解问题

2

12

0,,0

0,

()()

a

z z h

u a z h

u

u f u f

ρ

ρ

ρ

ρρ

=

==

?

?=<<<

?

??

?

=

?

?

?

?

==

??

(,)()()

u z R Z z

ρρ

=

11

1

1

000

1

()()

()()

(,)[]()

m m

m

m

x x

z z

m

a a

m m

m

R J k

x

R J

a

x

u z c d c e d e J

a ρρ

ρρ

ρρ

∞-

=

=

=

=+++

∑

021

20

01

20

2

[()()]

2

()

a

a

c f f d

a h

d f d

a

ρρρρ

ρρρ

?

=-

??

?

?=

??

?

?

1

1

1211212()1,2,3,2()m m x

h

a m m m m

x h a

m m

m m

F e F c x sh h a

m F e F d x sh h a --?-+?

=???=??-?=??

?

12,m m F F 分别为12(),()f f ρρ的广义傅里叶展开。