(完整word版)高等代数教案北大版第八章.doc

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

手段

教

学

过

程

第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵

2 学时授课类型讲授法与练习法

使学生了解-矩阵的概念，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握- 矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

求-矩阵的逆矩阵

启发式讲授，讨论，练习

n 阶矩阵

A

与对角阵相似的充要条件是

A

有 n 个线性无关的特征向量

.

那么当只有 m( m n) 个线性无关的特征向量时, A与对角阵是不相似的.对这种情况,我们“退而求其次” ,寻找“几乎对角的”矩阵来与A相似 .这就引出了矩阵在相

似下的各种标准型问题 .

Jordan 标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角

阵相似的理论作为特例 .此外 , Jordan 标准型的广泛应用涉及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .

由于Jordan 标准型的求解与特征多项式有关,而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .

一、- 矩阵及其标准型

定义 1 称矩阵 A( ) ( f ij ( )) 为-矩阵 ,其中元素

f ij ( )(i 1,2,L , m; j 1,2,L , n)

为数域 F 上关于的多项式 .

定义 2 称 n 阶- 矩阵A( ) 是可逆的,如果有

A B B A I n

并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.

定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其行列式为非零的常数,即

det( A( )) c0 .

证明：（ 1）充分性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有

A d 1 A* d 1 A*A I

因此 ,A( ) 是可逆的.

(2) 必要性设A() 有可逆矩阵B() ,则

A B I

两边取行列式有

A B I 1

由于 A 与 B 都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 , 即都是非零常数 .证毕 .

例题 1 判断-矩阵

2 +1 2 1

A = 1

1

是否可逆 .

解虽然

2 +1 2 1

A = 1 = 2 0

1

A( ) 是满秩的,但A 不是非零常数 ,因而A( ) 是不可逆的.

注意与数字矩阵不同的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的本质就是要保证变换的矩阵可以通过非零常数的倒数逆回去.

定义3如果矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B() 等价,记为

A B

定理2矩阵A() 与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得

B P A Q

证明因为 A B, 所以A() 可以经过有限次初等变换变成B() ,即存在初等矩阵

P ( ), P ( ),L , P ( )

12s

与初等矩阵

Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )

使得

B( ) P ( ) P ( )L P ( ) A( )Q ( )Q ( ) L Q ( )

12s12t

令

P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,

Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )

就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,从而使可逆的 .证毕 .

定义 4 矩阵 A( ) 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k 称为 A( ) 的k阶行列式因子.

定理 2 等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子.

证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B( ) ，f ( ) 与 g( ) 分别是 A( ) 与 B( ) 的 k 阶行列式因子.需要证明f( )= g( ) .分3 种情况讨论：（ 1）A( ) i , j B( ) ,此时,B( ) 的每个 k 阶子式或者等于A( ) 的某个k 阶子式,或者与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ( ) 是B( ) 的k阶子式的公因子 ,从而f ()| g() .

（ 2）A( ) i(c)

B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或者等于A( ) 的某

个 k 阶子式,或者等于 A( ) 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f( ) 是B( ) 的 k 阶子式的公因式 ,从而f( )| g( ) .

（ 3）A( ) i j( )

行与 j 行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包含i

那些不包含 i 行的 k 阶子式都等于A( ) 中对应的 k 阶子式； B( ) 中那些包含 i 行但不包含 j 行的 k 阶子式,按 i 行分成两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A( ) 的两个 k 阶子式的线性组合,

所以

, f( ) 是的

k

阶子式公因式从而 f( )| g( )

.

,

对于列变换, 可以一样地讨论.总之 , A( ) 经过一系列的初等变换变成B( ) ，那么f( )| g( ) .又由于初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变

换可以变成 A( ) ,从而也有g( )| f( ) .

当 A( ) 所有的阶子式为零时, B( ) 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.

故 A( ) 与 B( ) 又相同的各阶行列式因子,从而有相同的秩.证毕.

既然初等变换不改变行列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完全相同的行列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因而 ,在求一个-矩阵的行列

式因子时 ,只要求出它的标准型的行列式因子即可.

讨论、练习与

作业

课后反思

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

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第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型

2 授课类型讲授课

了解- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的概念和求最小多项式的方法。

求标准型的方法和最小多项式的求法

求-矩阵标准型的方法

课堂讲授，辅以提问、练习

一、-矩阵的初等变换。

定义 1下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：

（1）矩阵的两行（列）互换位置；

（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数c ；

（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的( ) 倍， ( ) 是一个多项

式。

初等变换都是可逆的，并且有

p(i, j ) 1p(i , j ), p(i (c)) 1p(i (c 1 )),

p(i , j ( )) 1p(i, j ( )) 。

为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：

[i , j ] 代表i , j行（列）互换位置；

[ i( c)] 代表用非零的数 c 去乘i行（列）；

[i j ( )] 代表把j行（列）的( ) 倍加到i行（列）。

定义 2-矩阵A() 称为与 B() 等价，如果可以经过一系列初等变换将

A( ) 化为 B() 。

等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：

（ 1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。

（ 2）对称性：若A( ) 与 B( ) 等价，则 B( ) 与 A( ) 等价。这是由于初等变换具有可逆性的缘故。

（ 3）传递性：若A( ) 与 B( ) 等价， B( ) 与 C ( ) 等价，则A( ) 与

C () 等价，

引理设-矩阵A() 的左上角 a11 ( ) 0 ，并且 A( ) 中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与A( ) 等价的矩阵 B() ，它的左上角元素也不为零，但是次数比a11 () 的次数低。

定理 2任意一个非零的s n 的-矩阵A() 都等价与下列形式的矩阵

d1 ( )

d 2 ( )

d r ( )

0 最后化成的这个矩阵称为A( ) 的标准形。

例求-矩阵

1

A( )

2

的标准型 .

解

1

A( )0

1 1+2

2 2

2 1 2

2 2

0 0 2

1 0 0

0 0

0 0 2

即为所求的标准型.

二、矩阵最小多项式

定义 3：设 A

M n ( K ) 是一个矩阵，如果多项式

f (

)

a 0

m

a 1

m 1

a m 1

a m

使得： f ( A)

a 0 A m

a 1 A m 1

a m 1 A

a m E n

则称 f ( ) 是

A 的零化多项式。

A 的次数最小的首一零化多项式称为

A 的极小

多项式（ minimal polymial

） ,记为 m A ( ) 。

引理

2： m A (

) 整除

A 的任意零化多项式。特别的

m A (

) | f A ( ) 。

证明

设 f ( ) 是

A 的任一零花多项式，则

f ( A)

0 。由带余除法定理可知

f (

)

m A (

)q( )

r (

) ，r (

)

0 或

0 ( r (

))

(m A ( )) 。由

r ( A)

0 及

0 ( m

A ( )) 的最小性知 r ( ) 0 m A ( )

| f A ( )

引理 3： m A ( )

的根必是 f A ( ) 的根。

证明

若 A 有特征根

0 不是 m A ( ) 的根，则

(

0,

m A

(

)) 1 。 存在

u( ), v( ) C[ ] 使得 u( )( 0 ) v( )m A ( ) 1

u( A)( A

0 I m

)I n ，取行列式知 det( A 0I m )

0 与 0 是 A 的特征根矛

盾。

由引理 1、 2 知 m A ( ) 与 f A ( ) 有相同的根。

引理 4

相似矩阵有相同的最小多项式，反之不真。

例 1 设

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A

0 0 1 B

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

m A ( ) m B ( )

2

，但 A 、 B 不相似。

引理 5 设 A 为 n 阶方阵且

A 相似于

B

B 1 B 2

B 3

其中 B 1 、 B 3 为方阵，则 [ mB 1 ( ), mB 2 ( )] | m B ( )

特别的由引理

3 知 当 B 2

0 时

m A ( ) m B ( ) [ mB 1 ( ), mB 2 ( )] 。

定理 3 设 A M n (C )

r 1

r 2

ggg

r i

s

f A ( )

(

(2 ) i

) ,

ri

n

1 )

(

i 1

则 m A ( ) (

1)t 1

( 2 )t

2 ggg( i

)t i

，其中 1 t i r i ,1 i s.

由引理 1、 2 即得结论。

例 2 设

3 1 0

A 0

2 0 ，求 m A ( ) 1

1 2

解

f A ( ) (

3)(

2) 2 ， m A ( ) 只 能 是 下 两 个 多 项 式 之 一 ， 即

m 1( ) (

3)( 2) ， m 2 ( )

(

3)(

2) 2 将 A

带 入 m 1( ) 得

m 1( ) 0 ，故 m A ( ) (

3)(

2) 。

定理 4

m A ( )

f A

( A)

, D n 1(

) 为 I

A 的 n-1 阶行列式因子。

D n 1

(

)

可根据如下方法求出 D n 1 ( ) 。

因

为

( f A ( )

f A (u)), 记 r ( ,u) f A ( )

f A (u) 故

u

f A ( ) f A (u) (

u) r ( ,u) ， 分 别 以 I 与 A

代

和 ui 得

f A ( )I

( I

A)r ( I ,u) 得 r ( I A)

( I A *

)

（ A * 表示 A 的伴随矩

阵。而 D n 1

(

) 恰为 ( I

A * ) 的所有元素的首一最大公因式故用上述方法可求

出A 的最小多项式）。

例 4 设

3 3 2

A 1 5 2 求 m A ( ) 。

1 3 0

解 f A ( ) ( 2) 2 ( 4)

r ( ,u) f A ( ) f A (u) u2 u( 8) 2 8 20

u

2 5 6

3 6 2

4 ( I A* ) A2 A( 8) ( 2 8 20)I 2 2 3 2 2 4

2 3 6 2 8 12 显然 ( I A* ) 中所有元素首一最大公因式D n 1 ( ) 2

m A ( ) f A ( A)

2)( 4) D2 (

(

)

讨论、练习与

作业

课后反思

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

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第三讲不变因子

2授课类型讲授、互动通过 2 学时的讲授，使学生基本掌握线性变换的矩阵表示方法和来源，了

解矩阵和线性变换的这种等价关系，掌握不变因子的求法。

λ－矩阵的标准型和不变因子

λ－矩阵不变因子的求法

课堂讲授、练习

一、矩阵表示

设 V 和 W 都是数域 F 上的有限维向量空间，dimV=n ， dimW=m ，σ∈Hom(V ， W) ．

σ完全被它在 V 的一个基上的作用所决定．因此在 V 中取一个基1

,,

n；同时，在 W 中取一个基1 , , m ，则( 1 ), , ( n ) 由 1

,

2

,

, m 线性表示为

( 1 ) a11 1 a21 2 a m1 m

( n ) a1n 1 a2 n 2 a mn m ．(1)

将此写成矩阵形式，并令σ( 1 , 2 , , n )=( ( 1 ), ( 2 ), , ( n ) )，则得

a11 a1n

( 1 , , n ) ( 1, , m )

a

21

a

2n

a

m1

a

mn ，(2)

其中矩阵 A= (a ij)mn F m n，叫做线性映射σ在V 的基 { j }和W的基{ i } 下的矩阵．

在 V、 W 中分别取定一个基{ j } 、{ i} 以后，对于V 到 W 的每一个线性

映射σ，有唯一确定

的m× n 矩阵 A 与它对应．因此，这个对应给出了Hom(V ，W) 到F m n的一个映射．设∈ Hom(V ，W) ，则 ( )=B 是在基 { j }和基{ i}

下的矩阵．若 B=A ，则 (

j )

(

j )

， j 1, , n ．由命题 7.1.1，有 = ．这

表明 是单射．任给 C ∈ F m n ， W 中以 C 的第 j 列作为在基 {

i } 下的坐标的向

量记作

j ， j 1, , n ．存在 V 到 W 的一个线性映射 ，使得

(

j )=

j ，

j 1, , n ．从而

( 1

, ,

n

)=(

1

,

,

n

)=(

1

,

, m

)C ．

于是，C 是 在基 { j } 和基 { i} 下的矩阵． 因此 ( )=C ．这表明 是满射．故

是 Hom(V ,W) 到 F mxn 的一个双射．进一步，我们来证明

定理 1 设 V 和 W 都是数域 F 上有限维向量空间

, 其中 dimV=n,

dimW=m ．在 V 中取一个基

1

,

,

n

，在 W 中取一个基

1

,

, m ．则 V 到 W 的每一个线性映射与它在基 { j } 和基 { i} 下的矩阵的对应

是向量空

间 Hom(V ，W) 到 F m n 的同构映射，记作 Hom(V ， W)

F m n ．

证 前面已证

是到 Hom(V ，W) 到 F m n

的双射． 现在来证明 保持加法与 纯 量 乘 法 运 算 ． 任 取 , ∈ Hom(V ， W) ， 设 ( )=A,

( )=B ， 即

( 1 , , n ) ( 1 , , m ) A ， ( 1 , , n

)

( 1 , , m ) B ，则

(

)( 1, , n ) ((

)( 1 ), , (

)( n ))

( ( 1 ),

, ( n ))

( ( 1 ), , ( n ))

( 1 , , m ) A ( 1, , m )B ( 1 , , m )( A B)．

(3)

这表明 + 在基 {

j

} 和基 { i } 下的矩阵是 A ＋ B ．因此

( + )=A ＋B= ( )+

( )．

类似可证 (k ) kA k (

) ，其中 k ∈ F ．因此， 是 Hom(V ，W) 到 F m n

的同构映射． 再注意到定理

7.1.2，则有

推论 设 dimV=n ， dimW=m ，则 Hom(V ， W) 是有限维的，并且

dimHom (V ， W)=dimV · dimW ．

(4)

当知道 V 到 W 的线性映射

在基 {

j

} 和基 { i } 下的矩阵 A 之后， V 中任

一向量α在 下的象很容易求出，即有

命题

设

1,

, n 是 V 的一个基， 1, , m 是 W 的一个基，

∈ Hom(V ，

W) ，且 在基 {

j } 和基 { i } 下的矩阵为 A ．又

α

x 1

∈ V ，设α在基

{

j } 下的坐标为 ，则 ( ) 在基 { i } 下的坐

x n

x 1

标为 A

．

x n

证 我们有

( )

x 1 ( 1)

x n ( n )

x 1 x 1 x 1

( 1 , , n )

(( 1 , , m ) A)

x n

( 1， ， m ) A

．

x n x n

x 1

因此， A

是 ( ) 在基 1 , ,

m 下的坐标．

x n

推论 设 V 到 W 的线性映射

在基 {

j } 和基 { i } 下的矩

x 1

阵为 A ， V 中任一向量α在基 {

j } 下的坐标为 X= ， W 中向量

x n

y 1

在基 { i } 下的坐标为 Y=

，则 ( )

AX Y ．

y n

现在我们来讨论 n 维向量空间 V 上的线性变换与矩阵的关系． 设 ∈ EndV ，

我们把上面关于线性映射与矩阵的关系运用到 V 上的线性变换中．这时，

只需在 V 中取定一个基 1, , n ，把基向量 j 在 下的象

( j )仍然用这

个基线性表出，即

a 11 a 1n

( 1 , , n ) (

1

, , n )

a

21

a 2 n

，

(5)

a

n1

a

nn

右端的 n 阶矩阵 A= (a ij ) nn 叫做线性变换 在基 1,

, n 下的矩阵．

定理 2

设 V 是数域 F 上 n 维向量空间， 在 V 中取定一个基

1 ,n ，则

V 上的每一个线性变换与它在基

1

,

, n 下的矩阵的对应

是向量空间

EndV 到 Mn(F) 的同构映射，也是环 EndV 到 Mn(F) 的同构映射．

证 后半部分中

是双射，保持加法也已证明，剩下只要证

保持乘法．设

线性变换，在基 1 ,,n 下的矩阵分别是A， B，则( 1 , ,n )( 1 , ,n ) A，(1,,n )( 1 , ,n ) B．因为

( )( 1 ,

n

(

b i

1

i 1 (( 1 ), ,n )

i ,,

, (

( ( 1 , , n ))

n n

b in i ) ( b i1

i 1 i 1

n )) B (( 1

,

,

(( 1 , ,n )B )

n

(i ),, b in(i ))

i 1

n ) A)B ( 1 , ,n )( AB)．

所以在基1, , n下的矩阵是 AB ．于是

( ) AB ( ) ( ) ．

从而也是环 EndV 到 Mn(F) 的同构映射．

由此进一步得到

推论设数域 F 上 n 维向量空间 V 的一个线性变换在 V 的一个取定的基下的矩阵是 A ．则可逆的充分且必要条件是 A 可逆，并且其逆变换 1 在这个基下的矩阵就是 A 1．

证设可逆．令1 关于所取定的基的矩阵是 B ，则AB ( 1) (1 ) I n．同理 BA=In ．所以 B=A － 1．

V

反过来，设 A ，而A可逆，则有EndV 使 A 1．于是

I n AA 1 ( ) ，

从而易见1V．同理可证1V．所以可逆，且 1 ．

命题设 V 是数域 F 上 n 维向量空间，∈EndV ．若在 V 的基 1 ,,

n

下的矩阵为 A ，α∈ V 在基1 , n 下的坐标为X ，则 ( ) 在基

1 , , n下的坐标为 AX ．

二、不变因子

现在来证明，-矩阵的标准形是唯一的。为此，我们引入

定义 2 设- 矩阵A( ) 的秩为 r ，对于正整数k，1 k r ，A( ) 中必有非零的k 级子式。A( )中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式D k( ) 称为 A( ) 的k级行列式因子。

由定义可知，对于秩为r 的-矩阵，行列式因子一共有r 个。行列式因子

的意义就在于，它在初等变换下是不变的。

定理 3等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子

现在来计算标准形矩阵的行列式因子。设标准形为

d1 ( )

d 2 ( )

d r ( )

其中 d1 ( ) ， d 2 ( ) ，，d r() 是首项系数为1的多项式，且d i ( ) | d i 1 ( ) (i 1,2, ,r1) 。不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个

k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k 级子式一定为零。因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由i1 , i 2 , , i k列 (1 i1i 2i k r ) 组成的 k 级子式就行了，而这个k 级子式等于

d

i1()d

i2

( ) d

i k

( )

显然，这种 k 级子式的最大公因式就是

d1 ( )d 2 ( ) d k () 。

定理 4-矩阵的标准形是唯一的。

定义 3 标准形的主对角线上非零元素d1 ( ), d 2 ( ), ,d k ( ) 称为-矩阵的不变因子。

定理 5 两个 -矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，

它们有相同的不变因子。

由 (3) 可以看出，在-矩阵的行列式之间，有关系

D k ( ) | D k 1 ( ) (k 1,2, , r 1) 。（4）

在计算 -矩阵的行列式因子时，常常是先计算高级的行列式因子。这样，由

（ 4）我们就大致有了低级行列式因子的范围了。

作为一个例子，我们来看可逆矩阵的标准形。设A( ) 为一个 n n 可逆矩

阵，由定理 1 知

| A( ) | d,

其中 d 是一非零常数。这就是说，

D n ( ) 1 。

于是由（ 4）可知，D k() 1 ( k 1,2,, n) 。

因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 E 。反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定

是可逆的，因为它的行列式是一个非零的数。这就是说，矩阵可逆的充分必要

条件是它与单位矩阵等价。又矩阵 A( ) 与 B( ) 等价的充分必要条件是有一系

列初等矩阵P1， P2，, P l， Q1， Q 2， , Q t，使得

A( ) = P1 P2P l B() Q1 Q 2 Q t。

特别地，当B( ) =E时，就得到

定理6矩阵A() 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的

乘积。

由此又得到矩阵等价的另一条件

推论两个 s n 的-矩阵A() 与 B( ) 等价的充分必要条件为，有一个

s s可逆矩阵 P( ) 与一个 n n 可逆矩阵 Q () ，使

B( ) = P( ) A( ) Q ( ) 。

讨论、练习与

作业

课后反思

授课内容教学时数教学目标教学重点教学难点

教学方法与

手段

教

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过

程

第四讲矩阵相似的条件

2授课类型讲授法与练习法使学生了解矩阵相似的几种条件，在不同情况下如何求证明矩阵相似，尤其是矩阵相似与不变因子的关系

矩阵相似的充要条件

矩阵相似的充要条件

启发式讲授，讨论，练习

一个线性变换在取定基下的矩阵依赖于这个基的选择．同一个线性变换在

不同的基下的矩阵自然不一定相同．我们来考察一个线性变换在两个基下的矩

阵有什么关系．

设 V 是数域 F 上的一个n 维向量空间，∈EndV ．假设在 V 的两个基{ 1 , 2 , , n } 与 { 1, 2 , , n }下的矩阵分别是 A 与 B ，即

( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A , ( 1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n )B .

令 T 是由基 { 1, 2 , , n } 到基 { 1, 2 , , n } 的过渡矩阵，即

( 1 , 2, , n )=( 1, 2 , , n )T．

则

( 1 , 2, , n )B= ( 1, 2 , , n )= (( 1, 2 , , n )T)

= ( 1

,

2

,

, n )T=( 1, 2 , , n )AT=( 1

,

2

,

, n )T－1AT．

因此

B

1

(6)

T AT

．

等式 (6) 说明一个线性变换在两个基下的矩阵的关系．于是引进

定义

1

设

A B Mn(F)

．若存在

F

上一个

n

阶可逆矩阵

T

使等式

(6)

成立，，∈

则称 B 与 A 相似，记作 A~B ．

n阶矩阵的相似关系具有下列性质：

1

1)反身性A~A ．因为 A= I n AI n．

2)

对称性 若 A~B ，则 B~A ．

因为由 B T 1 AT 得 A TBT 1 (T 1 ) 1 BT 1

．

3)

传递性 若 A~B 且 B~C ，则 A~C ．

事实上，由 B T 1

AT

和

C U 1

BU 得

C

U

1

T 1 ATU = (TU ) 1 A(TU ) ．

等式 (6) 表明， n 维向量空间的一个线性变换在两个基下的矩阵是相似的．

反过来， 设

A 和 B

是数域

F 上两个相似的

n 阶矩阵， 则由定理

7.3.2，存在

F 上

n 维向量空间

V 的一个线性变换

，它在 V 的一个基

{

1,

2 ,

,

n } 下的矩

阵就是

A ．于是

(

1 ,

2 ,

,

n )=(

1, 2 ,

,

n )A ．

因为

B 与

A 相似，所以存在一个可逆矩阵

T ，使得

B

T 1 AT ．令

(

1 ,

2,

,

n )=(

1,

2 ,

,

n )T ，

则由定理

1， {

1 ,

2 ,

,

n } 也是

V 的一个基．容易看出，

在这个基下的

矩阵就是

B ．

因此，相似的矩阵可以看成一个线性变换在不同基下的矩阵．

最后，容易证明以下等式成立：

T 1 ( A 1

A 2

A r

)T

T 1 A 1T T 1 A 2 T

T 1A r T ,

T 1 A t T

(T

1AT )t

．

因此，寻找彼此相似的矩阵的简单形式，往往可以化简矩阵计算．

在求一个数字矩阵

A 的特征值和特征向量时曾出现过 -矩阵 E A ，我

们称它为 A 的特征矩阵。这一节的主要结果是证明两个 n n 数字矩阵 A 和 B

相似的充分必要条件是它们的特征矩阵

E A 和 E B 等价。

引理 1 如果 n

n 数字矩阵 P 0 ， Q 0 使

E A = P 0

（ E B ） Q 0

1

（ ）

则 A 与 B 相似。

引理 2 对于任何不为零的 n n 数字矩阵 A 和 -矩阵 U ( ) 与 V ( ) ，一

定存在

-矩阵 Q( ) 与 R(

) 以及数字矩阵 U 0 和 V 0 使

U ( ) =（E A）Q( )+U0，（ 2）

V ( ) = R( ) （E A）+V0。（ 3）定理 1 设 A ， B 是数域 P 上两个n n 矩阵。A与B相似的充分必要条

件是它们的特征矩阵 E A 和E B 等价。

矩阵 A 的特征值 E A的不变因子以后就简称为 A 的不变因子。因为两

个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以定理 1 即得推论矩阵 A 与 B 相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

应该指出， n n 矩阵的特征矩阵的秩一定是n 。因此， n n 矩阵的不变因子总是有 n 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式。

以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性

变换的任一矩阵的不变因子（它们与该矩阵的选取无关）定义为此线性变换的

不变因子。

例 3 用初等变换方法求

1 1

A( ) 0

1 0

的不变因子。

解

A( ) r1r2

r1 r3

c1c2

c1c3

r2 r3

r3 1 1 0 2

0 1

1 0 0 0 2

0 1

1 0 0 0 2

0 2 1

r2r3 c2c3 10

0 1

2

2

1 0

r 2 r 3

0 1

0 2c

2

c

3

2

3

0 0

不变因子

d 1

( )1,d 2

( )

1,d 3 ( )

3

2

。

讨论、练习与

作业

课后反思