抛物线专题复习讲义及练习
抛物线知识点汇总及考点例题
高一数学科讲义成绩好，信心足第 3 讲抛物线温故知新知识点核心：抛物线1.定义：把平面内与一个定点和一条定直线 l (l 不经过 )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的______,直线 l 叫做抛物线的________ 。
标准方程简图顶点焦点对称轴准线方程范围离心率y2 = 2px(p＞0)(0,0)(| p ,0)|( 2 )x 轴px = -2x之0,y从Ry2 = -2px(p＞0) x2 = 2py(p＞0) x2 = -2py(p＞0)(0,0)(|- p ,0)|( 2 )x 轴px =2x三0,y从Re=1直线过抛物的焦点抛物线交于(1)(2)(3)(4)以弦为直径的圆与准线相切两点(0,0)(|0,- p )|( 2 )y 轴px =(|0, p )|( 2 )y 轴py = -2y三0,x从R2y之0,x从R(0,0)考点一: 定义和标准方程抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．[例 1] 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点． (1) 求点 P 到点 A(－1, 1)的距离与点 P 到直线x ＝－1 的距离之和的最小值； (2) 若 B(3,2)，求 |PB|＋|PF| 的最小值．变式 1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 M (－3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值．考点二: 抛物线性质(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．[例 2]2_1 (2013 · 四川高考)抛物线 y2＝4x 的焦点到双曲线 x2 －3y2＝1 的渐近线的距离是_____________.1 变式2 ： 抛物线 y x 2的焦点坐标是( )．4☎ 1 (A) 0， ☎ 1 16(C) (0， 1) (D) ( 1，0)变式 3： 抛物线 y x 2 上一点到直线 2x y 4 0 的距离最短的点的坐标是 ( )A ． (1， 1)1 1 B ． ( , )2 4C ． ( , ) 2 4D ． (2， 4)考点三: 抛物线与直线直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线 y 2＝2px(p>0)， 过其焦点的直线交抛物线于 A ， B 两点， 设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)， 则有以下结论：(1) |AB|＝x 1＋x 2＋p 或 |AB|＝ sin 22p α (α 为 AB 所在直线的倾斜角)； (2) x 1x 2＝4p2； (3) y 1y 2 ＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为 2p.[例 3] (2012 ·福建高考)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E ： x 2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y ＝－1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．3 9(B) ，016变式 4：已知过点 A(－4,0)的动直线 l 与抛物线 G：x2＝2py(p>0)相交于 B，C 两点．当直线 l 的斜率是21时，AC ＝4AB .(1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．考点四: 前沿热点1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去 x(或 y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013 ·湖南高考)过抛物线 E： x2＝2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k， k2 的两条不同直线 l1， l2 ，且 k1＋k21＝2， l1与 E 相交于点 A， B， l2 与 E 相交于点 C， D，以 AB， CD 为直径的圆 M，圆 N(M， N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k1>0， k2>0，证明：FM · FN <2p2； (2)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为7 5 5 ，求抛物线 E 的方程．3 2变式 5：(2013 ·广东高考)已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 F(0， c)(c>0)到直线 l： x－y－2＝0 的距离为 2 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA， PB，其中 A， B 为切点．(1)求抛物线 C 的方程；(2)当点 P(x0， y0)为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|· |BF|的最小值．变式 6：已知直线 y＝－2 上有一个动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴，动点 P 在 l1 上，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程； (2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线，当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时，求直线 l2 的方程．课后练习：一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1．如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1，那么它的焦点坐标为 ( )A． (1, 0) B． (2, 0) C． (3, 0) D． (－1, 0)2．圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( )1A． x2+ y 2-x-2 y - =0 B． x2+ y 2+x-2 y +1=041C． x2+ y 2-x-2 y +1=0 D． x2+ y 2-x-2 y + =043．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 1m，则水面宽为( ) A． 6 m B． 2 6 m C． 4.5m D． 9m4．平面内过点 A ( -2， 0)，且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( )A． y 2=－2x B． y 2=－4x C． y 2=－8x D． y 2=－16x5．抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上点( -5， m)到焦点距离是 6，则抛物线的方程是( )A． y 2=-2x B． y 2=-4xC． y 2=2x D． y 2=-4x 或 y 2=-36x6．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于 A(x1, y 1) ， B(x2, y 2)两点，如果 x1+ x2=6，那么|AB|= ( )A． 8 B． 10 C． 6 D． 47．把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a= (2,一3) 平移，所得的曲线的方程是( ) A．(y 一 3)2 = 一4(x 一 2) B．(y 一 3)2 = 一4(x + 2)C．(y + 3)2 = 一4(x 一 2) D．(y + 3)2 = 一4(x + 2)8 ．过点 M (2， 4) 作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有 ( )A． 0 条 B． 1 条 C． 2 条 D． 3 条1 1 9．过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则+ 等于p q( )1 4A． 2a B． C． 4a D．2a a。
艺术生高考数学专题讲义：考点44 抛物线
考点四十四 抛物线知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 焦半径 |PF |＝p2＋x 0|PF |＝p2－x 0|PF |＝p2＋y 0|PF |＝p2－y 0开口方向向右向左向上向下3．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3) S △AOB ＝p 22sin θ(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切，以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．(6)当AB 与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB 为抛物线的通径，它是焦点弦中最短者，长度等于2p .典例剖析题型一 抛物线的定义及其应用例1 若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 答案1516解析 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.变式训练 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝__________． 答案 3解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34， ∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF |＝|QQ ′|＝3解题要点 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．题型二 抛物线的标准方程求解例2 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．求抛物线C 的方程，并求其准线方程； 解析 将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ×1，所以p ＝2. 故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.变式训练 已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是__________． 答案 y 2＝±42x解析 因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p 2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .解题要点 求抛物线的标准方程的方法：①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 题型三 抛物线的几何性质例3 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．答案 y 2＝3x解析 分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D ，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又∵|AE |＝|AF |＝3， ∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x .变式训练 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于__________． 答案 3解析 ∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3. 解题要点 应用抛物线性质的技巧：1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．2.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．3.借助抛物线的定义，在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化．当堂练习1．(2015陕西文）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________． 答案 (1,0)解析 由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为__________． 答案 2 3解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.3. (2014年辽宁卷)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________． 答案 －34解析 ∵点A (－2,3)在y 2＝2px 的准线上，∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝2px 的焦点为F (2,0)，∴k AF ＝3－0－2－2＝－34.4．(2014·安徽)抛物线y ＝14x 2的准线方程是__________．答案 y ＝－1解析 ∵y ＝14x 2，∴x 2＝4y .∴准线方程为y ＝－1.5．已知A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝________. 答案 1∶ 5解析 MF 的方程为x 2＋y ＝1即x ＋2y －2＝0，MF 的倾斜角为α，则tan α＝－12，由抛物线的定义可知|MF |＝|MQ |；∴|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝sin α＝55＝15. 课后作业一、 填空题1．过点P (－2,3)的抛物线的标准方程是__________． 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y解析 设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2,3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y .2．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是__________． 答案 18解析 由x 2＝14y ，知p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是__________． 答案 y 2＝8x解析 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得焦点F (2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，故抛物线的标准方程为y 2＝8x .4．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是__________． 答案 (1,2)解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号． ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1.5．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为__________． 答案 y 2＝8x解析 由题意，得2－⎝⎛⎭⎫－p2＝4，p ＝4，所以抛物线的方程为y 2＝8x . 6．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是__________． 答案 y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析 将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，当a >0时，准线y ＝－14a ，由已知得3＋14a ＝6，∴1a ＝12，∴a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，由已知得|3＋14a |＝6， ∴a ＝－136或a ＝112(舍)．∴抛物线方程为y ＝x 212或y ＝－136x 2.7．抛物线y ＝－2x 2的焦点坐标为__________． 答案 (0，－18)解析 y ＝－2x 2化为标准方程为x 2＝－12y ，其焦点坐标是(0，－18).8．抛物线y 2＝4x的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是__________． 答案32 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为±3x －y ＝0，则所求距离为d ＝32. 9．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB OA AF =+ (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是__________． 答案 1解析 由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)， S △BOF ＝12·|OF |·|y B |＝12×1×2＝1.10．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到抛物线焦点的距离为________． 答案 32解析 设M (x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 2＋y 2＝3，得x 2＋2x －3＝0.解得x ＝1或x ＝－3(舍)．所以点M 到抛物线焦点的距离d ＝1－－12＝32.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________． 答案 x ＝－1解析 直线方程为y ＝x －p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0.设A 和B 的纵坐标分别为y 1和y 2，由韦达定理知y 1＋y 2＝2p ，又线段AB 的中点的纵坐标为2，所以p ＝2.于是抛物线的准线方程为x ＝－1． 二、解答题12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.求C 的方程；解析 设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .13．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，求△OPQ 面积S △OPQ ．解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|PF |＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3，∴点P 的横坐标为2. 将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点P 的纵坐标y ＝22， ∴P (2,22)，∴直线PF 的方程为y ＝22(x －1)．联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知Q ⎝⎛⎭⎫12，－2，∴S △OPQ ＝12|OF |·|y P －y Q |＝12×1×|22＋2|＝322.。
2021年新课标版文数高考复习练习讲义：§9.5 抛物线及其性质
§9.5 抛物线及其性质探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点抛物线的定义及标准方程①了解抛物线的定义,并会用定义进行解题;②掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2019课标全国Ⅰ,21,12分抛物线定义及方程圆的方程,圆的几何性质,抛物线的几何性质★★☆抛物线的几何性质①知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率);②能用其性质解决有关抛物线的问题,了解抛物线的一些实际应用2019课标全国Ⅱ,9,5分抛物线的几何性质椭圆的几何性质★★☆2016课标全国Ⅱ,5,5分抛物线的几何性质等轴双曲线直线与抛物线的位置关系①会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系;②根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2018课标全国Ⅰ,20,12分直线与抛物线的位置关系直线的方程,定值问题的证明★★★2019课标全国Ⅲ,21,12分直线与抛物线的位置关系直线过定点,圆的方程,直线与圆的位置关系分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着重于对数学思想方法及数学语言的考查.破考点练考向【考点集训】考点一抛物线的定义及标准方程1.(2019河北衡水三模,6)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若A,B,C三点坐标分别为(1,2),(x1,y1),(x2,y2),且|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,则x1+x2=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2020届贵州贵阳摸底,14)若直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与C相交于A,B两点,且线段AB的中点M的坐标为(3,2),则抛物线C的方程为.答案y2=4x或y2=8x3.(2018云南玉溪模拟,14)已知F 是抛物线y=x 2的焦点,M 、N 是该抛物线上的两点,|MF|+|NF|=3,则线段MN 的中点到x 轴的距离为 . 答案 54考点二 抛物线的几何性质1.(2019皖中地区调研,9)抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF 的中点B 在抛物线上,则|BF|=( ) A.54B.52C.√22D.3√24答案 D2.(2019广东韶关第一中学月考,11)直线l 过抛物线y 2=ax(a>0)的焦点F 且与抛物线交于A,B 两点,则|AF|·|BF||AF|+|BF|=()A.a 2B.a 4C.2aD.4a答案 B考点三 直线与抛物线的位置关系答案 B2.(2020届山东夏季高考模拟,15)直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则p= ,1|AF|+1|BF|= .(本题第一空2分,第二空3分)答案 2;13.(2020届河南百校联盟10月联考,20)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=x+1与抛物线C 相切于点P,过点P 作抛物线C 的割线PQ,割线PQ 与抛物线C 的另一个交点为Q,A 为线段PQ 的中点,过A 作y 轴的垂线,与直线l 相交于点N,M 为线段AN 的中点.(1)求抛物线C 的方程; (2)求证:点M 在抛物线C 上.答案 (1)由{y =x +1,y 2=2px 得y 2=2p(y-1),即y 2-2py+2p=0①.(1分)依题意得,Δ=(-2p)2-8p=0,由p>0,解得p=2.所以抛物线C 的方程为y 2=4x.(4分)(2)证明:将p=2代入①得y 2-4y+4=0,解得y 1=y 2=2, 将y=2代入y=x+1,得x=1,所以点P(1,2).(5分) 设Q(m,n),则n 2=4m,因为A 为线段PQ 的中点,所以A (m+12,n+22).(7分)联立{y =x +1,y =n+22,得N (n 2,n+22),所以线段AN 的中点M 的坐标为(m+n+14,n+22),(9分)又4×m+n+14=n 24+n+1=(n+22)2,满足y 2=4x,(11分)所以线段AN 的中点M 在抛物线C 上.(12分)炼技法 提能力 【方法集训】方法1 求抛物线的标准方程的方法1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l 过抛物线y 2=-2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A 、B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线的方程是( ) A.y 2=-12xB.y 2=-8xC.y 2=-6xD.y 2=-4x答案 B2.(2019湖南八校第一次调研,9)在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到圆(x-2)2+y 2=1上的点的最小距离与其到直线x=-1的距离相等,则P 点的轨迹方程是( ) A.y 2=8x B.x 2=8y C.y 2=4x D.x 2=4y 答案 A3.(2020届山西康杰中学期中,14)顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3√5,则此抛物线的方程为 . 答案 y 2=4x 或y 2=-36x方法2 抛物线定义的应用策略1.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于B 、C 两点,l 与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|BC|=( ) A.8B.132C.6D.92答案 D2.(2019宁夏银川质量检测,14)已知P 是抛物线y 2=4x 上一动点,定点A(0,2√2),过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q,则|PA|+|PQ|的最小值是 . 答案 23.(2019河南顶级名校高三入学测试,15)抛物线y 2=8x 的焦点为F,点A(6,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 周长的最小值为 . 答案 13方法3 与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法1.(2018福建莆田模拟,6)已知O 为坐标原点,F 为抛物线C:y 2=8x 的焦点,过F 作直线l 与C 交于A,B 两点.若|AB|=10,则△OAB 的重心的横坐标为( ) A.43B.2C.83D.3答案 B2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过F 的直线与C 交于A 、B 两点,且线段AB 中点的纵坐标为2,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为( ) A.2√2 B.√2 C.2 D.4答案 A3.(2020届云南师范大学附中第二次月考,20)过F(0,1)的直线l 与抛物线C:x 2=4y 交于A,B 两点,以A,B 两点为切点分别作抛物线C 的切线l 1,l 2,设l 1与l 2交于点Q(x 0,y 0). (1)求y 0;(2)过Q,F 的直线交抛物线C 于M,N 两点,证明:QF ⊥AB,并求四边形AMBN 面积的最小值. 答案 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=kx+1, 联立{x 2=4y,y =kx +1得x 2-4kx-4=0,所以{x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4,由x 2=4y 得y=x 24,则y'=12x,所以l 1:y-y 1=12x 1(x-x 1),即l 1:y=12x 1x-x 124,同理l 2:y=12x 2x-x 224,由{y =12x 1x -x 124,y =12x 2x -x 224,x 1+x 2=4k,y 1=kx 1+1得{x =x 1+x 22=2k,y =-1,所以y 0=-1.(2)因为QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1+x22,2),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),所以QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 22-x 122+2(y 2-y 1)=-x 22-x 122+x 22-x 122=0,所以QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即MN ⊥AB. 由(1)得|AB|=y 1+y 2+2=k(x 1+x 2)+4=4k 2+4,同理|MN|=4k2+4,则S 四边形AMBN =12|AB||MN|=8(k 2+1)(1k2+1)=8(k 2+1k 2+2)≥32,当且仅当k=±1时,取“=”.所以四边形AMBN 面积的最小值为32.【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2019课标全国Ⅱ,9,5分)若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2B.3C.4D.8答案 D2.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12B.1C.32D.2答案 D3.(2018课标全国Ⅰ,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN.答案 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0. 由{y =k(x -2),y 2=2x 得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k ,y 1y 2=-4.直线BM,BN 的斜率之和为 k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).①将x 1=y 1k+2,x 2=y2k+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =-8+8k=0.所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN. 综上,∠ABM=∠ABN.4.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程. 答案 (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2, 设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1, 解得x 3=2,于是M(2,1). 设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1. 从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1). 由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7. 所以直线AB 的方程为y=x+7.5.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 答案 由题设知F (12,0).设l 1:y=a,l 2:y=b,易知ab ≠0, 且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b 2). 记过A,B 两点的直线为l,则l 的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)证明:由于F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba=-b=k 2. 所以AR ∥FQ.(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D(x 1,0),则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2. 由题设可得2×12|b-a||x 1-12|=|a -b|2, 所以x 1=0(舍去)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时, 由k AB =k DE 可得2a+b =yx -1(x ≠1). 而a+b2=y,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合. 所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.(12分)B 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 抛物线的定义及标准方程(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1.(1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与x 轴交于点M.求M 的横坐标的取值范围.答案 (1)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p 2=1,即p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为y 2=4x,F(1,0),可设A(t 2,2t),t ≠0,t ≠±1.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF:x=sy+1(s ≠0),由{y 2=4x,x =sy +1消去x 得y 2-4sy-4=0,故y 1y 2=-4,所以,B (1t2,-2t).又直线AB 的斜率为2t t 2-1,故直线FN 的斜率为-t 2-12t. 从而得直线FN:y=-t 2-12t (x-1),直线BN:y=-2t.所以N (t 2+3t 2-1,-2t). 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得2t t2-m =2t+2tt2-t2+3t2-1,于是m=2t2t2-1.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).考点二抛物线的几何性质答案D2.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)3.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1考点三直线与抛物线的位置关系(2019浙江,21,15分)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程;(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.答案本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.体现了数学抽象的核心素养和转化与化归的思想方法.(1)由题意得p2=1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=-1.(2)设A(x A,y A),B(x B,y B),C(x C,y C),重心G(x G,y G).令y A=2t,t≠0,则x A=t2.由于直线AB过F,故直线AB方程为x=t 2-12ty+1,代入y2=4x,得y2-2(t2-1)t y-4=0,故2ty B=-4,即y B=-2t,所以B(1t2,-2t).又由于x G=13(x A+x B+x C),y G=13(y A+y B+y C)及重心G在x轴上,故2t-2t+y C=0,得C((1t -t)2,2(1t-t)),G(2t4-2t2+23t2,0).所以,直线AC方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而S1S2=12|FG|·|y A| 12|QG|·|y C|=|2t4-2t2+23t2-1|·|2t| |t2-1-2t4-2t2+23t2|·|2t-2t|=2t 4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.令m=t2-2,则m>0,S1 S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-2√m·3m+4=1+√32.当m=√3时,S1S2取得最小值1+√32,此时G(2,0).C组教师专用题组考点一抛物线的定义及标准方程1.(2014课标Ⅰ,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A答案C3.(2011课标,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±√22x考点二抛物线的几何性质(2013课标Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2015四川,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案 D2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C3.(2014四川,10,5分)已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2B.3C.17√28D.√10答案 B4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C 1:y=14x 2,圆C 2:x 2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA,PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切,A,B 为切点. (1)求点A,B 的坐标; (2)求△PAB 的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.答案 (1)由题意知直线PA 的斜率存在,故可设直线PA 的方程为y=k(x-t), 由{y =k(x -t),y =14x2消去y,整理得x 2-4kx+4kt=0, 由于直线PA 与抛物线相切,得k=t. 因此,点A 的坐标为(2t,t 2).设圆C 2的圆心为D(0,1),点B 的坐标为(x 0,y 0),由题意知:点B,O 关于直线PD 对称,故{y 02=-x 02t+1,x 0t -y 0=0,解得{x 0=2t1+t 2,y 0=2t 21+t 2.因此,点B 的坐标为(2t 1+t 2,2t 21+t 2). (2)由(1)知|AP|=t ·√1+t 2, 和直线PA 的方程tx-y-t 2=0.点B 到直线PA 的距离是d=t 22,设△PAB 的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|·d=t 32.6.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F(1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程;(2)设斜率为k 的直线l 过定点P(-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围. 答案 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即√(x -1)2+y 2=|x|+1, 化简整理得y 2=2(|x|+x).故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x,C 2:y=0(x<0), 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k(x+2). 由方程组{y -1=k(x +2),y 2=4x,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14. 故此时直线l:y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1). (ii)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则 由y-1=k(x+2),令y=0,得x 0=-2k+1k.③ 若{Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1或k>12,即当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点, 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点. 若{Δ=0,x 0<0或{Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈{-1,12}或-12≤k<0,即当k ∈{-1,12}时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点. 当k ∈[-12,0)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点. 故当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. 若{Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k<-12或0<k<12,即当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点;当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点;当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.7.(2012课标全国,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值. 答案 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2, 解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|, 所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33.当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0.解得b=-p 6.因为m 在y 轴上的截距b 1=p 2,所以|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3.当m 的斜率为-√33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值为3.8.(2010全国Ⅰ,22,12分)已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D.(1)证明:点F 在直线BD 上;(2)设FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =89,求△BDK 的内切圆M 的方程. 答案 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),D(x 1,-y 1),l 的方程为x=my-1(m ≠0). (1)证明:将x=my-1代入y 2=4x 并整理得y 2-4my+4=0, 从而y 1+y 2=4m,y 1y 2=4.① 直线BD 的方程为y-y 2=y 2+y 1x 2-x 1·(x-x 2),即y-y 2=4y 2-y 1·(x -y 224). 令y=0,得x=y 1y 24=1.所以点F(1,0)在直线BD 上.(2)由(1)知,x 1+x 2=(my 1-1)+(my 2-1)=4m 2-2, x 1x 2=(my 1-1)(my 2-1)=1.因为FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1,y 1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-1,y 2), FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2 =x 1x 2-(x 1+x 2)+1+4=8-4m 2,故8-4m 2=89,解得m=±43.所以l 的方程为3x+4y+3=0,或3x-4y+3=0. 又由①知y 2-y 1=±√(4m)2-4×4=±43√7,故直线BD 的斜率为4y 2-y 1=±√7, 因而直线BD 的方程为3x+√7y-3=0,或3x-√7y-3=0.因为KF 为∠BKD 的平分线,故可设圆心M(t,0)(-1<t<1),M(t,0)到l 及BD 的距离分别为3|t+1|5,3|t -1|4. 由3|t+1|5=3|t -1|4得t=19或t=9(舍去),故圆M 的半径r=3|t+1|5=23. 所以圆M 的方程为(x -19)2+y 2=49.【三年模拟】时间:50分钟 分值:70分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2020届四川天府名校10月联考,7)若抛物线y 2=2px(p ≠0)的准线为圆x 2+y 2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为( ) A.y 2=-16xB.y 2=-8xC.y 2=16xD.y 2=8x 答案 C2.(2020届赣中南五校第二次联考,11)点A 的坐标为(3,2),F 是抛物线y 2=2x 的焦点,当点M 在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(12,1) C.(1,√2) D.(2,2)答案 D3.(2020届江西红色七校第二次联考,11)已知过抛物线y 2=4√2x 焦点F 的直线与抛物线交于点A,B,AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,抛物线的准线l 与x 轴交于点C,AM ⊥l 于点M,则四边形AMCF 的面积为( ) A.12√3 B.12 C.8√3 D.6√3 答案 A4.(2019湖南长沙统一检测,11)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,点A(1,a)(a>0)在C 上,|AF|=3.若直线AF 与C 交于另一点B,则|AB|的值是( ) A.12B.10C.9D.45答案 C5.(2019名校联盟模拟二,11)直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于A,B 两点,O 为坐标原点,OA ⊥OB,若△AOB 的面积的最小值为4,则抛物线的方程为( )A.y 2=x B.y 2=2x C.y 2=4x D.y 2=8x 答案 B6.(2019江西九江二模,12)已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,连接AF 并延长交抛物线C 于点D,若AB 中点的纵坐标为|AB|-1,则当∠AFB 最大时,|AD|=( ) A.4B.8C.16D.163答案 C二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2020届河南南阳一中10月月考,13)点M(2,1)到抛物线y=ax 2(a ≠0)准线的距离为2,则a 的值为 . 答案14或-1128.(2020届河南中原联盟第四次测评,15)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过F 且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A,B 两点,AM ⊥l,BN ⊥l,M 、N 为垂足,点Q 是MN 的中点,|QF|=2,则p= . 答案 √39.(2018安徽安庆二模,14)设抛物线x 2=4y 的焦点为F,点A,B 在抛物线上,且满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=32,则λ的值为 . 答案 12三、解答题(共25分)10.(2020届内蒙古包头一中月考,20)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F 的抛物线C:y 2=2px(p>0)相切. (1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A,B 两点,求A,B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 答案 (1)由{x -y +1=0,y 2=2px 消去x,得y 2-2py+2p=0,(2分)∵直线l:x-y+1=0与抛物线C 相切, ∴Δ=4p 2-8p=0,解得p=2(p=0舍去).(4分) ∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(5分)(2)设直线m 的方程为ty=x-1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(6分) 由{ty =x -1,y 2=4x 消去x,得y 2-4ty-4=0,(7分) ∴y 1+y 2=4t,从而x 1+x 2=4t 2+2,(8分)∴线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t).(9分)设点A 到直线l 的距离为d A ,点B 到直线l 的距离为d B ,点M 到直线l 的距离为d,则d A +d B =2d=2·2√2=2√2|t 2-t+1|=2√2|(t -12)2+34|,(11分)∴当t=12时,d A +d B 取最小值,即A 、B 两点到直线l 的距离之和最小,最小值为3√22.(12分)11.(2020届山西长治重点中学11月联考,20)已知点F 为抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E 上,且|AF|=3. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF 交抛物线E 于点B,证明:以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.答案 (1)由抛物线的定义知|AF|=2+p 2.又因为|AF|=3,所以2+p 2=3,解得p=2,所以抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上, 所以m=±2√2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1). 由{y =2√2(x -1),y 2=4x 得2x 2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G(-1,0),所以k GA =2√2-02-(-1)=2√23,k GB =-√2-012-(-1)=-2√23, 所以k GA +k GB =0,从而∠AGF=∠BGF,所以点F 到直线GA,GB 的距离相等, 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 证法二:设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y 2=4x 上,所以m=±2√2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF 的方程为y=2√2(x-1), 由{y =2√2(x -1),y 2=4x 得2x 2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B (12,-√2).又G(-1,0),故直线GA 的方程为2√2x-3y+2√2=0, 从而r=√2+2√2|√8+9=√2√17. 又直线GB 的方程为2√2x+3y+2√2=0, 所以点F 到直线GB 的距离d=√2+2√2|√8+9=√2√17=r, 所以以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。
高中数学复习讲义抛物线
(2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，
则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p，顶点
到准线的距离
p
2
，焦点到准线的距离为p.
2
(3)已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交
抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1+x2+p或
AB
1.抛物线的定义:平面内到一定点F的距离 与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
(1)方程y2=±2px(p>0)，x2=±2py(p>0)叫 做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物 线的开口方向.
(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是( ,0)，
(1)凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，
一般运用定义转化为到准线的距离处理.
(2)若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)）上一
(当AB⊥x轴时，上述的结论显然成立)
（Ⅱ）因为
FA
x1
p，FB 2
x2
p， 2
所以
1 FA
1 FB
1 x1
p 2
1 x2
p 2
2 2 x1
p
2 2x2
p
4（x1 x2） 4 p 4x1 x2 2 p（x1 x2）
p2
由（Ⅰ）
x1 x2
1 4
p2，代入上式，
在y轴上，其坐标为（0, 1），选D. 3
高考数学复习考点知识讲解与专题练习61---抛物线
高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析 法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析 因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝ －2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级 能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析 由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级 创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析 由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习60---抛物线(二)
新高考数学复习考点知识专题讲解与练习专题60 抛物线（二）一、单项选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN|＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－32．已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点M(1，y 0)在抛物线C 上，|MF|＝5y04，则tan ∠FAM ＝( ) A.25 B.52 C.54 D.453．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，a (a>0)在C 上，|AF|＝3.若直线AF 与C 交于另一点B ，则|AB|的值是( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．4.54．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(0，0) C ．(1，2) D ．(1，4) 5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y1y2x1x2的值一定等于A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 26．已知抛物线C ：y 2＝4x 与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，焦点为F ，则cos ∠AFB=A.45B.35 C ．－35 D ．－457．(2018·课标全国Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|∶|FM|等于( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶ 2D ．1∶ 3 9．(2021·衡水中学调研)已知抛物线y 2＝4x ，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两个不同的点，则y 12＋y 22的最小值为( ) A ．12 B ．24 C ．16 D ．32 10．(2021·石家庄市模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M(3，0)．若△MAB 的面积为42，则|AB|＝( )A ．2B ．4C ．2 3D ．8 二、多项选择题11．(2021·山东高考实战演练仿真卷)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，以下四个结论中正确的是( ) A ．x 1x 2＝－4B ．|AB|＝y 1＋y 2＋1C ．∠A 1FB 1＝π2D ．AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为212．(2021·山东高考统一模拟)设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM|＋|ON|≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过定点(2，0)D ．点O 到直线MN 的距离不大于2 三、填空题与解答题 13．(2021·山东高考统一模拟)已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线l ：4x －3y －2p ＝0在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若|AF →|＝λ|FB →|，则λ＝________． 14．(2020·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 15．(2021·四川遂宁市高三三诊)已知点M(0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若AM →·FM→＝0，则点B 的纵坐标为________． 16．(2021·广西柳州模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF→＝3FB →，求直线AB 的斜率； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为点C ，求四边形OACB 面积的最小值．17．(2021·八省联考)已知抛物线y 2＝2px 上三点A(2，2)，B ，C ，直线AB ，AC 是圆(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋2y ＋1＝0B ．3x ＋6y ＋4＝0C ．2x ＋6y ＋3＝0D ．x ＋3y ＋2＝0 18．(2019·课标全国Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B.(1)证明：直线AB 过定点； (2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．参考答案1．答案 D 解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线C 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，知AF ，BF 的中点的纵坐标分别为y12，y22，则|MN|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y22－y12＝12|y 2－y 1|＝43，所以|y 2－y 1|＝8 3.由题意知直线AB 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x ，得y ＝－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫y22p －p 2，即3y 2＋2py －3p 2＝0，所以y 1＋y 2＝－2p 3，y 1y 2＝－p 2，于是由|y 2－y 1|＝83，得(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝192，所以⎝⎛⎭⎪⎫－2p 32＋4p 2＝192，解得p ＝6，p 2＝3，所以抛物线C 的准线方程为x ＝－3.故选D.2．答案 D 解析 过点M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则|MN|＝y 0＋p2＝5y04，故y 0＝2p.又M(1，y 0)在抛物线上，故y 0＝12p ，于是2p ＝12p ，解得p ＝12， ∴|MN|＝54，∴tan ∠FAM ＝tan ∠AMN ＝|AN||MN|＝45.故选D.3．答案 C 解析 结合抛物线的性质可得p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以点A 的坐标为(1，22)，所以直线AB 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线方程，计算B 的坐标为(4，－42)，所以|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝9.故选C.4．答案 A 解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1，即切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选A.5．答案 A 解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，则y1y2x1x2＝－4.②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p)x ＋p2k24＝0，则x 1x 2＝p24.∵y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2.故y1y2x1x2＝－4.故选A.6．答案 D 解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点(点A 在点B 下方)，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|＝－810＝－45.故选D.7．答案 D 解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F(1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.8．答案 A 解析 方法一：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF|＝32，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A.方法二：抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，M(2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝22（x －1），得y 2－2y －4＝0，解得y ＝22或y ＝－2，∴点N 的纵坐标为－ 2.过点M 作MM ′⊥x 轴，垂足为M ′，过点N 作NN ′⊥x 轴，垂足为N ′，则△MM ′F ∽△NN ′F ，∴|NF|∶|MF|＝|NN ′|∶|MM ′|＝|－2|∶22＝1∶2.故选A. 方法三：∵M(2，22)是抛物线上的点，且抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|MF|＝3.又1|MF|＋1|NF|＝2p ＝1，∴|NF|＝32，∴|NF|∶|MF|＝1∶2.故选A. 9．答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 12＋y 22＝32. 当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k(x －4)，由⎩⎨⎧y2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16， ∴y 12＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32. 综上可知，y 12＋y 22≥32. ∴y 12＋y 22的最小值为32.故选D. 10．答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 为(1，0)，可设直线l 的方程为x ＝ty ＋1， 代入抛物线方程，可得y 2－4ty －4＝0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，可得y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，则|AB|＝1＋t2·|y 1－y 2|＝1＋t2·（y1＋y2）2－4y1y2＝1＋t2·16t2＋16， △MAB 的面积为12|MF|·|y 1－y 2|＝12×2|y 1－y 2|＝42，即16t2＋16＝42，解得t ＝±1，则|AB|＝1＋1·16＋16＝8.故选D. 11．答案 ACD解析 抛物线x 2＝4y 的焦点为F(0，1)，易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 为y ＝kx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，A 正确； |AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2，B 不正确；FA1→＝(x 1，－2)，FB1→＝(x 2，－2)，∴FA1→·FB1→＝x 1x 2＋4＝0，∴FA1→⊥FB1→，∠A 1FB 1＝π2，C 正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(y 1＋y 2＋2)＝12(kx 1＋1＋kx 2＋1＋2)＝12(4k 2＋4)≥2.当k ＝0时取得最小值2，D 正确．故选ACD. 12．答案 CD 解析 不妨设M 为第一象限内的点，①当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON ＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为：y ＝22x 和y ＝－22x.与抛物线方程联立，得M(2，2)，N(2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM|＋|ON|＝26， 以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 不正确．②当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km>0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k ，因为k OM ·k ON ＝－12，所以y1x1·y2x2＝－12， 则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 22y 12，则y 1y 2＝－2，所以mk ＝－2，即m ＝－2k ， 所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k(x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q(2，0)的动直线，故C 正确； 易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2， 即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故D 正确．故选CD. 13．答案 4解析 直线l ：当y ＝0时，x ＝p2，∴直线l 过抛物线的焦点，A ，F ，B 三点共线， 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧y2＝2px ，4x －3y －2p ＝0，得8x 2－17px ＋2p 2＝0，解得：x A ＝2p ，x B ＝p 8，∴|AF|＝x A ＋p 2＝52p ，|BF|＝x B ＋p 2＝58p ，λ＝|AF→||FB →|＝4.14．答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15.15．答案 －1解析 因为点M(0，2)，抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2，由AM →·FM →＝0可得AM ⊥FM ，所以直线AM 的斜率k AM ＝12，所以直线AM 的方程为y －2＝12x ，即y ＝12x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋2，y2＝4x 化简得x 2－8x ＋16＝0，解得x ＝4，可得点A(4，4)， 所以直线AF 的斜率k AF ＝44－1＝43，所以直线AF 的方程为：y ＝43(x －1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝43（x －1），消去x 可得：y 2－3y －4＝0，解得y ＝－1或y ＝4，所以点B 的纵坐标为－1. 16．答案 (1)3或－ 3 (2)4解析 (1)依题意可得，抛物线的焦点为F(1，0)，设直线AB ：x ＝my ＋1，将直线AB 与抛物线联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y2＝4x ⇒y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.∵AF →＝3FB →⇒y 1＝－3y 2⇒m 2＝13，∴斜率为1m＝3或－ 3. (2)S 四边形OACB ＝2S △AOB ＝2×12|OF|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝16m2＋16≥4，当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 17．答案 B解析 方法一(设而要求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p ，∴p ＝1，∴y 2＝2x ，过A(2，2)作圆C 的切线，设切线斜率为k.则切线方程为：y －2＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴|2k －0－2k ＋2|k2＋1＝1，∴k ＝±3.当k ＝3时，切线方程为：y －2＝3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8－433，y ＝233－2，则B ⎝⎛⎭⎪⎫8－433，23－63，当k ＝－3时，切线方程为：y－2＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y －2＝－3（x －2），y2＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋433，y ＝－233－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋433，－23＋63， ∴k BC ＝－12，y －23－63＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －8－433，即3x ＋6y ＋4＝0，故选B. 方法二(设而不求)：∵A(2，2)在抛物线y 2＝2px 上，∴4＝4p.∴p ＝1.∴y 2＝2x.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b22，b ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c22，c ，则BC ：2x －(b ＋c)y ＋bc ＝0，AC ：2x －(2＋c)y ＋2c ＝0，可得：|4＋2c|4＋（2＋c ）2＝1，化简，得：3c 2＋12c ＋8＝0.同理，3b 2＋12b ＋8＝0，于是b ，c 是方程3t 2＋12t ＋8＝0的两个根，∴b ＋c ＝－4，bc ＝83，BC ：2x ＋4y ＋83＝0，即3x ＋6y ＋4＝0.故选B.18．答案 (1)证明略 (2)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4或x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2 解析 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A(x 1，y 1)，则x 12＝2y 1. 由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y1＋12x1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B(x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，y 1＋y 2＝t(x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t2＋12. 由于EM→⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t)平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝4； 当t ＝±1时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －522＝2.。
抛物线专题讲义
抛物线专题讲义一、知识讲义1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下注意：1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F )0,2(的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是)0,4(a ，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F )0,2(p 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 题组二：教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 题组三：易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．125．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．三、典型例题题型一：抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．思维升华：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练：P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．题型二：抛物线的标准方程和几何性质 命题点1：求抛物线的标准方程典例如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x命题点2：抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97D ．2题型三：直线与抛物线的综合问题 命题点1：直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.命题点2：与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练：已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 注意：直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．四、反馈练习1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 22．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A ．3B ．4C ．6D ．73．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x7．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．9．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点)210(，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．。
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抛物线专题复习直线S，抛物线f !_■,y =4 + 3<y = 2px消y得.+(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0，直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。
(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定) 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线i: y联立方程法：kx b 抛物线「' -1，(p 0)y kx b y22px k2x2 2(kb p)x b20设交点坐标为A(x i , y i ) , B(X 2,y 2),则有 0 ,以及X i X 2,X i X 2 ,还可进一步求出在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，- 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值 时，点P 的坐标为 _______________________2&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2px(p 0)则该抛物 线的方程是 。
9、 在平面直角坐标系 xoy 中，已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在原点 O ,且过点P(2，4)，则该抛物线的方程 是 __________ 10、 抛物线yx 2上的点到直线4x 3y 8 0距离的最小值是 ___________________11、 已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，贝U y 12+y 22的最小值是 ________212、 已知点A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) (x 1x 2 0)是抛物线y 2 px( p 0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量y iy 2kX-! b kX 2b k (X i X 2) 2b , y 』22 2(kX 1 b)(kx 2 b) k X j X 2 kb(X j X 2) bAB v1 k 2 X -I X 21 k2 Jx i X 2)2 4x 1X 21 k 2^(yi y2)2 4yiy222、已知点P 是抛物线y2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ___________则梯形APQB 的面积为 ___________2uur4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为uuu 60°，则 OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ，经过F 且斜率为.3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，AK 丄l ，垂足为K ，则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK | J 5|AF |，贝U AFK 的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_______4 53、直线y x 3与抛物线y 2 4x 交于A,B 两点，过 代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q ，(1)证明线段AB 是圆C 的直径;uuu 2 uu uu uuu 2 uuu 2 uuu uuuuu 2 OA 2O A OB OB OA2O A O BOB ，整理得uuu :OA uu uOB 0， X 1 X 2 y 1 y 2 0 (1)以线段AB 为直径的圆的方程为x 1 x 2 2y 1 y 2 2122(x - 2)(y 12)-[(x 1 X 2) (y 1 y 2)]，224展开并将(1)代入得：x 2 y 2 (x-i x 2)x (y 1 y 2) y 0，故线段AB 是圆C 的直径C 为圆心)XX2y 1 y22x⑵解:设圆C 的圆心为C(x,y),则yuu uuu uuu uuu OA ,OB 满足 OA OB uu u OAuuu 2 OB .设圆C 的方程为x 2y(x i X 2)x (y i y 2)y 0。
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抛物线专题复习焦 点弦 长 AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k ox ()22,B x yFy ()11,A x y设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r 为5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK∆的面积为7、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。
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１ / 16 抛物线专题复习讲义及练习 ★知识梳理★ 1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0p)： 标准方程 pxy22 pxy22 pyx22
pyx22
图形 ▲
y
xO
▲y
xO
▲y
xO
▲y
xO
焦点 )0,2(pF )0,2(pF )2,0(pF )2,0(pF
准线 2px 2p
x 2py 2
py
范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0） 离心率 1e 2.抛物线的焦半径、焦点弦
①)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；
② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. ③ 为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx 42p ，BAyy2p，
||AB=pxxBA ★重难点突破★ 重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛２ / 16
物线的性质 1.要有用定义的意识 问题1：抛物线42x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. 1617 B. 1615 C.87 D. 0
点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是1615 2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条 3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点''、BA分别是点BA、在准线上的射影，弦AB的中点为M，则
''BBAABFAFAB，点M到准线的距离为ABBBAA21)''(21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ★热点考点题型探析★ 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 ３ / 16
[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离 [解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 【新题导练】 1.已知抛物线22(0)ypxp的焦点为F，点111222()()PxyPxy，，，，
333()Pxy，在抛物线上，且||1FP、||2FP、||3FP成等差数列， 则有 （ ） A．321xxx B． 321yyy C．2312xxx D.
2312yyy ［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：
2312xxx． 2. 已知点),4,3(AF是抛物线xy82的焦点是抛物线上的动点,当MFMA最小时, M点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. ４ / 16
)62,3( [解析] 设M到准线的距离为MK,则MKMAMFMA|||，当MKMA最小时，M点坐标是)4,2(，选C 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240xy上 【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpyp, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24pp或 ∴2934pp或
∴抛物线方程为243yx或292xy, 前者的准线方程是1,3x后者的准线方程为98y (2)令0x得2y，令0y得4x， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(02),当焦点为(4,0)时,42p,
∴8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(02)时22p ∴4p，此时抛物线方程28xy. ∴所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 ５ / 16
【新题导练】 3.若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合,则p
的值 [解析]4132pp 4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上； ③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5； ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是.（要求填写合适条件的序号） [解析] 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件. 5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且3||,17||AFAM，求此抛物线的方程 [解析] 设点'A是点A在准线上的射影，则3|'|AA，由勾股定理知
22|'|MA，点A的横坐标为)23,22(p，代入方程pyx22得2p或4，抛物线的方程yx42或yx82 考点3 抛物线的几何性质 题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例3 ]设A、B为抛物线pxy22上的点,且90AOB(O为原点),６ / 16
则直线必过的定点坐标为. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置
［解析］设直线方程为kxy,由pxykxy22解出A点坐标为)2,2(2kpkp
pxyxky21
2解出B点坐标为)2,2(2pkpk，直线方程为
221)2(2kpkxkpky
,令0y得px2，直线必过的定点)0,2(p
【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用k1换k而得。 【新题导练】 6. 若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a [解析]-1 7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为11,BA,则11FBA ( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 [解析]C 基础巩固训练 1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线（ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 [解析]C 44)1(52||22aaapxxABBA，而通径的长７ / 16
为4． 2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线24xy上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线1y的距离为5，故点P的纵坐标为4． 3.两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是25，且,ba
则抛物线2()ybax的焦点坐标为( ) A．1(0,)4 B．1(0,)4 C．1(,0)2 D．1(,0)4 [解析] D. 1,4,5abba 4. 如果1P，2P，…，8P是抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，…，8x，F是抛物线的焦点，若)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx，则||5FP=（ ）． A．5 B．6 C． 7 D．9 [解析]B 根据抛物线的定义，可知12iiipPFxx（1i，2，……，n），)(,,,21Nnxxxn成等差数列且45921xxx55x||5FP6 5、抛物线,42Fxy的焦点为准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，⊥l，垂足为B，则四边形的面积等于（ ） A．33 B．34 C．36 D．38