北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二模)试题(二)[含答案]
北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题(含答案解析)
10．某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（ ，且a，b， ）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）
（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）设 ， ，求 的取值范围.
21．已知无穷集合A，B，且 ， ，记 ，定义：满足 时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合 ， .判断2019和2020是否属于集合 ，并说明理由；
（Ⅱ）设集合 ， .
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记 和 分别表示集合A，B中不大于n（ ）的元素个数，写出满足 的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
A．是奇函数，且在定义域上是增函数
B．是奇函数，且在定义域上是减函数
C．是偶函数，且在区间 上是增函数
D．是偶函数，且在区间 上是减函数
8．如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）
A． B． C． D．
9．在 中， ， ， ，则 边上的高等于（）
19．已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的极值；
（Ⅱ）求证：当 时， ；
（Ⅲ）当 时，若曲线 在曲线 的上方，求实数a的取值范围.
20．已知椭圆C： （ ）经过 ， 两点.O为坐标原点，且 的面积为 .过点 且斜率为k（ ）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线 ， 分别与y轴交于点S，T.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)(二模)数学试题(wd无答案)
北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试题一、单选题(★) 1. 集合的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8(★★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★) 3. 下列函数中，最小正周期为的是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知数列的前 n项和，则（）A．3B．6C．7D．8(★★) 5. 设，为非零向量，则“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 6. 已知抛物线 M：的焦点与双曲线 N：的一个焦点重合，则（）A．B．2C．D．4(★★) 7. 已知函数，则（）A．是奇函数，且在定义域上是增函数B．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数(★★★) 8. 如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 在中，，，，则边上的高等于（）A．B．C．D．(★★★) 10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a， b， c（，且a， b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题(★★) 11. 已知复数，则______.(★★) 12. 已知直线的倾斜角为，则______.(★★) 13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_______. (★★★★) 14. 已知集合.由集合 P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：①“水滴”图形与 y轴相交，最高点记为 A，则点 A的坐标为；②在集合 P中任取一点 M，则 M到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与 y轴相交，最高点和最低点分别记为 C， D，则；④白色“水滴”图形的面积是.其中正确的有______.三、双空题(★★) 15. 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是______年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.四、解答题(★★★) 16. 如图，四边形为正方形，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.(★★★) 17. 已知等差数列的前 n项和为，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，且公比为 q，从① ；② ；③ 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前 n项和.(★★★) 18. 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记 X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求 X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.(★★★★) 19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数 a的取值范围.(★★★★) 20. 已知椭圆 C：（）经过，两点. O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为 k（）的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点M， N，且直线，分别与 y轴交于点 S， T.（Ⅰ）求椭圆 C的方程；（Ⅱ）求直线 l的斜率 k的取值范围；（Ⅲ）设，，求的取值范围.(★★★★★) 21. 已知无穷集合 A， B，且，，记，定义：满足时，则称集合 A， B互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；（Ⅱ）设集合，.（ⅰ）求证：集合 A， B互为“完美加法补集”；（ⅱ）记和分别表示集合 A， B中不大于 n（）的元素个数，写出满足的元素 n的集合.（只需写出结果，不需要证明）。
北京市东城区2021届高三下学期二模数学答案
北京市东城区2021届高三下学期二模数学试题参考答案1．D 【思路点拨】利用补集的定义直接求出补集即可. 【解析】因为集合{|12}A x x =<≤， 所以A =R(](),12,-∞+∞故选：D2．B 【思路点拨】利用二项式定理求得2x 的系数，结合已知条件可求得实数a 的值.【解析】()52x a +的展开式通项为()55515522rrr r r r r r T C x a C a x ---+=⋅⋅=⋅，令52r，可得3r =，所以，3233524040C a a ⋅==-，解得1a =-.故选：B.3．C 【思路点拨】根据对数函数与指数函数的单调性，结合中间值0比较大小． 【解析】根据对数函数与指数函数的性质有0.30.3log 4log 30<<，0.330>， 所以b a c <<． 故选：C ．【名师指导】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小． 4．C 【思路点拨】设a b t +=，将222a b +=转化成关于a 的一元二次方程222220a ta t -+-=，根据方程有解，利用0∆≥即可解出．【解析】解法一：设a b t +=，得b t a =-， 代入222a b +=得，222220a ta t -+-=．因为方程有解，所以()2244220t t ∆=-⨯-≥，解得22t -≤≤.解法二：22222()22()4a b a ab b a b +=++≤+=，2a b ∴+≤，当且仅当1a b ==时，等号成立.故选：C ．5．A 【思路点拨】由111222CE CD BA AB ===-，BC AD =，可得 BE BC CE =+. 【解析】由()()111122112222CE CD BA AB ===-=-=-，，-， ()1,5BC AD ==-，所以()()()1,51,12,4BE BC CE =+=-+--=-，故选：A.6．A 【思路点拨】根据已知递推式求值． 【解析】因为()()22f x f x +=，由题意21010(21)(192)2(19)2(17)2(1)2f f f f f =+=====．故选：A ．7．D 【思路点拨】作出几何体的直观图，结合三视图中的数据可求得结果.【解析】由三视图可知，该几何体是直三棱柱，且底面是底边长为2，底边上的高为2的等腰三角形，22215+3， 因此，该三棱柱的表面积为(2253221065S =+⨯+⨯=+故选：D.8．C 【思路点拨】根据充分条件与必要条件的定义可以判断.【解析】双曲线C 变形为22111x y m n-=. 若其焦点在x 轴上时，0m >， 又因为0mn >，所以0n >， 若双曲线的渐近线方程为2y x =±，则有2121n m=，即4=m n ， 若其焦点在y 轴上，同理可得4=m n ，所以“双曲线C 的渐近线方程为2y x =±”是“4=m n ”的充分条件. 反之，若4=m n ，其双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 所以必要性成立. 故选：C.9．B 【思路点拨】根据余弦定理化简结合条件即可求解．【解析】根据余弦定理得()()222221cos 602222c a c a a c c +--︒==- 化简的2231070a ac c -+= 则()()370a c a c --=，又因为220a c b -=>，有a c > 所以37c a = 故选：B10．B 【思路点拨】分别考查温度、时间、催化剂用量对产品产量的影响，通过比较可得最优方案.【解析】（1）考查温度对产品产量的影响：温度80℃时的产品产量：11315438123K =++=， 温度85℃时的产品产量：21534942144K =++=， 温度90℃时的产品产量：31576264183K =++=， 所以，温度90℃时的产品产量最大. （2）考查时间对产品产量的影响：时间90 min 时的产品产量：12315357141K =++=， 时间120 min 时的产品产量：22544962165K =++=， 时间150 min 时的产品产量：32384264144K =++=， 所以，时间120 min 时的产品产量最大. （3）考查催化剂用量对产品产量的影响：催化剂用量5g 时的产品产量：133********K =++=，催化剂用量6g 时的产品产量：23545364171K =++=， 催化剂用量7g 时的产品产量：33384957144K =++=， 所以，催化剂用量6g 时的产品产量最大.由（1）（2）（3）可知，三因素三水平的最优组合方案为：90℃，120 min ，6g. 故选：B.【名师指导】关键点点睛：本题的关键点在于：找到确定最优组合方案的一种方法. 11．3【思路点拨】利用复数的乘法化简复数()22i -，由此可得出复数()22i -的实部. 【解析】()2224434i i i i -=-+=-，因此，复数()22i -的实部为3.故答案为：3.12．①②为条件，③为结论【思路点拨】①②为条件，③为结论，命题正确，由线面平行的性质和面面垂直的判定可得答案；②③为条件，①为结论，命题错误，举反例可得答案； ①③为条件，②为结论，命题错误，举反例可得答案. 【解析】①②为条件，③为结论，命题正确，证明如下：若//l β，l β⊄，过l 作平面γ，与平面β相交于直线a ，则//l a ， 因为l α⊥，所以a α⊥，又a β⊂，αβ⊥； ②③为条件，①为结论，命题错误，如下图，长方体中 //l β，αβ⊥，但是l 不垂直α；①③为条件，②为结论，命题错误， 因为l α⊥，αβ⊥； //l β或者l β⊂；故答案为：①②为条件，③为结论.【名师指导】本题主要考查空间线面的位置关系，要求学生有较好的逻辑推理能力及空间想象能力.13．②④【思路点拨】根据方程()g x t =实数根的个数分析函数性质．①用反证法判断，②利用()h x t =和()g x t =的解的个数相同，可判断，③举一反例，设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，可判断，④利用图象平移可说明判断．【解析】①若()g x 有最小值，则存在实数m ，使得()g x m ≥，则当<t m 时，()g x t =无实数根，即()0g f t =与()0g f t >矛盾，①错；②()()0h x g x =≥，故当0t <时，()h x t =无实数根，()0h f t =，所以()0g f t =，所以()g x t =无实数根，则()0g x ≥．②正确；③设,0()1,0x x g x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，易知对任意的实数t ，()g x t =有且只有一个根，所以()1g f t =，但()g x 不是单调函数，③错误；④()()h x g x a =+，()h x 为()g x 向左平移a 个单位所得图象对应的函数（0a <时，表示向右平移a 个单位），因此()h x t =和()g x t =的解的个数相等，所以()()h g f t f t =，④正确．故答案为：②④.【名师指导】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是理解新定义()g f t 的意义，根据新定义问题()g f t 转化为方程()g x t =解的个数．这样我们或兴例说明，或通过()g x t =的解的个数确定函数的性质，完成求解．14．1x =- 5 【思路点拨】将点()4,4M 代入方程即可求解p ，从而求出准线方程；根据中垂线性质可得FN FM =．【解析】将点()4,4M 代入()2:20C y px p =>得2p =，所以准线方程为12px =-=- 因为()()1,0,4,4F M ，故44152pFM =+=+= 又线段MN 的垂直平分线过抛物线C 的焦点F ，所以5FN FM == 故答案为：1x =-，5．15．45 - 【思路点拨】利用三角函数的定义求出cos α的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得sin α，由三角函数的定义可知点B 的横坐标为cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可求得结果. 【解析】由三角函数的定义可得3cos 5α=， 由已知可知α为第一象限角，则24sin 1cos 5αα， 将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为4π，则点B 的横坐标为cos cos cos sin sin 44410πππααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：45；16．【思路点拨】（1）先证明PA ⊥AD ，AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PAB ；（2）以A 为原点，AB AD AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角P CD A --的余弦值.【解析】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD . 又AB BC ⊥，//AD BC ，∴AB AD ⊥ ∵PA AB A =，∴AD ⊥平面PAB ；（2）以A 为原点，AB AD AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,1,A B C D P ()()1,1,0,0,1,1DC DP ==-显然()0,0,1AP =为平面ABCD 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面PCD 的一个法向量.,则：·0·0n DC n DP ⎧=⎨=⎩，即000x y y z +=⎧⎨-+=⎩不妨设y =1，则()1,1,1n =- 设二面角P CD A --的平面角为θ，由图示可知θ为锐角，所以20(1)01113cos =cos ==1111AP n AP n AP nθ⨯-+⨯+⨯⨯⨯++，即二面角P CD A --3【名师指导】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．17．【思路点拨】（1）根据条件列出关于首项与公比的方程，解出方程组即可求出通项； （2）若选择条件①，利用等差数列的前n 项和公式求和，若选择条件②，利用分组法求和. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则12134451(1)3()24a a a q a a a q q +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩， 所以12n n a -=；（2）选择条件①：222212log log 222n n n b a n --===-， 所以20222n n S n n n +-=⨯=-； 选择条件②：1222n n n b a n n -=+=+，所以21(12)2221122n n n nS n n n -+=+⨯=++--.18．（1）38；（2）分布列见详解，()94E X =；（3）答案见详解．【思路点拨】（1）8类人均消费支出中有3类人均消费支出超过1000元，故概率可求；（2）列出变量的可能取值，结合超几何分布求解相应概率即可得分布列及数学期望； （3）根据表格数据即可得出结果．【解析】（1）8类人均消费支出中有3类人均消费支出超过1000元，故所求概率为38；（2）依题意知X 的可能取值为1，2，3则()1262383128C C P x C ===()21623815228C C P x C ===()3062385314C C P x C === 则X 的分布列为()123282814284E X =⨯+⨯+⨯==； （3）农村居民人均消费支出增速大于城镇居民人均消费支出增速的类别有 衣着，居住，交通和通信，医疗保健．【名师指导】求离散型随机变量的分布列时，关键要判断随机变量是否服从二项分布或超几何分布等特殊的分布．19．【思路点拨】（1）先求切线，再代入求出a ；（2）作差后，定义()()3sin cos 1g x =x x a x a ---+，利用导数讨论单调性，求出最值，从而求出a 的范围.【解析】()()sin cos =--f x x x a x 的定义域为R ，()()sin f x x a x '=-. （1）曲线()y f x =在x a =处的切线的斜率()()sin 0k f a a a a '==-=， 所以切线方程为()y f a =，即sin y a =.因为线过点0,2⎛ ⎝⎭，所以sin a = 因为,22a ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以.3a π=（2）设()()()331sin cos 1g x =f x a x x a x a -+=---+，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ()()sin g x x a x '=-，令()0g x '=得：12,0x a x ==.当02a π-<<时，列表得：02， 2π ++设()31h aa a=-++，()231h a a'=-+，令()2310h a a='=-+，因为02aπ-<<，所以=a-()h a在2π⎛-⎝⎭，上单减，在0⎛⎫⎪⎪⎝⎭上单增，所以()h a的最小值1=1h⎛-+⎝⎭.因为0h⎛>⎝⎭，所以()00g>.所以02aπ-<<时，()31>-f x a对,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立.当02aπ≤<时，因为33sin cos12222g=a a=aππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝≤⎭，所以当02aπ≤<时，不等式()31>-f x a并非对,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立.综上所述，实数a的取值范围是02π⎛⎫-⎪⎝⎭，.【名师指导】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)数形结合思想的应用．20．【思路点拨】（1）由题知()22223aa c a ca b c=⎧⎪+=-⎨⎪=+⎩，解方程即可得答案；（2）由题知，设直线l的方程为()12y k x-=-，()()1122,,,M x y N x y，联立方程得()12282143k k x x k -+=+，21221616843k k x x k --=+ ，由于()11:22y BM y x x =--，故1221(2),2y x D x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以122121(2)(2),2(2)y x y x E x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭，再根据斜率公式计算化简即可证明.【解析】（1）根据题意可知()22223a a c a c a b c =⎧⎪+=-⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()12y k x -=-，联立22(2)13412y k x x y =-+⎧⎨+=⎩得 222(43)8(12)(16168)0k x k k x k k ++-+--=， ()()()2222641244316168192960k k k k k k ∆=--+--=+>，解得 12k >-，设()()1122,,,M x y N x y ，则 ()12282143k k x x k -+=+，21221616843k k x x k --=+， 直线()11:22y BM y x x =--，令 2x x =得121(2)2D y x y x -=-， 所以1221(2),2y x D x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，设2(,)E E x y ，则122112211(2)2(2)(2).22(2)E y x y x y x y x y x -+--+-==- 所以直线BE 的斜率为[][]1221122121212(12)(2)(12)(2)(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)E BE kx k x kx k x y y x y x k x x x x x +--++---+-===----- 其中[][]1221(12)(2)(12)(2)kx k x kx k x +--++--12122(14)()4(12)kx x k x x k =+-+--22222(16168)(14)8(21)4(12)(43)124343k k k k k k k k k k --+-⨯---+-==++ 22121212221616816(21)4(43)(2)(2)2()443434k k k k k x x x x x x k k ----++-+=-++==++，所以2212343.42243BEk k k -+==-⨯+ 【名师指导】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，是中档题.本题解题关键在于通过舍而不求的方法得122121(2)(2),2(2)y x y x E x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭，进而根据斜率公式，韦达定理等化简整理即可.21．【思路点拨】（1）由新定义的集合意义即可得(){},21,2,3S A =； （2）不妨设()123n x x x n ≤≤≤≥，记123n n S x x x x =++++，进而根据题意证明1n x x =即可证明；（3）不妨设()()1212n k n n k n k x x x x x x -----≤≤≤≤≤≤()21k n ≤≤-，进而得()()12nn k n k k s x x x k----+++=，()()12+11n k nn k k n k x x x s x k -----+++=++，在做差比较大小即可.【解析】（1）根据题意可知集合()12,{|++=+=ki i i kx x x S A k s s ，211k i i i n ≤<<<≤，其中()2≤≤k k n 为给的正整数表示数列()12:,,,3≥n A x x x n 中任意k 项和的平均数. 所以(){}020424,2,,1,2,3222S A +++⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； （2）由于()12:,,,3≥n A x x x n ，不妨设()123n x x x n ≤≤≤≥，记123n n S x x x x =++++，则(),1S A n -中的元素为11n S x n --，21n S x n --，31n S x n --，，1nn S x n --， 因为12n x x x ≤≤≤，所以1211111n n n n n n x x x x n n S S n S n S -----≤≤≤----， 又因为()(),11,2,,∈-=i x S A n i n ，所以1111n n nn S x x x x n S n --≤≤≤≤--， 化简整理得：()11n n n x x S ≤-+，()11n n n x x S ≥-+， 所以()()1111n n n n x x n x S x -+≤≤-+，所以()()1111n n n x x n x x -+≤-+，即()()122n n x n x -≤-()3n ≥， 所以1n x x ≤，又因为1n x x ≥， 所以1n x x =，即12n x x x ===，所以数列A 为常数列. （3）方法一： 不妨设()()1212n k n n k n k x x x x x x -----≤≤≤≤≤≤()21k n ≤≤-，则()()12nn k n k k s x x x k----+++=，()()12+11n k nn k k n k x x x s x k -----+++=++，所以()()()()1212+11n k nnn k n k k k n k n k x x x x x x x k ks s ---------++++-+++=+-()()()()()()()()121211n k n nn k n k n k n k kx k x x x k x x x k k---------++++-=+++++()()()()121n k nn k n k kx x x x k k-----=-++++，因为()()211n n n k n k n k x x x x x ------≥≥≥≥≥，所以()()12n k n n k n k x x x kx -----++≥+，所以+10k k s s -≤，即()121+≤≤≤-k k s s k n . 方法二：对任意的211,,,,k k i i i i +，有1211k k i i i i x x x x k ++++++()()()()121112311k k k k i i i i i i i i i xx x x x x x x x k k-+++++++++++++=+()()()()121112311kk k k i i i i i i i i i xx x xx x x x x kk kk -+++++++++++++=+()11kk k s s k +≤=+，所以()121+≤≤≤-k k s s k n【名师指导】本题考查数列新定义问题，考查数学运算能力，逻辑推理能力，综合分析能力，是难题.本题解题的关键在理解新定义集合()12,{|++=+=ki i i kx x x S A k s s ，211k i i i n ≤<<<≤，其中()2≤≤k k n 为给的正整数表示数列()12:,,,3≥n A x x x n 中任意k 项和的平均数，进而求解.。
解析】北京市朝阳区2020届高三下学期二模数学试题
北京市朝阳区高三年级高考练习二数学（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将★★★答案★★★答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型. 2. 函数ln ()1xf x x =-的定义域为（ ） A. (0,)+∞ B. ()0,11(),⋃+∞ C. [0,)+∞D. [)0,11(),⋃+∞【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】令0x >且10x -≠即可求解.【详解】由题意得：010x x >⎧⎨-≠⎩得0x >且1x ≠，所以函数的定义域为()0,11(),⋃+∞， 故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22ac bc >B. 222a b c >>C. 2a c b +>D.a cbc ->-【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】对于选项A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项A 错误； 对于选项B ，当1,2,3a b c =-=-=-时，a 2＞b 2＞c 2错误； 对于选项C ，当a =1，b =0，3c =-时，a +c ＞2b 错误；对于选项D ，直接利用不等式的基本性质的应用求出a c b c ->-，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（ ） A. 22(1)(1)1x y -+-= B. 22(1)(1)1x y +++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得★★★答案★★★.【详解】A. 22(1)(1)1x y -+-=圆心为(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(1)(1)1x y -+-=，即22(01)(11)1-+-=成立，正确；B. 22(1)(1)1x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C. 22(1)(1)2x y -+-=圆心(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(01)(111)2-=+-≠，错误；D. 22(1)(1)2x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★★★答案★★★】C 【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称B. 函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 C. 函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D. 函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得★★★答案★★★. 【详解】A. 5π5ππ2πsin 2sin 01231262f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； B. πsin 2sin 188612f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； C. 当()π,π-时，函数13π112666x π-≤-≤，当π226x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π-，0，π时，πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，正确；D. 由π222,262k x k k Z ππππ-+≤-≤+∈，得()f x 单调递增区间为,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0,63k x ππ=-≤≤，721,63k x ππ=--≤≤- 所以()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递增，错误. 故选：C .【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（ ）A. sin 532sin 47a ︒︒B. 2sin 47sin 53a ︒︒C. tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D. sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【★★★答案★★★】D【解析】 【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD △中即可求AC . 【详解】73.526.547BAD ∠=-=，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD=，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD △中，sin sin 73.5ACADC AD=∠=， 所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 9. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】 设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，然后选取,AB AD 为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为x 的函数，由函数知识得最大值． 【详解】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，∴()(1)AM AN AB xAD x AB AD ⎡⎤⋅=+⋅-+⎣⎦()222(1)1x AB x x AB AD xAD =-++-⋅+222(1)2(1)21cos13x x x x π=-⨯++-⨯⨯⨯+⨯2225(1)6x x x =--+=-++，∵01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ⋅取得最大值5． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质业m ψ．现有函数：①()3f x x =; ②()3xf x =; ③()3log f x x =; ④()tan f x x =．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质m ψ的函数定义，列出方程可以解出2x 关于1x 表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确★★★答案★★★.【详解】①()3f x x =的定义域为R ，函数的值域为R ，对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，其定义域上具有性质m ψ的函数； ②()3xf x =定义域为R ，函数的值域为()0,∞+，对任意1x R ∈，都存在唯一的2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）不恒成立，例如1m =，11x =，不存在唯一的2x R ∈， 故②()3xf x =不是定义域上具有性质m ψ的函数；③()3log f x x =定义域为()0,∞+，值域为R ，而且是单调递增函数，所以对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，，其定义域上具有性质m ψ的函数；④()tan f x x =定义域为R ，函数的值域为R ，不是单调函数，是周期函数，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，但2x 不唯一，所以在其定义域上不具有性质m ψ的函数；所以①和③是定义域上具有性质m ψ的函数； 故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质m ψ的含义，属于中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量(),3a m =，()1,6b =，若//a b ，则m =________． 【★★★答案★★★】12【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】(),3a m =，()1,6b =， 若//a b ，则63m =， 解得：12m =， 故★★★答案★★★为：12【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12. 在61x ⎫⎪⎭的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【★★★答案★★★】15 【解析】【分析】由二项式展开式通项有6321r r r nTC x-+=，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为6632211()r rr r rr nn T C x C x x--+==， ∴当2r时，常数项23615T C ==，故★★★答案★★★为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题； 13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【★★★答案★★★】12 【解析】 【分析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，//AD BC ，2,4AD BC ==，高为3，侧棱EA ⊥平面ABCD ，4EA =，故体积()111243412332V Sh ⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故★★★答案★★★为：12.14. 已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F 的面积为______． 【★★★答案★★★】 (1). 2 (2). 23 【解析】 【分析】易得2c =，1a =，再结合222b c a =-，可知3b =，然后由ce a=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为3y x =，设点3(,)Q x x ，分别求出1FQ 和2F Q ，根据120FQ F Q ⋅=列出方程，求出x 的值，然后可得点Q 到y 轴的距离，124F F =，最后计算12QF F 的面积.【详解】易知2c =，22a =，所以1a =， 又222413b c a =-=-=，3b =，所以2ce a==； 所以双曲线的方程为：2213x y -=，其中经过一、三象限的渐近线方程为33y x =，故可设点3(,)Q x x ，所以13(,2)F Q x x =-，23(,2)F Q x x =+， 因为12FQ F Q ⊥，所以120FQ F Q ⋅=，即233220x x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：3x =±，所以点Q 到y 轴的距离为3，又124F F =，所以：1212113342322QF F S F F =⨯⨯=⨯⨯=△.故★★★答案★★★为：2；23.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.15. 颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值()1,2,1,2,3,4i j ==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高; ④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________． 【★★★答案★★★】②④ 【解析】 【分析】先根据题意分析得直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小，再看图逐一分析结论即可. 【详解】依题意，out ininout out 100%1100%C C C C C η⎛⎫-=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，知直线ij OA 的斜率in outC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小. 看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)j OA j =中，直线14OA 斜率最大，故η最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,2,3,4)j OA j =中，直线23OA 斜率最小，故η最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2j OA 斜率大于1j OA 斜率，(1,2)j =，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1j OA 斜率大于直线2j OA ，斜率(1,2)j =，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确. 故★★★答案★★★为：②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51a =，___________．若存在正整数n ，使得n S 有最小值． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求n S 的最小值．从①31a =-，②2d =，③2d =-这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【★★★答案★★★】★★★答案★★★见解析 【解析】 【分析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可． 【详解】解：①31a =-时，根据题意得532a a d -=，1−（−1）＝2d ，解得d ＝1， （Ⅰ）()55154n a n d n a n =+-=+-=-; （Ⅱ）()()()211173222n S n n n n n nna d n ---=+=⨯-+=所以当n ＝3或4时，()min n S ＝−6.②2d =时，根据题意得1541427a a d =-=-⨯=-，（Ⅰ）()()1171229n a n d n n a =+-=-+-⨯=- （Ⅱ）()()()211172822n n n n n na d S n n n --=+=⨯-+⨯=-，所以当n ＝4时，()min n S ＝−16，③2d =-时，根据题意得()1541429a a d =-=-⨯-=，（Ⅰ）()()11912211n a n d a n n =+-=--⨯=-+； （Ⅱ）()()2111921022n n n n n na d n n S n --=+=⨯-⨯=-+，此时n S 没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17. 如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．【★★★答案★★★】（1）★★★答案★★★见详解；（2）6；（3）存在，3AG =. 【解析】 【分析】(1) 由AD DC ⊥和AD DE ⊥，利用线面垂直的判定定理即证结论； (2)先根据等体积法计算点B 到平面ADE 的距离d ，再利用正弦等于dBD即得结果； (3) 先取DC ，AB 上点N ，G 使得CN =BG =1，证明平面MNG //平面ADE ，即得//MG 平面ADE ，3AG =.【详解】解：（1） 证明：正方形ABCD 中，AD DC ⊥， 又AD DE ⊥，DCDE D =，,DC DE ⊂平面CDEF ，所以AD ⊥平面CDEF ；（2）设直线BD 与平面ADE 所成角为θ，点B 到平面ADE 的距离d ，则sin dBDθ=. 依题意，42BD =，由（1）知AD ⊥平面CDEF ，得平面ABCD ⊥平面CDEF ，故点E 到平面ABCD 的距离1sin33h DE π=⋅=，Rt ADE △中，1124422ADES AD DE =⋅⋅=⨯⨯=，又1144822ABDS AD AB =⋅⋅=⨯⨯=，故根据等体积法B ADE E ABD V V --=，得11133ADEABDS d S h ⋅=⋅，即83234d ⨯==，故236sin 442d BD θ===，故直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值是64； （3）//AB DC ，DC ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，又平面CDEF平面ABEF EF =，AB平面ABEF ，////AB EF CD ∴.分别取DC ，AB 上点N ，G ，使得CN =BG =1，又//CN BG ，故四边形CNGB 是平行四边形，//BC NG ∴，又NG 在平面ADE 外，BC 在平面ADE 内，//NG ∴平面ADE ， 取DC 中点H ，则DH =EF =2，又//DH EF ，故四边形EFDH 是平行四边形，//DE HF ∴， 又11142CN DC CH ===，M 是CF 的中点，故MN 是中位线，////DE HF MN ∴，又MN 在平面ADE 外，DE 在平面ADE 内，//MN ∴平面ADE ，因为MN ，NG 相交于平面MNG 内，所以平面MNG //平面ADE ，又MG ⊂平面MNG ， 故此时//MG 平面ADE ，3AG =.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.18. 近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[)5,6，[)6,7，[)7,8，[]8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ．有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗？说明理由．【★★★答案★★★】（I ）0.3；（Ⅱ）分布列见解析，67；（Ⅲ）不正确，理由见解析. 【解析】 【分析】（I ）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a 的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在[)7,8和[)8,9的无人驾驶汽车数量，X 的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响， 这种说法不正确.【详解】（I ）由题意可知:()10.10.20.41a ⨯+++=，所以0.3a =；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[)7,8这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 则行驶里程在[)8,9这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆， 有题意可知：X 的所有可能取值为0,1,2()2427207C P X C ===，()114327417C C P X C ===，()2327127C P X C ===，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()0127777E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响. 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ， 所以0102μμμμ-<-不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点(1,2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【★★★答案★★★】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）由离心率得22c a ==，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22142x y +=；（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k -=+，把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -， 由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264*********(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论． 20. 已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈. （1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >.【★★★答案★★★】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把0x =代入导函数中使其值等于零，可求出a 的值； （ⅱ）令()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，可得()g x 在()0,π上的单调性，也是()f x '在()0,π上的单调性，而()010g =>，022g ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10g π=-<，所以存在唯一的0(,)2x ππ∈是()0f x '=的变号零点，故函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）由（1）可知，()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，当1a ≤时，()010f a '=-≥，()1f a π'=--，所以分两类讨论：（i ）若()10f a π'=--≥，易证()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=，符合题意，（ii ）若()10f a π'=--<，可得在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，而函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减，可得()0f x >，符合题意.【详解】（1）（ⅰ）因为()2sin cos f x x x x ax =--， 所以()()2cos cos sin cos sin f x x x x x a x x x a '=---=+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1， 所以()01f '=，即11a -=，故0a =. 经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+. 设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=. 令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 又()01g =，22g ππ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1g π=-， 因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>，此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ， 且易知当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<， 故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x .综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=. 令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=.且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减. 当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，()1f a π'=--. （i ）当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥. 此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔ （ii ）当()10f a π'=--<，即11a -<≤时，因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭ ， 所以，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减.又因为()00f =，()()10f a ππ=-≥，所以此时()0f x >.由（i ）（ii ）可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.21. 设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数．（I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值;（Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．【★★★答案★★★】（1）2A n =，4B n =；（2）4；（3）{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =.【解析】【分析】（1）根据定义得到A S ，B S ，即可得到A n ，B n 的值；（2）结合条件得到,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到A n 的最大值；（3）假设12340a a a a a =<<<<，2311,a a a v a u +==+，根据定义可得166u a a ==或11212u a a ==，进而得到A .【详解】（1）根据条件所给定义，S A =15=5(1+2)=3(1+4)，故2A n =， S B =24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故4B n =. （2）不妨设12340a a a a <<<<，因为1234243411()22A A a a a a a a a a S S +++++=<<<，所以24a a +，34a a +不能整除A S ，因为,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以624A n ≤-=，当{}1,5,7,11A =时，4A n =，所以A n 的最大值为4 ； （3）假设12340a a a a a =<<<<，由（2）可知，当A n 取到最大值4时，12131423,,,a a a a a a a a ++++均能整除A S ，因{}14231max ,2A A a a a S S a ++≤<， 故{}14231max ,2A a a a a S ++=，所以1423a a a a +=+， 设2311,a a a v a u +==+，则,u v 是2312()2(2)A S a a u a v ==+-+的因数， 所以v 是12(2)u a -的因数，且u 是12(2)v a -的因数，因为u v <， 所以12(2)22u v a u -<<，因为v 是12(2)u a -的因数，所以124v u a =-， 因为u 是112(2)412a v u a -=-的因数，所以u 是112a 的因数， 因为124u v u a <=-，所以14u a >，所以166u a a ==或11212u a a ==， 故{}1111,5,7,11A a a a a =，或{}1111,11,19,29A a a a a =， 所以当A n 取到最大值4时，故{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数1.（2020▪海淀二模）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =2．（2020▪西城高三二模）下列函数中，值域为R 且区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）3y x =- （B ）y x x = （C ）1y x -=（D）y =3．（2020▪西城高三二模）设0.23a =，3log 2b =，0.2log 3c =，则（A ）a c b >>（B ）a b c >>（C ）b c a >>（D ）b a c >>4．（2020▪西城高三二模）设函数()(1)e x f x x =-．若关于x 的不等式()1f x ax <-有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A ）(0,e]（B ）2(0,e ]（C ）2e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦（D ）2e 11,2⎛⎤+ ⎥⎝⎦5.（2020▪东城高三二模）已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A)定义域都为R (B)值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D)都是奇函数 6. （2020▪东城高三二模）已知函数()log a f x x b =+的 图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(A) （B ） （C ） （D ）7．（2020▪密云高三二模）在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A. B. C. D.8. （2020▪密云高三二模）已知，则下列各不等式中一定成立的是A ．B ．C ．D ．9.（2020▪密云高三二模）已知函数满足，且，则A ．16B ．8C ．4D ． 210.（2020▪朝阳高三二模）函数ln ()1xf x x =-的定义域为 （A ）∞（0，+） （B ）⋃∞（0，1）（1，+） （C ）∞[0，+）（D ）⋃∞[0，1）（1，+）11.（2020▪朝阳高三二模）若,,a b c R ∈且a b c >>，则下列不等式一定成立的是(A)22ac bc > (B)222a b c >> (C)2a c b +>(D)a c b c ->-12.（2020▪朝阳高三二模）设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1∈x D ，都存在唯一的2∈x D ，使得12()()+=f x f x m （m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质ψm ．现有函数：①()3;f x x =②()3xf x =③3()log f x x =④()tan f x x =其中，在其定义域上具有性质m ψ的函数的序号是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④13. （2020▪西城高三（下）6月模拟）函数()1f x x x=-是 (A)奇函数,且值域为()0,+∞(B)奇函数,且值域为R (C)偶函数,且值域为()0,+∞(D)偶函数,且值域为R14. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设,,a b c 为非零实数,且a b c >>,则(A)a b b c ->-(B)111a b c<<(C)2a b c +>(D)以上三个选项都不对15.（2020▪昌平高三二模）设，则（A ）（B ）（C ）（D ）16.（2020▪昌平高三二模）点在函数的图象上.若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）17.（2020▪丰台高三二模）函数()f x =的定义域为（A ）(02), （B ）[02],（C ）(0)(2)-∞+∞,, （D ）(0][2)-∞+∞,,18．（2020▪丰台高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()f x（A ）是奇函数，且在定义域上是增函数 （B ）是奇函数，且在定义域上是减函数 （C ）是偶函数，且在区间(01)，上是增函数 （D ）是偶函数，且在区间(01)，上是减函数19.（2020▪房山高三二模）函数2()e x f x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）320.（2020▪房山高三二模）已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x（A ）是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数 （B ）是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数 （C ）是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数（D ）是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数 21. （2020▪密云高三二模）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ； ③ 是偶函数；若 ，，，则 ，， 的大小关系正确的是A ．B ．C ．D ．22.（2020▪东城高三二模） 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ②当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④当=4T a k(∈k Z )时，()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有(A)1个(B)2个(C) 3个(D)4个23.（2020▪房山高三二模）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ，空气的温度是0C θ，经过t分钟后物体的温度C θ可由公式010()e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有80C 的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40C ，则k 约等于（参考数据：ln3 1.099≈）（A ）0.6 （B ）0.5 （C ）0.4 （D ）0.324.（2020▪海淀二模）已知函数1,0,()|ln |,0.ax x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩给出下列三个结论：① 当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b ∃∈R ，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.其中，所有正确结论的序号是_______.25.（2020▪东城高三二模） 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n 天的需求，称n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大).配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n 为_______.26.（2020▪朝阳高三二模）颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为100%out inoutC C C η-=⨯其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：./),ind L 某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示，图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值（i=1,2,j=1,2,3,4）该研究小组得到以下结论:①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低. 其中，所有正确结论的序号是.注:本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.27.（2020▪西城高三（下）6月模拟）已知函数()f x 的定义域为R ,满足()()22f x f x +=,且当(]0,2x ∈时,()23x f x =-.有以下三个结论: ①()112f -=-②当1142a ⎥∈⎛⎤ ⎝⎦，时,方程()f x a =在区间[]4,4-上有三个不同的实根;③函数()f x 有无穷多个零点,且存在一个零点b Z ∈. 其中,所有正确结论的序号是.28.（2020▪房山高三二模）对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：22,,22,.a b a b a b b a a b -⎧*=⎨-<⎩≥给出下列三个结论：①存在实数a ，b ，c 使得a b b c c a *+**≥成立； ②函数()sin cos f x x x =*的值域为[0,2]； ③不等式2(1)1x x *-*≤的解集是[1,)+∞． 其中正确结论的序号是________．29.（2020▪昌平高三二模） 已知，则的最小值为_________ .30.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）已知函数()e (sin cos )x f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线.31．（2020▪西城高三二模）（本小题满分15分）设函数()e cos x f x a x =+，其中a ∈R ． （Ⅰ）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（Ⅲ）若()f x 在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a 的取值范围．32.（2020▪东城高三二模）（本小题15分）已知()sin ()xf x e x ax a =++∈R .（Ⅰ）当2a =-时，求证：()f x 在(0)-∞，上单调递减； （Ⅱ）若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若()f x 有最小值，请直接给出实数a 的取值范围.33.（2020▪朝阳高三二模）(本小题15分)已知函数()()2f x sinx xcosx ax a R =--∈.(I)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. (i)求a 的值;(ii)证明:函数()f x 在区间(0)π，内有唯一极值点; (II)当1a ≤时，证明对任意()0()0x f x π∈>，，.34. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分15分)设函数()f x axlnx =,其中a R ∈.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的极值;(Ⅲ)证明:()2xxf x ee>-35.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）已知函数 （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（II ）求函数的单调区间； （III ）当时，比较与的大小.36.（2020▪丰台高三二模）（本小题共15分）已知函数1()e xx f x +=.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，21()12f x x >-+；（Ⅲ）当0x >时，若曲线()y f x =在曲线21y ax =+的上方，求实数a 的取值范围.37.（2020▪房山高三二模）（本小题15分）已知函数cos ()e1sin xx f x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅲ）求证：当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥．38.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）设函数 ，试判断函数是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当时，写出与的大小关系．2020北京各区高三二模数学分类汇编—函数与导数参考答案1.A2.B3.B4.D5.C6.B7.B8.D9.B 10.B 11.D 12.A 13.B 14.C 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.C 21.D 22.C 23.D 24. ②③ 25.5 26. ②④ 27. ① ② 28. ①③ 29.5 30.（本小题共14分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )+e (cos sin )x xf x x x x x '=+-2e cos x x =.令()0,f x '>得22()22k x k k πππ-<<π+∈Z . 所以()f x 的单调递增区间为(2,2)22k k πππ-π+()k ∈Z .（Ⅱ）证明：要证曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线，即证方程'()2f x =在区间(0,)2π上有且只有一个解.令()f x '2e cos 2x x ==，得e cos 1x x =.设c (1)e os xg x x =-，则()e cos e sin sin()4x x x g x x x x π'=-=-.当(0,)2x π∈时，令()0g x '=，得4x π=.当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以()g x 在(0,)4上单调增，在(,)42上单调减. 因为0(0)g =,所以当(0,]4x π∈时，()0g x >； 又1(0)2g π=-<，所以当(,)42x ππ∈时，()g x 有且只有一个零点. 所以当(0,)2x π∈时，c (1)e os x g x x =-有且只有一个零点. 即方程2()f x '=，(0,)2x π∈有且只有一个解. 所以曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线. 31．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()f x 为偶函数，所以(π)(π)f f -=，即ππe 1e 1a a --=-，………………2分解得0a =.验证知0a =符合题意.………………4分（Ⅱ）()e sin x f x x '=-.………………6分由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，………………7分则()e sin 0x f x x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数. 故()(0)2f x f >=，即()2f x >.………………9分（Ⅲ）由()e cos 0x f x a x =+=，得cos e xx a =-. 设函数cos ()e xx h x =-，[0,π]x ∈，………………10分 则sin cos ()e xx x h x +'=.………………11分令()0h x '=，得3π4x =. 随着x 变化，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(0,)4上单调递增，在(,π)4上单调递减.………………13分又因为(0)1h =-，π(π)e h -=，3π43π()4h -=， 所以当3ππ4[e ,)2a --∈时，方程cos e x x a =-在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a 的取值范围为3ππ4[e ,)2--.………………15分 32.（本小题15分）（Ⅰ）解：'()cos xf x e x a =++,对于2a =-，当0x <时，1,cos 1x e x <≤，所以'()cos 20x f x e x =+-<.所以()f x 在(),0-∞上单调递减.………………………………4分（Ⅱ）解：当0x =时，()11f x =≥，对于R ∈a ，命题成立，当0x >时，设()cos =++x g x e x a ，则'()sin x g x e x =-.因为1,sin 1>≤x e x ，所以'()sin 11=0x g x e x =->-，()g x 在()0,+∞上单调递增.又(0)2=+g a ，所以()2>+g x a .所以'()f x 在()0,+∞上单调递增，且'()2>+f x a .① 当2a ≥-时，'()0>f x ，所以()f x 在()0,+∞上单调递增.因为(0)1f =，所以()1>f x 恒成立.② 当2a <-时，'(0)20f a =+<，因为'()f x 在[0,)+∞上单调递增，又当ln(2)=-x a 时，'()2cos 2cos 0=-+++=+>f x a x a x ，所以存在0(0,)x ∈+∞，对于0(0,)∈x x ，'()0f x <恒成立.所以()f x 在()00,x 上单调递减，所以当0(0,)∈x x 时，()(0)1<=f x f ，不合题意.综上，当2a ≥-时，对于0x ≥，()1f x ≥恒成立.………………………………13分（Ⅲ）解：0a <.………………………………15分33.（本小题15分）解：（Ⅰ）（ⅰ）因为()2sin cos =--f x x x x ax ，所以()2cos (cos sin )cos sin '=---=+-f x x x x x a x x x a ．因为曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1，所以(0)1'=f ，即11-=a ，故0=a ．经检验，符合题意．……………4分（ⅱ)由（ⅰ）可知()2sin cos =-f x x x x ，()cos sin '=+f x x x x ．设()()'=g x f x ，则()cos '=g x x x ．令()0'=g x ，又)π(0,∈x ，得2π=x ． 当(0,)2π∈x 时，()0'>g x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<g x ， 所以()g x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 又(0)1=g ，ππ()22=g ，(π)1=-g ， 因此，当π(0,]2∈x 时，()(0)0>>g x g ，即()0'>f x ，此时()f x 在区间π(0,]2上无极值点； 当π(,π)2∈x 时，()0=g x 有唯一解0x ，即()0'=f x 有唯一解0x ， 且易知当0π(,)2∈x x 时，()0'>f x ，当0(,π)∈x x 时，()0'<f x ， 故此时()f x 在区间π(,π)2内有唯一极大值点0x ． 综上可知，函数()f x 在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分（Ⅱ）因为()cos sin '=+-f x x x x a ，设()()'=h x f x ，则()cos '=h x x x ．令()0'=h x ，又(0,π)∈x ，得π2=x ．且当π(0,)2∈x 时，()0'>h x ；当π(,π)2∈x 时，()0'<h x ， 所以()'f x 在π(0,)2内单调递增，在π(,π)2内单调递减． 当1≤a 时，(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，()1'π=--f a ． （1）当()10'π=--≥f a ，即1≤-a 时，()0'≥f x ．此时函数()f x 在(0,π)内单调递增，()(0)0>=f x f ；（2）当()10'π=--<f a ，即11-<≤a 时，因为(0)10'=-≥f a ，()022ππ'=->f a ，所以，在π(0,)2内()0'≥f x 恒成立，而在区间π(,π)2内()'f x 有且只有一个零点，记为1x ， 则函数()f x 在1(0,)x 内单调递增，在1(,π)x 内单调递减．又因为(0)0=f ，()(1)0π=-π≥f a ，所以此时()0>f x ．由（1）（2）可知，当1≤a 时，对任意(0,π)∈x ，总有()0>f x ．……………15分34．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，得，………………2分 则，. 所以曲线在点处的切线为.………………4分 将点代入切线方程，得.………………5分 （Ⅱ）由题意，得，. 令，得.………………7分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ ↗所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………9分 所以函数存在极小值，且极小值为；函数不存在极大值. ………………10分（Ⅲ）“”等价于“”.………………11分 由（Ⅱ），得（当且仅当时等号成立）.①所以.故只要证明即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设，，则.………………13分因为当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以（当且仅当时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当时，.………………15分35.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，因为，…………….1分所以.…………….2分所以曲线在点处的切线方程为.…………….4分（II）定义域为.因为①当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….5分②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.…………….6分③当时，令，则或.…………….7分所以当时，或；当时，.…………….8分所以函数在和上单调递增，在上单调递减.…………….9分综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）法一：由（Ⅱ）可知，（1）当时，函数在上单调递增；所以当时，因为，所以.…………….10分（2）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.①当，即时，.所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，所以.…………….11分②当，即时，.由上可知，因为，设.因为，所以在上单调递增.所以.所以所以.…………….13分③当，即时，.因为函数在上单调递减，所以当时，.所以.综上可知，当时，.…………….14分（III）法二：因为，①当时，因为，所以.所以.……………10分②当时，因为，所以.所以..11分设.因为，所以当时，或，当时，.…………….12分所以在上单调递减，在上单调递增.……………13分所以.所以当时，.…………….14分36.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为1()e xxf x+=，定义域R，所以'()e x xf x =-.令'()0f x =，解得0x =.随x 的变化，'()f x 和()f x 的情况如下：由表可知函数()f x 在0x =时取得极大值(0)1f =，无极小值.………5分 （Ⅱ）令22111()()11(0)2e 2x x g xf x x x x +=+-=+->， 1e 1'()=(1)()e e e x x x x xg x x x x --+=-=.由0x >得，于是，故函数是上的增函数. 所以当时，，即.………9分 （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.令， . 当时，若，，则在上是减函数.所以时，，不合题意.e 10x->'()0g x >()g x [0)∞,+(0)x ∈∞,+()(0)0g x g >=21()12f x x >-+12a ≤-221()121f x x ax >-+≥+221()()11ex x h x f x ax ax +=--=--1'()2(2)e e x x x x ax x a h =--=-+102a -<<1(0ln())2x a ∈-，'()0h x <()h x 1[0ln()]2a -，1(0ln())2x a ∈-，()(0)0h x h <=当时，则在上是减函数，所以，不合题意.综上所述，实数的取值范围.………15分 37.（本小题15分）解：（Ⅰ）由sin 1x ≠-，得π2π()2x k k ≠-+∈Z 所以()f x 的定义域为π{|2π()}2x x k k ≠-+∈Z （Ⅱ）0cos 0(0)e 21sin 0f =+=+ 22sin (1sin )cos 1()e e (1sin )1sin x x x x x f x x x-+-'=+=-+++（π2π()2x k k ≠-+∈Z ） (0)0f '=所以，曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为2y = （Ⅲ）法一：由1()e 1sin x f x x'=-++， 令1()e 1sin x g x x =-++，则2cos ()e (1sin )x x g x x '=++ 当ππ(,)22x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在ππ(,)22-上单调递增，且(0)0g = 所以当π(,0)2x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π(0,)2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 0a ≥'()0h x <()h x (0)∞,+()(0)0h x h <=a 1(]2-∞-,法二：1()e 1sin x f x x'=-++ 当0x =时，01(0)e 01sin 0f '=-+=+； 当(,0)2x π∈-时，sin (1,0),x ∈-1sin (0,1),x +∈11(1,),(,1),1sin 1sin x x -∈+∞∈-∞-++ 2e (e ,1)x π-∈，所以当(,0)2x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(0,)2x π∈时，sin (0,1),x ∈11111sin (1,2),(,1),(1,),1sin 21sin 2x x x -+∈∈∈--++ 2e (1,e )x π∈，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为(0)2f = 所以，当ππ(,)22x ∈-时，()2f x ≥ 38.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当时，，所以，因此．又因为，所以切点为． 所以切线方程为． （Ⅱ）解：．所以．因为，所以． （1）当，即时 因为，所以，故．此时函数在上单调递增．所以函数不存在最小值．（2）当，即时令，因为，所以．与在上的变化情况如下：−0 +所以当时，有极小值，也是最小值，并且．综上所述，当时，函数不存在最小值；当时，函数有最小值．（Ⅲ）解：当时，．。
北京市丰台区2020届高三第二学期综合练习(二模)数学试题 含答案
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 ┈
干 地子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子
┈ 支 干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知复数 z = 2 − i ，则 z =
．
12. 已知直线 x + y +1 = 0 的倾斜角为 ，则 cos =
．
13.
双曲线 M
x2 : a2
−
y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的离心率为
3 ，则其渐近线方程为
.
14． 天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：
9. 在△ ABC 中， AC = 3 ， BC = 7 ， AB = 2 ，则 AB 边上的高等于
（A） 2 3
（B） 3 3 2
（C） 26 2
（D） 3 2
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四
场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为 a,b, c(a b c, 且 a,b, c N) ；选手总分为各
北京市丰台区 2020 年高三年级第二学期综合练习（二）
数 学 2020.06
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1． 集合 A = x Z − 2 x 214 分）
北京市东城区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷含解析
北京市东城区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =2．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<3．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．7254．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．125．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．6．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥8．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+ 10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．6311．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3 B．2或3C ．2或3D ．2或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区高三数学下学期综合练习(二)理(东城二模)(含解析)
北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么集合AB 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，【答案】B【解析】(){}|10{01}A x x x x x =-<=<<，所以{01}A B x x =<<，选B.2.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x的值等于（ ） A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 【解析】成绩在[)890，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.1x =，解得0.01x =，选C.3已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A ．()2211x y -+= B ．()2211x y +-= C ．()2211x y ++= D ．222x y +=【答案】A【解析】由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222x y x +=，即标准方程为()2211x y -+=，选A.4已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面频率x中，直角三角形的个数为（）俯视图侧（左）视图正（主）视图A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D ．5阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（ ）A．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】若输入x 的值为25-时，则14x =，循环11x ==，此时不满足条件，输出3114x =⨯+=，选D.6已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2x 的值为（ ）A ．325 B ．725 C ．925 D ．1825【答案】B【解析】2237sin 2cos(2)cos2()12sin ()12()244525x x x x πππ=-=-=--=-⨯=,选B.7过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】抛物线24y x =的焦点（1，0），准线为l ：1x =-，设AB 的中点为 E ，过 A 、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C 、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知522AC BD ABEF +===，所以1514EH EF =-=-=,即则B 的中点到y轴的距离等于4．选D.8已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>【答案】C【解析】令()()F x xf x =，则'()()'()F x f x xf x =+,当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<，所以'()0F x <，即函数，所以函数()()F x xf x =在()0x ∈-∞，上为减函数．因为函数()()F x xf x =为定义在实数上的偶函数．所以函数()()F x xf x =在()0,x ∈+∞，上为增函数．则()()0.30.30.333(3)a f F =⋅=,()()log 3log 3(log 3)b f F πππ=⋅=,333111(log )(log )(log )999c f F =⋅=,因为0.331>，log 31π<，31log 29=-，所以31(l o g )(2)(2)9c F F F ==-=.因为当函数()()F x x f x =在()0,x ∈+∞，上为增函数，所以0.3(2)(3)(log 3)F F F π>>，即c a b >>，选C.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________． 【答案】32-【解析】因为a b ∥，所以2(3)0λ--=，解得32λ=-。
北京市东城区高三数学下学期综合练习(二)理(东城二模)(含解析)北师大版
北京市东城区2013届高三5月综合练习（二）数学（理）试题一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区二模）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．解答：解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2013•东城区二模）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）[90，100），则图中x的值等于（）A．0.754 B．0.048C．0.018 D．0.012考点：频率分布直方图．专题：图表型．分析：根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；解答：解：由图得30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，解得x=0.018故选C．点评：本题主要考查了频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图中各组累积频率和为1是解答的关键．3．（5分）（2013•东城区二模）已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．解答：解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．点评：本题是基础题，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，送分题．4．（5分）（2013•东城区二模）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：由三视图还原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，由三视图还原实物图，是基础题．5．（5分）（2013•东城区二模）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．解答：解：当输入x=﹣25时，|x|＞1，执行循环，x=﹣1=4；|x|=4＞1，执行循环，x=﹣1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为x=3×1+1=4．故选D．点评：本题考查循环结构的程序框图，搞清程序框图的算法功能是解决本题的关键，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．6．（5分）（2013•东城区二模）已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把啊哟球的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．解答：解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．点评：本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．7．（5分）（2013•东城区二模）过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到y轴的距离等于（）A．1B．2C．3D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AB的中点为 E，过 A、E、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，如图所示，由EF为直角梯形的中位线及抛物线的定义求出 EF，则 EH=EF﹣1 为所求．解答：解：抛物线y2=4x焦点（1，0），准线为 l：x=﹣1，设AB的中点为 E，过 A、E、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C、F、D，EF交纵轴于点H，如图所示：则由EF为直角梯形的中位线知，EF====5，∴EH=EF﹣1=4，则AB的中点到y轴的距离等于4．故选D．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．8．（5分）（2013•东城区二模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b考点：导数的运算；函数单调性的性质；不等关系与不等式．专题：函数的性质及应用．分析：构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（﹣∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．解答：解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）﹣xf′（x）．因为f（x）+xf′（x）＜0，所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即c＞a＞b．故选C．点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数F（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•东城区二模）已知向量=（2，﹣3），=（1，λ），若，则λ=﹣．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：由向量共线可得2×λ﹣3×1=0，解之即可．解答：解：∵=（2，﹣3），=（1，λ），若，∴2×λ﹣（﹣3）×1=0，解得λ=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查向量共线的充要条件，属基础题．10．（5分）（2013•东城区二模）若复数是纯虚数，则实数a的值为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a的值．解答：解：∵复数==为纯虚数，故有 a﹣1=0，且a+1≠0，解得 a=1，故答案为 1．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．11．（5分）（2013•东城区二模）各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．解答：解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论过的数学思想，在利用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比的讨论，此题是基础题．12．（5分）（2013•东城区二模）如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，且过点C的割线CMN交AB的延长线于点D，若CM=MN=ND，AC=2，则CM= 2 ，AD= 2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理即可得出．解答：解：∵AC切⊙O于点A，CM=MN，．∴AC2=CM•CN，∴，∴CM=2．∴CD=3CM=6．∵AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，∴AC⊥AD．在Rt△ACD中，由勾股定理可得==．故答案分别为2，．点评：熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．13．（5分）（2013•东城区二模）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有150 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：根据题意，分2步分析：先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，①分为2、2、1的三组，②分为3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的地方，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，①分为2、2、1的三组，有=15种方法，②分为3、1、1的三组，有=10种方法，则共有10+15=25种分组方法，再将分好的三组对应3个不同的地方，有A33=6种情况，则共有25×6=150种不同的分配方案；故答案为：150．点评：本题考查排列、组合及分步乘法原理的应用，注意本题的分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式．14．（5分）（2013•东城区二模）在数列{a n}中，若对任意的n∈N*，都有﹣=t（t为常数），则称数列{a n}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{a n}满足a n=，则数列{a n}是比等差数列，且比公差t=；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n﹣1+c n﹣2（n≥3），则该数列不是比等差数列；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，则数列{a n b n}是比等差数列．其中所有真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d≠0时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得，故该数列不是比等差数列；④可举{a n}为0列，则数列{a n b n}为0列，显然不满足定义．解答：解：①若数列{a n}为等比数列，且公比为q，则=q﹣q=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，若数列{a n}为等差数列，且公差为d，当d=0时，=1﹣1=0，为常数，是比等差数列，当d≠0时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；②若数列{a n}满足a n=，则=不为常数，故数列{a n}不是比等差数列，故错误；③若数列{c n}满足c1=1，c2=1，c n=c n﹣1+c n﹣2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故=1，=，显然，故该数列不是比等差数列，故正确；④若{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，可举{a n}为0列，则数列{a n b n}为0列，显然不满足定义，即数列{a n b n}不是比等差数列，故错误．故答案为：①③点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及等差数列和等比数列以及新定义，属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•东城区二模）已知函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+）﹣，由此求得f（x）的最小正周期．（Ⅱ）因为 0＜x＜，根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin2x+cod2x﹣=sin（2x+）﹣，所以，f（x）的最小正周期 T==π．（Ⅱ）因为 0＜x＜，所以，＜2x+＜，∴﹣1＜sin（2x+）＜1，﹣＜sin（2x+）＜，所以，f（x）的取值范围是（﹣，]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（13分）（2013•东城区二模）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男180 70 20女120 a 30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（1）求a的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（I）利用分层抽样的计算公式即可得出，进而求出a的值；（II）由题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=5﹣2=3．根据古典概型的概率计算公式分别计算出概率，即可得到分布列及数学期望．解答：解：（Ⅰ）设该年级共n人，由题意得，解得n=500．则a=500﹣（180+120+70+20+30）=80．（Ⅱ）依题意，X所有取值0，1，2．在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生数=，抽取的女生数=5﹣2=3．∴P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2PEX=．点评：熟练掌握分层抽样的意义及其计算公式、古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．17．（14分）（2013•东城区二模）如图，△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．（1）求证：AD⊥AC′；（2）若M，N分别是BD，C′B的中点，求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间向量及应用．分析：（1）根据题目给出的条件，∠BAD=90°，AD⊥C′B，利用线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线线垂直；（2）由（1）得到AB，AD，AC′两两互相垂直，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系后，解出相应点的坐标，求出两个平面AMN和ABM的法向量，利用平面法向量求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．解答：（1）证明：因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB，又因为C′B⊥AD，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB，因为AC′⊂平面C′AB，所以AD⊥AC′．（2）因为△BCD是等边三角形，AB=AD，∠BAD=90°，不防设AB=1，则BC=CD=BD=，又因为M，N分别为BD，C′B的中点，由此以A为原点，AB，AD，AC′所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C′（0，0，1），，．所以，．设平面AMN的法向量为．则，即，令x=1，则y=z=﹣1．所以．又平面ABM的一个法向量为．所以．所以二面角N﹣AM﹣B的余弦值为．点评：本题考查了直线与平面垂直的判定及性质，考查了利用空间向量求解二面角的问题，解答的关键是建立正确的空间坐标系，即符合右手系，同时注意两平面法向量所成的角与二面角的关系，是中档题．18．（14分）（2013•东城区二模）已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入f（x）=，整理后得，讨论原方程的根的情况，即讨论方程的根的情况，引入辅助函数，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则．因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（Ⅱ）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足（x0＞0），所以对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，，所以a的最小值为．（Ⅲ）由f（x）=，即．化简得（x∈（0，+∞））．令，则．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为．所以当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程f（x）=无实根．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在求最值中的应用，训练了分离变量法求参数的取值范围，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想，属难度稍大的题型．19．（13分）（2013•东城区二模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，原点到过点A（a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上一动点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求x12+y12的取值范围．（3）如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率，a2=b2+c2，及其点到直线的距离公式即可得到a，b；（2）利用轴对称即可得到点P（x0，y0）与其对称点P1（x1，y1）的坐标之间的关系，再利用点P（x0，y0）满足椭圆C的方程：得到关系式，进而即可求出；（3）设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（x M，y M），则BM⊥EF得到关系式，把直线EF的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系即可．解答：解：（1）∵，a2=b2+c2，∴a=2b．∵原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2．故所求椭圆C的方程为．（2）∵点P（x0，y0）关于直线y=2x的对称点为点P1（x1，y1），∴解得，．∴．∵点P（x0，y0）在椭圆C：上，∴．∵﹣4≤x0≤4，∴．∴的取值范围为[4，16]．（3）由题意消去y，整理得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0．可知△＞0．设E（x2，y2），F（x3，y3），EF的中点是M（x M，y M），则，则，y M=kx M+1=．∴．∴x M+ky M+2k=0．即．又∵k≠0，∴．∴．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式等知识与方法，熟悉解题模式是解题的关键．20．（13分）（2013•东城区二模）已知数列{a n}，a1=1，a2n=a n，a4n﹣1=0，a4n+1=1（n∈N*）．（1）求a4，a7；（2）是否存在正整数T，使得对任意的N∈N*，有a n+T=a n；（3）设S=++…++…，问S是否为有理数，说明理由．考点：数列递推式．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意可得，a4=a2=a1，a7=a4×2﹣1，结合已知可求（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N*满足条件，然后分类讨论：分T为奇数，设T=2t﹣1（t∈N*），及T为偶数，设T=2t（t∈N*），两种情况进行推理，推到出矛盾即可证明（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，则存在正整数N0，T，对任意的n∈N*，且n≥N0，有a n+T=a n，结合（2）的讨论分T为奇数，T为偶数，两种情况进行讨论即可求解解答：解：（1）由题意可得，a4=a2=a1=1，a7=a4×2﹣1=0（2）假设存在正整数T使得对任意的n∈N*，有a n+T=a n；则存在无数个正整数T使得对任意的n∈N*，有a n+T=a n；．设T为其中最小的正整数．若T为奇数，设T=2t﹣1（t∈N*），则a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）﹣1=0与已知a4n+1=1矛盾．若T为偶数，设T=2t（t∈N*），则a2n+T=a2n=a n，而a2n+T=a2n+2t=a n+t从而a n+T=a n．而t＜T与T为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数T，使得对任意的n∈N*，有a n+T=a n．（3）若S为有理数，即S为无限循环小数，则存在正整数N0，T，对任意的n∈N*，且n≥N0，有a n+T=a n．与（Ⅱ）同理，设T为其中最小的正整数．若T为奇数，设T=2t﹣1（t∈N*），当4n+1≥N0时，有a4n+1=a4n+1+T=a4n+1+2T=a4（n+t）﹣1=0．与已知a4n+1=1矛盾．若T为偶数，设T=2t（t∈N*），当n≥N0时，有a2n+T=a2n=a n，而a2n+T=a2n+2t=a n+t从而a n+t=a n而t＜T，与T为其中最小的正整数矛盾．故S不是有理数．…（13分）点评：本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，解答本题要求考生具有一定的逻辑推理与运算的能力。
北京市东城区2020届高三数学5月综合练习试题二文
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合{4}A x x =∈≤N ，{2}B x x =∈>N ，那么AB =（A ）{3,4} （B ）{0,1,2,3,4} （C ）N （D ）R （2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（A ）10 （B ）12 （C ）13 （D ）16 （3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（A ）16 （B ）34 （C ）910 （D ）1112（4）已知A ，B 为圆22(1)4x y +-=上关于点(1,2)P 对称的两点，则直线AB 的方程为 （A ）30x y +-= （B ）30x y -+= （C ）370x y +-= （D ）310x y --= （5）设a ，b 为实数，则“1ab <”是“10a b<<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数()()g x f x x =-是偶函数,且(3)4f =，则(3)f -=（A ）4- （B ）2- （C ）0 （D ）4（7）已知向量(cos ,sin )OA ββ=，将向量OA 绕坐标原点O 逆时针旋转θ角得到向量OB(090)θ<<，则下列说法不正确的是（A ）OA OB OA OB +>- （B ）2AB <（C ）OA OB OA OB +=-（D ）()()OA OB OA OB +⊥-（8）如图，在边长为m 的正方形组成的网格中，有椭圆1C ，2C ，3C ，它们的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（A ）123e e e =< （B ）231e e e =< （C ）123e e e => （D ）231e e e =>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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O
1
1
2x
y y
2
2
1
1
1
O
1
2x
1
O
1
1 1
2x
(6) 已知向量 a (0,5) ， b (4, 3) ， c (2, 1) ，那么下列结论正确的是
(A) a b 与 c 为共线向量 (C) a b 与 a 的夹角为钝角
(B) a b 与 c 垂直 (D) a b 与 b 的夹角为锐角
（11） 1 i
（12） 1
（13）①②
（15） 5
（14）①③④，
7
，或者②③④，
2
2
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 ABCD 中， AD / / BC ， CD BC ， BC 1， AD 2 ， E 为 AD 中点，
取的方法招募志愿者，下表记录了 A, B, C, D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数据
模糊，记为 a,b .
项目 计划招募人数 报名人数
A
50
100
B
60
a
C
80
b
D
160
200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记 为甲同学最终被招募的项目个数，已知
P( 0) 1 , P( 4) 1 .
，离心率为
3
．
2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 y k(x 1)(k 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 P ， Q ，线段 PQ 的中点为 M ，
点 B(1,0) ，求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上．
（20）（本小题 15 分）
已知 f (x) ex sin x ax(a R) . （Ⅰ）当 a 2 时，求证： f (x) 在 (，0) 上单调递减； （Ⅱ）若对任意 x 0 ， f (x) 1恒成立，求实数 a 的取值范围； （Ⅲ）若 f (x) 有最小值，请直接给出实数 a 的取值范围.
（21）（本小题 14 分）
设数列： A：a，1 ，a，2 an ， B：b，1 ，b，2 bn .
已知 ai，b，j 0 1（
i 1,2,L
, n;
j 1,2,L
,
n
），定义
n
n
数表
X
(
A，B)
x11 x21
xn1
x12 x22
x1n x2n
，其中
xn 2
xnn
1 xij 0
z
又 A1E BE ， BE DE ,
Байду номын сангаасA1
因此，建立如图所示的空间直角坐标系 E xyz ．
由 A1E CD DE 1 ，
得 A1(0, 0,1) ， B(1, 0, 0) ， C(1,1, 0) ，
E
B
C
x
D
y
D(0,1, 0) ，
uuur
uuur
A1B (1, 0, 1) ， A1D (0,1, 1) ，
ai bj， ai bj，
（Ⅰ）若 A : 1,1,1, 0 ， B : 0,1, 0, 0 ，写出 X ( A，B) ;
（Ⅱ）若 A，B 是不同的数列，求证： n n 数表 X ( A，B) 满足“ xij =x ji （
i 1,2,L , n; j 1,2,L , n; i j ）”的充分必要条件为“ ak bk 1 (k 1, 2,, n) ”; （Ⅲ）若数列 A 与 B 中的 1 共有 n 个, 求证： n n 数表 X ( A，B) 中 1 的个数不大于 n2 .
其中，正确结论的序号为
．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得
0 分，其他得 3 分。
(14) 从下列四个条件① a 2c ；② C π ；③ cos B 2 ；④ b 7 中选出三个条
6
4
件，能使满足所选条件的△ ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）
1.5
（A）1 π 2
（C）1 π 8
（B）1 π 4
（D） 1 π
1
主主主主主主
1
主主主
主主主主主主
(10)
函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，且它的最小正周期是 T ，已知
f
(
x)=
T
2
x, x [0, T ], 4
x, x (T , T ], 42
g(x)
f (x a)(a R) .
天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为 使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为_______.
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 14 分）
如图①，四边形 ABCD 中， AD // BC ， CD BC ， BC CD 1， AD 2 ， E 为 AD 中点. 将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图②.
2
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
2020.6
（1）B
（2）C
（3）A
（4）D
（5）B
（6）B
（7）B
（8） A
（9）C
（10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（Ⅰ）求证：平面 A1EB 平面 A1ED ；
（Ⅱ）若 A1ED 90 ，求 A1C 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
A1
A
E
D
B
C
图①
E B
D C
图②
（17）（本小题 14 分）
已知{an}为等比数列，其前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 1 ， S3 3a2 1. {bn}为等差 数列，其前 n 项和为Tn ，如图____，Tn 的图象经过 A , B 两个点． （Ⅰ）求 Sn ； （Ⅱ）若存在正整数 n ，使得 bn Sn ，求 n 的最小值.
设平面 A1BD 的法向量为 n (x, y, z) ，
则
n n
uuur uAu1uBr A1D
0，即 0，
x
y
z z
0，
令
0，
z
1得
x
1,
y
1
，
所以 n (1, 1, 1) 是平面 A1BD 的一个法向量. uuur
又 A1C (1,1, 1) ,
设直线 A1C 与平面 A1BD 所成角为 ，
(B) 值域都为 R
(C)在其定义域上都是增函数
(D) 都是奇函数
(3)
平面直角坐标系中，已知点 A, B,C 的坐标分别为 (0,1),(1,0),(4, 2) ，且四边形
ABCD 为平行四边形，那么 D 点的坐标为
(A) (3,3)
(B) (5,1)
(C) (3, 1)
(D) (3,3)
(4)
双曲线 C : x2
,所选三个条件下的 c 的值为 ____.
(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200件. 由于生产 这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以 需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求， 称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天 2元（当
北京市东城区 2020 届高三数学下学期综合练习（二模）试题（二）
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求
(12) 已知 cos 2 1 ，则 cos2 ( π ) 2cos2 π 的值为
.
3
2
(13) 设 , , 是三个不同的平面， m，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若 m ， n ，则 m∥ n ；
②若 m ， m ，则 ∥ ； ③若 ， ，则 ∥ .
的一项。
(1) 已知全集U 0,1, 2,3, 4,5，集合 A 0,1, 2， B 5，那么 (Cu A) B
(A) 0,1, 2 (B) 3, 4,5
(C) 1, 4,5
(D) 0,1, 2,5
(2) 已知三个函数 y x3, y 3x , y log3 x ，则
(A) 定义域都为 R
40
10
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求 a ， b 的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D，试判断 E 如何变化(结
论不要求证明).
(19) （本小题 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的一个顶点坐标为
A(0, 1)
(D) 1080 平方米
(8) 已知函数 f (x) ln x ax2 ，那么“ a 0 ”是“ f (x) 在 (0, ) 上为增函数”的
(A) 充分而不必要条件
(B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
(9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和 一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形 和一个长方形，那么这个几何体的体积是