基于内模控制的PID控制器的设计

(4)
本文的目的是将内模控制器转化为 PID 类型的解 ,即使 式 (3) 和式 (4) 等价 ,因而从内模控制的角度来设计 PID 控制 器 。通常内模控制器的设计过程如下[2] :
第一步 :把模型分解为全通部分 M+ 和最小相位部分 M- ,即
M ( s) = M+ ( s) 3 M- ( s)
314 三阶系统 当过程模型是三阶对象 ,即
M ( s)
=
s3
+
Km a2 s2 + a1 s
+
a0
(14)
利用模型转换的方法可以近似为
M ( s)
≈
Km Tms +
1
e - τs
,
因此三阶特性也可以作为过程控制的一种典型对象 。而纯滞
后可以用一阶 pade 逼近[4] ,即
e- τs
≈
1 1
H=
1 2
XTQX
+
1 2
uTRu +
PT ( AX
+ B u)
式中 , P —状态向量的伴随向量
P( t) = X ( t) X ( t) 并由 5 H/ 5 u = 0 ,解得最优控制为 :
u 3 ( t) = - R- 1 BTP( t) = - K( t) X ( t) 式中 K( t) = R - 1 B TM ( t)
(2)
如果模型准确 , 即 M ( s) = P( s) , 且没有外界扰动 , 即
— 207 —
图 1 内模控制系统的结构图
D( s) = 0 ,则模型的输出 Ym 与过程的输出 Y 相等 ,此时反馈 信号为零 。这样在无模型不确定性和无未知输入的条件下 , 内模控制系统具有开环结构 。
3 基于 IMC 的 PID 控制器的设计
(15)
可以看出 , 对于三阶对象 , 基于内模控制原理设计的控 制器为 PID 控制器 ,其中
Kp
=
Tm + τ/ 2 Km (λ + τ/ 2)
,
TI
=
Tm + τ/ 2 ,
TD
=
Tmτ 2 ( Tm + τ/ 2)
(16)
同样可以证明 , 三阶对象的最优控制模型也是 PID 控 制 。证明如下 :
将式 (7) 代入式 (4) ,得
Gc ( s)
=
M
-
1
( s)
(λs + 1) r - M + ( s)
(8)
当过程模型已知时 ,根据上式和 PID控制算式 ,由 s 多项 式各项幂次系数对应相等的原则 ,求解可得基于内模控制原 理的 PID 控制器各参数 。 312 一阶系统
当过程模型是一阶系统即 M ( s)
1 引言
过程工业中使用的调节器主要是 PID 型的 ,它结构简 单 ,易于操作 ,具有强鲁棒性和有效的实际应用 。因而 PID 控制器参数的整定方法长期受过程控制界的关注 。其整定 方法有许多 ,如早期的 Ziegler - Nichols 的闭环临界比例度法 , Cohen - Coon 的开环反应曲线法 ,以及其它一些基于最小误 差积分的方法 。Rivera[1]等人首先将内模控制的思想引入到 PID 控制器的设计中 ,并建立了滤波器参数与 PID 控制器参 数的关系 ,本文在前人的基础上 ,针对工业控制领域具有代 表性的过程控制对象 ,给出了基于内模控制的 PID 控制器设 计方法 ,并证明了该方法符合线性二次型最优控制的选型原 则 ,将该方法应用于典型的工业过程对象进行仿真研究 ,结 果表明 ,所设计的 PID 控制系统具有更好的调节品质 ,在系 统特性变化的情况下具有很强的鲁棒性和抗干扰能力 。此 外 ,该方法在现有的可编程控制器 ( PLC) 、智能仪表 、集散控
收稿日期 :2003 - 11 - 18
制系统 (DCS) 和新型的现场总线控制系统中都很容易实现 , 无需增加硬件投资 ,因而具有较高的工程应用价值 。
2 内模控制
内模控制的基本结构如图 1 所示 ,图中 P( s) 为实际被控 过程对象 , M ( s) 为被控过程的数学模型 , Q ( s) 即内部模型 , U ( s) 为内模控制器 , r , y , d 为内模控制器的输出 , 分别为系 统的输入 、输出和干扰信号 。通过求取参考输入 r 和扰动输 入 d 与过程输出 y 之间的传递函数 ,易得出系统闭环响应为
制器为 PID 控制器 ,其中
Kp
=
2ξTm λKm
,TILeabharlann =2ξTm , TD
=
1 2ξ
(13)
同样由文献[3 ] 可知 ,对于二阶对象 , 在设定值变化时 , 在目标函数 (11) 下的的最优控制规律是比例 + 积分 + 微分 , 而且也可以证明它对于过程参数的变化是不灵敏的 。这同样 可说明对于二阶对象基于内模控制原理设计的 PID 控制器 也是符合线性二次型最优控制选型原则的 。
M ( t) 为如下黎卡提方程的解 :
M ( t) = - M ( t) A - ATM ( t)
∞
∫ J
=
1 2
{ q[ yr - y ]2 + Ru2 ( t) } dt
(11)
0
下的最优控制规律是比例 + 积分 , 且是无余差的 , 并可以证 明对于对象参数的变化是不灵敏的 。而基于内模原理所设计
的控制器也是 PI 控制器 , 这说明基于内模控制原理设计的 PID 控制器是符合二次型最优控制选型原则的 。 313 二阶系统
将式 (13) 表示的三阶对象写成状态方程的形式 :
其中
X = AX + Bu Y = CX
0
1
0
0
A= 0
0
1 ;B = 0
- a0 - a1 - a2
1
C = [ K 0 0 ]
在二次性能指标最优条件下
∫ J ( u)
=
1 2
tf ( XTQX + uTRu) dt →min
0
得到如下的哈密顿函数 :
Y( s)
=
1
+
Q(
P( s) Q ( s) s) [ P( s) -
M ( s) ] R ( s)
+
1
+
1Q ( s)
M ( s) Q ( s) [ P( s) - M ( s)
] D ( s)
(1)
从图 1 可知 ,其反馈信号为
D ( s) = [ P( s) - M ( s) ] U ( s) + D ( s)
当过程模型是二阶系统时 ,即
M ( s)
=
Tms2
Km + 2ξTms
时 ,取 +1
r
= 1 ,代入到式 (8)
式可
得:
Tms2 + 2ξTms + 1
Gc ( s) =
Km [ (λs + 1) - 1 ]
=
2ξTm Kmλ
1
+
1 2ξTms
+
21ξs
(12)
可以看出 , 对于二阶对象 , 基于内模控制原理设计的控
(5)
式 (5) 中 M+ ( s) 包含 M ( s) 中的纯滞后环节和右半 s 平 面的零点 ,且
| M + ( jω) | = 1 Πω
通常 , M + ( s) 具有如下形式 :
∏ M + ( s) = e- τs i
s
s +
+ξ ξH
Re
(ξ)
,τ
>
0
式中上标 H 表示复共轭 。 第二步 :模型误差的鲁棒性设计 为抑制模型误差对系统的影响 , 增加系统的鲁棒性 , 在
=
Km Tms +
1
时
,
取
r
=
1,
代入到式 (8) 可得 :
Tms + 1
Gc ( s)
=
Km [ (λs + 1)
-
1]
=
Tm λKm
1+
1 Tms
(9)
可以看出 , 对于一阶系统 , 基于内模控制原理设计的控 制器为 PI 控制器 ,其中
Kp
=
Tm λKm
,
TI
=
Tm
(10)
而由文献[3 ] 可知 ,对于一阶对象 , 在设定值变化时 , 在 以下目标函数
ABSTRACT :Based on the internal model control principle , a new PID controller design method is presented for the repre2 sentative industry process target. According to the viewpoint of modern control theory , it is approved to be conformable to the model choosing rule of linear quadric form optimal control. The computer simulation results of the representative industry process target show that PID control system is superior to the general method in control quality , robustness and capability of anti - interference. Only the time constant of the filter needs to be adjusted. This method is easy to come true in existing program logic controller ,intelligence instrument , distributed control system(DCS) and on - the - spot bus control system. Hardware investment is free from increasing and its application value in projects is very high. KEYWORDS :Internal model control ( IMC) ; Control ; Linear quadratic ; Optimal control