第四章 第1节 匀速圆周运动快慢的描述

第1节匀速圆周运动快慢的描述 一、匀速圆周运动 1．定义 在任意相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动。 2．性质 匀速圆周运动速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动，也是最简单的一种圆周运动。

二、描述圆周运动的物理量

1．匀速圆周运动的特点：任意相等时间内通过的弧长(或角度)相等；线速度方向沿圆周的切线方向。

2．描述匀速圆周运动的物理量有线速度(v)、角速度(ω)、周期(T)[或频率(f)]、转速(n)，其关系式是v＝2πrT，ω＝2πT，v＝ωr，ω＝2πn。

3．利用关系式分析线速度、角速度或周期的变化时，要物理量 线速度(v) 角速度(ω) 周期(T) 频率(f) 转速(n) 定义 做匀速圆周运动的物体通过的弧长s与所用时间t的比值 做匀速圆周运动的物体，半径转过的角度φ与所用时间t的比值

做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间 单位时间内完成圆周运动的次数 单位时间内的转动次数

大小 v＝st ω＝φt T＝2πω＝2πrv f＝1T n＝f＝ω2π

单位 m/s rad/s s Hz r/s

方向 矢量，沿圆周的切线方向 矢量(其方向中学阶段不研究) 标量 标量 标量

1．自主思考——判一判 (1)匀速圆周运动是速度不变的运动。(×) (2)匀速圆周运动的加速度等于零。(×) (3)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。(×) (4)角速度是标量，没有方向。(×) (5)匀速圆周运动的周期相同，角速度大小及转速都相同。(√) 2．合作探究——议一议 (1)匀速圆周运动中的“匀速”与以前所学的匀速直线运动中的“匀速”含义相同吗？ 提示：不相同。匀速圆周运动中的“匀速”是指“匀速率”。

(2)“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝vr可得ω∝1r。”这样理解对吗？ 提示：不对，应用控制变量方法讨论。 (3)打篮球的同学可能玩过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己的球技。如图4-1-1所示，若篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？

图4-1-1 提示：篮球上各点的角速度是相同的。但由于不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知不同高度的各点的线速度不同。

描述圆周运动的各物理量的关系 1．描述圆周运动的各物理量间的关系

2．物理量之间关系的理解 (1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2πT＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确 定了。 (2)线速度与角速度关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝1r；ω一定时，v∝r。 [特别提醒] (1)角速度ω、线速度v、半径r之间的关系是瞬时对应关系。 (2)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T∝1n 适用于具有周期性运动的情况。

[典例] 做匀速圆周运动的物体，在10 s内沿半径为20 m的圆周运动了100 m，试求该物体做匀速圆周运动时：

(1)线速度的大小； (2)角速度的大小； (3)周期的大小。 [思路点拨] 明确线速度的定义及线速度与角速度、角速度与周期的关系是解决本题的关键。

[解析] (1)由线速度的定义式得v＝st＝10010 m/s＝10 m/s。

(2)由v＝ωr得ω＝vr＝1020 rad/s＝0.5 rad/s。 (3)由ω＝2πT得T＝2πω＝2π0.5 s＝4π s。 [答案] (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s

物体在做匀速圆周运动时(设其轨道半径为r)，我们可以用多个物理量如线速度v(速率)、角速度ω、周期T等来描述物体运动的快慢。这些物理量之间有如下关系：v＝ωr，ω

＝2πT＝2πf。 1．关于做匀速圆周运动物体的线速度、角速度、周期之间的关系，下列说法中正确的是( )

A．线速度大的角速度一定大 B．线速度大的周期一定小 C．角速度大的半径一定小 D．角速度大的周期一定小

解析：选D 由v＝ωr得ω＝vr，故只有当半径r一定时，角速度ω才与线速度v成正比；只有当线速度v一定时，角速度ω才与半径r成反比，选项A、C错误；由v＝2πrT知，只有当半径r一定时，线速度v才与周期T成反比，选项B错误；由ω＝2πT知，角速度ω与周期T成反比，即角速度大的周期一定小，选项D正确。 2．(多选)A、B两个质点，分别做匀速圆周运动，在相同的时间内它们通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，则下列说法正确的是( )

A．它们的半径之比rA∶rB＝2∶3 B．它们的半径之比rA∶rB＝4∶9 C．它们的周期之比TA∶TB＝2∶3 D．它们的频率之比fA∶fB＝2∶3 解析：选BC A、B两个质点，在相同的时间内通过的路程之比sA∶sB＝2∶3，即通过的弧长之比为2∶3，所以vA∶vB＝2∶3；相同的时间内转过的角度之比φA∶φB＝3∶2，

由ω＝ΔφΔt，得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝rω，所以rA∶rB＝vAωA∶vBωB＝vAvB×ωBωA＝23×23＝4∶9，故A错误，B正确；由T＝2πω，得TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，故C正确；又T＝1f，所以fA∶fB＝TB∶TA＝3∶2，故D错误。 3．地球绕太阳公转的运动可以近似地看做匀速圆周运动。地球距太阳约1.5×108 km，地球绕太阳公转的角速度是多大？线速度是多大？ 解析：地球绕太阳公转周期为 T＝1年＝1×365×24×3 600 s≈3×107 s

故角速度ω＝2πT＝2×3.143×107 rad≈2×10－7 rad/s 线速度v＝ω·r＝2×10－7×1.5×1011 m/s＝3×104 m/s。

答案：2×10－7 rad/s 3×104 m/s

常见三种转动装置

装置 特点 同轴转动 (1)角速度相同，即ωA＝ωB

(2)周期相同，即TA＝TB

(3)线速度与半径成正比，即vAvB＝Rr

皮带传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB

(2)周期与半径成正比，即TATB＝Rr

(3)角速度与半径成反比，即ωAωB＝rR

齿轮传动 (1)线速度大小相等，即vA＝vB

(2)周期与半径成正比，即TATB＝Rr

(3)角速度与半径成反比，即ωAωB＝rR [典例] 如图4-1-2所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A、B、C三轮的半径关系为3rA＝2rC＝4rB，设皮带不打滑，求三轮边缘上的点A、B、C的线速度之比、角速度之比、周期之比。

图4-1-2 [思路点拨] 解答本题时应注意以下两点： (1)皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等； (2)同轴转动的两轮上所有点的角速度相等。 [解析] 由题意可知，A、B两轮由皮带传动，皮带不打滑，故vA＝vB，B、C在同一

轮轴上，同轴转动，故ωB＝ωC。由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以vA∶vB∶

vC＝1∶1∶2；由ω＝vr得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝

2π

T

可知，周期与角速度成反比，即TA∶TB∶TC＝4∶3∶3。

[答案] vA∶vB∶vC＝1∶1∶2 ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4 TA∶TB∶TC＝4∶3∶3

求解传动问题的方法 (1)分清传动特点：传动问题是圆周运动中一种常见题型，常见的传动装置有如下特点。 ①皮带传动(轮子边缘的线速度大小相等)； ②同轴转动(各点角速度相等)； ③齿轮传动(相接触两个轮子边缘的线速度大小相等)。 (2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。 (3)用“通式”表达比例关系。 ①绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，即v∝r； ②在皮带不打滑的情况下，传动皮带和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝vr，即ω∝1r；

③齿轮传动与皮带传动具有相同的特点。

1．(多选)如图4-1-3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )

图4-1-3 A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的转速为r1r2n D．从动轮的转速为r2r1n 解析：选BC 由于皮带是交叉传动，所以主动轮做顺时针转动时，从动轮做逆时针转动，选项A错误，B正确；皮带轮边缘上各点的线速度大小相等，又v1＝ω1r1＝2nπr1，v2

＝ω2r2＝2n′πr2，则由v1＝v2得n′＝r1r2n，选项C正确，D错误。

2.图4-1-4是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )

图4-1-4 A．a、b和c三点的线速度大小相等 B．a、b和c三点的角速度相等