什么是分岔

什么是分岔主持人：好，请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告，深入浅出的学术报告，叫做“什么是分岔”。

好，有请。

武际可：我今天讲的是关于分岔的问题。

分岔在英文叫做Bifurcation，这个词在中文里头大概有六种翻译，我看到的有六种翻译，每个含义用词都用得不一样，有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。

这个概念最近几十年大概在自然科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多，比如说化学、物理、力学、数学都很多，还有气象学等等吧，说明它比较重要。

那么，这个名词不像刚才主持人说的道路分岔那么具体，它是一个抽象概念，为了说明这个概念，我们这样来讲，先从一个例子开始，讲一个例子。

这是一个圆，上头有一个光滑的环，对吧？我把它这个大圆垂直放的时候，那么这个小环总是在下头平衡，大家看清楚了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下头，现在我让这个环转起来，对吧，这样转，我给这个圆环这样一个角速度，转起来以后，如果我这个角速度很小，大家看了，这个小环呢，还是呆在这个底下，这个位置总是一个平衡位置，等我转的这个角速度大到某一定的程度，大家注意看，现在这个环就跑在另外一个地方平衡，如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话，那么我们就可以列出一个平衡方程来，这个很简单，这个小环受三个力，一个是离心力、一个是重力、还有一个大环给它的约束反力，这两个力的正切应该就等于这个反力，所以那个方程很容易写出来。

写出这个方程，带星号的那个就是这个平衡方程，两个惯性力和重力之比就等于那个约束反力，约束反力的角度，这个方程把它上头的质量和下头的质量消掉以后就得到下头，一分解因式正好是两个，一个是sinθ；另外一个就是括弧里头这个，这个方程有两个解，一个解就是上头的θ等于零，就是永远这个角度等于零，放在这个位置是一个平衡点，还有一个解呢，是下头那个表示的这个解，下头那个式子表示呢，就是我这个角速度使得括弧里头的那一项变成一的时候，θ就开始，从零开始要往下飞了，在一定的角速度就离开原来的平衡点，然后跑到另外一个平衡点了。

我们看到这个问题的解呢，实际上是两个解，两支，两支都随着Ω变，一支就是θ永远等于零，就是这一支，另外一支是那一支，这边是对称的，另外一边我没有画，这两支的焦点T就是分岔点，我们就说的分岔点。

这个问题是一个生活当中我们应该看到的最常见的一个分岔问题，那么我们就问，一个分岔问题需要一些什么条件呢？我把它归结有需要三个条件：第一个条件，要有一个参数系统描述这个客观系统的状态，我们这个例子里头就是这个角度，这个角度不同，平衡的位置就不同；第二个，要有一个描述这个系统运动的参数，我刚才说的这个Ω，这个角速度，要有这么一个参数；第三个，要有一个平衡方程，要有控制整个系统发展过程的一个平衡方程。

刚才我们看到的带星号的那个方程就是这个方程。

那么我们一条一条来看。

第一条这个参数呢，我这个问题、这个参数很简单，就是一个θ，就是这个角度。

一般的问题里头，这个参数可以多个，比如说我下头还有一个环呢？就可能有两个θ，两个角度。

这个不仅如此，我要描述一架飞机的话，可能是很多的角度，甚至于好多个函数，所以描述状态不仅仅是一组数、若干个数，还可能是要求若干个函数，所以一旦这个描述的参数定了以后呢，再复杂的系统我们也应该可以描述，所以我们说，只要有了足够复杂的系统，我们从天上的白云、海里的波浪、化学反应罐里头的反应过程还是股票市场上的起伏，这个都可以描述。

第二，要有一个表征过程的参量，刚才说的是Ω，这个角度，角速度。

这个长度、速度、加速度，还有温度、压力都可以作为这种参数。

第三，要有一组方程，刚才我们说的这个方程，相对简单，只有一个方程就够了，在实际问题要有很多个方程，有的方程连立起来可能要上千上万，甚至于有的要遇到微分方程，就是函数满足的方程，但是有一条，这些方程必须是非线性的，也就是说光由一次项组成的这些方程是没有分岔的，必须要有非线性的项，所以我们经常说，分岔也是一个实质的非线性问题。

我们注意到，也不是所有的非线性问题都有分岔，比如说我们画一个弯曲的线，这条线是非线性的，直线才是线性的，但是它没有分岔，必须有两支交叉在一起的才有分岔，所以这样一个情况呢，但是，我刚才说弯的没有分岔的这个虽然是非线性，它任何一小段可以拿直线来代替，拿线性的来代替，分岔不行，在分岔点附近是不可能把它拿直线来代替的，所以我们说，分岔是一个实质的非线性问题，它根本在无限小的范围内也不可能把它线性化。

所以，总结前头我们说的这段话呢，就是说第一，分岔是一类问题当中有多个性质上完全不同的解，交叉在一起，这个交叉点就是所谓的分岔点；第二，分岔一般伴随有事物性质上的突变，一种状态变为性质上差别很大的另外一种状态；第三，分岔是实质的非线性问题。

我们来看，分岔实际上是一种自然界和社会上的普遍的现象。

最常见的，我们看到有这么两类。

第一类，所谓平衡解分岔或者是静分岔，我们来举一些例子，最常见的一类例子，就是我拿这根尺子来作为一个柱子，我拿手压它，我加了一个力，现在我已经加了力了，这个柱子还是直的，我加到某一个力的时候，这个柱子不仅由原来直的这个平衡位置出来另外一个平衡位置，这个力我们叫临界压力，达到这个力的时候，这个弯曲迅速的加大。

我们实际的相当多的结构，都是有这样的受压的部件，那么这些部件，任何一个部件如果超过了我刚才说的临界压力，这个结构就有可能整个的垮掉，所以这就是从直立到另外一种状态的一个分岔，两个完全不同的分岔。

下头我举两个例子，最近就拿去年的，我们国内发生的两个事故：一个事故就是在湖南耒阳电厂，有一个72米×120米这样一个堆煤的仓，这个仓用了五年以后突然垮掉，原因就是因为它的构建在雨水之下然后腐蚀，腐蚀到超过它的临界载荷，然后垮掉了。

第二个例子是去年11月28日，在深圳正在修一个盐坝高速公路起点高架桥，在11月28日晚上9时左右突然坍塌，原因就是它支脚手架的一根支柱超过它的临界载荷，设计人员不小心，造成69名工人随墙面一起下去，大概重伤10人，23人轻伤。

这是平衡解的两个例子，平衡解的分岔我们还有，在物理当中，不仅力学当中，在物理当中，从上一世纪就发现物质是由气、固、液三态所组成的，比如说水从液态到气态，摄氏100度，100度就是一个临界温度，那么从一个平衡态就转到另外一个平衡态，这个交界的点就是一个分岔点，在磁学、电学里头都有这样的平衡解的分岔，因此不只是力学，物理、化学都有。

下头我们来讨论一下，所谓Hopf的例子，人们常熟悉的拿口琴，我们吹口琴的时候，我拿一个音来看，在这个洞里头，如果吹得口风很小呢，你听不到声音，这个簧片不振动，达到一个临界的风速的时候，这个簧片就开始振荡，发出周期性的运动，发声，这个就是一个典型的Hopf分岔。

那么，我们通常看到的乐器，风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等等都是利用这个Hopf 分岔这个原理来制作的，都是从不发声到发声，利用它发声的这个段，这样一个运动状态，发声的就是一个周期运动的一个状态，刚才是用风来比喻，进一步讲，激发振动的如果不是风，而是摩擦力，那么我们的摩擦力或者水力也会发现，比如说我们拉小提琴的弓和弦摩擦就是一个典型的Hopf分岔，如果我这个弓上头没有，松香很少，摩擦力很小，那么你就发现这个弓就可以滑过来，根本不发声，那么擦了一些松香，松香是增加摩擦力的，增加一点摩擦力，摩擦力作为我们控制系统的参数，到一定的程度就发声。

当然了，Hopf分岔并不只是可以用来制作乐器，带来快乐，也会带来烦恼和灾难，几乎所有的噪音，比如树叶子被风吹得沙沙声、机器的隆隆声、摩擦噪音，我们通常老太太刮锅用的那种刺耳的那个声音就是摩擦噪音，水管子流水的时候，那个嗡嗡声都是和Hopf分岔有关的。

那么，在二十世纪三四十年代，航空当中有一种可怕的空难，叫做颤振，飞机飞到某一个临界速度的时候，飞机翅膀就会象刚才说的口琴的簧片一样的振起来，那个振动有的时候是发散的，几秒钟以内飞机翅膀就可以振掉，然后造成机毁人亡，这样的空难出了很多起，后来由于人们研究，逐渐的控制了，目前的飞机很少有这种事故。

在1940年，美国西北部就是叫华盛顿州建成了一座吊桥，长853.4米的Tacoma（塔科姆）桥，在Tacoma （塔科姆）那个海湾上的，建成以后不久，大概四个月，由于同年11月7日的一场不大的风，每秒19米，这个风很小，大概八级风吧，引起了振幅接近九米的颤振，正负九米相当于三层楼高，普通住房的三层楼高，在这样大振幅的振荡之下，不一会儿这个桥就塌毁了，这就是当时实际的振荡，最后倒塌了。

这是Hopf分岔不仅会产生乐器、噪音，飞机的颤振、桥的颤振。

还有一种，大概在生态上头研究当中有一种模型叫做“捕食者模型”，假如有两种生物共在一个池子里头，比方说我们说是大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼，那么大鱼多了的时候呢，小鱼就很快的被吃掉了，小鱼就没有了，没有了呢，大鱼就饿死了，大鱼就减少了，大鱼减少到一定程度呢，小鱼失掉了它的天敌，于是小鱼就拼命繁殖，小鱼繁殖小鱼又增加，它并不经常是大鱼、小鱼处于一个平衡点，而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态，这个状态也是一个典型的分岔，Hopf分岔，1918年意大利数学家把这个最早研究了两种生物的捕食者模型，当然了，现在生态学发展了，研究整个的生物链，一个生物链的一个彼此消涨的情况。

同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性的推移、心脏的周期性的跳动等等，都可以看作是一种分岔现象，也是一种Hopf分岔。

1900年法国人做了一个流体实验，在一块金属板上放了一个液体，下头加热这块金属板，开始的时候，整个的液体不动，加热到一定的程度以后，这个液体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动，也是一种周期运动，但是除了时间上的周期以外，还有空间上的周期，这个在气象上很重要，我们平常看到太阳晒得，就像这样的天气，晒到下午地面热的时候，加热这个空气，空气就产生局部的环流，单地的局部的环流就产生局部的风，你骑车进城的时候你就会发现，一会儿顶风、一会儿顺风，这样的正好就是这种现象的一个表示，这也是一种典型的Hopf分岔，不过呢，它是在流体，实际上这是在一个连续体当中的一个Hopf分岔。

我们讲了这些现象，我可以要举多少例子几乎就可以举多少例子，说明分岔是自然界和社会中的相当常见的普遍现象；第二，在不同领域中，对分岔有不同的名称，在我们力学当中，比如叫临界载荷，我刚才说了；在物理当中叫临界温度、临界参数，有的叫转折点、有的叫阈值，有的叫什么激励参数、什么危险限等等，这些都是不一样的。

最后讲了这些例子和这个情况以后呢，我们想总结一下，现在分岔研究的意义到底是在于什么呢？第一点，我认为分岔的研究沟通了不同领域，既然刚才说了，从乐器到噪声到飞机一直到股票都可以有分岔，那么于是很多学科共同来探讨分岔的共同规律，现在有的人就特别是形成一门叫做“非线性科学”，非线性科学的相当一部分工作就是要找分岔的规律。