空间与图形复习教案及练习题
青岛版五四制四年级空间与图形练习题50道含答案考点(难度系数0.43)
四年级空间与图形（0.43）一、单选题（共20题；共40分）1.下面几幅图中既有平行的边又有垂直的边的图形是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】平行的特征及性质，垂直的特征及性质2.一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形。
A. 锐角B. 直角C. 钝角【答案】C【考点】三角形的内角和3.用放大10倍的放大镜看一个90°的角，看到的角是（）A. 90°B. 900°C. 180°【答案】A【考点】角的概念及其分类4.（）的和一定是钝角．A. 两个锐角B. 两个直角C. 一个直角和一个锐角【答案】C【考点】角的度量（计算）5.一个三角形三个内角分别为95°，25°，60°，这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形【答案】C【考点】三角形的分类6.一个三角形最大的内角是120°，这个三角形是（）A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形【答案】A【考点】三角形的分类7.从平行四边形一条边上的一点到对边可以引（）垂线。
A. 1B. 3C. 无数【答案】A【考点】平行四边形高的特点及画法8.三角形具有（）A. 稳定性B. 不稳定性C. 弹性【答案】A9.一个圆柱体，高是底面直径的π倍，将它的侧面沿高展开后是（）A. 长方形B. 正方形C. 平行四边形【答案】B【考点】圆柱的特征10.下图中共有（）个梯形。
A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】 D【考点】数阵图中找规律的问题，梯形的特征及分类11.要拼一个从上面、正面、侧面看到的都是的图形，至少用（）个．A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】B【考点】根据观察到的图形确定几何体12.要想使物体从斜面上滚下时尽可能的远，木板与地面的夹角应该成（）。
A. 30°B. 45°C. 60°【答案】B【考点】角的初步认识13.如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么图中由七个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A. B. C. D.【答案】B【考点】从不同方向观察几何体14.•在下面图中，经过A点、B点分别作出直线的垂线，想一想这两条垂线之间的关系是（）•【答案】B【考点】画指定长、宽（边长）的长方形、正方形，平行四边形高的特点及画法，梯形高的特点及画法15.等腰三角形中有一个角是50°，另外两个内角（）。
北师大版小学数学六年级下册总复习《空间与图形》教材解读
（四）“图形与位置”的复习
主要内容： 回顾确定位置的方法
（四）“图形与位置”的复 习
1 在解决问题的过程 中，复习有关确定 位置的知识。
2、能在具体情境中， 确定某一地点的位 置。
北师大版小学数学六年级下册总复习 《空间与图形》
“空间与图形”总复习
“空间与图形”总复习的主要内容 ★图形的认识：包括线与角、平面图形、立 体图形 ★图形与测量：包括长度、面积、体积 ★图形与变换 ★图形与位置
内容 图形的认识 图形与测量 图形与变换 图形与位置
机动
建议课时数 6 4 3 2 2
3、能运用所学的知识和技 能解决日常生活中的简单问 题，体会数学与生活的密切 联系
4、引导学生交流整理知识 的方法
1.线与角
1、复习整理直线、线 段和射线 2、引导学生复习垂直 与平行 3、引导学生复习比较 角的大小和角的度量 的有关知识 4、复习锐角、直角、 钝角、平角及周角
2.平面图形
1、引导学生从不同 的角度回顾与整理所 学平面图形的特征 2、引导学生对图形 的一些特征进行验证 或说明 3、举例说明平面图 形特征在生活中的应 用
（二）“图形与测量”的复
习
1、通过列表、画图等，对图形测量的有关 知识进行系统整理，进一步理解周长、面 积、体积、等以及相应的单位。
2、沟通几种基本图形面积公式及其推 导过程的内在联系、体积计算公式之间的 联系，体会数学知识和方法的内在联系， 体会转化、类比等数学思想方法，发展初 步的推理能力。
3、能正确计算常见平面图形的周长和 面积、常见立体图形的表面积和体积，并 解决一些简单的实际问题。
本单元建议教学课时数： 17 课时
图形的初步认识复习教案
图形的初步认识复习教案一、教学目标1. 让学生复习和巩固对平面图形的认识，包括三角形、四边形、五边形、六边形等。
2. 培养学生观察、比较和分析图形的能力，能够辨别和描述不同图形的特征。
3. 培养学生运用图形知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力。
二、教学内容1. 复习各种平面图形的名称和特征。
2. 通过观察和操作，让学生能够辨别和描述不同图形的相同和不同之处。
3. 引导学生运用图形知识解决实际问题，如设计图案、计算图形的面积等。
三、教学重点与难点1. 重点：复习各种平面图形的名称和特征，培养学生观察、比较和分析图形的能力。
2. 难点：引导学生运用图形知识解决实际问题，提高学生的空间想象力。
四、教学方法1. 采用直观演示法，通过实物模型和图片，让学生直观地认识各种平面图形。
2. 采用问题驱动法，引导学生观察、比较和分析不同图形的特征，激发学生的思考。
3. 采用实践操作法，让学生亲自动手操作，提高学生的动手能力和空间想象力。
五、教学准备1. 准备各种平面图形的实物模型和图片。
2. 准备练习题和实际问题，用于巩固所学知识。
3. 准备黑板和多媒体设备，用于展示和讲解。
六、教学过程1. 导入新课：通过展示各种平面图形的实物模型和图片，引导学生回顾和复习已学的图形知识。
2. 自主学习：让学生自主观察和描述不同图形的特征，培养学生观察和表达能力。
3. 合作交流：分组让学生互相展示自己的图形作品，并进行交流和讨论，共同总结各种图形的特征。
4. 教师讲解：针对学生的总结和疑问，教师进行讲解和解答，强调各种图形的名称和特征。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、课堂练习1. 连线题：将各种平面图形的名称和实物模型或图片进行连线。
2. 选择题：根据题干，选择正确的图形或描述。
3. 设计题：让学生设计一个图案，运用所学的图形知识。
八、课后作业1. 总结各种平面图形的特征，并绘制一个图形特征表。
新人教版六年级下册数学总复习专题五——空间与图形的试题及答案(个人整理)
新人教版六年级下册数学总复习专题五——空间与图形的试题及答案(个人整理)专题五——空间与图形(一) 一、填空。
（30分）1、一条10厘米长的线段，这条线段长（）分米，是1米的（）（）。
2、经过两点可以画出（）条直线；两条直线相交有（）个交点。
3、如果等腰三角形的一个底角是53°，则它的顶角是（）.直角三角形的一个钝角是48°，另一个锐角是（）。
4、上图是由（）个棱长为1厘米的正方体搭成的。
将这个立体图形的表面涂上蓝色，其中只有三个面涂上蓝色的正方体有（）个，只有四个面涂上蓝色正方体有（）个。
5、在一块边长10cm的正方形硬纸板上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是（）cm2，剩下的边角料是（）cm2。
6、一个长方形的周长是42cm，它的长与宽的比是4∶3，它的面积是（）cm2。
7、用72cm长的铁丝焊成一个正方体框架（接口处不计），这个正方体框架的棱长是（）cm，体积是（）cm3，表面积是（）cm2。
8、一个圆锥的体积是9.42立方分米，底面直径是6分米，它的高是（）分米，和它等底等高的圆柱的体积是（）立方分米。
9、从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中最短的是和这条直线（）的线段。
10、用百分数表示以下阴影部分是整个图形面积的百分之几。
11、把一个底面直径2分米的圆柱体截去一个高1分米的圆柱体，原来的圆柱体表面积减少（）平方分米。
12、右图是由棱长1厘米的小正方体木块搭成的，这个几何体的表面积是（）平方厘米。
至少还需要（）块这样的小正方体才能搭成一个大正方体。
13、在一块边长是20厘米的正方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米，剩下的边料是（）平方厘米。
14、将一个大正方体切成大小相同的8个小正方体，每个小正方体的表面积是18平方厘米，原正方体的表面积是（）平方厘米。
15、把一个棱长8cm的正方体切成棱长2cm的小正方体，可以得到（）个小正方体，它们的表面积之和比原来增加了（）c㎡。
丰富的图形世界复习教案
丰富的图形世界复习教案第一章：复习平面图形的性质1.1 复习三角形的性质三角形的定义和特点三角形的分类三角形的内角和定理三角形的边长关系1.2 复习矩形的性质矩形的定义和特点矩形的性质定理矩形的对角线性质矩形的面积计算公式第二章：复习空间几何图形2.1 复习立方体的性质立方体的定义和特点立方体的面、棱和顶点的关系立方体的对角线长度立方体的表面积和体积计算2.2 复习圆柱的性质圆柱的定义和特点圆柱的底面和顶面的关系圆柱的侧面积和体积计算公式圆柱的展开图第三章：复习图形的变换3.1 复习平移的性质平移的定义和特点平移的规律和性质平移在坐标系中的应用平移对图形形状和大小的影响3.2 复习旋转的性质旋转的定义和特点旋转的规律和性质旋转在坐标系中的应用旋转对图形形状和大小的影响第四章：复习图形的坐标计算4.1 复习直线的斜率和截距直线的斜率和截距的定义直线的斜率和截距的计算方法直线的斜率和截距的应用斜率和截距与直线方程的关系4.2 复习圆的方程圆的标准方程和一般方程圆的半径和圆心的计算方法圆与直线的位置关系第五章：复习图形的对称性5.1 复习轴对称的性质轴对称的定义和特点轴对称的规律和性质轴对称在实际问题中的应用轴对称与图形变换的关系5.2 复习中心对称的性质中心对称的定义和特点中心对称的规律和性质中心对称在实际问题中的应用中心对称与图形变换的关系第六章：复习图形的相似性6.1 复习相似图形的定义和性质相似图形的定义和判定条件相似图形的对应边和对应角的关系相似图形面积和体积的比值关系相似图形在实际问题中的应用6.2 复习相似多边形的性质相似多边形的定义和判定条件相似多边形的对应边和对应角的关系相似多边形的面积和周长的比值关系第七章：复习图形的镶嵌和展开7.1 复习平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌定义和条件常见几何图形的镶嵌方法镶嵌在实际问题中的应用镶嵌与平面图形的性质关系7.2 复习立体图形的展开立体图形的展开定义和意义常见几何图形的展开方法展开图在实际问题中的应用展开与立体图形的性质关系第八章：复习图形的综合应用8.1 复习平面几何问题的解决方法利用图形性质解决平面几何问题利用几何变换解决平面几何问题利用坐标方法解决平面几何问题平面几何问题在实际中的应用8.2 复习立体几何问题的解决方法利用图形性质解决立体几何问题利用几何变换解决立体几何问题利用坐标方法解决立体几何问题第九章：复习图形的测量和计算9.1 复习角度的测量和计算角度的度量单位和测量工具角度的计算方法和注意事项角的和不定方程的求解方法角度测量在实际问题中的应用9.2 复习距离和线段的长度计算距离和线段的定义及计算方法勾股定理和相似三角形在距离计算中的应用坐标系中两点距离的计算方法距离和线段长度在实际问题中的应用第十章：复习图形的对称和变换10.1 复习图形的轴对称变换轴对称变换的定义和特点轴对称变换的性质和规律轴对称变换在实际问题中的应用轴对称变换与图形美观性的关系10.2 复习图形的平移和旋转变换平移和旋转变换的定义和特点平移和旋转变换的性质和规律平移和旋转变换在实际问题中的应用平移和旋转变换与图形设计的关系重点和难点解析重点关注章节：第一章至第五章1. 第一章复习平面图形的性质，重点关注三角形的性质和矩形的性质。
空间与图形优秀教学设计
空间与图形优秀教学设计空间与图形优秀教学设计篇一：空间与图形优秀教学设计第三课时：图形的面积教学目标：1.引导学生主动的整理知识，回顾自己的学习过程、学习方法，以及学习的收获，逐步养成整理回顾和反思的习惯。
2.进一步掌握平行四边形、三角形、梯形及组合图形面积的计算，能计算不规则图形面积。
教材分析：本课是总复习的“空间与图形”部分，在本学期学生学习的内容主要有两个单元：第二单元“图形的面积（一）”，第五单元“图形的面积（二）”。
这两个单元涉及的知识点有：底和高；平行四边形、三角形和梯形的面积计算；组合图形及不规则图形的面积计算。
本课的主要任务是：把散落的知识点串成“线”，连成“片”，从而让学生形成清晰的整体知识结构。
在具体设计时，可以让学生想一想“本学期学到了什么知识？获得了什么学习方法？在生活中发现了哪些数学问题？哪些内容有趣？那些内容最有用？哪些还感到困难？”等问题，只有把学生的这些问题设计为复习课的重点时，那么才能提高教学的有效性。
同时，也可以把学生平时储存在“问题银行”里的问题作为复习的内容进行梳理，以加强复习的针对性。
教学重点：加深对所学知识的理解，弄清各知识间的联系。
教学难点：能用自己喜欢的方式对所学知识进行整理。
教学设计（一）活动一：回顾所学的内容让学生回忆本学期学的“空间与图形”部分的内容，把学到的知识写在一张纸上，要求学生尽量详细的概括所学知识。
鼓励用文字、画图、表格等形式表示1.让学生根据整理的内容汇报：本学期我们学习了哪些关于“空间与图形”方面的知识？（2～3人的汇报即可）知识内容主要有：平行四边形、三角形和梯形的底和高；平行四边形、三角形和梯形的面积计算；组合图形及不规则图形的面积计算等。
2.根据学生的汇报，教师板书整理。
①尽量纪录的详细（包括文字、举例等），避免漏掉内容。
②有意识的按照类别进行板书。
3.展示学生比较好的整理方法。
①学生交流自己是如何整理知识的。
②学生作出最初的评价。
小学数学-有答案-北师大版六年级上册《复习-空间与图形》同步练习卷
北师大版六年级上册《复习-空间与图形》同步练习卷一、填空题．（每空2分，共30分）1. 在一个长8厘米，宽6厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径是________，周长是________厘米。
2. 两圆的半径比是5:3，那么这两个圆的周长比是________，面积比是________．3. 用一根62.8米长的绳子分别围成长方形、正方形和圆，________的面积最大，它的面积是________．4. 正方形的边长和圆的直径都是3厘米，正方形和圆的面积之比是________．5. 一个圆的面积是10平方厘米，如果把它的半径扩大到原来的2倍，那么这个圆的面积变为________平方厘米。
6. 一个半圆的周长为15.42CM，这个半圆的面积为________．7. 一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的3是________平方厘米。
48. 一共有________个小正方体，从上往下看，你能看到________个小正方体，有________个小正方体被挡住了。
9. 人在灯下会有影子，人离灯越________，影子越长。
10. 用边长9厘米的正方形纸，最多可以剪出________个直径是2厘米的圆。
二、判断题．（每小题2分，共10分）半径的长短决定圆的大小。
________．（判断对错）篮球比赛开始时都是在中间的圆心位置挑球，这样非常公平。
________．（判断对错）这个立体图形从正面看到的形状是．________．（判断对错）一个圆的面积和一个正方形的面积相等，它们的周长也一定相等。
________．（判断对错）圆有无数条对称轴，半圆也有无数条对称轴。
________．（判断对错）三、选择题．（每小题2分，共8分）圆的面积计算公式除了可以用S=πr2，也可以用S=()A.14πd2 B.12πd2 C.πd2 D.14πd2一张圆片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，其周长（）A.等于圆周长B.大于圆周长C.小于圆周长如图，一个正方形被一条曲线分成甲、乙两部分，那么这两部分的周长关系是（）A.甲比乙长 B.甲比乙短 C.一样长用若干个小正方体搭成一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是．搭成这样的立体图形，需要（）个小正方体。
图形运动专题复习教案
图形运动专题复习教案第一章：平面图形的基本运动1.1 复习内容：学习平面图形的平移运动学习平面图形的旋转运动1.2 教学目标：能够理解并描述平面图形的平移和旋转运动能够运用平移和旋转运动来创造复杂的图形1.3 教学步骤：1.3.1 导入：通过展示一些平移和旋转运动的图形，让学生观察并描述这些运动的特点。
1.3.2 新课：讲解平移和旋转运动的定义和性质，通过示例来展示如何进行这些运动。
1.3.3 练习：让学生通过实际操作来练习平移和旋转运动，例如将一个图形沿着给定的方向平移一定的距离，或者将一个图形绕着给定的点旋转一定的角度。
第二章：空间图形的基本运动2.1 复习内容：学习空间图形的平移运动学习空间图形的旋转运动2.2 教学目标：能够理解并描述空间图形的平移和旋转运动能够运用平移和旋转运动来创造复杂的空间图形2.3 教学步骤：2.3.1 导入：通过展示一些空间图形的平移和旋转运动的图像，让学生观察并描述这些运动的特点。
2.3.2 新课：讲解平移和旋转运动的定义和性质，通过示例来展示如何进行这些运动。
2.3.3 练习：让学生通过实际操作来练习平移和旋转运动，例如将一个空间图形沿着给定的方向平移一定的距离，或者将一个空间图形绕着给定的轴旋转一定的角度。
第三章：图形的对称变换3.1 复习内容：学习图形的轴对称变换学习图形的中心对称变换3.2 教学目标：能够理解并描述图形的轴对称和中心对称变换能够运用对称变换来创造美丽的图案3.3 教学步骤：3.3.1 导入：通过展示一些经过轴对称和中心对称变换的图形，让学生观察并描述这些变换的特点。
3.3.2 新课：讲解轴对称和中心对称变换的定义和性质，通过示例来展示如何进行这些变换。
3.3.3 练习：让学生通过实际操作来练习轴对称和中心对称变换，例如将一个图形沿着给定的轴进行轴对称变换，或者将一个图形绕着给定的点进行中心对称变换。
第四章：图形的缩放变换4.1 复习内容：学习图形的等比例缩放学习图形的非等比例缩放4.2 教学目标：能够理解并描述图形的等比例和非等比例缩放变换能够运用缩放变换来创造真实感的图形4.3 教学步骤：4.3.1 导入：通过展示一些经过等比例和非等比例缩放变换的图形，让学生观察并描述这些变换的特点。
总复习《立体图形的认识整理与复习》教案
（3）展开图的识别与折叠：展开图的识别和折叠是学生空间想象能力的体现，也是本节课的难点。
举例：识别复杂展开图时，学生需要观察、分析、判断各个面的关系；折叠展开图时，要注意各部分的拼接顺序和方式。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调立体图形的分类、特征以及表面积和体积的计算这两个重点。对于难点部分，如空间观念的培养和展开图的识别，我会通过实物模型和动态演示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与立体图形相关的实际问题，如如何计算一个长方体纸箱的表面积。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解立体图形的基本概念。立体图形是三维空间中的图形，具有长度、宽度和高度。它们在生活中无处不在，理解它们可以帮助我们更好地认识世界。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以一个长方体箱子为例，探讨其表面积和体积的计算方法，以及这些知识如何帮助我们解决实际问题。
（4）三视图的绘制：掌握三视图的绘制方法，对于学生的几何推理和空间想象能力要求较高，是本节课的难点。
举例：在绘制圆柱的三视图时，学生需要理解并掌握圆柱在不同视图中的表现，如底面圆在主视图和左视图中的形状变化。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《立体图形的认识整理与复习》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否注意过周围的立体图形？”比如，我们的教室就是一个长方体空间，家里的水杯可能是一个圆柱体。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索立体图形的奥秘。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
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空间与图形复习教案及练习题
4.9.3 复习空间与图形
课 型 复 习 使用人 教学内容： 人教版义务教育课程标准实验教
科书四年级下册总复习，课本126页7、8题。
教学目标： 1.使学生能根据任意方向和距离确定物体的位置。 2.
对任意角度具体方向能够准确描述。 3.巩固掌握三角形的特性，三
角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180。 4.知道
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形的
特点并能够辨认和区别它们。
重点、难点： 1.教学重点：不同三角形的特征。 2.教学难点：三角
形之间的联系与区别。
教学准备： 卡片、挂图、小黑板等。
教 学 过 程 一、创设情境，导入复习 师：我们已学习了位置与方
向，了解了有关三角形的很多知识。今天这节课，让我们一起整理复
习一下有关这些空间与图形的知识。 二、回顾整理，建构网络 1.
师：老师相信，同学们脑子里装着许多有关空间与图形的知识，现在，
老师就请大家来展示一下，请你们分四人小组对这些知识进行整理，
可以选择其中一个内容进行整理。 在小组学习之前，老师想给大家
一个小提示： （1）先想一想怎样系统地整理和复习，在小组内说说
自己的方法。 （2）小组内确定好方法后，再进行整理复习，小组长
做好记录。 （3）小组活动时，可不能影响别人哦！ 2.师：清楚了
吗？我们来比一比，哪个小组整理得既全面具体，又简单明了。开始
吧！ 小组合作整理。 3.全班交流，构建知识网络。 师：刚才大家
合作学习非常认真，哪个小组先来给大家汇报一下？ 生汇报，师适
时引导，并通过板书形成网络。 先复习位置与方向，可以把以前所
学的方位知识和本册内容整合起来，画一个简易的方位图 进行整理。
位置与方向要注意使学生明确以下几个事实： （1）要说出平面上某
个点的确切位置，首先要确定一个参照点，参照点不同，该点的位置
描述也是不同的； （2）要描述平面上一个点的位置，除了要明确该
点与参照点的方向关系，还要明确该点到参照点的距离，两者缺一不
可。 师：还有哪个小组想来展示一下自己的整理结果？ 小组汇报。
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三角形――按角分： （1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫
锐角三角形。 （2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫直角三
角形。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
按边分： （1）有两条边相等的三角形叫等腰三角形。 （2）三条边
都相等的三角形叫等边三角形。 在学生汇报时，教师要注意引导以
下几个问题： （1）怎样判断一个三角形是哪种三角形？（看角）（看
边） （2）不管哪种三角形，最少有几个锐角？最多几个直角？最多
几个钝角？为什么？ 引出三角形内角和等于180度。 我们是用什么
方法求得三角形三个内角之和等于180度的？ 我们可以利用这个知
识解决什么问题？ （3）等边三角形是特殊的等腰三角形。 引出，
三角形任意两边之和大于第三边。 重点让学生和小组之间互相补充。
师：对于这个小组的整理，大家有问题要问或者还有补充吗？ 师：
其他小组还有补充吗？（再拿一个小组的整理结果进行展示。） 三、
重点复习，强化提高 1. 作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的
高和底。应该注意什么问题？ 2. 三角形的稳定性。 说说生活中很
多事物都用到三角形的原因是什么？ 3.完成总复习第7题，并鼓励
学生提出更多的数学问题，旨在培养学生从多角度观察问题的意识和
能力，提高思维的开放性。例如，可以让学生思考同一个点的位置用
不同的方式描述时有什么关系，如“北偏东30度就是东偏北多少度？
四、自主检测，完善提高 （一）、填空。 1.一个三角形最多有（ ）
个锐角，最多有（ ）个直角，最多有（ ）个钝角。 2.一个三角形
∠1=38°，∠2=52°，那么∠3=（ ）°这是一个（ ）三角形。 3.
一个三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（ ）三角形；
一个三角形三条边的长度分别为7厘米，8厘米，7厘米，这个三角
形是（ ）三角形。 （二）选择（请将正确答案前的序号填在括号里 。）
1.所有的等边三角形都是（ ） A．锐角三角形 B.直三角形 C.钝角
三角形 2.把一个三角形分成三个三角形，每个三角形的内角和是（ ）
A.60度 B. 180度 C. 80度 3.等腰三角形的一个底角是50度，顶
角是（ ）度 A.60度 B. 180度 C. 80 度 4.有一个角是锐角的三角
形是（ ） A. 锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
5.以下哪一组的小棒可以围成三角形？（ ） A. 4dm 3dm 5dm B. 8cm
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2.5cm 3cm C. 6m 2m 4m （三）判断（正确的请在后面的括号内打“√”，
错误的打“×”。） 1.用三根长度分别为5厘米、5厘米和11厘米
的绳子可以围成一个等腰三角形。 （ ） 2.直角三角形、钝角三角
形只有一条高。 （ ） 3.两个完全一样的三角形可以拼成一个平行
四边形。 （ ） （ 四）解决问题 1.爸爸给小红买了一个等腰三角
形的风筝。它的一个底角是75度，顶角是多少？
2.一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这
是什么三角形。 板书设计： 复习空间与图形
1.位置与方向 最后量角度，并标上角度和线段 2.三角形按角分类：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3.三角形按边分：等腰三
角形、等边三角形。
作 业 设 计
基础： 1.填一填。 （1）用一根72厘米的线可以围成边长是（ ）
厘米的等边三角形。 （2）等腰三角形的一个底角是60º，这个三角
形的顶角是（ ）º，它又是（ ）三角形。 （3）从长7厘米、4
厘米、3厘米、3厘米的4根小棒中，任意选3根小棒围成三角形，
这个三角形的周长是（ ）厘米，这是一个（ ）三角形。
综合： 2.判断： （1）等腰三角形是轴对称图形。 （ ） （2）将
一个大三角形用剪刀剪成两个小三角形，每个小三角形的内角和是
90 º 。 （ ） （3）由三条线段围成的图形一定是三角形。 （ ）
拓展提升： 3. 根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置。
（1）大门在教学楼的正南方向600米处。
（2）综合楼在教学楼的东偏南40°方向800米处。
（3）图书馆在教学楼的西偏北30°方向400米处。
教学反思：