教学设计2应用一元一次方程——水箱变高了
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 教学设计
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了教学目标知识与能力通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步提高分析解决问题能力。
过程与方法通过主体参于实验操作及独立思考，体会运用方程解决问题的关键是寻找应用问题中的等量关系。
情感态度与价值观鼓励学生积极参与数学学习活动，激发学生的好奇心和主动学习的欲望，建立学好数学的自信心。
教学重难点：寻找面体积问题中的等量关系。
教学方法:引导发现教学过程探究新知请看下面的例子某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m 的圆柱形储水箱。
现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m 。
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m 增高为多少米？ 在这个过程中，圆柱体的哪些量发生了变化？而哪些量没有变化？ （底面半径增大、高度减小、体积没变、重量没变）解：设锻压后圆柱的高为x 厘米，根据题意，列出方程： 2442π⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=23.22x π⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 解得x=6.25答：高变成了6.25厘米。
课堂练习：把一块长、宽、高分别为4dm 、3dm 、5dm 的长方体鱼缸，换成一个底面半径为2dm 的圆柱体鱼缸，鱼缸的容积不变，问：圆柱鱼缸的高为多少？[例1]用一根长为10米的铁丝围成一个长方体。
（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比，面积有何变化？（3）使得该长方形的长与宽相等，围成一个正方形，此时，正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比有何变化？1、用你手里的铁丝亲自动手操作，根据你的生活经验和操作过程以及用一元一次方程解决实际问题的基础，分组独立完成例1中的（1）（2）（3）三个问题。
2、请每一小组派一个代表汇报三个小问题的解答过程。
3、反思各组的解答过程讨论解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验。
北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计
北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计一、教学目标1.知识目标1.了解一元一次方程的基本概念；2.能掌握应用一元一次方程解决实际问题的方法；3.能够理解水箱变高的原理，掌握相关计算方法。
2.能力目标1.能够运用所学知识解决实际问题；2.能够培养分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点1.一元一次方程的基本概念；2.应用一元一次方程解决实际问题的方法。
三、教学难点1.能够理解水箱变高的原理；2.掌握相关计算方法。
四、课前准备1.教师准备讲义、钢尺、铅笔等教学用品；2.学生准备好课本及学习笔记。
五、教学方法1.讲授法；2.解题法。
六、教学过程Step 1 教师引入1.教师通过举例解释一元一次方程的基本概念；2.通过讲解水箱的变化，引出应用一元一次方程解决实际问题。
Step 2 教师讲解1.教师介绍水箱变高的原理，并引导学生用题目中提供的数据建立数学模型；2.教师通过讲解应用一元一次方程的方法帮助学生求解。
Step 3 学生练习1.学生独立完成练习题；2.学生根据自己的思路和答案，对照教师提供的参考答案。
Step 4 教师提高1.教师解释练习题的解题过程，帮助学生理解其中的数学方法和思想；2.教师指导学生在实际生活中运用所学知识解决问题。
七、作业布置1.学生独立完成书本上“应用一元一次方程解决实际问题”一节中的习题；2.要求学生在作业本上注明题号，并写出解题过程和答案。
八、教学反思本堂课通过引出实际问题的方式，较好地激发了学生学习的兴趣，让学生能够比较轻松、简单地掌握一元一次方程的基本概念和应用方法。
需要注意的是，在练习时可以引导学生先思考、后问问题、后解答，这样能够更好地培养学生分析问题和解决问题的能力。
《应用一元一次方程--水箱变高了》公开课教学设计【北师大版七年级数学上册】
第五章一元一次方程5. 3 应用一元一次方程—水箱变高了通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性.【教学重点】应用简单图形（如正方形、长方形、梯形、圆柱、正方体、长方体等）的周长、面积、体积公式，学会分析等量关系来列方程、解放程.【教学难点】学会分析等量关系来列方程、解放程.尝试练习、探索归纳总结.电教平台.1. 如果长方形的面积是56平方厘米，它的长与宽相差1厘米，请问这个长方形的长、宽各是多少厘米？2. 一圆柱的体积是314立方厘米，底面圆的半径是5厘米，此圆柱的高为多少厘米？一、复习回顾二、典例精析例1 将一个底面直径是20 厘米，高为9 厘米的“矮胖“形圆柱锻压成底面直径是10 厘米的“高瘦”形圆柱，高变成了多少？等量关系：锻压前的体积= 锻压后的体积解：设锻压后圆柱的高为x 厘米，填写下表：师生活动：让学生列出方程，并求解，教师指导预设答案：x=36例2：小明有一个问题想不明白.他要用一根长为10 米的铁线围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多1.4 米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？师生活动：让学生尝试列出方程，并求解，教师指导预设答案：设长方形的宽为x，则列方程为：2（x+x+1.4）=10解得x=1.8三、随堂练习1. 小明又想用这10 米长铁线围成一个长方形.（1）使长方形的长比宽多0.8 米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么变化？2. 小明的爸爸想用10 米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4 米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？若小明用10 米铁线在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5 米，但在宽的一边有一扇1 米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？3. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小影将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小影所钉长方形的长和宽各为多少厘米？4. 在一个底面直径为3 cm，高为22 cm的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7 cm，高为9 cm的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度.若将烧杯中装满水到入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？四、归纳小结会应用简单图形（如正、长方形，圆柱，正、长方体等）的周长、面积、体积公式，学会分析等量关系来列方程并求解.略.。
《应用一元一次方程—水箱变高了》教案1.docx
《应用一元一次方程一水箱变高了》教案教学目标1、了解一元一次方程在解决实际问题中的应用、体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系.2、学会通过分析图形问题屮的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题. 教学重点与难点重点：（1）寻找图形问题中的等量关系，建立方程；（2）根据具体问题列出的方程，掌握其简单的解方程的方法.难点：寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化.教学方法本节课主要使学生领悟形体变化问题中的变与不变,体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法、通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题、本节课的关键是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程, 使实际问题数学化、教学中，注意指导学生审清题意，抓住图形问题中的不变量，所以教学中釆用直观一一自主探索的方法，在教师的引导下，通过学生亲自动手制作模型，自主探索发现在模型变化过程屮的等量关系，建立方程，从而将图形问题代数化教学准备多媒体课件、细铁丝、土豆、水杯.教学过程一、创新情境，引入新课教师：（向同学们出示土豆）同学们认识这是什么吗？学生：土豆！学生：谁能在最短的时间内测出它的体积是多少？学生讨论，但找不到好的方法.教师：如果，我再给大家一个带有容积刻度并且能容下土豆的水杯，你想到办法了吗？生1：（恍然大悟）把水杯装满水，把土豆放入水杯中，溢出水的体积就是土豆的体积！生2：先倒入一部分水，记下刻度，把土豆放入杯中，让水淹没土豆，水比刚才上升的体积就是土豆的体积!（学生通过直观感知、操作等活动，寻找图形问题屮的等量关系•）二、合作探究，展示交流探究1:等体积问题（多媒体展示）教师：很好，我这儿有一个问题：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱、现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地血积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2m,那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？你能帮他吗？学生：用一元一次方程來解、这个问题的等量关系：旧水箱的体枳二新水箱的体积.教师：同学们分析得很好，列方程时，关键是找出问题中的等量关系.下面我们如果设新水箱的高为xm,通过填写下表来看一下旧水箱的体积和新水箱的体积、旧水箱新水箱底面半径/21、6m高/m4体积/n?TT X22X4TF X 1、62X X（学生计算填表，让一位同学说出自己的结果）学生：I口水箱的圆柱的底面半径为4一2二2m,高为4米，所以I口水箱的圆柱的体积为7T X22X4m3；新水箱的圆柱的底血半径为3. 24-2=1.6m,高设为xm,所以新水箱的体积为兀X 1.62X X.由等量关系我们便可得到方程：^X22X4=^X 1. 62X X.教师：列出方程我们只是走完“万里长征”重要的第一步，如何解这个方程呢？学生：将兀换成3.14,算出x的系数^X22,然后将系数化为1就解出了方程.学生：我认为应先观察方程的特点，左右两边都含有兀，可用等式的第二个性质，方程两边同时除以兀，町使方程变得简单.教师：这位同学的想法很好、下面我们共同把这个题的过程写一下.解：设新水箱圆柱的高为X厘米，根据题意,列岀方程^X22X4=^X1.62X X,25解得兀二亍.4.25答：高变成了〒米.4教师：通过本题的解答过程，你能总结一下列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？(学生认真思考后，小组内交流、教师适时引导共同归纳出列一元一次方程解决实际问题的步骤：理解题意、寻找等量关系、设未知数列方程、解方程、作答.)设计意图：设置丰富的问题情境，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.探究2：周长相等问题教师：用你手中的铁丝圉成一个四边形，在所有的四边形中他们的周长有什么特点？学生：不变，都相等.教师：所围成的四边形的面积变化吗？动手操作试一试.(学生动手操作，操作完成后让学生汇报结果)学生：面积发生变化.教师：下面以小组为单位，借助你手中的铁丝，依据上一题的解题经验，小组内分工合作完成下面问题.例：用一根长为10米的铁丝圉成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的而积与(2)屮相比乂有什么变化？教学建议：小组讨论解题过程屮，教师巡视课堂，指导、参与学生的讨论制作，帮助有学习有难的个人或小组.在讨论解答完成后，让小组选代表阐述解题的步骤、思路并展示自己小组所做的长方形(或正方形)，指导学生反思各组的解答过程并讨论：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验、通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律, 教师及时引导学生给予评价，表扬鼓励，同吋用多媒体展示解题步骤，进一步规范学生的解题格式.解：⑴设此时长方形的宽为m,贝II它的长为(x+1.4)m,根据题意，Wx+(x+1.4)=10x|,解这个方稈，得尸1.8,x+1.4=1. 8+1. 4=3. 2,此时长方形的长为3.2m,宽为1.8m.(2)此时长方形的宽为xm,则它的长为(x+0. 8)m,根据题意，得x+(x+O. 8)二10X舟、解这个方程，得兀二2.1,x+0. 8=2. 1+0. 8=2.9,此时长方形的长为2.9m,宽为2. Im,面积为2. 1X2. 9=6. 09m2, (1)中长方形的而积为2X1.8=5. 76m2,此时长方形的面积比(1)中长方形面积增大6. 09—5. 76=0. 33m2.(3)设正方形的边长为xm,根据题意，得4兀二10X*,解这个方程，得x=2. 5,正方形的边长为2. 5m,正方形的面积为2.5X2. 5=6. 25m2,比(2)中面积增大6. 25-6. 09=0. 16m2.教师:我们解答这个题的关键是我们在改变长方形的长和宽的同时,长方形的周长不变, 始终是铁丝的长度10米，由此便可建立“等量关系”，但是我们可以发现，虽然长方形的周长不变，改变长方形的长和宽，长方形的血积却在发生变化，而且围成正方形的吋候血积达到最大.设计意图：通过例题让学生再次感受找到题目中的等量关系是列方程解应用题的关键, 让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程、使学生体验“数学化”过程，使学生在实际动手计算、制作中体验合作的愉快及成功的喜悦，进一步理性地感受上一个环节中得出的结论，培养学生数学思考的严谨性，判断推理的科学性，语言表述的准确性.三、训练反馈，应用提升1、墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示•小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？教师：用实物演示图形的变化过程、引导学生思考：(1)问题中的已知量和未知量？(2)在图形的变化过程川哪些量在改变？哪些量没有变？学生：利用铁丝动手操作，观察图形变化的过程；弄清题意，积极回答老师所提问题; 独立思考，解决问题，积极争取发言，阐述自己的解题思路、汁算后说出答案.解:设长方形的长为兀厘米，根据题意得，2(x+10)=10X4+6X2,解这个方程，得尸16.因此，小颖所钉长方形的长为16厘米，宽为10厘米.设计意图：通过分析、演示，观察、思考，让学生直观的感受的在图形的变化过程屮各个量的变与不变，从而逐步的领悟到寻找等量关系是列方程解决应用问题的关键.课堂小结教师：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有那些困惑？教学建议：先让学生畅所欲言，着重引导学生总结以下三个方面：1、通过对“水箱变高了”的了解，我们知道“旧水箱的体积二新水箱的体积”，“变形前周长等于变形后周反”是解决此类问题的关键，即变的是什么，不变的是什么.2、遇到较为复杂的实际问题时，我们可以借助表格分析问题屮的等量关系，借此列出方程，并进行方程解的检验.3、解出的数学问题要联系生活实际问题來检验它的结果的合理性.。
北师大版七年级上册数学 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 优秀教案
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.一、情境导入一种牙膏出口处直径为5mm ，子昂每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm ，子昂还是按习惯每次挤出1cm 的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？二、合作探究探究点一：等长变形问题用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2）m ，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为[r ＋2（π－2）]m.则有2πr ＝4（r ＋2π－4）.解得r ＝4.所以铁丝的长为2πr ＝8π（m ）.所以圆的面积是π×42＝16π（m 2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m 2）.因为16π>4π2，所以圆的面积大.答：铁丝的长为8πm ，圆的面积较大.方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.探究点二：等体积变形问题用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）解析：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变.解：设截取圆钢的长度为x mm.根据题意，得π（902）2x ＝131×131×81，解方程，得x ＝686.44π. 答：截取圆钢的长度为686.44πmm. 方法总结：圆钢由圆柱形变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.探究点三：面积变化问题将一个长、宽、高分别为15cm 、12cm 和8cm 的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm 的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.解析：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.三、板书设计教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.。
七年级数学北师大版上册 第5章《应用一元一次方程——水箱变高了》教学设计 教案(1)
教学设计应用一元一次方程——水箱变高了【教学目标】让学生学会根据实际应用问题,找出等量关系,学会列一元一次方程并解答实际应用问题.【重点难点】●重点:根据实际问题列一元一次方程.●难点:寻找等量关系.【教法与学法】●教法:引导探究法.●学法:讨论交流.【教学过程】一、情境引入将一个底面直径是20 cm、高9 cm的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10 cm 的“瘦长”形圆柱,假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变,那么圆柱的高变成了多少厘米?二、互动新授1.教师活动:如果设锻压后圆柱的高为x cm,指导学生计算并填写教材P143表格.学生活动:按要求填写表格,并根据等量关系,列出方程求解出x,回答问题.2.教师活动:请同学们阅读教材P143例1的题目,你知道如何按要求围成长方形吗?在此题中有没有等量关系?在变化过程中什么量是不变量呢?如何列出方程?逐步引导学生列出方程并解答问题.学生活动:思考并讨论例1中的等量关系,如何设未知数,如何列方程.【设计意图】让学生学会分析题意,学会抓住题目中的等量关系列方程.3.教师活动:请同学们交流一下所设的未知数是否一致,有哪些设法?所得的方程一样吗?并根据所列的方程解出未知数,得到所求的长方形的长和宽交流是否一致?为什么?学生活动:根据自己所设的未知数,列出方程与同学交流,并解出方程,先回答问题再进行交流.【设计意图】根据所设的未知数不同,得到的方程可以不同,但结果应该一样.4.教师活动:请同学们分别计算所得三个长方形的面积,并比较它们的大小,思考长方形的长和宽怎样变化,所围成的长方形的面积会越大呢?请同学填出下列表格:长方形周长长宽面积第一个第二个第三个学生活动:计算三个长方形的面积,填写表格,并观察比较长方形的面积的大小,找出面积的大小与长和宽的关系.5.教师活动:组织学生练习教材P144随堂练习,并让学生板演交流,教师作好点评.学生活动:练习并交流.【设计意图】通过练习,达到巩固掌握,熟练运用所学的知识解答问题.例:一批宿舍,若每间住1人,则有10人无法安排;若每间住3人,则有10间无人住.这批宿舍的间数为( ).A.20B.15C.10D.12学生活动:讨论本题中所求量和等量关系分别是什么,再列方程求解.教师分析:首先设这批宿舍的间数为x,再找本题中的等量关系,每间的人数可以变化,但总人数不会变,所以可以用未知数x表示出变化前后的总人数相等就得到方程了.【设计意图】引导学生学会从变化中寻找不变量,找出实际应用问题中的等量关系,根据等量关系列出方程.三、例题讲解【例1】有一个底面直径为0.1 m的圆柱形储油器,油中浸有钢珠,若从中捞出546π克钢珠,问液面将下降多少厘米?(1 cm 3钢珠重7.8 g)解析:题中的等量关系为:钢珠的体积=液面下降后减少的体积.【例2】现有长为35米的竹篱笆,小王打算用它围成一个长方形的鸡场,且尽可能使鸡场面积最大,请你帮他设计并求出最大面积.解析:养鸡场的长、宽相等时,面积最大. 四、巩固练习1.一个长方形的周长是40 cm,若将长减少8 cm,宽增加2 cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm2.现有一个长方体水箱,从水箱里面量得它的深是30 cm,底面的长是25 cm,宽是20 cm.水箱里盛有深为 a cm(0<a≤8)的水,若往水箱里放入棱长为10 cm 的立方体铁块,则此时水深为( )A.43a cmB.54a cmC.(a+2) cmD.5a+106cm五、课堂小结1.如何根据实际问题列方程?2.解答实际应用问题需要哪些步骤? 【布置作业】教材习题5.6第1、2题. 【板书设计】3 应用一元一次方程——水箱变高了一、等量关系:变化前后的体积不变 二、列方程先要根据所求设出未知数,用未知数表示出其他量,再用未知数表示出等量关系. 【教学反思】本节课是运用方程解答实际问题的起始课,学生对方程的应用意识没有建立起来,如何把实际问题转化为方程这一环节的处理就尤为重要,这就要求教师做好表率,要先引导学生把所求的量设成字母x,这样就有了方程中的未知数,如何仔细阅读题目,找出题目中的不变量,此处不太好理解,建议教师可以让同学们用橡皮泥做实验,把橡皮泥捏成不同的形状,让学生观察变化中的不变量中什么,有了这二直观的认识就好理解本节内容,从而引导学生顺理成章地用方程解答问题了.。
北师大版七年级上册5.3--应用一元一次方程——水箱变高了教案
应用一元一次方程——水箱变高了【教学目标】知识与技能：引导学生感受一元一次方程在解决实际问题中的应用.过程与方法：借助表格,分析复杂问题中的数量关系,建立方程解决实际问题.情感、态度与价值观：总结运用方程解决实际问题的一般步骤,明确列方程解决实际问题的关键是找等量关系.【教学重难点】重点:1.体验借助方程解决实际问题的过程.2.列一元一次方程解具有简单等量关系的应用题.难点:从复杂问题中挖掘条件,由“未知”向“已知”转化，寻找等量关系.【教学过程】一、创设情境引入新知教师演示操作1：爸爸把杯子中高度为5cm的水倒入量筒中（已知:杯子底面半径为,量筒底面半径为2cm）（1）仔细观察,认真思考,你发现哪些量发生了变化,哪些量没有改变？（2）量筒中水的高度是多少？操作2：小院有一个底面直径和高均为4m的圆柱形水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度由原先的4m增高为多少米?在这个问题中,有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积.设水箱的高度为m,填写下表:底面半径/（m）旧水箱新水箱高/（m）容积/（m3）根据等量关系,列出方程:.解得=.因此,水箱的高变成了m.(1)看一看:让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程；(2)列一列:根据问题中的等量关系列出方程,并解方程,使问题(一)得到解决.1.引导学生分析问题中的已知量与未知量.2.用实物模拟演示水箱由“矮”变“高”的变化过程.3.引导学生探究问题中的等量关系,列方程并解方程.学生独立思考,找出解决问题的方法和思路,列方程,解决问题(一).通过观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程.二、合作探究深化新知用一根长为10米的栅栏围成一个长方形鸡舍.(1)使得该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米?(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少?它所围成的图形的面积与(2)中相比又有什么变化?1.学生分四人小组讨论解决问题,并根据计算的结果作出各自的长方形(或正方形).2.抽派小组代表阐述解题的步骤以及思路,并展示自己所在的小组所作的长方形(或正方形).3.通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.分析:由题意可知,长方形的周长始终是不变的,即长与宽的和为:.在解决这个问题的过程中,要抓住这个等量关系.解:(1)设此时长方形的宽为m,则它的长为m.根据题意,得.解这个方程,得..此时长方形的长为m,宽为m.(2)设此时长方形的宽为m,则它的长为m.根据题意,得.解这个方程,得..此时长方形的长为m,宽为m,面积为,(1)中长方形的面积为.此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大.(3)设正方形的边长为m.根据题意,得.解这个方程,得.正方形的边长为m,正方形的面积为,比(2)中面积增大.周长长宽之差长宽面积长方形1长方形2长方形3多媒体几何画板直观演示长宽变化时面积变化的规律.三、学以致用即时反馈1、墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物,如图实线所示(单位:cm).小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米?2、把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块,浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水),水面将增高多少?(不外溢)四、课堂小结内化新知学习了本节课你有那些收获？应用一元一次方程解决实际问题(水箱变高了).1、步骤:审、找、设、列、解、检、答.2、关键:借助不变量,寻找等量关系.(形状变了,体积不变;面积变了,周长不变)3、规律:长方形的周长一定,正方形的面积最大.4、思想:转化、方程、从特殊到一般.5、感悟:热爱数学、热爱生活、努力追求幸福的生活.五、布置作业巩固落实见导学案。
北师大版七年级上册数学 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 优秀教案
5.3 应用一元一次方程——水箱变高了1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.一、情境导入一种牙膏出口处直径为5mm ，子昂每次刷牙都挤出1cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次.该品牌牙膏现推出新包装，只是将出口处直径改为6mm ，子昂还是按习惯每次挤出1cm 的牙膏，这支牙膏能用多少次呢？二、合作探究探究点一：等长变形问题用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2（π－2）m ，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大.解析：本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长.解：设圆的半径为r m ，则正方形的边长为[r ＋2（π－2）]m.则有2πr ＝4（r ＋2π－4）.解得r ＝4.所以铁丝的长为2πr ＝8π（m ）.所以圆的面积是π×42＝16π（m 2），正方形的面积为[4＋2（π－2）]2＝4π2（m 2）.因为16π>4π2，所以圆的面积大.答：铁丝的长为8πm ，圆的面积较大.方法总结：形状、面积不同，而周长相同可根据题意列出关于周长的等量关系式.解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而列出方程.探究点二：等体积变形问题用直径为90mm 的圆钢，铸造一个底面长和宽都是131mm ，高度是81mm 的长方体钢锭.问需要截取多长的一段圆钢？（结果保留π）解析：圆钢由圆柱形变为长方体，形状变了，但体积不变.解：设截取圆钢的长度为x mm.根据题意，得π（902）2x ＝131×131×81，解方程，得x ＝686.44π. 答：截取圆钢的长度为686.44πmm. 方法总结：圆钢由圆柱形变成了长方体，形状发生了变化，但是体积保持不变.“变形之前圆钢的体积＝变形之后长方体的体积”就是我们所要寻找的等量关系.探究点三：面积变化问题将一个长、宽、高分别为15cm 、12cm 和8cm 的长方体钢坯锻造成一个底面是边长为12cm 的正方形的长方体钢坯.试问：是锻造前的长方体钢坯的表面积大，还是锻造后的长方体钢坯的表面积大？请你计算比较.解析：由锻造前后两长方体钢坯体积相等，可求出锻造后长方体钢坯的高.再计算锻造前后两长方体钢坯的表面积，最后比较大小即可.解析：设锻造后长方体的高为x cm，依题意，得15×12×8＝12×12x.解得x＝10.锻造前长方体钢坯的表面积为2×（15×12＋15×8＋12×8）＝2×（180＋120＋96）＝792（cm2），锻造后长方体钢坯的表面积为2×（12×12＋12×10＋12×10）＝2×（144＋120＋120）＝768（cm2）.因为792>768，所以锻造前的长方体钢坯的表面积较大.方法总结：长方体的表面积为六个面的面积之和，其中上下、左右、前后面积分别相等.三、板书设计教学过程中，通过对问题的探讨，使学生在动手、独立思考的过程中，进一步体会方程模型的作用，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.。
数学北师大版七年级上册一元一次方程的应用------水箱变高了
5.3应用一元一次方程——水箱变高了教学设计【教学目标】知识与技能1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。
2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。
【过程与方法】采用启发探究式的方法,使学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型,培养观察发现问题的能力以及创新的意识.了解“未知”转化成“已知”的数学思想,培养分析问题、解决问题的能力和严谨、细致的学习态度.【情感、态度与价值观】经历从生活中发现数学和应用数学知识解决实际问题的过程,树立用多种方法解决实际问题的创新意识,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.【教学重难点】重点:1.体验用多种方法解决实际问题的过程.2.列一元一次方程解简单的图形变化的应用题.难点:从复杂问题中挖掘条件,由“未知”向“已知”转化,寻找相等关系.【教学过程】一、旧知回顾：①长方形的周长公式________，面积公式________,体积公式_______②正方形的周长公式________，面积公式________,体积公式_______③圆的周长公式________，面积公式________,圆柱的体积公式_______二、激发兴趣：1、展示两个容量一样，形状不同的矿泉水瓶，将一个瓶子里的水倒入另一个里，你得出什么结论？2、回想小时候玩的橡皮泥，不管做成什么形状，橡皮泥的总体积改变了吗？____ 要想求圆柱的体积，我们应先知道（或求出）圆柱的______ 和 _______学生讨论：从这两个活动中你能得出什么结论？三、创设情境，引入新课：某居民楼顶有一个底角直径和高均为4 m的圆柱形水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度由原先的4 m增高为多少米?想一想：什么发生了变化？什么没有发生变化？在这个问题中,有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积.设水箱的高度为x,填写下表:根据等量关系,列出方程:.解得x= 6.25.因此,水箱的高变成了m.(1)看一看:让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程;(2)列一列:根据问题中的等量关系列出方程,并解方程,使问题(一)得到解决.1.引导学生分析问题中的已知量与未知量.2.用实物模拟演示水箱由“矮”变“高”的变化过程.3.引导学生探究问题中的等量关系,列方程并解方程.学生独立思考,找出解决问题的方法和思路,列方程,解决问题(一).通过观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程.四、探究例题用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米?(2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少?它所围成的图形的面积与(2)中相比又有什么变化?1.学生分四人小组讨论解决问题,并根据计算的结果作出各自的长方形(或正方形).2.抽派小组代表阐述解题的步骤以及思路,并展示自己所在的小组所作的长方形(或正方形).3.通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律.分析:由题意可知,长方形的周长始终是不变的,即长与宽的和为5米，在解决这个问题的过程中,要抓住这个等量关系.解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.根据题得x+x+1.4=10×.解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.(2)设此时长方形的宽为xm,则它的长为(x+0.8)m.根据题意,得x+x+0.8=10×.解这个方程,得x=2.1.2.1+0.8=2.9.此时长方形的长为2.9 m,宽为2.1 m,面积为2.9×2.1=6.09(m2),(1)中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33(m2).(3)设正方形的边长为x m.根据题意,得x+x=10×.解这个方程,得x=2.5.正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m 2),比(2)中面积增大6.25-6.09=0.16(m 2).总结：小知识要知道 长方形的长与宽越接近，面积越大，长与宽相等时面积最大五、课堂练习墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？分析：等量关系是 变形前后周长相等解：设长方形的长是 x 厘米，则 26410)10(2⨯+⨯=+x16=x因此小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
七年级数学上册教案《一元一次方程的应用水箱变高了》北师大版
难点：
寻找图形问题中的等量关系，建立方程模型，解决实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
一、教师出示课件：
学生思考：水箱的
结合生活实际
1.教师以“郑州市某小学响 底面“直径”与 引出本节课题，说
应国家号召，解决本校学生中午 “高”发生变化 明数学来源于生
情境引入 在校就餐问题，需要对原有水箱 时，水箱的体积是 活，培养学生关注
解：设此时长方形的宽为 xm， 由（1）（2）所围
则它的长为（x+1.6）m.根据题意， 成 的 长 方 形 的 长
得(x+1.6 +x) ×2 =20
与宽，以及长方形
解得 x=4.2
的面积之间的关
4.2+1.6=5.8
系，学生获得了直
此时长方形的长为 5.8m，宽为 观的经验，即：周
4.2m，
长一定时，长和宽
小组互助，在限定 条件下编应用题.
题，应用一元一次 方程解决实际问 题.
五．小结反思：
学生大胆说出自
促进了学生的
通
4/5
课时小结
你学到了什么？ 你还有那些疑惑？ 你还想知道什么？
数学家笛卡尔的预言
与感受
作业布置 五:当堂检测： （见学习案）
板书设计 5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
学生通过整理表 格，观察表格中的 数据，发现“周长 一定时，长和宽差 距越小，面积越 大，围成正方形的 面积最大.”
整理总结： S1=3.6×6.4
=23.04(m2) S2=5.8×4.2
通过整理、归纳、 总结的过程，使学 生明白解决等长问
（2） 当长、宽相差 1.6 米时： =24.36(m2)
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应用一元一次方程—水箱变高了
教学目标
1、通过分析简单问题中的数量关系，建立方程解决问题.
2、进一步体会运用方程解决问题的关键是找等量关系，认识方程模型的重
要性.
教学重点
找等量关系列出方程；准确地解方程.
教学难点
找等量关系列出方程.
教学方法
教师引导、自主学习、合作学习.
教学过程
一、复习回顾
1、解一元一次方程的一般步骤是什么？
2、长方形的周长公式________，面积公式________，长方体的体积公式______.
正方形的周长公式________，面积公式________，正方体的体积公式______.
圆的周长公式________，面积公式________，圆柱的体积公式_______.
二、进行新课
1、引例：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进
行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少
为.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
分析：相等关系为：旧水箱的容积=新水箱的容积.
解：设新水箱的高为xm，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径(m)
高(m)
体积(立方米)
解：设新水箱的高为xm，根据题意，得
x2223.2424）（）（
解得x=
答：水箱的高变成了米.
2、思考：
(1)在将较高玻璃杯中的水倒入较矮的玻璃杯的过程中，不变的是_____.
(2)将一块长方形的橡皮泥先捏成一个瘦高的圆柱再捏成一个矮胖的圆柱，
在此过程中不变的是___.
总结：等积变形类问题中的相等关系.
(3)将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方形，再改围成一个长4cm、宽2
cm的长方形，在此过程中不变的是_______.
总结：变形前后周长不变.
3、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
(1)使得这个长方形的长比宽多米，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)如果围成的长方形的长比宽多米，此时长方形的长、宽各是多少米？它
所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
(3)如果围成的长方形长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长
是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+米，根据题意，得2(x+x+
=10.
解：(2)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+米，根据题意，得2(x+x+
=10.
解：(3)设正方形的边长为x米，根据题意，得4x=10.
此题第一问教师带领学生一块完成，第二、三问学生分组独立完成.
全部完成后比较其长与宽的变化及面积的变化得出：当周长为定值时围成的
正方形面积最大.
三、随堂练习：课本142页.
四、布置作业：
课本144页2、3两题.
课堂小结
1、应用一元一次方程解决一类实际问题：
(1)等积变形类问题；
(2)铁丝围平面图形问题.
2、应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.(学生总结)