上海控江中学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A ．21-B ．22-C ．21+D ．22+2．下面是关于复数21iz =-+的四个命题：1:2p z =；22:2p z i =；3:p z 的共轭复数为1i +；4:p z 的虚部为1-.其中,真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数z 满足121iz i i+⋅=--（其中z 为z 的共轭复数），则z 的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．54．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A ．2 B ．23C ．-2D ．23-5．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 3B 6C ．6D ．37．已知i 为虚数单位，复数21iz =+，则z z -等于（ ） A ．2B ．2iC ．2i -D ．08．已知复数113iz i-=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．25 B ．25i C ．25-D ．25i -9．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）． A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线10．满足条件3z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．线段11．若复数z 满足()2117z i i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i --12．已知复数3z a i =+，其中a R ∈.若4z R z+∈，则a =A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0二、填空题13．在复平面内，到点133i -+的距离与到直线:3320l z z ++=的距离相等的点的轨迹方程是________.14．i 是虚数单位，则232017232017i i i i ++++=_______.15．下列四个命题中，正确命题的个数是___________.①0比i 小②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==④如果实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应 16．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________ 19．有以上结论：①若x ， y C ∈，则2x yi i +=+的充要条件是2x =， 1y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与虚数集是一一对应；③由“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比可得“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；④由“若a ， b ， c R ∈，则()()ab c a bc =”类比可得“若a ， b ， c 为三个向量，则()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确结论的序号为__________．20．已知复数213(3)2z a i a =+-+，22(31)z a i =++（a R ∈，i 是虚数单位）． （1）若,求的值；（2）若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围.三、解答题21．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？22．已知虚数z 满足|21||22|z i z i +-=+-（i 为虚数单位）. （1）求||z 的值; （2）若1mz R z+∈，求实数m 的值. 23．已知复数z=m(m-1)+( m 2+2m-3)i 当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i24．已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，（1）z R ∈？（2）z 是虚数？（3）z 是纯虚数？ （4）z 对应的点位于复平面第二象限？ （5）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 25．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈. （1）若z 为实数，求a 的值； （2）若z 为纯虚数，求a 的值； （3）若93z i =-，求a 的值. 26．已知z 是复数，z i +和1zi-都是实数， （1）求复数z ；（2）设关于x 的方程2(1)(31)0x x z m i ++--=有实根，求纯虚数m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆，而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离， 结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．B解析：B【分析】化简复数1i z =--，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算，即可判定，得到答案. 【详解】 由题意，复数()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，则z =，所以1p 是错误的；22(1)2z i i =--=，所以2p 是正确的；z 的共轭复数为1i -+，所以3p 是错误的； z 的虚部为1-，所以4p 是正确的.故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的乘法、除法运算，以及复数的概念及分类，以及共轭复数的概念及应用，着重考查了推理与辨析能力.3．D解析：D 【分析】按照复数的运算法则先求出z ，再写出z ，进而求出z . 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， 1222(2)121i iz i i z i z i i i i i+-∴⋅=-⇒⋅=-⇒==--=---，12||z i z ∴=-+⇒==故选：D 【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．D解析：D 【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=，所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C 【解析】 ∵ 22(1)112i z i i -===-+，∴ 1(1)2z z i i i -=--+=-，故选C. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．8．C解析：C 【解析】113i z i -=+(1)(13)121055i i i --==-- ,所以虚部是25- ,选C. 9．A解析：A 【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案． 【详解】由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．A解析：A 【解析】 【分析】设复数z =x +yi ，结合复数模的定义可得z 对应点的轨迹. 【详解】设复数z =x +yi ，则：()1z i x y i +=++=()3z i x y i +=++=结合题意有：()()222213x y x y ++=++，整理可得：310--=x y . 即复数z 对应点的轨迹是直线. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式，复数中的轨迹问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B 【分析】根据复数的运算，求得35z i =+，再根据共轭复数的概念，即可曲解．【详解】由复数z 满足()2117z i i -=+，即()()()()11721171525352225i i i iz i i i i ++++====+--+， 所以35z i =-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，及共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】 首先求解4z z+，然后得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由题意可得：4z a z +=++()243a a a =++22441133a i a a ⎛⎫⎫=+- ⎪⎪++⎝⎭⎭， 若4z R z +∈，则24103a -=+，解得：a =1或1-. 本题选择C 选项. 【点睛】复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.二、填空题13．【分析】设z ＝x+yi （xy ∈R ）可得直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝0由于点3i 在直线3x+1＝0上即可得出点的轨迹【详解】设z ＝x+yi （xy ∈R ）则直线l ：3z+32＝0化为：3x+1＝ 解析：3y =【分析】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），可得直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0．由于点13-+3i 在直线3x +1＝0上，即可得出点的轨迹． 【详解】设z ＝x +yi （x ，y ∈R ），则直线l ：3z +3z +2＝0化为：3x +1＝0． ∵点13-+3i 在直线3x +1＝0上， ∴在复平面内，到点13-+3i 的距离与到直线l ：3z +3z +2＝0的距离相等的点的轨迹是y ＝3．故答案为：y ＝3． 【点睛】本题考查了复数的运算性质、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】将视为数列的前项的和然后利用错位相减法可求出结果【详解】为数列的前项的和则上述两式相减得故答案为：【点睛】本题考查复数乘方的运算同时也考查利用错位相减法求和考查计算能力属于中等题 解析：10081009i +【分析】 将232017232017i i i i ++++视为数列{}nni的前2017项的和，然后利用错位相减法可求出结果. 【详解】232017232017i i i i ++++为数列{}nni的前2017项的和2017S，则2320172017232017S i i i i =++++，23201720182017220162017iS i i i i ∴=++++，上述两式相减得()()2017232017201845042201711201720171i i i S i i i i i i i⨯+--=++++-=--()()4504121120172017201711i i i i i i ii⨯+--=-=+=+--， ()()()()201720171201720162018100810091112i i i iS i i i i ++++∴====+--+. 故答案为：10081009i +. 【点睛】本题考查复数乘方的运算，同时也考查利用错位相减法求和，考查计算能力，属于中等题.15．0【分析】根据复数相关概念逐一判断【详解】比不可比较大小；两个复数互为共轭复数则它们的和为实数反之不成立如2与3；当为实数时的充要条件为；因为当时所以实数集与纯虚数集不一一对应；综上无正确命题即正确解析：0 【分析】根据复数相关概念逐一判断. 【详解】0比i 不可比较大小；两个复数互为共轭复数，则它们的和为实数，反之不成立，如2与3； 当x y ，为实数时1x yi i +=+的充要条件为1x y ==； 因为当0a =时0,ai =所以实数集与纯虚数集不一一对应； 综上无正确命题，即正确命题的个数是0. 【点睛】本题考查复数相关概念，考查基本分析判断能力，属基本题.16．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为解析：【解析】由410,x x C -=∈得： 1x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为19．③【解析】当时复数也是故①错误当时没有复数和其对于故②错误平面中的长度类比到空间即是面积故③正确由于方向与相同或者相反方向与方向相同或者相反故④错误综上所述正确的命题是③点睛：本题主要考查命题真假性解析：③【解析】当,2x i y i ==-时，复数也是2i +，故①错误.当0a =时，没有复数和其对于，故②错误.平面中的长度，类比到空间即是面积，故③正确.由于()a b c ⋅⋅方向与c 相同或者相反， ()a b c ⋅方向与a 方向相同或者相反，故④错误.综上所述，正确的命题是③.点睛：本题主要考查命题真假性的判断.第一个是复数的运算，与平时运算的差别是题目中,x y 是在复数集内选两个数，举出反例判断出结论是错误的.第一个结论主要用0a =来排除.第三个结论涉及到的知识点是向量的数量积运算，向量数量积运算结果是实数，数乘以向量，结果是向量.20．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由复数的定义为实数时虚部为0由此可求得；（2）求得对应点是它在第一象限则横纵坐标均大于0列出不等式组可求得范围试题解析：（1）（2）21a -<<-.【解析】试题分析：（1）由复数的定义，z 为实数时，虚部为0，由此可求得a ；（2）求得2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+，对应点是23(3,34)2a a a ---+，它在第一象限，则横、纵坐标均大于0，列出不等式组，可求得a 范围． 试题（1）由230a -=，得3a =± （2）由条件得，2123(2)(34)2z z a a i a -=-+--+ 因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限，故有2320{2340a a a ->+--> ∴12{241a a a -<<-><-或解得21a -<<-．考点：复数的概念，复数的几何意义．【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若a=0且b ≠0,则a+b i 为纯虚数.三、解答题21．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值.【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0，所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数. 【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.22．（12）12m =. 【分析】（1）设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠），利用模长的定义可构造出方程，整理出222a b +=，从而求得z ；（2）整理得到122a b mz am bm i z ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭，根据实数的定义求得结果.【详解】 （1）z 为虚数，可设z a bi =+（,a b ∈R 且0b ≠） 则22122a bi i a bi i ++-=++-，即()()()()212122a b i a b i ++-=++- ()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-整理可得：222a b +=z ∴==（2）由（1）知221122a bi a b mz am bmi am bmi am bm i z a bi a b -⎛⎫+=++=++=++- ⎪++⎝⎭ 1mz R z +∈ 02b bm ∴-= 又0b ≠ 12m ∴=【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.23．⑴m=1⑵m=0⑶ m=2【分析】对于复数(,)z a bi a b R =+∈，（1）当且仅当0ab 时，复数0z =；（2）当且仅当0a =，0b ≠时，复数z 是纯虚数；（3）当且仅当2a =，5b =时，复数25z i =+．【详解】（1）当且仅当 ()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得m=1，即m=1时，复数z=0． （2）当且仅当()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩解得m=0， 即m=0时，复数z=﹣3i 为纯虚数．（3）当且仅当()212235m m m m ⎧-=⎨+-=⎩ 解得m=2，即m=2时，复数z=2+5i ．【点睛】 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键．24．（1）3m =- (2) 13m m ≠≠-且（3）0m =或2m =-（4）3m <-（5）0m =或2m =-【解析】试题分析：（1）要复数为实数，则虚部为零，即2230m m +-=且10m -≠，解得3m =.（2）要复数为纯虚数，则实部()201m m m +=-，虚部2230m m +-≠，解得0,2m m ==-.（3）复数对应的点在第二象限，则实部()201m m m +<-，虚部2230m m +->，解得3m <-.（4）将实部和虚部代入直线方程，解方程可求得0,2m m ==-.试题（1）由2230m m +-=，且10m -≠，得3m =，故当3m =-时， z R ∈；（2）由()220,{1230,m m m m m +=-+-≠ 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时， z 为纯虚数；（3）由()220,{1230,m m m m m +<-+-> 解得3m <-，故当3m <-时，复数z 对应的点位于复平面的第二象限；（4）由()()2223301m m m m m +++-+=-， 解得0m =或2m =-，故当0m =或2m =-时，复数z 对应的点在直线30x y ++=上.25．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.26．（1）1z i =-；（2）m i =-.【分析】（1）设z a bi =+，化简z i +和1z i -，若为实数，则虚部为零；（2）设m di =，根据复数相等计算.【详解】（1）设z a bi =+，则(1)z i a b i +=++，122z a b a b i i -+=+- 若z i +和1z i -都是实数，则1002b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1a =，1b =-， 所以1z i =-.（2）设m di =，则方程为2(2)(31)0x x i di i +---=，即223(1)0x x d x i +++-=，若方程有实数根，则223010x x d x ⎧++=⎨-=⎩，解得1x =，1d =-， 所以，纯虚数m i =-.【点睛】本题考查复数的性质和运算.注意区分虚数、纯虚数、复数等概念.。