等比数列二教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。
2. 培养学生运用等比数列知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数列这一数学思想的认知，培养学生的逻辑思维能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的通项公式3. 等比数列的性质三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念，等比数列的通项公式。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等比数列的概念和性质。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子理解等比数列的通项公式。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾数列的概念，引导学生思考等比数列的特点。
2. 讲解等比数列的概念：借助具体例子，讲解等比数列的定义和性质。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生运用已知知识，推导出等比数列的通项公式。
4. 应用等比数列通项公式：通过实例，展示等比数列通项公式的应用。
5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
6. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出拓展问题，激发学生课后思考。
7. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 通过课堂表现、作业和练习，评价学生对等比数列概念和通项公式的掌握程度。
2. 结合课后作业和课堂讨论，评估学生运用等比数列知识解决实际问题的能力。
3. 通过小组讨论和课堂提问，了解学生对数列思想的认知和逻辑思维能力的提升。
七、教学资源1. PPT课件：制作包含等比数列概念、性质和通项公式的PPT课件，以便于学生理解和记忆。
2. 练习题库：准备一定数量的等比数列练习题，包括基础题、应用题和拓展题，以供课堂练习和课后作业使用。
3. 教学视频：搜集相关的教学视频，如等比数列的动画演示、讲解等，以辅助教学。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍等比数列的概念和性质。
2. 第二课时：推导等比数列的通项公式，讲解应用实例。
《等比数列》教案(2)
等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n.数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·qn －1与a 1·p n ·b 1·q n，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①a n ＋12＝b n b n ＋1②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a nb n＝nn ＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 yx ＞x －y 时，由x －y ，y x，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列则有⎩⎨⎧y x·xy ＝（x ＋y ）2yx （x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的性质。
2. 引导学生掌握等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念2. 等比数列的性质3. 等比数列的通项公式4. 等比数列的求和公式5. 运用通项公式解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式及其应用。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列的性质和通项公式。
2. 利用多媒体课件，生动展示等比数列的图形和性质，提高学生的直观认识。
3. 结合例题，讲解等比数列通项公式的应用，培养学生解决问题的能力。
4. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队意识。
五、教学过程1. 引入新课：通过讲解现实生活中的例子，引出等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的性质：引导学生发现等比数列的规律，总结等比数列的性质。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知的数列性质，推导出通项公式。
4. 讲解等比数列的求和公式：结合通项公式，讲解等比数列的求和公式。
5. 运用通项公式解决实际问题：选取典型例题，讲解等比数列通项公式的应用。
6. 课堂练习：布置适量习题，巩固所学知识。
7. 总结与反思：引导学生总结本节课所学内容，反思自己的学习过程。
8. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
9. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对等比数列知识的掌握程度。
10. 教学反思：总结本节课的教学效果，针对存在的问题，调整教学策略。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生深刻理解等比数列的概念和性质。
2. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提问引导学生思考，增强课堂的互动性。
关于公开课等比数列教案
关于公开课等比数列教案第一章：等比数列的概念1.1 引入等比数列的概念通过实际例子，让学生理解等比数列的定义和特点。
解释等比数列的通项公式和公比的概念。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的性质，如相邻两项的比值是常数，每一项都是前一项与公比的乘积等。
引导学生通过数学归纳法证明等比数列的性质。
第二章：等比数列的求和公式2.1 引入等比数列的求和公式通过实际例子，让学生理解等比数列的求和公式的推导过程。
解释等比数列求和公式的形式和各个参数的含义。
2.2 等比数列求和公式的应用探讨等比数列求和公式的应用，如求等比数列的前n项和、求等比数列中某一项的值等。
引导学生通过实际例子运用等比数列求和公式解决问题。
第三章：等比数列的通项公式的应用3.1 引入等比数列的通项公式的应用通过实际例子，让学生理解等比数列通项公式的应用，如求等比数列的第n项的值。
解释等比数列通项公式的形式和各个参数的含义。
3.2 等比数列通项公式的进一步应用探讨等比数列通项公式的进一步应用，如判断等比数列的收敛性和发散性。
引导学生通过实际例子运用等比数列通项公式解决问题。
第四章：等比数列的性质和求和公式的综合应用4.1 引入等比数列性质和求和公式的综合应用通过实际例子，让学生理解等比数列的性质和求和公式的综合应用，如求等比数列的前n项和，并判断等比数列的收敛性和发散性。
解释等比数列的性质和求和公式的关系。
4.2 等比数列性质和求和公式的综合应用案例分析探讨等比数列性质和求和公式的综合应用案例，如解决实际问题中的等比数列问题。
引导学生通过实际例子运用等比数列的性质和求和公式解决问题。
第五章：等比数列的应用案例分析5.1 引入等比数列的应用案例分析通过实际例子，让学生理解等比数列的应用案例，如解决金融、经济、物理等领域中的问题。
解释等比数列在实际问题中的应用场景。
5.2 等比数列应用案例分析探讨等比数列在实际问题中的应用案例，如计算复利、求等比数列的极限等。
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其特点。
2. 引导学生推导等比数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、运算能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义、性质和判定方法。
2. 等比数列的通项公式：引导学生推导通项公式，并进行证明。
3. 等比数列的求和公式：介绍等比数列前n项和的公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列的概念、性质、通项公式和求和公式。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和证明。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质。
2. 运用类比法，让学生理解等比数列与等差数列的异同。
3. 利用多媒体辅助教学，展示等比数列的动态变化过程。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入日常生活中的实例，如银行存款利息问题，引导学生思考等比数列的概念。
2. 讲解等比数列的定义和性质：让学生通过观察、分析和归纳等比数列的性质，得出等比数列的定义。
3. 推导等比数列的通项公式：引导学生利用已知条件，通过变换和代数运算，推导出等比数列的通项公式。
4. 证明等比数列的通项公式：让学生理解并证明等比数列通项公式的正确性。
5. 介绍等比数列的求和公式：引导学生运用通项公式，推导出等比数列前n项和的公式。
6. 课堂练习：布置一些有关等比数列的题目，让学生巩固所学知识。
7. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生反思自己的学习过程，提高学习效果。
8. 课后作业：布置一些有关等比数列的练习题，巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的等比数列案例，让学生更好地理解等比数列的概念和性质。
2. 互动提问：在教学过程中，教师应引导学生积极参与课堂讨论，提问等方式来巩固学生对等比数列的理解。
高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 北师大版必修5-北师大版高二
第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来．2．理解等比数列的性质及应用．(重点) 3．掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)1.通过等比数列性质的研究，培养逻辑推理的数学素养．2．通过学习等比中项的概念．提升数学运算的素养.1．等比数列的单调性阅读教材P23思考交流以下P24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n}，通项公式a n＝a1·q n－1＝a1q·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q＞0时的单调性如下表：a1a1＞0a1＜0 q的X围0＜q＜1q＝1q＞10＜q＜1q＝1q＞1{a n}的单调性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列思考：(1)若等比数列{a n}中，a1＝2，q＝2，则数列{a n}的单调性如何？[提示] 递减数列．(2)等比数列{a n}中，若公比q＜0，则数列{a n}的单调性如何？[提示] 数列{a n}不具有单调性，是摆动数列．2．等比中项阅读教材P25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫作a，b的等比中项．(3)满足关系式：G2＝ab．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a，b存在等比中项，唯一吗？[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12D [由a 5＝a 2q 3，得q 3＝a 5a 2＝142＝18，所以q ＝12，故选D ．]2．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…，则此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列 B [由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N ＋，所以 {a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B ．]3．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值X 围是________．(1，＋∞) [因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1.] 4．4－23与4＋23的等比中项是________． 2或－2 [由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2.]等比中项及应用x,x x x (2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则c a ＋ac的值为________．(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4，当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋a c＝1＋1＝2.]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零． (2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．1．(1)已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a ＋b a 2＋b 2的值是( )A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13(2)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. (1)D (2)4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 [(1)由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13. (2)由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]等比数列的设法与求解【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为b q，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.]灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq .(2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．－25，1，－52 [设这三个数分别为aq，a ，aq ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.]等比数列的性质及应用[探究问题]1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·qn －m.2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .【例3】 (1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. (2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________. 思路探究：利用等比数列的性质求解． (1)128 (2)2·312(3)－(－2)n －1[(1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2，a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128.(2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝128，a 8＝－4，因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2，故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.]1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10. [解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7，当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|. [解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229＝9.等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列． 性质5：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增；⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( ) (3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，则a 2a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．36D ．32C [因为{a n }是等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝36.]3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝_____________. 3 [因为a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，所以q 3＝a 891a 888＝813＝27. 所以q ＝3.]4．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．[解] 在等比数列{a n }中，由a 3a 4a 5＝a 34＝8，得a 4＝2，又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， 所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案第一章：等比数列的定义与性质1.1 等比数列的定义引导学生回顾数列的概念，引入等比数列的定义。
通过示例，让学生理解等比数列的特点，即相邻两项的比值相等。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的通项公式，引导学生理解通项公式的推导过程。
引导学生理解等比数列的求和公式，并通过示例进行解释。
第二章：等比数列的求和2.1 等比数列的前n项和公式引导学生推导等比数列的前n项和公式。
通过示例，让学生理解前n项和公式的应用，并能够熟练运用。
2.2 等比数列的求和性质引导学生探讨等比数列的求和性质，例如：等比数列的求和与项数的关系，等比数列的求和与首项和公比的关系等。
第三章：等比数列的图像与性质3.1 等比数列的图像引导学生绘制等比数列的图像，并理解图像的特点。
引导学生通过图像分析等比数列的性质，例如：增长速度，收敛性等。
3.2 等比数列的性质与应用引导学生探讨等比数列的性质，例如：等比数列的单调性，有界性等。
引导学生运用等比数列的性质解决实际问题，例如：人口增长模型，利息计算等。
第四章：等比数列的扩展4.1 等比数列的推广引导学生思考等比数列的推广，例如：等比数列的变体，广义等比数列等。
引导学生理解广义等比数列的性质与应用。
4.2 等比数列与其他数列的关系引导学生探讨等比数列与其他数列的关系，例如：等差数列与等比数列的关系，斐波那契数列与等比数列的关系等。
第五章：等比数列的综合应用5.1 等比数列在数学中的应用引导学生探讨等比数列在数学中的应用，例如：数论中的等比数列，图论中的等比数列等。
引导学生通过解决数学问题，加深对等比数列的理解。
5.2 等比数列在其他学科中的应用引导学生探讨等比数列在其他学科中的应用，例如：物理学中的等比数列，经济学中的等比数列等。
引导学生通过解决实际问题，理解等比数列的实际意义。
第六章：等比数列的练习题解析6.1 基础练习题解析选取一些基础的等比数列练习题，引导学生运用所学的知识进行解答。
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案
高中数学《等比数列的概念和通项公式》教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的定义及其特点。
2. 引导学生掌握等比数列的通项公式，并能灵活运用通项公式解决相关问题。
3. 培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 等比数列的概念：介绍等比数列的定义，通过实例让学生理解等比数列的特点。
2. 等比数列的通项公式：引导学生推导等比数列的通项公式，并解释其意义。
3. 等比数列的性质：探讨等比数列的性质，如相邻项之比、公比等。
4. 等比数列的求和公式：介绍等比数列的求和公式，并解释其推导过程。
5. 应用：通过例题展示等比数列通项公式的应用，让学生学会解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列的概念、通项公式、求和公式及其应用。
2. 教学难点：等比数列通项公式的推导和求和公式的理解。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究等比数列的性质和公式。
2. 利用多媒体辅助教学，通过动画和图形展示等比数列的特点，增强学生的直观感受。
3. 通过例题和练习题，让学生在实践中掌握等比数列的运用。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，如银行利息计算，引出等比数列的概念。
2. 讲解：详细讲解等比数列的定义、特点和通项公式，引导学生理解并掌握。
3. 互动：学生提问，教师解答，共同探讨等比数列的相关问题。
4. 练习：布置练习题，让学生运用通项公式解决问题，巩固所学知识。
6. 作业：布置作业，让学生进一步巩固等比数列的知识。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问的方式检查学生对等比数列概念和通项公式的理解程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，评估学生运用通项公式解决问题的能力。
3. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对所学知识的掌握情况。
七、教学反思：1. 针对学生的反馈，反思教学过程中的不足之处，如讲解不清、学生理解困难等问题。
2. 针对教学方法的适用性，调整教学策略，以提高教学效果。
等比数列第二课时教案
等比数列第二课时教案教学目标- 了解等比数列的性质和规律- 能够写出等比数列的通项公式- 能够解决与等比数列相关的问题教学内容1. 复- 回顾等差数列的概念和性质2. 引入- 通过例题引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较3. 等比数列的定义- 解释等比数列的定义及表示方式4. 等比数列的性质和规律- 探究等比数列的公比和前一项之间的关系- 探究等比数列的前两项之间的关系5. 等比数列的通项公式- 导出等比数列的通项公式- 练运用通项公式求解问题6. 练与巩固- 给出一些练题，让学生巩固所学知识7. 总结- 总结本节课所学的内容，并与前几节课进行对比教学步骤1. 复：让学生回答几个关于等差数列的问题，巩固已学知识。
2. 引入：通过一个生活中的例子引入等比数列的概念，激发学生的研究兴趣。
3. 介绍等比数列的定义和表示方式，引导学生理解概念。
4. 通过实际例子，引导学生发现等比数列中的公比和前一项之间的关系。
5. 继续通过实例，引导学生发现等比数列中的前两项之间的关系。
6. 使用递推的方式，让学生自己推导出等比数列的通项公式。
7. 练运用通项公式解决与等比数列相关的问题，提高学生的综合应用能力。
8. 设计一些练题，让学生巩固所学的知识。
9. 总结本节课的内容，并与前几节课进行对比，加深学生对等比数列和等差数列的理解。
教学资源- 教材- 课件- 黑板和粉笔- 练题教学评估- 课堂练的完成情况- 学生参与度和积极性- 学生对等比数列概念的理解程度扩展活动可以设计一些拓展活动，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的综合能力。
参考资料- 《初中数学教学大纲》- 《数学教学理论与方法》。
高中数学：2等比数列的性质
桑植县贺龙中学集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：田露时间：年月日“子数列”性质【问题导思】1．将等比数列{a n}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？【提示】是．首项为a k＋1，公比为q.2．取出等比数列{a n}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？【提示】是．首项为a1，公比为q2.3．如果取出数列{a n}中所有k的倍数项呢？【提示】是．首项为a k，公比为q k.对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列为等比数列，首项为a k，公比为q k.“下标和”性质【问题导思】给出以下两个等比数列{a n}：(1)1,2,4,8，…；(2)1，－3,9，－27，….1．在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？【提示】a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.2．在上述每一个数列中，a2·a6，a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5，a2·a4与a3的值呢？【提示】a2·a6＝a3·a5＝a24，a1·a5＝a2·a4＝a23.在公比为q的等比数列{a n}中：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n＝a p·a q＝a2k.等比数列的性质的应用(1)在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10；(2)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1a 2a 3…a 2012＝22012，求a 2·a 2011.【思路探究】 (1)由a 2＝2，a 6＝162，能不能建立关于a 1，q 的方程组解出a 1，q 的值进而求出a 10呢？用等比数列的性质能解决吗？(2)考虑性质若“m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，你能不能得出a 2·a 2 011的值？1．本例(1)的解法很多，其通法是用等比数列基本量的运算，但是这种方法有时会很麻烦，遇到此类问题时应优先考虑结合性质，以化繁为简．2．等比数列的性质中，尤其以“下标和”性质应用最多，最灵活，但使用时一定要区别其与等差数列“下标和”性质的不同，以免混淆致误，比较如下表：等差数列 等比数列条件 m ＋n ＝p ＋q ＝2k结论a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a ka m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k已知正数等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1·a 2·a 3＝8，求a n .有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数．【思路探究】 (1)如何根据已知条件列出方程组求解问题？(2)怎样使列出的方程组求解简单呢？设未知量时有何技巧？巧设等差数列、等比数列的方法1．若三数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d .若三数成等比数列，常设成aq，a ，aq 或a ，aq ，aq 2.2．若四个数成等比数列，可设为aq，a ，aq ，aq 2.若四个正数成等比数列，可设为a q3，aq，aq，aq3.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．等差、等比数列的综合问题已知数列{a n}与等比数列{b n}满足b n＝2a n，n∈N*.(1)判断{a n}是什么数列，并给予证明；(2)若a8＋a13＝12，求b1·b2·…·b20的值．【思路探究】 (1)怎样判断一个数列是等差数列还是等比数列？若{a n}是等差数列，需要证明a n－a n－1为常数，由b n＝2a n你能产生a n的表达式吗？(2)等比数列与等差数列的“下标和”性质是怎样描述的？它在具体题目中应怎样运用？等比数列与等差数列的区别与联系：等差数列等比数列(1)强调每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一.(1)强调每一项与前一项的比；(2)a1与q均(3)等比中项有两个值．(1)都强调每一项与前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定．(1)若{a n}为正项等比数列，则{log a a n}为等差数列；(2){a n}为等差数列，则{ba n}为等比数列.已知等差数列{a n}中a2＝3,4S2＝S4(S n是{a n}的前n项和)，(1)求证：数列{2a n}是等比数列；(2)求使S n＋2>2S n成立的n的集合．方程思想在等比数列中的应用(12分)等比数列{a n}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，求公比q.【思路点拨】用a1，q分别表示a2，a4，a5，解方程组求出q，注意所求值是否需要舍去．将等比数列中的项或前n项和用基本量a1和q来表示得到方程或方程组，然后求解是解决等比问题的基本思想和方法．小结1．在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率．2．对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a1，d的方程组.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等比数列二教案
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q
a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔
n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G
b a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则
G
b a G =，即a ,G ,b 成等比数列。
∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）
[范例讲解]
课本P58例4 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为： n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅
.)
()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究：
对于例4中的等比数列{n a }与{n b }，数列{n n
a b }也一定是等比数列吗？ 探究：设数列{n a }与{n b }的公比分别为12q q 和，令n n n a c b =，则111n n n a c b +++= 1111112()()n n n n n n n n n n
a c
b a b q a
c a b q b +++++∴=== ，所以，数列{n n a b }也一定是等比数列。
课本P53的练习4 已知数列{n a }是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？
（2）2
11(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？
2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q
a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a 221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a 则k p n m a a a a = Ⅲ.课堂练习
课本P53的练习3、5
Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
2、若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅、{n n a b }也是等比数列 Ⅴ.课后作业
课本P53习题2.4A 组的3、5题。