高中数学必修一精讲精练
目 录 第一节 集合 ................................................................................................................................. 2 第一课时：集合的含义与表示 .................................................................................................................................... 2 第二课时：集合间的基本关系和集合的运算 ............................................................................................................ 7
第二节 函数及其表示 ............................................................................................................... 12 第三课时：函数的概念 .............................................................................................................................................. 12 第四课时：函数的表示方法 ...................................................................................................................................... 18
第三节 函数的基本性质 ........................................................................................................... 24 第五课时：函数的单调性 .......................................................................................................................................... 24 第六课时：函数的奇偶性 .......................................................................................................................................... 27
第四节 基本初等函数 ............................................................................................................... 30 第七课时：指数与指数幂的运算 .............................................................................................................................. 30 第八课时：指数函数及其性质 .................................................................................................................................. 34 第九课时：对数与对数的运算 .................................................................................................................................. 40 第十课时：对数函数及其性质 .................................................................................................................................. 44 第十一课时：幂函数 .................................................................................................................................................. 50
第五节 函数的应用 ................................................................................................................... 53 第十二课时：方程的根与函数的零点 ...................................................................................................................... 53 第一节 集合 第一课时：集合的含义与表示 一、课本知识梳理 1. 集合 1.1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。 1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。 1.3集合与元素的表示：通常用__________________表示集合。 通常用__________________表示集合中的元素。 1.4集合中元素的特性：_____________、____________、_____________. 1.5元素与集合的关系： 、 。 1.6常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 1.7集合的表示方法 列举法 把集合中的元素____________出来，并用___________括起来表示集合的方法 描述法 用集合所含元素的______________表示集合的方法 图示法 用平面上_____________________表示集合的方法 1.8集合的分类 1.8.1集合按元素个数分为 、 、 ，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。 1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。 二、课本知识理解 1. 集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容. 2. 集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的. 3. 集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成一个集合. 4. 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题. 5. 元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适合元素与集合，不能用于集合与集合之间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立. 6. 集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点. ① 用列举法表示集合时①元素之间用“，”分隔；②元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可用列举法，例如正整数集；③元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法. ② 用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切. ③ 用图示法表示集合时，①元素个数不宜过多；②可以用于表示集合与集合之间的关系. 三、基础能力自测 1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ） （1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程xx2的所有实数根；（4）中国古代的美女. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________. 3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________. 4.若集合mmA则},,0,1{满足的条件为________________________.为什么？ 5.若集合1},0{2则xxxA________A 6.设集合M={平行四边形}，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p_____M, q______M 7.将集合},42{Zxxx用列举法表示出来是_____________________. 8.不等式183x的解集用描述法表示为_____________________. 9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________. 10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{Axx，则B=_____________________. 11.点的集合M＝}0),{(xyyx是指 （ ） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 12.若集合A＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A中元素的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2020高中数学精讲精练(新人教A版)第01章 集合与简易逻辑
2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=， 可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.{0,2}【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或． 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞． （3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p 和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p⌝时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210-+=的两实根的绝对值相等.x xx x-+=的两实根的符号相同，q：方程210分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x∃∈”的x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()否定是“,()∀∈⌝” .x M p x解：⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（1）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（2）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（3）p（4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________.2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉ 若a b ≤，则221a b ≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤<．充分不必要。
高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1
1.1.1集合的含义与表示精讲部分衔接性知识1. 如果k 是整数，那么21k +表示所有 奇 数；2k 表示所 偶 数。
2. 如果a为实数，则=a,=||a ，当0a≥时，=a，当0a <时，=a-3. 一元一次方程与不等式的解法（1）一元二次方程(0)ax b a =≠的根为bx a=（2）一元二次不等式(0)axb a >≠，当0a >时，它的解为b x a > ； 当0a <时，它的解为bx a<。
4.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解法例：求方程241670x -+=的根（1）公式法当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根2b x a-±=；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根2b x a=-；当240b ac ∆=-<时，方程有没有实数根。
解：2(16)4471440∆=--⨯⨯=>，所以原方程的根为167242x +==⨯，或161242x -==⨯（2）配方法 解：241670x -+=，2744x x ∴-=，29(2)4x -=，322x -=± 所以12x =或72x =（3）因式分解法241670x -+=，(21)(27)0x x --=，210x -=或270x -=，所以12x =或72x =()}x 或例1.已知集合{|31,}M x x k k Z ==+∈，用∈与∉填空：1M ，1M -，25M ，29M -解：令311k+=，得0k Z =∈，所以1M ∈； 令311k +=-，得23k Z =∉，所以1M -∉； 令3125k +=，得8k Z =∈，所以25M ∈； 令3129k+=-，得10k Z =-∈，所以29M -∈例2.用描述法和列举法表示下列集合 （1）4的平方根组成的集合；（2）与它的倒数相等的数组成的集合； （3）不等式260x -+>的自然数根；（4）方程2210x x -+=解集解：（1）描述法表示为2{|4}x R x ∈=或2{|4,}x x x R =∈或2{|4}x x =，列举法表示为{2,2}-（2）描述法表示为1{|}x R x x ∈=或1{|,}x x x R x =∈或1{|}x x x=，列举法表示为{1,1}-（3）描述法表示为{|3,}x x x N <∈或{|3}x N x ∈<，列举法表示为{0,1,2}(4) 描述法表示为2{|210}x x x -+=，列举法表示为{1}例3.用适当的方法表示下列集合 （1）二次函数2(1)4y x =--的函数值组成的集合；（2）函数21y x =+的的自变量的值组成的数集合；（3）一次函数y x =与24y x =-的图象的交点组成的集合。
高中数学课堂教学中精讲和精练的教学策略
文 理 导 航２ ０ １ ７ ０
蕊
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数 学课堂教学 中，精讲与精 练是 辩证统一 的关 系， 精讲是精 练的前提 ， 而精 练是精讲 的巩 固 ， 一 节课教学 最终 还是要 在练习中体现 出现 ， 如果没有在训 练中 成积极 的互动。在新课导入 时 ， 我们可 以采取 以下方法 ： ① 的 目标 ， 直接导入 ， 对于一些 与旧知识关 系不 大 ， 不便 于通 过 旧知识 达到预期 的 目标 ， 那么精讲也是不成功 的。在课 堂教学 中 ， 引入的知识点 ， 我们可 以用“ 开 门见 山” 的直接导入法 ， 立 即 要做到 “ 讲 练结合 ” ， 以教师为 主导 ， 以学生 为主体 ， 充 分调 使课堂充满 生机 与活力 ， 使 学生 吸引起学生的兴趣 。 如在学 习《 二 面角》 时， 我们可以这样导 动学生 的主动性 与积极性 ， 集 中注意力 去思考 ， 从 而提高 入， “ 我们 已经学会 了如何去度量两 条直线的夹角 ，直线 和 抓住课 堂教学 的难点 和重 点 ， 平面的夹角 ， 那如何去度量 两个平 面所成的夹角呢？我们这 课堂 的学习效果 。 节课 学 习——二 面角 与它 的平面角 ” ， 这样 ， 学 生 的注 意力 ２ ． 强调一题多解的解题 思路 就快速集 中到了对新知识 的渴望 和探索 中。② 设疑导人 ， 在 题 多解 ， 就是对 同一个题 目采取多种解题思路 ， 多个 锻炼学生对数学知识 的综合运用能力。在课 堂教 新课导 入前 ，我们 可以故 意设 置一些必须运 用新 知识才能 解题办法 ， 解答 的问题 ， 来引起学生 的兴趣 ， 点燃学生 的求知欲 。如在 学 中， 我们要 充分发 挥教 材中的例题 的功能 ， 从多个角度 去 讲 授“ 余 弦定理 ” 时， 可以提问“ 我们 已经学会 了直角三角形 思考问题。 中的勾股定理 ，那么 ，非直角三角形 的三边关系是怎样 的 高 中数 学 的解题 方法有很 多 ， 包 括 比较 法 、 分析法 、 综 呢？” ， 通过这样具有启发性 的疑问 ， 从而引入本节课 的知识 合法 、 反证 法 、 换 元法 、 图解法 等 ， 在教学 中 ， 我们 首先 要做 点 。除 以上两点外 ， 还可 以使 用趣 味法 、 联系实 际法 、 温故知 好一般解题 办法 的指导 ， 即“ 通 法” ， 先让学生掌握一 种最常 新法 等 ， 总而言之 ， 导入方法 的选择要 合适宜 ， 因教学 内容 规 、 容易理解 的解题思路 ， 先做 到“ 以不变 应万变” 。例如二 而宜 。 次含参 函数 ， 可 以用一元二次方程 的根的分布来解答 ， 直线 ２ ． 重点 内容 ： 突 出 与 圆锥 曲线 的位置 关 系可 以用韦 达定 理与设 而 不求 来解 在上课 之前 ， 教师对所要讲授 的知识 一定要心 中有数 ， 答。在课堂教学 中， 我们要善 于总结 各种“ 通 法” ， 并选择合 围绕教学重点实施教学活动 ， 做 到讲重点 ， 讲难点 ， 讲方 法 ， 适的题 目来 安排学生解决。同时 ， 我们还要 注意“ 通法” 在不 增强学 生的解题灵活性。 讲思路 。心理学研究证实 ， 在一节课 上 ， 学生 思维的最佳 时 同题 目中的运用策略 ， 间是上课 ５分钟 ～ 加 分钟 ， 因此 ， 我们讲 课的重点 ， 也要放在 ３ ． 学会一题 多变的发散思维 这２ ０分钟 内 ，保证在学 生的最佳 思维 时间 内解 决教学 重 题多变 ， 就是把一个 题 目变成与原题不 同 ， 但解法 相 点， 解决关键 问题 。重点 ， 即在整个教材体系中 ， 或本节课要 近的类 型 ， 以此来深 化学生掌握 的知识 ， 扩大 视野 ， 增 强解 讲授 的内容 中占有重 要地位 的内容。对于重点的判 断 ， 可以 题 能力 。一 题多变的讲解 ， 核心在于让学 生抓住本质 ， 从而 从 以下 几个 方面来评价 ：①该 知识点是不是教材有关 部分 各个击 破。一题多变的讲 解 ， 笔者 总结 了以下思路 ： ①首先 的核心 ？ ②该知识点是不是学习其他知识点 的基础？ ③该知 要重视课本 题 目， 从近几年全 国各地 的数学高考题 目来 看 ， 识点的运用是否广泛？明确了重点 知识 以后 ， 我们就可以突 有不少高考题 目是课本题 目的变形 ，课本 中也 有很多 习题 出重点 ， 按照 循序渐进 、 科学性 、 系统性 等原则 ， 进 行精讲 。 是具有典 型性 、 代表性 和可塑性 的 ， 把这些 题 目研 究透 彻 ， ①循序渐进 ，由浅入深 。函数及其三要素是 高 中数学 的重 能有效发 挥课本潜力 ， 提 高学习效果 ； ② 其次 ， 高 中数学 练 点， 在课 堂教 学中 ， 我们可 以先复 习学 生初 中就接触过 的函 习不是简单 的重复 ， 而是要创造 性的把知识 、 方法在更高 的 数定义 ， 然后逐渐过渡到新 知识 点的学习上 ， 循序渐进 的突 层次和情境 中渗透 ， 实现对知识 的再认识 与升华 ， 在实 际教 出重点 ； ②数形结 合 ， 在高 中数学 中 ， 数与形有 时是 分开的 ， 学中， 我们可 以把一些典型的题 目进行变化 和延伸 ， 从 而提 有时又是结合在一起 的 ， 数形结合也是高考 的重点 之一 ， 很 高学生思维能力。 多知识点如 函数三要素 、几何 图形等都是可 以运用数形 结 结语 ． 合 的方式来讲解 的。在实 际教学 中 ， 为突 出教 学重点 ， �
2025届新高考数学一轮复习精讲精练：利用洛必达法则解决导数问题
f x gx
l
，
那么
lim
x
f g
x x
lim
x
f x gx
l
.
4、定理
3（
型）：若函数
f
(x)
和
g(x) 满足下列条件：(1)
lim f x 及 lim g x ；
xa
xa
(2)在点 a 的去心邻域 a ,a a,a 内， f (x) 与 g(x) 可导且 g(x) 0 ；
sin x
lim
x0
x
lim cos x x0 1
1，按此方法则有
lim
x0
e
x e sin x
x
．
【答案】 2
【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入 x 0 即可求得该极限值.
【详解】由题意可得： lim ex ex lim ex ex lim ex + ex 2 ．
1
x 2x
1 1
2 3
.
故选：B.
3．（23-24 高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于 0 的分式结构称为 0 0
型，比如：当 x 0 时， ex 1 的极限即为 0 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能
x
0
不存在，为此，洛必达在 1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求
x0 x
x0
所以
lim
n
f
t 2n
tan lim
n
t 2n
sin2 t 3
t 2n
2n
lim
n
sin3
t 2n
t 2n
3
人教A版高中必修1数学必做试题100题
人教A版高中必修1数学必做试题100题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢时量：120分钟班级：姓名：计分：（说明：《必修1》共精选13题，每题12分，“◎”为教材精选，“☆”为《精讲精练.必修1》精选）.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合；（2）与的图象的交点集合.2.已知集合，，求,,,.（◎P1410）3.设全集，，.求，，，.由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.（◎P12例8改编）4.设集合，.（◎P14B4改编）（1）求，；（2）若，求实数a的值；（3）若，则的真子集共有个,集合P 满足条件，写出所有可能的P.5.已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证在上递减.6.已知函数，求、、的值.（◎P49B4）7.已知函数其中．（◎P844）（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.8.对于函数.（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数.（◎P91B3）9.（1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.（☆P408）x21f（2）已知二次方程的两个根分别属于和,求的取值范围.（☆P409）10.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？（☆P49例1）11.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（参考数据：）（☆P449）12.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、万件、万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品产量为万件，请问用上述哪个函数模拟较好？说明理由.（☆P51例2）3.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式,并画出函数的图象.（◎P126B2）各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
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2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)【题组一 直线与圆的位置关系】1．(2021·江西南昌市)直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．(2021·全国)直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．(2021·白银市第十中学)直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．(2021·北京高二期末)已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．(2021·北京高二期末)直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是( ) A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．(2021·全国高二课时练习)若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =( ) A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．(2021·浙江高二期末)已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．(2021·浙江高二期末)直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．(2021·全国)(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．(2021·全国)(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则( )A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。
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3.1.1 椭圆及其标准方程(精练)【题组一 椭圆的定义】1．(2020·北京五十五中高二月考)若椭圆22110036x y +=上一点P 到其焦点1F 的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为A ．4B ．194C ．94D ．142．(2021·江西新余四中高三其他模拟(文))椭圆22137x y +=上一点到两个焦点的距离之和为( )A ．B ．4C ．D ． 3．(2021·四川川大附中高二月考)椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于( )A ．2B ．4C ．8D ．324．(2021·陕西高二期末(文))已知椭圆221716x y +=的上下焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，则12PF PF ⋅的最大值是( )A ．9B ．16C ．25D ．275．(2021·广西南宁二中高二期中(理))在椭圆22143x y +=内有一点()1,1P -，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使MP MF +的值最大，则这一最大值是A ．4B ．4C ．4D ．46．(2021·六安市裕安区新安中学高二期末(理))命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135x y m m +=--表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【题组二 椭圆定义的应用】1．(2021·广西田东中学高二期末(理))设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为( )A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，122．(2021·四川高二期中(文))已知12,F F 分别是椭圆22143x y +=的焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，则2ABF ∆的周长是A ．B ．4C ．6D ．83．(2021·广东高二期末)记ABC 的面积为S ，若10AC BC +=，6AB =，则S 的最大值为( )A ．4B ．6C ．12D ．244．(2021·四川省乐山沫若中学高二开学考试(理))已知12,F F 为椭圆22:1369x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，213PF PF =，则12cos F PF ∠等于( )A ．34B ．13-C ．35D ．455．(2021·宾县第一中学校高二月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 顶点()2,0A -和()2,0C ，顶点B 在椭圆22173x y +=上，则sin sin sin A C B += ( )A B C ．2 D ．126．(2020·浙江高二期中)已知点F 为椭圆221:+184x y C =的右焦点，点P 为椭圆1C 与圆()222:218C x y ++=的一个交点，则PF =( )A ．1BC ．2D ．7．(2021·山东宁阳县一中高二期中)已知点M ，直线(y k x =与2214x y +=椭圆相交于A B 、两点，则ABM ∆的周长为( )A ．2B ．8C ．12D ．168．(2021·卓尼县第一中学高二期末(理))已知ABC ∆的顶点A 是椭圆2213x y +=的一个焦点，顶点B 、C 在椭圆上，且BC 经过椭圆的另一个焦点，则ABC 的周长为( )A ．B ．6C ．D ．12【题组三 椭圆的标准方程】1．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试(文))“m >n >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2021·上海高二期中)对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2021·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二开学考试(文))求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)4a =，c y 轴上；(2)与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2(3)经过(2,(A B 两点4．(2021·全国高二课时练习)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，4a =，3b =；(2)焦点在x 轴上，经过点(，⎝(3)焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-．5．(2021·定远县育才学校高二月考(文))求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点(，且与椭圆221259x y +=有共同的焦点．(2)以坐标轴为对称轴，并且经过两点()0,2A ，12B ⎛ ⎝；【题组四 轨迹方程】1．(【新东方】高中数学20210323-005【高二下】)10等价的方程是( )A ．221259x y += B ．221259y x += C ．2212516x y+= D ．2212516y x +=2．(2021·安徽高二期末(文))设(,)P x y 8，则点P 的轨迹方程为( )A ．22+1164x y = B ．22+1416x y = C ．22148x y -= D ．22184x y -= 3．(2021·元氏县第四中学高二期末)已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，﹣4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是( )A ．2213620x y +=(x ≠0) B ．2212036x y +=(x ≠0) C ．221620x y +=(x ≠0) D ．221206x y +=(x ≠0)4．(专题2.1圆锥曲线-2020-2021学年高二数学课时同步练(苏教版选修2-1))已知A 、B 为坐标平面上的两个定点，且|AB |＝2，动点P 到A 、B 两点距离之和为常数2，则点P 的轨迹是____．5．(2021·全国高三月考(理))在复平面内，复数z 满足：||||6z z -++=，则复数z 对应的点的轨迹方程是__________．6．(2021·安徽六安一中高二开学考试(理))一动圆过定点(2,0)A ，且与定圆22:4320B x x y ++-=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是_____________．。
人教版高一数学A必修1全册例题讲解及练习题(65页)
（i）若 a = 0 时，得 N = Æ ，此时， N Í M ；
（ii）若 a ¹ 0 时，得 N
1 ={ }.
若N
ÍM
,满足 1
= 2或 1
= -3 ，解得 a =
1 或a = - 1 .
a
a
a
2
3
故所求实数 a 的值为 0 或 1 或 - 1 . 23
点评：在考察“ A Í B ”这一关系时，不要忘记“ Æ ” ，因为 A = Æ 时存在 A Í B . 从而需要分情况讨
第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）
《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲
第一章 集合与函数概念
第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示
¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.
A ¹Ì B（或 B ¹É A）.
4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作 Æ ，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质： A Í A ；若 A Í B ， B Í C ，则 A Í C ；
若 A I B = A ，则 A Í B ；若 A U B = A ，则 B Í A .
={x |
x
=
2n +1,n 2
Î Z} ，易知
B ¹Ì
A，故答案选
A．
{ } 【例 3】若集合 M = x | x2 + x - 6 = 0 , N = {x | ax - 1 = 0} ，且 N Í M ，求实数 a 的值.
高考数学复习精讲精练及测试专题 三角函数[附答案]
专题内容概要三角函数是高中数学的重要内容之一，跨学科应用是它的鲜明特点．在解答复数、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用工具，更是物理学科的基本工具．因此三角函数是历年高考命题必然要涉及的热点内容之一．从1996年～20XX年全国高考理科三角试题的题型、题量和分值的统计表中，我们可以看出：①三角试题的分值在10～28分之间，平均21.5分；②分值虽然有较大波动，且似有下降趋势，1999、2000年分值均接近平均值，但20XX年仅占10分．估计20XX年高考试卷中三角试题的分值仍然会控制在215分上下.从1998年开始，高考中对三角函数的和差化积与积化和差公式不要求记忆．特别当高考命题从知识立意转向能力立意以后，设计以复数、立体几何、解析几何等形式出现，而化归为三角函数问题解答的试题，成为考查跨学科应用能力的主渠道之一（如1999年理科第（6）题和第（20）题，文科第（21）题）．而增大问题情景的抽象性与综合性，以提高对考生能力的考查力度，是命题的另一个显明趋势.故而在首轮复习的基础上，本专题要进一步深化复习：①三角函数的性质与图象；②三角恒等变换；③解三角形的综合问题．复习中应注重强化以下三个能力：①灵活运用三角函数的性质和图象解答三角问题（主要是选择、填空题）的能力；②对三角函数式熟练进行恒等变形的能力以及对三角函数图象熟练进行平移和伸缩变换的能力；③把三角问题、复数、解析几何、立体几何等问题转化为三角恒等变形问题的能力．§1三角函数的性质与图象一、复习要点三角函数的性质（包括三角公式）与图象是解答三角函数问题的知识基础；借助三角函数的图象来理解、掌握、运用三角函数的基本性质，是常用的复习方法．三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、值域性质、关系性质（包括相等关系与不等关系）的判定与应用，是本节复习的重点；掌握好图形变换中，三角函数的图象、表达式及其性质的对应变化规律（要求能把这种规律迁移到一般函数理论中），是本节复习的又一重点，也是难点．二、例题讲解例1（1）如果α，β∈（（π／2），π），且ｔｇα＜ｃｔｇβ，那么必有（）．Ａ．α＜βＢ．β＜αＣ．α＋β＜（3／2）πＤ．α＋β＞（3／2）π（1992年高考文科试题）（2）满足ａｒｃｃｏｓ（1－ｘ）≥ａｒｃｃｏｓｘ的取值范围是（）．Ａ．［－1，－（1／2）］Ｂ．［－（1／2），0］Ｃ．［0，（1／2）］Ｄ．［（1／22），1］（1997年高考理科试题）（3）已知点P （ｓｉｎα－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限，则在［0，2π）内α的取值范围是________. （1998年高考题）讲解：（1）本题要用已知的正切函数ｔｇα与余切函数ｃｔｇβ的大小关系，来推断角α与β的大小关系，回忆与这个问题紧密相关的基础知识与方法，若想到函数的单调性和利用单位圆作直观分析的方法，可理出如下推断方法：图3-1在单位圆的第二象限中，让角α、β沿逆时针方向旋转，则看到：ｔｇα从－∞开始单调递增到0，而ｃｔｇβ从0开始单调递减向－∞；若α与β重合在第二象限的角平分线上，则ｔｇα＝ｃｔｇβ＝－1．立知当α与β在第二象限的上半象限中任意变化，即α，β∈（（π／2），（3π／4））时，总有ｔｇα＜ｃｔｇβ；而α，β∈（（3π／4），π）时，总有ｔｇα＞ｃｔｇβ．从而由α，β∈（（π／2），π），ｔｇα＜ｃｔｇβ，推出π＜α＋β＜（3π／2）．选C ． 若想用解不等式的方法作推断，并在变形中巧用正切倍角公式，又得如下解法： ∵ α，β∈（（π／2），π），tg α＜ctg βｔｇα＜（1／ｔｇβ）ｔｇαｔｇβ＞11－ｔｇαｔｇβ＜0（tg α＋tg β）／tg （α＋β））＜0，∴ ｔｇα＜ｃｔｇβ（ｔｇα＋ｔｇβ）／ｔｇ（α＋β））＜0．∵ ｔｇα＋ｔｇβ＜0，∴ ｔｇ（α＋β）＞0，并推得π＜α＋β＜（3π／2）． 故选C ．若考虑函数的单调性，由ｔｇα＜ｃｔｇβ，得ｔｇα＜ｔｇ（（3／2）π－β）． ∵ α，β∈（（π／2），π），∴ （3／2）π－β∈（（π／2），π）．又ｙ＝ｔｇｘ在（（π／2），π）上是增函数， ∴ α＜（3／2）π－β，故选Ｃ． 此题还可以用极限思想做推断：当（π／2）＜α＜π，（π／2）＜β＜π，且α→（π／2），β→（π／2）时，有tg α→－∞，ctg β→0．∴总有tg α＜ctg β成立．可见A 、B 、D 均不成立，故选C ．（2）本题是关于反余弦函数的简单不等式解集的判定问题．若想利用反余弦函数的图象来分析判定，则先想出或画出草图．由图可知，反余弦函数在定义域［－1，1］上单调递减，所以原不等式等价于1－ｘ≤ｘｘ≥（1／2）（1／2）≤ｘ≤1．－1≤ｘ≤1， 0≤ｘ≤1－1≤1－ｘ≤1故而选Ｄ．图3-2若能注意到，在ｘ轴上x 与1-x 两点关于（1／2）点对称，则由图象立即看出x 的取值范围是（1／2）≤ｘ≤1．若想利用特殊值法判定，则取ｘ＝－（1／2），可排除Ａ、Ｂ；取ｘ＝0，可排除Ｃ．（3）本题的条件是几何型的，而目标却是求变量α的取值范围，所以解答此题，应首先将几何型条件等价转化为不等式或不等式组，然后分析求解得出答案．现分析解答如下． 点P （sin α－ｃｏｓα，ｔｇα）在第一象限ｓｉｎα－ｃｏｓα＞0，ｓｉｎα＞ｃｏｓα， ① ｔｇα＞0 ｔｇα＞0． ②在单位圆中分析易知：满足不等式①的α为第一、三象限角平分线左上方半圆中的角；满足不等式②的α角为第一或第三象限中的角．图3-3故取以上两个α的变化范围所对应的集合与区间［0，2π）的交集，即得α的取值范围是（（π／4），（π／2））∪（π，（5π／4））．例2 把函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）（其中φ为锐角）的图象至少向右平移（π／8）或至少向左平移（3π／8），可使对应的函数成为奇函数．则函数ｙ＝ｓｉｎ（ωｘ＋φ）的一条对称轴为（ ）． Ａ．ｘ＝（π／2） Ｂ．ｘ＝（π／4） Ｃ．ｘ＝－（π／8） Ｄ．ｘ＝（5π／8）讲解：从题目的条件可以发现这样两个信息：第一，此函数的周期为π；第二，平移后函数图象过原点．由前者得ω＝2；图象向右平移（π／8）后对应的函数解析式为ｙ＝ｓｉｎ［2（ｘ－（π／8））＋φ］，由其过原点知ｓｉｎ（φ－（π／4））＝0，又φ为锐角，∴ φ＝（π／4）．至此可得原函数为ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））．再根据此类函数图象的性质：与平衡位置的交点为对称中心，过顶点作x 轴的垂线即为对称轴．经检验当ｘ＝（5π／8）时此函数取最小值，故应选Ｄ． 例3 （1）若函数ｙ＝（1＋ａｓｉｎｘ／2－ｓｉｎｘ）的值域为［0，2］，则ａ的值为_____． （2）设直线ｘｃｏｓθ＋ｙｓｉｎθ－1＝0?（0＜θ＜（π／2））．①求此直线的倾角φ；②求ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ的值域．讲解：（1）对于此类结构式，一定是用ｓｉｎｘ的范围来确定ｙ的范围，途径有两条：一是化部分分式，将变元集中于分母（请独立思考）；二是将ｓｉｎｘ分离出来，用ｓｉｎｘ来反控ｙ的范围：ｓｉｎｘ＝（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ），∴｜（2ｙ－1）／（ａ＋ｙ）｜≤1，平方并化简，得3ｙ２－2（ａ＋2）ｙ＋1－ａ２≤0．由条件知此不等式的解为［0，2］，由韦达定理得ａ＝1．（2）①由题意知ｔｇφ＝－（ｃｏｓθ／ｓｉｎθ）＝－ｃｔｇθ＝ｔｇ（（π／2）＋θ），∵0＜θ＜（π／2），∴φ＝（π／2）＋θ．②∵ｆ（φ）＝（ｓｉｎ２2φ／ｃｏｓ3φ－ｃｏｓφ）＋ｓｉｎφ＝（ｓｉｎ２2φ／－2ｓｉｎ2φｓｉｎφ）＋ｓｉｎφ＝（－ｓｉｎ2φ／2ｓｉｎφ）＋sinφ＝ｓｉｎφ－ｃｏｓφ＝2ｓｉｎ（φ－（π／6））＝2ｓｉｎ（θ＋（π／3）），而θ＋（π／3）∈（（π／3），（5π／6）），∴ｆ（φ）∈（1，2］．例4 在△ＡＢＣ中，Ａ、Ｂ、Ｃ为其三个内角，设ｙ＝2＋ｃｏｓＣｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ2Ｃ．（1）若任意交换Ａ、Ｂ、Ｃ的位置，ｙ的值是否发生变化?证明之；（2）求ｙ的最大值．讲解：（1）ｙ的值是否变化取决于其表达式是否为轮换对称式，为此注意到为使Ａ、Ｂ对称，可将ｃｏｓＣ换为－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）：ｙ＝2－ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）－ｃｏｓ２Ｃ＝2－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ）－（1＋ｃｏｓ2Ｃ／2）＝（3／2）－（1／2）（ｃｏｓ2Ａ＋ｃｏｓ2Ｂ＋ｃｏｓ2Ｃ），故y的值不发生变化．（2）由于变量较多，故应考虑减少变元．方法之一是研究这些变量之间的内在关系，之二是选取主元．对前者，由于三角形的任意性，不易达到目的，对后者较明显的是以C为主元．这时又有两种思维角度：若运用函数思想，将ｙ视为ｃｏｓＣ的二次函数，用配方法ｙ＝－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＋2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）．当－［ｃｏｓＣ－（ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2）］２＝0且ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）＝1同时成立时ｙ取得最大值．这时有Ａ＝Ｂ且Ｃ＝（π／3），即△ＡＢＣ为正三角形时ｙ取最大值（9／4）．若运用方程思想，将原式变形为ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）ｃｏｓＣ＋ｙ－2＝0，视此式为关于ｃｏｓＣ的一元二次方程，则Δ＝ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）－4ｙ＋8≥0，即ｙ≤2＋（ｃｏｓ２（Ａ－Ｂ）／4）≤（9／4），取等号的条件与上面相同．从本题可以看出，要善于运用数学的观点、思想、方法分析和思考问题，这是提高解题能力的有效途径．三、专题训练1．函数ｙ＝9－8ｃｏｓｘ－2ｓｉｎ２ｘ的最大值是（）．Ａ．17Ｂ．－1Ｃ．1Ｄ．32．若f（x）·ｓｉｎｘ是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（）.A．ｓｉｎｘＢ．ｃｏｓｘＣ．ｓｉｎ2ｘＤ．ｃｏｓ2x3．若ｓｉｎα＞ｔｇα＞ｃｔｇα（-（π／2）＜α＜（π／2）），则α∈（）.A．（-（π／2），-（π／4））B．（-（π／4），0）C．（0，（π／4））D．（（π／4），（π／2））4．设y=f（x）的定义域为［－1，1］，其反函数y=f－１（x）的图象如图3－4．对于f（x）解析式的判定有如下四种：①f（x）=arcsinx;②f（x）=arcsinx+（π／2）;③f（x）=arccos（-x）；④f（x）=π-arccosx.其中错误判定的个数是（）.图3－4A．0B．1C．2D．35．把函数ｙ＝2ｓｉｎ（（1／2）ｘ＋（π／6））的图象向ｙ轴均匀压缩，使图象上所有点的横坐标缩短到原来的（1／3）．则图象所对应函数的最小正周期变为________．6．当ｘ∈（π，（3／2）π）时，ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝________．7．已知点P（sinx，cosx），角θ以OP为终边，且为第二象限角，那么函数y=tgx+tgθ的值域是________.8．设α为锐角，试比较ｓｉｎ2α与ｓｉｎ（α＋（π／4））的大小．9．已知θ∈（0，2π），且ｓｉｎθｃｏｓ2θ＞0，求θ的取值范围．10．设0≤θ≤（π／2），ｆ（θ）＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ，ｇ（θ）＝ｃｏｓθ－ｓｉｎθ．（1）当θ为何值时，ｆ（θ）有最大值?（2）若ｇ（θ）＝－（8／5），求ｆ（θ）、ｓｉｎθ的值．§ 2 三角恒等变换一、复习要点三角函数式的恒等变换是解答三角函数问题的方法基础．所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．同一式子的不同形状，可以暴露式子的不同整体性质，我们对式子作恒等变换的目的，就是要把我们所需的整体性质显现出来．对式子的一次变形常常不能得到所需形状，须经过数次变形转化，才能达到目的．如何选择变形起步点?如何一步一步把给定式子转化为所需形状?通过对例题及训练题的分析，总结归纳出思维规律来，这是本节复习的重难点；本节复习的另一重点是，如何把一个三角函数问题化归为三角式的恒等变形问题．三角式的化简、求值问题，是训练三角恒等变换的基本题型．求三角函数的最小正周期、求三角函数最值、证明三角恒等式、解证三角方程或三角不等式问题，一般都要借助三角恒等变换而完成．联想三角公式与基本题型，并把二者与方程、不等式观点综合运用，这是运用三角恒等变换解答三角函数问题的思维关键．例1 （1）函数ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋2ｃｏｓ２ｘ的最小正周期是（）；Ａ．（π／2）Ｂ．πＣ．2πＤ．4π（2）函数y=2sinxsin2x的最大值是（）；A．（64／27）B．（8／9）C．2D．（／2）（3）若（1／cosθ）-（1／sinθ）=1，则sin2θ的值等于_________.讲解：（1）本题是判定一个较复杂三角函数的最小正周期问题．联想与此问题有关的基础知识与方法，想起我们会求角为ωｘ＋φ的基本三角函数的最小正周期，自然产生这样一个解题念头：希望运用三角公式和概念把原函数式变形为ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）＋Ｂ（或ｙ＝Ａ·ｃｏｓ（ωｘ＋φ）＋Ｂ）的形式，然后用熟知方法求出最小正周期．在这一思路指导下，着重观察已知三角函数式的结构特点，朝着既定目标方向，发现用倍角公式与和角公式能完成变形工作，得解法如下：ｙ＝2ｓｉｎｘｃｏｓｘ+2ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ2ｘ＋ｃｏｓ2ｘ＋1＝2ｓｉｎ（2ｘ＋（π／6））＋1，∴Ｔ＝（2π／2）＝π，故选B．（2）本题是一道无附加条件的最值问题.回忆求三角函数最值的基本模型方法，想到用三角恒等变换向基本模型转化，但转化方向一下看不透，应在变形过程中逐步明朗化．首先想到应用倍角公式，把原式化为y=4sin２xcosx，接着思考第二步变形．想法一：希望把原式化为y=Asin（ωx+φ）＋Ｂ的形式；想法二：希望把原式化为二次函数模型．这两种转化思维均受阻以后，应重新深入分析y=4sin２xcosx的结构特点，从中找出转化的新出路．注意到y的最大值应在cosx＞0时取得，因此：①y=4sin２xcosx可视为正变量的乘积，所以y与y２＝16sin４xcos２x同时取得最大值；②由y２的表达形式与sin２x+cos２x=1，联想到均值不等式，产生出想用均值不等式实施转化的思维方向——设法把式子变形为能用均值不等式求最值的形式．构思后，可得如下解法：当cosx＞0时，当且仅当sin２x=2cos２x，即cos２x=（1／3）时，等号成立．故选B．（3）这是一道填空题.条件为：sinθ与cosθ满足的一个方程式；目标为：求sin2θ的值．由目标首先联想到正弦倍角公式，得sin2θ＝2ｓｉｎθ·cosθ，看到了目标与条件的内在联系，萌发出解题的方程观点，想到由方程组（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1，求出sin2θ.ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝1，细思考感觉，先求出sinθ与cosθ的方法比较繁，暂不采取．转而思考：能否对条件中的方程式实施三角恒等变换，产生出关于sin2θ的方程而求得其值．朝着这一既定方向，运用三角恒等变换和解方程的方法，便可获得如下两种解法：解法1（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1（（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ））２＝11／ｃｏｓ２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＋（1／ｓｉｎ２θ）＝1（1／ｓｉｎ２θcos２θ）－（2／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1，即（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）２－2（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）－1＝0．解得（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1±．又由|ｓｉｎθｃｏｓθ|≤1｜（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）｜≥1，（1／ｓｉｎθｃｏｓθ）＝1＋，∴ｓｉｎθｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2（－1）．解法2（1／ｃｏｓθ）－（1／ｓｉｎθ）＝1ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝sinθｃｏｓθ1－2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝1－2ｓｉｎθｃｏｓθ＝（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）２，即（sinθ－ｃｏｓθ）２＋2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）－1＝0．解得sinθ－ｃｏｓθ＝－1±．又因｜ｓｉｎθ－ｃｏｓθ｜＝｜ｓｉｎθｃｏｓθ｜≤1，ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－1．故ｓｉｎ2θ＝2ｓｉｎθｃｏｓθ＝2（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）＝2（－1）．例2 （1）计算ctg10°－4ｃｏｓ10°的值;（2）化简ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ·ｃｏｓ（α＋β）．讲解：（1）本题是具体角的两个基本三角函数求差，形状虽简单，但两项角度均非特殊角，其倍、半角也非特殊角，也不能分拆为含特殊角的和或差，所以既无法分别求得其值，又不能用拆分角的方法，通过展开、抵消、合并得出结果．这种情况下，一个有效的策略思想是，先设法将两项分散的信息聚笼贯通，希望从中能看到“某种整体特殊性”或“内在联系”，在这一思想下，想到从“切化弦”并通分入手，得ｃｔｇ10°－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－4ｃｏｓ10°ｓｉｎ10°／ｓｉｎ10°）．分子中第二项能用倍角公式将角扩大，出现一新角，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°／ｓｉｎ10°）．思路1．经观察可见，分子中两项的角度之和恰为特殊角30°，且分母的角度与分子中第一项的角度均为10°，由这种关系想到拆角法：20°＝30°－10°，得（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°）／ｓｉｎ10°）＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°．至此求解思路已贯通．整理以上分析，得出解答如下：原式＝（ｃｏｓ10°／ｓｉｎ10°）－4ｃｏｓ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ（30°－10°））／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ10°－2［（1／2）ｃｏｓ10°－（／2）ｓｉｎ10°］／ｓｉｎ10°）＝．思路2．注意到分式化简的基本思想是对分子、分母因式分解，再行约分，而ｃｏｓ10°与2ｓｉｎ20°的系数不同，不便于化积，加之化为同名（ｓｉｎ80°与ｓｉｎ20°）后两角之差的一半为30°，想到拆项处理：（ｃｏｓ10°－2ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｓｉｎ80°－ｓｉｎ20°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（2ｃｏｓ50°ｓｉｎ30°－ｓｉｎ20°）／ｓｉｎ10°＝（ｃｏｓ50°－ｃｏｓ70°）／ｓｉｎ10°）＝（2ｓｉｎ60°ｓｉｎ10°）／ｓｉｎ10°＝．（2）这是一道二元三角多项式的化简问题．从式子各项中含基本三角函数的名称、幂次、角度及其组合关系看式子的结构特点：第三项比前两项角度复杂，组合关系复杂，而前两项为单角正弦的平方，幂次具有特殊性．由此可以产生出如下三个变形方向：①从分解较复杂的第三项入手，先把和角的三角函数化为单角的三角函数，从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；②从分解较复杂的第三项入手，先把单角化为和差角，并从角度和幂次方面把第三项向前两项靠拢；③从前两项幂次的特殊性入手，先降幂，再从角度方面向第三项靠拢．若选定第一方向，则先用和角公式展开第三因子，得ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ－2ｓｉｎ２αｓｉｎ２β．看到第四项与前两项已经相通，拆开第四项与前两项分别合并，得ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ２αｃｏｓ２β＋ｓｉｎ２βｃｏｓ２α＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ．仔细观察发现：式子整体已呈现出两数和的平方展开式的形状，即式子的各部分用两数和的平方公式能贯通为一个整体：（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２．再用正弦和角公式，立得化简出结果：ｓｉｎ２（α＋β）．整理以上变形过程，得出解法一如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋2ｓｉｎαｓｉｎβ［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝ｓｉｎ２α（1－ｓｉｎ２β）＋ｓｉｎ２β（1－ｓｉｎ２α）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝ｓｉｎ2αｃｏｓ2β＋ｃｏｓ2αｓｉｎ2β＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝（ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ）２＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第二变形方向，并在变形中运用积化和差公式，可得解法二如下：原式＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋［ｃｏｓ（α－β）－ｃｏｓ（α＋β）］·ｃｏｓ（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｃｏｓ（α－β）ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋（1／2）（1－2ｓｉｎ２α＋1－ｓｉｎ２β）－ｃｏｓ２（α＋β）＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．若选定第三变形方向，并在变形中运用和差化积公式，可得解法三如下：原式＝1－（1／2）（ｃｏｓ2α＋ｃｏｓ2β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）＋2ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓ（α＋β）＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓ（α－β）－2ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ（α＋β）［ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ］＝1－ｃｏｓ２（α＋β）＝ｓｉｎ２（α＋β）．例3（1）求（1＋ｔｇ7°＋ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°／1－ｔｇ7°－ｔｇ8°－ｔｇ7°ｔｇ8°）的值；（2）若ｔｇθ、ｃｔｇθ是方程2ｘ２－2ｋｘ＝3－ｋ２的两个实根，且π＜θ＜（5π／4），求ｃｏｓθ－ｓｉｎθ的值．讲解：（1）从表达式中含有ｔｇ7°＋ｔｇ8°和ｔｇ7°ｔｇ8°能想到什么呢?在ｔｇ（7°＋8°）的展式中将会出现这样的式子!于是想到思路：ｔｇ15°＝（ｔｇ7°＋ｔｇ8°）／（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）．故原式＝[（1＋ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°]／[[1－ｔｇ15°（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）－ｔｇ7°ｔｇ8°）]＝[（1＋ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°）]／（1－ｔｇ15°）（1－ｔｇ7°ｔｇ8°））＝（1＋ｔｇ15°）／（1－ｔｇ15°）＝ｔｇ（45°＋15°）＝．本题中运用的结构联想的思维方法在数学解题中是十分重要的．（2）由这样的条件想到韦达定理是很自然的：ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝ｋ，ｔｇθ·ｃｔｇθ＝（1／2）（ｋ２－3）＝1，ｋ２＝5，ｋ＝±．对吗?注意θ的范围！由此应有ｋ＝．由于ｋ的确定，不难求出ｔｇθ＝（－1）／2（也要注意由θ的范围，0＜ｔｇθ＜1），∴（ｃｏｓθ－ｓｉｎθ）２＝1－ｓｉｎ2θ＝1－（2ｔｇθ／1＋ｔｇ２θ）＝（1／5）（5－2）．又∵ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ，∴ｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝－．（本题也可由ｔｇθ＋ｃｔｇθ＝后直接变形得ｓｉｎθｃｏｓθ＝（1／）代入上式）例4设ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝0，Ａｓｉｎ2ｘ＋Ｂｃｏｓ2ｘ＝Ｃ（ａ，ｂ不同时为0）．证明：2Ａａｂ＋（ｂ２－ａ２）Ｂ＋（ａ２＋ｂ２）Ｃ＝0．讲解：本题要证明的是一个条件等式，其条件可看成关于ｘ的两个三角方程组成的方程组．可由前式解出ｘ再代入后式得出求证不等式．但ｘ不是特殊角，这样做计算量大，不可取．若由前式分别求出ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ再代入后式也可以，但求ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ时涉及到符号问题，这样处理也很麻烦．运用思维模块对ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ进行变形：ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝（（ａ／）ｓｉｎｘ＋（ｂ／）ｃｏｓｘ）．令ｓｉｎｙ＝－（ｂ／），ｃｏｓｙ＝（ａ／），则ｓｉｎ（ｘ－ｙ）＝0，由此得ｘ＝ｙ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），并求出ｃｏｓ2ｘ和ｓｉｎ2ｘ的值（ｃｏｓ2ｘ＝ｃｏｓ2（ｙ＋ｋπ）＝ｃｏｓ2ｙ＝2ｃｏｓ２ｙ－1＝…）代入后式即可得求证的结论．如果联想到ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ与ｔｇｘ的关系，可由前式求得ｔｇｘ＝（ｂ／ａ）（ａ＝0时另证），用万能公式求得ｓｉｎ2ｘ、ｃｏｓ2ｘ后代入后式也可得证．三、专题训练1．已知ｃｏｓ78°约等于0．20，那么ｓｉｎ66°约等于（）．A．0．92B．0．85C．0．88D．0．952．复数z=ｃｏｓ2＋i的模为（）．A．-cos2B．-cos2C．cos2D．cos23．函数ｙ＝｜ｓｉｎｘ｜＋｜ｃｏｓｘ｜的最小正周期是（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．设（1－ｔｇα）／（1＋ｔｇα）＝3－2，则ｓｉｎ2α的值是（）．Ａ．（／2）Ｂ．（2／3）Ｃ．（3／4）Ｄ．（3／8）5．化简（ｓｉｎ（α／2）＋ｃｏｓ（α＋β／2）ｓｉｎ（β／2）／ｃｏｓ（α／2）－ｓｉｎ（α＋β）／2ｓｉｎ（β／2）），得______________．6．已知α、β为锐角，2ｔｇ（α＋3）ｓｉｎβ＝7，ｔｇα－6ｓｉｎβ＝1，则ｓｉｎα＝________．7．已知ｃｔｇα＝2，ｔｇ（α－β）＝－（2／3），则ｔｇ（β－2α）＝______________．8．求下列三角式的值：（1）ｓｉｎ80°ｃｔｇ20°（ｔｇ20°－1）；（2）ｓｉｎ（60°－（α／2））ｃｏｓ（30°－（α／2））·（ｓｉｎ（α／2）／ｓｉｎ（3α／2））．9．（1）化简：（1＋ｓｉｎα／ｃｔｇ（α／2）－ｔｇ（α／2）［（3ｃｏｓα／2ｃｏｓ2（（π／4）－（α／2）））－2ｔｇ（（π／4）－（α／2）］；（2）证明：2sin4x+（3／4）sin22x+5cos4x-cos3xcosx=2（1+cos2x）.10．已知α、β、γ为锐角，ｔｇ（α／2）＝ｔｇ3（γ／2），2ｔｇβ＝ｔｇγ，求证：α，β，γ成等差数列．§ 3 解三角形的综合问题一、复习要点本节复习的重点是：如何把三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理、勾股定理及面积公式与其他三角函数公式配合运用，解答三角形的综合问题.这类试题在历年高考中时有出现．把方程观点和三角式的恒等变形方法结合运用，是解答这类问题的策略之一．把边和角的已知关系式相互转化，是解答这类问题的策略之二．巧用内角和定理，是解答这类问题的策略之三．例如，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ，ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）＝－ｃｏｓＡ，ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ（Ａ／2），ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｓｉｎ（Ａ／2），ｔｇ（Ｂ＋Ｃ）／2＝ｃｔｇ（Ａ／2）等．二、例题讲解例1 （1）在△ＡＢＣ中，Ａ＝（π／3），求证ｂ＋ｃ≤2ａ；（2）在△ＡＢC中，ａ，ｂ，ｃ成等差数列，求证B≤60°．讲解：（1）本题是由三角形角的一种特殊性，推证边的一种大小关系.要完成证明，应先吃透条件，寻找沟通目标与条件的渠道．由Ａ＝（π／3）Ｂ＋Ｃ＝（2／3）π，Ａ＝（Ｂ＋Ｃ）／2；根据目标不等式的形状，想到用正弦定理可把目标与条件沟通，即用正弦定理可把边的不等式转化为关于角的不等式，从而与条件相衔接，分析归纳后得证法如下：由正弦定理和Ａ＝（π／3），A+B+C＝π推知ｂ＋ｃ≤2ａｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ≤2ｓｉｎＡｓｉｎ（（2π／3）－Ｃ）＋ｓｉｎＣ≤（／2）ｃｏｓＣ＋（3／2）ｓｉｎＣ≤ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣ≤22ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤2ｓｉｎ（Ｃ＋（π／6））≤1．最后一不等式是显然成立的，故有ｂ＋ｃ≤2ａ．（2）本题是由三角形边的一种特殊关系，推证角的一种大小关系问题.先理解条件ａ，ｂ，ｃ成等差数列，即2ｂ＝ａ＋ｃ；再寻找目标与条件的联系：由于目标不等式是三角形一个内角的变化范围，故用余弦定理能把目标与条件联系起来．得证法如下：∵ａ，ｂ，ｃ成等差数列，∴2ｂ＝ａ＋ｃ，且由余弦定理，得ｃｏｓＢ＝（ａ２＋ｃ２－ｂ２）／（2ａｃ）＝（ａ２＋ｃ２－（（ａ＋ｃ）／2）２／（2ａｃ）＝（3（ａ２＋ｃ２）－2ａｃ／8ａｃ）（6ａｃ－2ａｃ／8ａｃ）＝（1／2）＝ｃｏｓ60°．又0＜Ｂ＜π，且余弦函数在区间［0，π］上单调递减，故得Ｂ≤60°．例2在△ABC中，若（sin２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（1＋ｃｏｓ2Ｃ）／（1＋ｃｏｓ2Ｂ），试证明△ABC为等腰三角形或直角三角形；讲解：思路1．要证明三角形为等腰三角形，须由条件推得两边相等或两角相等；要证明三角形为直角三角形，须由条件推得三边满足勾股关系或一角等于90°．这就需要运用恒等变形的方法和方程观点对条件等式进行转化．注意到条件等式右端若用二倍角公式，条件即化为更均称的形式（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．观察此式，易从左端想到正弦定理，而从右端想到余弦定理；左右两端分别用正余弦定理变形，即可以从边的关系方面把左右两端沟通，有希望解出勾股关系或边的相等关系．进一步分析后，得证法如下：根据二倍角公式，由条件得（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）．等式左右两端分别用正、余弦定理，得（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝（（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／2ａｂ））２／（（ａ２＋ｃ２－ｂ２／2ａｃ））２）＝（（ａ２＋ｂ２－ｃ２／ａ２－ｂ２＋ｃ２））２·（ｃ２／ｂ２），∴（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1）＝0．由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）＝0，得ａ２＋ｂ２＝ｃ２；由（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２－ｂ２＋ｃ２）·（ｃ２／ｂ２）－1＝0，得ａ２ｃ２＋ｂ２ｃ２－ｃ４＝ａ２ｂ２－ｂ４＋ｂ２ｃ２，即（ｃ２－ｂ２）（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＝0．∴ｂ＝ｃ或ｂ２＋ｃ２＝ａ２．故三角形为等腰三角形或直角三角形．思路2．变换到（ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ）／（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝（ｃｏｓ２Ｃ／ｃｏｓ２Ｂ）时，左端用正弦定理即为（ａ２＋ｂ２－ｃ２）／（ａ２＋ｃ２－ｂ２），而此表达式的形式又容易使我们想到余弦定理ａ２＋ｂ２－ｃ２＝2ａｂｃｏｓＣ，ａ２＋ｃ２－ｂ２＝2ａｃｃｏｓＢ，故而此式＝（ｂｃｏｓＣ）／（ｃｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），从而有（ｃｏｓ２Ｃ）／ｃｏｓ２Ｂ）＝（ｓｉｎＢｃｏｓＣ）／（ｓｉｎＣｃｏｓＢ），（ｃｏｓＣ／ｃｏｓＢ）＝（ｓｉｎＢ／ｓｉｎＣ），即ｓｉｎ2Ｂ＝ｓｉｎ2Ｃ，2Ｂ＝2Ｃ或2Ｂ＝π－2Ｃ，即Ｂ＝Ｃ或Ｂ＋Ｃ＝（π／2）．可知此三角形为等腰三角形或直角三角形．例3 已知△ＡＢＣ的三个内角A、B、C满足Ａ＋Ｃ＝2Ｂ，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）．求ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2）的值．（1996年高考题）讲解：这是一道三角形中的条件求值问题．根据题目的条件与目标结构特点，解答本题的基本想法可以是：将其他已知条件代入条件方程式（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ），然后运用恒等变形方法和方程观点进行转化，从中解出目标ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2来．由△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｃ＝2ＢＢ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°；代入条件方程式，整理，得ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．观察并朝着目标方向思考，想到用和差化积公式可把方程左端转化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2，目标出现了，而右端用积化和差公式可转化为－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］；且二倍角公式能把左边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）相沟通，又左边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2与右边ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）能求出，故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2可由解二次方程求出.整理得解法如下：由题设条件知，Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．∵（－／ｃｏｓＢ）＝－2，（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－2．将上式化为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＣ＝－2ｃｏｓＡｃｏｓＣ．利用和差化积及积化和差公式，上式化为2ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝－［ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）］．将ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）／2＝ｃｏｓ60°＝（1/2），ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－（1／2）代入上式，得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝（／2）－ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）．将ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）＝2ｃｏｓ2[（Ａ－Ｃ）／2]－1代入上式并整理，得4ｃｏｓ２（Ａ－Ｃ）／2＋2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－3＝0，（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－）（2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3）＝0，∵2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＋3≠0，∴2ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2－＝0．从而得ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝／2．若运用变量替换法，还可以有如下解法：由题设条件知Ｂ＝60°，Ａ＋Ｃ＝120°．设α＝（Ａ－Ｃ）／2，则A－Ｃ＝2α，可得Ａ＝60°＋α，Ｃ＝60°－α．∴（1／ｃｏｓＡ）＋（1／ｃｏｓＣ）＝－（／ｃｏｓＢ）化为ｃｏｓ（60°＋α）＋ｃｏｓ（60°－α）＝－2ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）．又ｃｏｓ（60°＋α）＝（1／2）ｃｏｓα－（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°－α）＝（1／2）ｃｏｓα＋（／2）ｓｉｎα，ｃｏｓ（60°＋α）ｃｏｓ（60°－α）＝（1／4）ｃｏｓ２α－（3／4）ｓｉｎ２α＝ｃｏｓ２α－（3／4），代入上式并整理，得4ｃｏｓ２α＋2ｃｏｓα－3＝0，（2ｃｏｓα－）（2ｃｏｓα＋3）＝0．∵2ｃｏｓα＋3≠0，∴2ｃｏｓα－＝0．故ｃｏｓ（Ａ－Ｃ）／2＝ｃｏｓα＝（／2）．三、专题训练1．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（）．A．（0，（／2））B．（1，］C．［（1／2），（／2）］D．（（1／2），（／2）］2．△ABC中，cos2Ａ＜cos2Ｂ是Ａ＞B的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．等腰三角形腰长为2，底边的中点到腰的距离为（／2），则三角形外接圆半径为（）．Ａ．（2／3）Ｂ．4Ｃ．2或（2／）Ｄ．4或（4／3）4．设1＜ｔ＜（／2），在△ＡＢＣ中，Ｃ＝（π／2），ａ＋ｂ＝ｔｃ，则｜Ａ－Ｂ｜的变化范围是区间（）．Ａ．（0，（π／3））Ｂ．（（π／4），（π／3））Ｃ．（（π／3），（π／2））Ｄ．（0，（π／2））5．操场上有一旗杆OP（如图3-5），为了测得它的高度ｈ，在地面上取一基线ＡＢ＝20米，在A处测得P点的仰角∠ＯＡＰ＝30°，在B处测得P点的仰角∠ＯＢＰ＝45°，又测得∠ＡＯＢ＝150°，则旗杆的高ｈ＝________米．图3-56．如图3-6所示，货轮在海上以40km/小时的速度沿着方位角（从指正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点与灯塔A的距离是________km（结果可以保留根号）．图3-67．设△ＡＢC中角A、B、C所对边长分别为ａ、ｂ、ｃ，关于直线ｘｓｉｎＡ＋ａｙ＋ｃ＝0与ｂｘ＋ｙｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝0的位置关系有以下四个判定：①可以是相互平行的位置关系；②可以是重合的位置关系；③可以是相互垂直的位置关系；④一定是相交但不垂直的位置关系．其中正确判定的序号是________．（把你认为正确判定的序号都填上）8．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，C＝90°，ｒ、Ｒ分别是三角形内切圆半径和外接圆半径，求（ｒ／Ｒ）的最大值．9．已知△ＡＢC的三内角A，B，C成等差数列，公差为θ，又（1／ｓｉｎ2Ａ），（1／ｓｉｎ2Ｂ），（1／ｓｉｎ2Ｃ）也成等差数列，求ｃｏｓθ．10．锐角△ＡＢＣ中，2ｔｇＢ＝ｔｇＡ＋ｔｇＣ，且函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｃｏｓ2Ｃ）＝ｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ－Ａ）．（1）求ｔｇＡｔｇＣ的值；（2）求ｆ（ｘ）的表达式．专题能力测试一、选择题1．ω是正实数，函数f（x）=2sinωx在［-（π／3），（π／4）］上递增，那么（）．Ａ．0＜ω≤（3／2）Ｂ．0＜ω≤2Ｃ．0＜ω≤（24／7）Ｄ．ω≥22．ａｒｃｓｉｎ（ｃｏｓ（5π／4））的值是（）．A．－（π／4）Ｂ．（3π／4）Ｃ．（π／4）Ｄ．－（3π／4）3．若函数ｆ（ｘ）＝ａｓｉｎ（ａｘ）＋ａｃｏｓ（ａｘ）（ａ＞0）的最大值是2，则ｆ（ｘ）的最小正周期为（）．Ａ．（π／4）Ｂ．（π／2）Ｃ．πＤ．2π4．函数ｆ（ｘ）＝Ｍｓｉｎ（ωｘ＋φ）（ω＞0）在区间［ａ，ｂ］上是增函数，且ｆ（ａ）＝－Ｍ，ｆ（ｂ）＝Ｍ，则函数ｇ（ｘ）＝Ｍｃｏｓ（ωｘ＋φ）在区间［ａ，ｂ］上（）．Ａ．是增函数B．是减函数C．可取得最大值MＤ．可取得最小值－Ｍ5．如果函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），且有f（x+（π／2））=-f（x），那么f（x）的解析式可以是（）．A．tg（x+π）B．sin（x+π）C．sin2xD.cos2x6．已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是（）．A．若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB．若α、β是第二象限角，则tgα＞tgβC．若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD．若α、β是第四象限角，则tgα＞tgβ7．函数y=-xcosx 的部分图象是（）．A．B．C．D．图3-78．已知奇函数f（x）在［－1，0］上为单调减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则（）．A．f（cosα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＞f（cosβ）Ｄ．f（sinα）＜f（cosβ）9．下列命题中正确的一个是（）．Ａ．函数ｙ＝ｃｏｓｘ（ｘ∈［0，2π］）是一个偶函数Ｂ．函数ｙ＝ｓｉｎ（ｘ＋（π／4））在第一象限内是增函数Ｃ．函数ｙ＝｜ｔｇｘ｜的最小正周期是πＤ．函数ｙ＝（1／ｓｉｎｘ）的值域是［－1，1］10．把函数ｙ＝3ｓｉｎ（ｘ＋（4π／3））－1的图象向右平移θ（θ＞0）个单位，使点（（π／2），－1）成为图象的一个对称中心，则θ的最小值为（）．Ａ．（π／6）Ｂ．（π／3）Ｃ．（5π／6）Ｄ．（4π／3）11．已知α是第二象限的角，给出四个不等式：ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）；ｓｉｎ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）；ｔｇ（α／2）＞ｃｏｓ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）；ｃｏｓ（α／2）＞ｔｇ（α／2）＞ｓｉｎ（α／2）．其中可能成立的是（）．Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．③④12．设f１（x）=cos（2x+（π／3）），f２（x）=cos（3x-（2π／3）），把f１（x）与f２（x）的图象作以下三种变换：先把f1（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的（2／3）；先把f１（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的（2／3），再把图象向左平移（π／3）个单位；先把f２（x）图象向右平移（π／3）个单位，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的（3／2）．能使f１（x）与f２（x）重合的变换个数是（）．A．0B．1C．2D．3二、填空题13．函数f（x）=sin（2x+（π／3））在［0，π）内的单调减区间是_______．14．函数f（x）=（1+sinx-2sin2（（π／4）－（x／2））／4sin（x／2））的最小正周期是_______．15．（1／ｓｉｎ40°）＋ｔｇ10°的值是_____．16．给出下列命题：存在实数x，使ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝（3／2）；②若α、β是第一象限角，且α＞β，则ｃｏｓα＜ｃｏｓβ；函数ｙ＝ｓｉｎ（（2／3）π＋（7ｘ／2））是偶函数；若ｃｏｓαｃｏｓβ＝1，则ｓｉｎ（α＋β）＝0；函数ｙ＝ｓｉｎ2ｘ的图象向左平移（π／4）个单位，得到ｙ＝ｓｉｎ（2ｘ＋（π／4））的图象．其中正确命题的序号是_________．三、解答题17．已知1＋ｃｏｓα－ｓｉｎβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ＝0，1－ｃｏｓα－ｃｏｓβ＋ｓｉｎαｃｏｓβ＝0．求ｓｉｎα的值．18．已知（ｓｉｎβ／ｓｉｎα）＝ｃｏｓ（α＋β），其中α、β为锐角．（1）求证：ｔｇβ＝（ｓｉｎ2α／3－ｃｏｓ2α）；（2）求ｔｇβ的最大值．19．在△ＡＢＣ中，三角Ａ、Ｂ、Ｃ所对的边分别为ａ、ｂ、ｃ，且ｂ２＝ａｃ成立．求ｙ＝（1＋ｓｉｎ2Ｂ）／（ｓｉｎＢ＋ｃｏｓＢ）的取值范围．20．在△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝（5／13），ｔｇ（Ｂ／2）＋ｃｔｇ（Ｂ／2）＝（10／3）．求：（1）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）的值；（2）ｃｏｓ（Ａ－Ｂ／2）的值．专题方法总结一、高考中考查三角函数的主要题型有：1．求三角函数的最小正周期；2．求三角函数及反三角函数的值、值域或定义域；3．比较三角函数或反三角函数值的大小；4．解证三角函数及反三角函数不等式，或判定不等式的解集；5．求三角函数的最值问题；6．求或判定三角函数的单调区间；7．关于三角函数的某一种或几种性质的判定问题；8．三角函数图象与解析式或性质的转换判定问题；9．与函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象有关的问题；10．解三角形的问题(常揉进立几试题中考查)；11．与三角形有关的综合问题；12．把三角函数的基本性质与恒等变形方法揉进复数、解几等问题中进行考查．二、三角函数式的基本变形转化方法及技巧有：①化异名函数为同名函数；②化复角为单角，化异角为同角；③化异次式为同次式；④和差化积或积化和差；⑤切割弦互化；⑥用特殊角的三角函数值代换常数；⑦引入辅助角；⑧分拆角；⑨用万能公式．三、三角函数值在单位圆中的线段表示，可以看作自变量为角度的图象，是对不同三角函数值进行综合分析比较的有力工具．在解答三角不等式或三角方程，比较三角函数值的大小，或由三角函数值判定角的变化范围时，借助单位圆分析是一种极有效的方法．四、对三角函数式进行恒等变形的基本思维策略有：1．首先从问题要求和式子的类型特点(多项式、分式、根式等)把握恒等变形的目的或大方向．例如解三角方程ｆ（ｘ）＝0时，对左边ｆ（ｘ）作恒等变形的大方向自然是把ｆ（ｘ）分解为因式乘积形状；化简三角式时，作恒等变形的大方向则应根据三角式的结构特点而选定．2．其次，从式子内部各部分的函数名称、角度、次数、运算关系等方面，深入观察式子结构特点，通过联想有关概念和公式，寻找并发现各部分间的内在联系(对复杂问题，发现的联系常常是大致的，隐隐约约的，在变形过程中逐步明朗化)；然后选定变形起步点，灵活运用公式及各种变形转化方法，一步步把各部分沟通，使给定式子化为所需形状．3．要注意把三角式的基本变形转化方法与代数式的一般变形转化方法综合运用．例如对一般代数式分解因式的拆项、添项法，分式的变形方法等，都是常用方法．4．从近几年的高考看，三角恒等变换中积化和差与和差化积公式已淡化．如需要用积化和差公式或和差化积公式，而公式又没给出时，可改用和差角公式处理．例如：ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）＋（Ａ－Ｂ）］＋ｃｏｓ（1／2）［（Ａ＋Ｂ）－（Ａ－Ｂ）］＝ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）－ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）·ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｃｏｓ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓ（1／2）（Ａ－Ｂ）＋ｓｉｎ（1／2）（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎ（1／2）（Ａ－Ｂ）＝2ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）／2·ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）／2．五、在未来高考中，三角选择题与填空题仍会以考查三角函数的性质和图象为主；而三角综合题必以考查三角恒等变换、图象变换及应用意识为重点．不论是什么题型，其难度都会控制在低、中档题的水平上，但运用三角基本概念、图象和基本公式进行转化的思维能力，必是考查的核心；而在题目的构思上会突出三角知识与其它数学知识（如几何、不等式、复数、数列等）综合运用的设计，特别是在函数大框架下的特殊设计.专题三三角函数参考答案及提示§ 1 三角函数的性质与图象1．Ａ；2．Ｂ；3．B；4．C；5．（4π／3）；6．π－ｘ；7．（-∞，-2］．8．方法1：运用正弦函数的单调性，分三种情形研究：（1）当α∈（0，（π／4））时，0＜2α＜α＋（π／4），ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））；（2）当α＝（π／4）时，2α＝α＋（π／4），ｓｉｎ2α＝ｓｉｎ（α＋（π／4））；（3）当α∈（（π／4），（π／2））时，（π／2）＜α＋（π／4）＜2α＜π，ｓｉｎ2α＜ｓｉｎ（α＋（π／4））．方法2：ｓｉｎ2α－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝－ｃｏｓ（（π／2）＋2α）－ｓｉｎ（α＋（π／4））＝2ｔ２－t－1＝2（ｔ－（1／4））２－（9／8）（ｔ＝ｓｉｎ（α＋（π／4））∈（（／。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 3
3.1.2 椭圆的简单几何性质(精练)【题组一 离心率】1．(2021·四川雅安中学高二期中(理))椭圆E 的焦点为12F F 、，P 是E 上一点，若1221,60PF PF PF F ⊥∠=，则该椭圆的离心率为( )A B ．2 C D 12．(2021·山东高二期末)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于58-，则椭圆的离心率为( )A ．34B ．58C D3．(2021·全国高二课时练习)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点，A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．344．(【新东方】高中数学20210429—002【2020】【高二上】)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点分别为2F ，下顶点分别是2B ，点C 在椭圆上，且2222=F B CF ，则椭圆的离心率为________．5．(2021·北京市八一中学高二期末)若椭圆221(3)3x y m m +=>的一个焦点为F ，椭圆上一点P 到焦点F 的最大距离是3，则椭圆的离心率为________．6．(2021·湖北高二期中)已知A 、B 、P 是椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的三个不同的点.O 为坐标点，0OP OA OB ++=，且3AB OP k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为______.7．(【新东方】在线数学163高二上)已知(4,0)F -是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的一个焦点，过F 的直线l 交该椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点坐标为()3,1-，则该椭圆的离心率是__________．8．(【新东方】【2021.5.25】【NB 】【高二上】【高中数学】【NB00087】)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为椭圆的两个焦点且12,F F 到直线1x ya b +=，则离心率e =__________．【题组二 点与椭圆的位置关系】1.(2021年广东)已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．2(2021年广东).已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．【题组三 直线与椭圆的位置关系】1．(2021·上海市复兴高级中学高二期中)若曲线||2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是( ) A ．(1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(](),11,-∞-⋃+∞D ．[1,0)(1,)-+∞3．(2021·昆明市外国语学校高二月考(文))椭圆2212y x +=上到直线240x y --=距离最近的点的坐标是( )A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭3．(2021·全国高二课前预习)直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋22y ＝1的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定4．(2021·全国高二课前预习)直线y ＝x ＋1被椭圆24x ＋22y ＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．25,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．47,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1317,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆2241x y +=与直线y x m =+有公共点，则实数 m 的取值范围是 _______ .【题组四 弦长】1．(2021·江西高安中学高二期中(理))直线1y kx =-被椭圆22:15xC y +=截得最长的弦为( )A ．3B ．52C ．2D 2．(2021·遵义市新蒲新区北师大附属高级中学有限责任公司高二月考(理))已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B 若ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．3．(2021·云南省云天化中学高二期中(理))已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>短轴长为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()0,2P -且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，求当AOB 的面积取得最大值时k 的值．4．(专题11圆锥曲线的方程综合练习-(新教材)2020-2021学年高二数学单元复习(人教A 版选择性必修第一册))过椭圆2212x y +=的一个焦点F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，椭圆中心为O ，当AOB 的面积最大时，求直线l 的方程.【题组五 中点弦与点差法】1．(2021·安徽省宣城中学高二期中(文))已知M ，N 是椭圆22149x y +=上关于原点对称的两点，P 是该椭圆上不同于M ，N 的一点，若直线PM 的斜率1k 的取值范围为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率2k 的取值范围为( ) A ．5,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．99,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．(2021·赣州市赣县第三中学高二期中(理))已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为( )A BC D3．(2021·北京昌平·临川学校高二期末(理))椭圆2249144x y +=内有一点()3,2P 过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为( ) A ．32130x y +-= B ．23120x y +-= C ．49300x y +-= D ．94390x y +-=4．(2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试(理))已知为椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM nm的值为( )A B ．12C D ．25．(2021·山西晋中·(理))已知点()1,1P 是椭圆22143x y +=某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.6．(2021·全国高二课时练习)已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F (0，，直线4x +3y ﹣13＝0与其相交于MN 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是__．7．(2021·玉林市育才中学高二期中(文))已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB 的中点，则直线l 的方程是__________.8．(2021·上海市新场中学高二期中)若椭圆22194x y +=的弦被点()2,1平分，则弦所在直线的斜率为k =__.9．(2021·陕西西北工业大学附属中学)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(2,1)M -，则直线l 的斜率为_________；10．(2021·黔西南州同源中学高二期末(文))已知(4,0)F -是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的一个焦点，过F 的直线l 交该椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点坐标为()3,1-，则该椭圆的离心率是__________．11．(2021·安徽省宣城中学(文))椭圆22169x y +=内，过点()12,M 且被该点平分的弦所在的直线方程为__________．12．(2021·宁夏吴忠中学高二月考(理))椭圆2249144x y +=内有一点()3,2P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为_______.13．(2021·北京海淀·中关村中学高二期末)已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>过点(2,0)，且离心率为(0,2)-的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆W 的方程；(2)设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为1时，求中点C 的坐标； (3)当AOB 的面积为45时，求直线l 的方程．【题组六 最值】1．(2021·广西高二期末(理))已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是( )A ．36B ．48C ．72D ．962．(2021·安徽(理))已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为F ，点P 是椭圆C 上的一个动点，||PF1，且存在点P ，使得OPF △(点O 为坐标原点)为正三角形，则椭圆C 的焦距为( )A ．2B ．C ．D ．43．(2021·江苏省南通中学高二期末)已知点P 是椭圆221(0)1612x y xy +=≠上的动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且10F M MP ⋅=，则||OM 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．C ．(0,4)D ．(2,4．(2021·黄梅国际育才高级中学高二月考)已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D5．(2021·江门市第二中学高二月考)设椭圆22143x y +=的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，ABF 周长的最大值为( )A ．4B ．6C ．2D ．86．(2021·横峰中学高二月考(文))已知椭圆()222:11x C y a a +=>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF 的周长为8，则12MF F △面积的最大值为( )A B C ．D ．37．(2021·上海闵行中学高二期末)P 、Q 是椭圆C ：22143x y +=的动点，则PQ 的最大值为__________.8．(2021·云南高二期末(文))已知椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线m 交椭圆于A ，B 两点，若22BF AF +的最大值为6，则b 的值是____________，椭圆的离心率为____________．。