高中数学完整讲义——常用逻辑用语1.命题与四种命题

题型一：判断命题的真假

【例1】 判断下列语句是否是命题：

⑴张三是四川人；⑴1010是个很大的数；⑴220x x +=；⑴260x +>；⑴112+>；

【例2】 判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由.

（1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012=++x x 无实根. （4）5>x

（5）人类在2020年登上火星.

【例3】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出π

()3

p ，并判断它是不是真命题；

【例4】 判断下列命题的真假．

⑴空间中两条不平行的直线一定相交； ⑴垂直于同一个平面的两个平面互相垂直； ⑴每一个周期函数都有最小正周期； ⑴两个无理数的乘积一定是无理数； ⑴若A B ú，则A B B ≠I ；

⑴若1m >，则方程220x x m -+=无实数根． ⑴已知a b c d ∈R ，，，，若a c ≠或b d ≠，则a b c d +≠+； ⑴已知a b c d ∈R ，

，，，a b c d +≠+，则a c ≠或b d ≠．

【例5】 下面有四个命题：⑴若a -不属于N ，则a 属于N ；⑴若a b ∈∈N N ，，则a b +的最小值为2；

⑴212x x +=的解可表示为{}11，

．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

典例分析

板块一.命题与四种命题

【例6】 命题p ：奇函数一定有(0)0f =；

命题q ：函数1

y x x

=+

的单调递减区间是[10)(01]，，-U ． 则下列四个判断中正确的是（ ）

A ．p 真q 真

B ． p 真q 假

C ． p 假q 真

D ． p 假q 假

【例7】 给出下列三个命题：

⑴若1≥a b >-，则11≥

a b

a b

++； ⑴若正整数m 和n 满足≤m n ()2

n

m n m -；

⑴设11()，P x y 为圆221:9O x y +=上任一点，圆2O 以()，Q a b 为圆心且半径为1．当2211()()1a x b y -+-=时，圆1O 与圆2O 相切；

其中假命题的个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例8】 已知三个不等式：000，，c d

ab bc ad a b

>->->（其中，

，，a b c d 均为实数）．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【例9】 已知m n ，是两条不同直线，αβγ，

，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n αα∥，∥，则m n ∥ B ．若αγβγ⊥⊥，，则αβ∥ C ．若m m αβ∥，

∥，则αβ∥

D ．若m n αα⊥⊥，，则m n ∥

【例10】 已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题：

⑴若m α∥，n α∥，则m n ∥；⑴若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；⑴若m α⊥，m β∥，则αβ⊥． 其中真命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例11】 已知三个不等式：0,0,

0c d

ab bc ad a b

>->->（其中,,,a b c d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【例12】 下面有五个命题：

⑴函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π． ⑴终边在y 轴上的角的集合是π|2k a a k ??=

∈???

?

Z ，． ⑴在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有三个公共点． ⑴把函数π3sin 23

y x ??

=+ ??

?

的图象向右平移

π

6

得到3sin 2y x =的图象． ⑴函数πsin 2y x ?

?=- ??

?在()0π，上是减函数．

其中真命题的序号是 ．

【例13】 对于四面体ABCD ，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．

⑴相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；

⑴由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD ?的三条高线的交点；

⑴若分别作ABC ?和ABD ?的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ⑴分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

⑴最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

【例14】 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

⑴若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； ⑴若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；

⑴设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ⑴直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是 ____ ．（写出所有真命题的序号）

【例15】 若[]2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是___________.

【例16】 设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:，f V V a V →∈r ，记a r

的象为()f a r ．若

映射:f V V →满足：对所有，a b V ∈r r 及任意实数，λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+r r r r

，

则f 称为平面M 上的线性变换．现有下列命题：

⑴设f 是平面M 上的线性变换，则(0)0f =r r

；

⑴对a V ∈r

，设()2f a a =r r ，则f 是平面M 上的线性变换；w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m

⑴若e r 是平面M 上的单位向量，对a V ∈r

设()f a a e =-r r r ，则f 是平面M 上的线性变换；

⑴设f 是平面M 上的线性变换，，

a b V ∈r r ，若，a b r r 共线，则()()，f a f b r r 也共线． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

【例17】 设有两个命题：:p 不等式|||1|x x a ++>的解集为R ，命题:q ()(73)x

f x a =--在R 上

为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是 .

【例18】 关于x 的方程()2

22110x x k ---+=，给出下列四个命题：

⑴存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；

⑴存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ⑴存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ⑴存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【例19】 对于直角坐标平面内的任意两点11()，

A x y 、22()，

B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：

⑴若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ⑴在ABC ?中，若90C ∠=?，则2

2

2

AC CB AB +=； ⑴在ABC ?中，AC CB AB +>． 其中真命题的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【例20】 设直线系:cos (2)sin 1(02π)M x y θθθ+-=≤≤，对于下列四个命题：

A ．M 中所有直线均经过一个定点

B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上

C ．对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上

D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

题型二：四种命题之间的关系

【例21】 命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假

【例22】 写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的

真假.

【例23】 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．

⑴“负数的平方是正数”；

⑴“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑴“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑴“若5x y +=，则3x =且2y =”；

【例24】 写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假．

⑴命题p ：“若0,ac ≥则二次方程20ax bx c ++=没有实根”； ⑴命题q ：“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”； ⑴命题r ：“若(1)(2)0x x --=，则1x =或2x =”．

⑴命题l ：“ABC ?中，若90C ?∠=，则A ∠、B ∠都是锐角”；

⑴命题s ：“若0abc =，则a b c ，，中至少有一个为零”．

【例25】 如果两个三角形全等，那么它们的面积相等； ⑴

如果两个三角形的面积相等，那么它们全等； ⑴ 如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等； ⑴ 如果两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； ⑴ 命题⑴、⑴、⑴与命题⑴有何关系？

【例26】 下列命题中正确的是（ ）

⑴“若220x y +≠，则x y ，不全为零”的否命题 ⑴“正多边形都相似”的逆命题

⑴“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题

⑴“

若x 是有理数，则x 是无理数”的逆否命题

A ．⑴⑴⑴⑴

B ．⑴⑴⑴

C ．⑴⑴⑴

D ．⑴⑴

【例27】 命题：“若220()，

a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，

b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，

b a b ≠∈R ，则220a b +≠

【例28】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）

A ．若21≥x ，则1≥x 或1≤x -

B ．若11x -<<，则21x <

C ．若1x >或1x <-，则21x >

D ．若1≥x 或1≤x -，则21≥x

【例29】 已知命题“如果1≤a ，那么关于x 的不等式22(4)(2)10≥a x a x -++-的解集为?”．它的

逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有（ ）

A ．0个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【例30】 有下列四个命题：

⑴“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ⑴“全等三角形的面积相等”的否命题；

⑴“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ⑴“等边三角形的三个内角相等”逆命题；

其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【例31】 下面有四个命题：⑴集合N 中最小的数是1；⑴若a -不属于N ，则a 属于N ；⑴若

,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；⑴x x 212=+的解可表示为{

}1,1.其中真命题的个数为（）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【例32】 有下列四个命题：⑴“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题；⑴“全等三角形的面积相

等”的否命题； ⑴“若1q ≤ ,则2

20x x q ++=有实根”的逆否命题；⑴“不等边三角形的三

个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （ ） A ．⑴⑴ B ．⑴⑴ C ．⑴⑴

D ．⑴⑴

【例33】 原命题：“设a b c ∈R ，，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，

真命题共有（ ）个．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．4

【例34】 给出以下四个命题：

⑴“若0x y +=，则x y ，互为相反数”的逆命题； ⑴“全等三角形的面积相等”的否命题；

⑴“若1q -≤，则20x x q ++=有实根”的逆否命题；

⑴“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．

其中真命题是（ ）

A ．⑴⑴

B ．⑴⑴

C ．⑴⑴

D ．⑴⑴

【例35】 命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）

A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤

B ．若11x -<<，则21x <

C ．若1x >或1x <-，则21x >

D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥

【例36】 有下列四个命题：⑴“若0x y +=，则，x y 互为相反数”的逆命题；⑴“全等三角形的面积相

等”的否命题；⑴“若1≤q ，则220x x q ++=有实根”的逆否命题；⑴“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．其中真命题为（ ）

A ．⑴⑴

B ．⑴⑴

C ．⑴⑴

D ．⑴⑴

【例37】 命题“若ABC ?不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 ．

【例38】 下列命题中_________为真命题．

⑴“A B A =I ”成立的必要条件是“A B ü”； ⑴“若220x y +=，则x ，y 全为0”的否命题； ⑴“全等三角形是相似三角形”的逆命题；

⑴“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．

【例39】 “在ABC ?中，若90C ∠=?，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为

；

【例40】 有下列四个命题：⑴命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；⑴命题“面积相等的三

角形全等”的否命题；⑴命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；⑴命题“若A B B =I ，则A B ?”的逆否命题．

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．

【例41】 命题“若,x y 是奇数，则x y +是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.

【例42】 写出命题“若0m >，则方程2

0x x m +-=有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证

明.

【例43】 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．

⑴若m S ，2m S +，1m S +成等差数列，证明m a ，2m a +，1m a +成等差数列； ⑴写出⑴的逆命题，判断它的真伪，并给出证明．

【例44】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 22

=相交于A 、B 两点．

（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →

--?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．