数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？
解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保
留小数点后三位才可以。ln2≈0.693 第二章典型例题
例1 用顺序消去法解线性方程组
???
??1
-=4+2+4=+2+31-=4++2321
321321x x x x x x x x x 解 顺序消元
??
??
??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141
25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组
??
?
??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解
x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T
例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组
???
??5
=+2+23=++1=2-2+321
321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式
???????+--=+--=++-=+++5223122)
(2)(1)1(3
)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0
X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1
???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3
532123
351515232)2(3)
2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T
第3次迭代，k =2
???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1
5)3(2521
3)3(511)3(2)3(2)2(3)
3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T
第4次迭代，k =3
???????=+?-?-==+--==+?+?-=1
512121
311111212)2(3)
2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T
例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛
德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为
A ＝??
??
?
?????-122111221 于是
D ＝??
??
??????100010001 D －1＝D
??
??
?
?????=022001000L ~
??
??
?
?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
B 0＝??
??
?
?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1
))1(22[2)]1(2)2([2
221
10
2221122B I 30==+-+-+-+=++=-=-λλλλλλλλλλλλλλλ
得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。
高斯－赛德尔迭代矩阵为
G ＝－U ~
)L ~D (1-+
＝－????
?
?????----=??????????-??????????---=??????????-??
??
?
?????-2003202200001002201200110010001002201220110011
0)2(2
003202
2I 2=-=---=-λλλλλ
λG
解得特征根为λ1=0，λ2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。
例5 填空选择题：
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 ???
??2=3--3=3+2+20=+2++21
321321x x x x x x x x 作第1
次消元后的第2，3个方程分别
为 。
答案：?
?
?=+--=-5.35.125
.15.03232x x x x
解答 选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x 1+2x 2+3x 3=3，
消元得到
?
?
?=+--=-5.35.125
.15.03232x x x x 是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组
???
??5
=+2+23
=++1
=2-2++321
321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)
1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)
答案：)
(3)1(13k k x x --+
解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x 2
的值时应该用上x 1的新值。 第三章典型例题
例1 已知函数y =f (x )的观察数据为
试构造拉格朗日插值多项式P n (x )，并计算f (－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数
845-4--=5-2-4-2-0-2-5-4-=
0)
)(())()(())(()(x x x x x x x l
40
5-4-2+=5-04-02--05-4-2+=
1)
)()(())())((())()(()(x x x x x x x l
24
5-2+-
=5-40-42+45-2+=2)
)(())()(()()()(x x x x x x x l
35
)
4()2()45)(05)(25()4()2()(3-+=--+-+=
x x x x x x x l
所求三次多项式为
P 3(x )=∑=n
k k k x l y 0)( ＝
84
5-4-?
5-)
)((x x x ＋
40
5-4-2+)
)()((x x x －
24
5-2+?
3-)
)(()(x x x ＋
35
4-2+)
()(x x x ＝1+21
55-141-42523x x x
f (－1)≈P 3(－1)＝7
24
=1+2155-141-425-
例3 设n x x x x ,...,,,210是n +1个互异的插值节点，),...,,,)((n k x l k 210=是
拉格朗日插值基函数，证明： (1) 1≡∑0
=n
k k
x l
)( (2)
),...,,,()(n m x x x l
m n
k m k k
210=≡∑0
=
证明 (1) P n (x )=y 0l 0(x )+y 1l 1(x )+…+y n l n (x )=∑=n
k k k x l y 0
)(
)()()(),()!
()
()()(x R x P x f x n f x R n n n n n +=∴1+=1+1+ωξ
当f (x )≡1时，
1＝)()!()
()()()()(x n f x l x R x P n n k
k k n n 1+1+0
=1++?1=+∑ωξ
由于0=1+)()
(x f n ，故有1≡∑0
=n
k k x l )(
(2) 对于f (x )=x m ,m =0,1,2,…,n ，对固定x m (0≤m ≤n ), 作拉格朗日插
值多项式，有
)()!()
()()()()(x n f x l x x R x P x n n n
k k
m
k n n m
1+1+0
=1++=+≈∑ωξ
当n >m －1时，f (n +1) (x )=0，R n (x )=0，所以 m n
k k
m k x x l x
≡∑0
=)(
注意：对于次数不超过n 的多项式011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)(,
利用上结果，有
011-1-++++=a x a x a x a x Q n n n n n ..)( =∑∑∑∑0
=00
=10
=1-1-0
=++++n
k k n k k k n
k n k
k n n
k n k
k n x l a x x l a x
x l a x x l a )()(...)()(
=∑∑
==--=
++++
n
k k k
n
n
k k n k
n n
k
n k x l x
Q a ax x a x a x l 0
001
1)()(]...)[(
上式∑=n
k k k n x l x Q 0
)()(正是Q n (x )的拉格朗日插值多项式。可见，Q n (x )的拉
格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n 的多项式在n +1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n =5。a 0,a 1满足的法方程组是
??
?5
105=55+1531
=15+51010.a a a a
解得a 0=2.45, a 1=1.25。所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25x 例6选择填空题
1. 设y =f (x ), 只要x 0,x 1,x 2是互不相同的3个值，那么满足
P (x k )=y k (k =0,1,2)的f (x )的插值多项式P (x )是 (就唯一性回答问题)
答案：唯一的
3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )
(A) )()!
()
()()()()(x n f x P x f x R n n n n 1+1+1+=-=ωξ
(B) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )
(C) )!
()
()()()()(1+=-=1+n f x P x f x R n n n ξ
(D) f (x ,x 0,x 1,x 2,…,x n )(x －x 0)(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n －1)(x －x n )
答案：(A)，(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题 例1 试确定求积公式)(
)(d )(3
1+3
1-
≈?1
1-f f x x f 的代数精度。
[依定义，对x k (k =0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k 数值]
解 当f (x )取1,x ,x 2,…时，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f (x )=1,有
左边＝2=1=??1
1-11-x x x f d d )(, 右边＝2=1+1=3
1+3
1-)(
)(f f
(2) 取f (x )=x ,有
左边＝0=0=??1
1-1
1-x x x f d d )(, 右边＝0=3
1+
3
1-
=3
1+3
1-)(
)(f f
(3) 取f (x )=x 2,有
左
边
=
3
2=
=??
1
1
-21
1
-x x x x f d d )(, 右边
=3
2=3
1+3
1-=3
1+3
1-22)()()()(f f
(4) 取f (x )=x 3,有
左边=0==??1
1-31
1-x x x x f d d )(, 右边=0=3
1+3
1-
=3
1+3
1-33)(
)()(
)(f f
(5) 取f (x )=x 4,有
左
边
=
5
2=
=??
1
1
-41
1
-x x x x f d d )(, 右边
=9
2=3
1+3
1-=3
1+3
1-44)()()()(f f
当k ≤3求积公式精确成立，而x 4公式不成立，可见该求积公式具
有3次代数。
例5 试确定求积公式)]()0([)]()0([2
d )(20
h f f ah h f f h x x f h '-'++
≈?中的参
数a ，并证明该求积公式具有三次代数精度。
解 公式中只有一个待定参数a 。当f (x )=1,x 时，有 0]11[2d 10++=?
h
x h
,即h =h
)11(]0[2
d 12
0-++=?
ah h h x x h ,2222h h =
不能确定a ，再令f (x )=x 2, 代入求积公式，得到
)202(]0[2
d 2
20
2
h ah h h x x h
-?++=?
,即 333223ah h h -=
得121=a .
求积公式为)]()0([12
)]()0([2d )(2
0h f f h h f f h x x f h
'-'++≈?
将f (x )=x 3代入上求积公式，有
)303(12
]0[2d 223
3
h h h h x x h
-?++=?
可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f (x )=x 4代入上公式中，有
)404(12
]0[2d 3240
4
h h h h x x h
-?++≠?
所以该求积公式具有三次代数精度。
例6 选择填空题
1. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点
是 。
解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其
精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题
例1 证明方程1－x －sin x ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x
∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin 1<0
∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根。又
f '(x )=1－cos x >0(x ∈[0，1]),故f (x )＝0在区间[0，1]内有唯一实根。 给定误差限ε＝0.5×10－4，有
728713=1-2
104+50-=1-2--≥
.ln ln .ln ln ln )ln(εa b n
只要取n ＝14。
例2 用迭代法求方程x 5－4x －2＝0的最小正根。计算过程保留4
位小数。 [分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式
)),(()(,)(,21∈1>4
5='42-=42-=454x x x x x x x ??即，此时迭代发散。
建立迭代格式)21(5
4
)24(54)(,24)(,2454
55≤≤<
+=
'+=+=x x x x x x x ??，此时迭代收敛。
解 建立迭代格式
552+4=2+4=x x x x )(,? 1)),21(5
4
)
24(54)(05
4
=≤≤<
+=
'x x x x 取初始值?(可任取1，2之间的值)
≈6=2+4=5501x x 1.431 0 ≈7247=2+4=5512.x x 1.505 1
≈02048=2+4=5523.x x 1.516 5 ≈0668=2+4=5534.x x 1.518 2
≈07288=2+4=5545.x x 1.5185
取≈*x 1.5185
例3 试建立计算3a 的牛顿迭代格式，并求3791411.的近似值，要
求迭代误差不超过10－5
[分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10－5。
解 令0=-==33a x x f a x )(,，求x 的值。牛顿迭代格式为
),...,,()()(10=3+32=3--='-=2
23
1
+k x a
x x a x x x f x f x x k
k k k k k k k k
迭代误差不超过10－5，计算结果应保留小数点后6位。 当x =7或8时，x 3=343或512，0>8''80<7''7)()(,)()(f f f f 而,取x 0=8,
有
≈8
?3791411+8?32=3+
3
2=2
2001.x a x x 7.478 078 ≈478078
7?3791411+4780787?32=3+32=
22212...x a x x 7.439 956 0381220=-21.x x
≈439956
7?3791411+4399567?32=3+32=
22223...x a x x 7.439760 0001960=-32.x x
≈439760
7?3791411+4397607?32=3+32=
22334...x a x x 7.439760 于是，取≈*x 7.439760
例4 用弦截法求方程x 3－x 2－1＝0，在x =1.5附近的根。计算中保留5位小数点。 [分析] 先确定有根区间。再代公式。
解 f (x )= x 3－x 2－1，f (1)=－1，f (2)=3，有根区间取[1,2]
取x 1=1, 迭代公式为
)()
()()
(1-1-1+---
=n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…)
251≈1?43
-2=-+--1---=0120
302131213112.)(x x x x x x x x x x
≈2-251?2
+2-251-2511
-251-251-251=2
323233).(.....x 1.37662
≈251-376621?25
1+251-376621-3766211
-376621-376621-376621=2
3232
34)..(.......x 1.48881
≈376621-488811?37662
1+376621-488811-4888111
-488811-488811-488811=2
3232
35)..(.......x 1.46348
≈488811-463481?48881
1+488811-463481-4634811
-463481-463481-463481=2
323236)..(.......x 1.46553 取≈*x 1.46553，f (1.46553)≈－0.000145 例4 选择填空题
1. 设函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，若满足 ，
则方程f (x )=0在区间[a ,b ]一定有实根。 答案：f (a )f (b )<0
4．牛顿切线法是用曲线f (x )上的 与x 轴的交点的横坐
标逐步逼近f (x )＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的 与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x )＝0的解。 答案：点的切线；两点的连线
解答：见它们的公式推导.
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析试题及答案汇总
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
数值分析1-4习题及答案
1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析典型习题资料
数值分析典型习题
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
数值分析典型例题
第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3
X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。
数值分析典型例题
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 习题一 1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限 )1.0ln(,121,101 1,1014321== = = x x x x 1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位 数。 3 * 5* 4* 3* 2* 1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0?=====x x x x x 1.3 为了使 3 1的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字? 1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确? (1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ? ++1 2 1N N x dx ,其中N 是充分大的正数 (3) x x sin cos 1-,其中x 充分小 (4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e (6) )11010ln(84-- 1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。 习题二 2.1 证明方程043 =-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对 分多少次？(不必求根) 2.2 用二分法求方程0134 =+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求2 10 2 1-?= ε。 2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求2 10 -=ε。 (1) 02 =--x x ； (2) 06cos 2 =-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。 2.4 考虑方程032 =-x e x ，将其改写为3 x e x ± =，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附 近的两个根(取精度要求3 10-=ε)。 数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2? 2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m, 1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限. 3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界. 5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算 p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？ 6. 已知33348 7.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差. 7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差. 8. 已知 1 6243sin ,sin π ππ== =请用抛物插值求sin50的值,并估计误差 9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x 10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式 . 11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ， 试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差 12. 设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及 )()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式. 13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944?? ???? ，上的三次埃尔米特 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 0d )(x x f ≈(?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 一、填空题 1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数 ，绝对误差为 ， 相对误差为 。 2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为 。 3.对f(x)=x 3 +x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。 4.设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代法格式是 。 5.设方程x=?(x)有根x * ,且设?(x)在含x * 的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为 。 6.求解线性方程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为 。 7.??? ? ??=01100 1001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。 8.n 次Legendre 多项式的最高次项系数为 。 9.中矩形公式：)()2( )(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为 。 10.求积公式：)1(2 1)0()(10 f f dx x f '+ ≈?的代数精度为 。 11.在区间[1，2]上满足插值条件? ??==3)2(1 )1(P P 的一次多项式P(x)= 。 12.设∑ == n k k k n x f A f I 0 )()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A = 。 13．梯形公式和改进的Euler 公式都是 阶精度的。 二、计算题 1.利用矩阵的高斯消元法，解方程组??? ??=++=++=++20 53182521432321 321321x x x x x x x x x 2.设有函数值表 试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。 数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－ 赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝??????????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010； （2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010； （3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ； （4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-， 故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? 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