光波阐述的角谱分析法

光波阐述的角谱分析法

要求:

对一随时间变化的信号作傅里叶变换，可求得该信号的频谱分布。同样，对任一平面上的复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换，则可求得该光场信号的“空间频谱”分布，各个不同空间频率的空间傅里叶分量，可看作是沿不同方向 传播的平面波，因此称“空间频谱”为平面波的角谱。

一束有限大小的平面波从 z=0处发射出来，波前的法向为 z 方向，该光场复振幅分布

为： (){

()2,22,20

exp 0,,0b y a x b y a x kzj E y x E >

>≤≤

= 设 a=b=0.001 米，请完成下面问题的解答: （1）说明角谱的物理意义； （2）获得该光场的角谱分布；

（3）使用 Matlab ，画出该光束远场的光斑图样。

引言

很多光学系统可以看成线性空间不变系统，如果一个复杂光场看成简单光场的线性叠加，则知道简单光场的响应，那么复杂光场总响应则为简单光场响应的线性叠加。惠更斯提出了次波假设对波的传播过程进行了阐述，从而形成了惠更斯球面波理论，他利用该理论解决了一些光的衍射问题。傅里叶光学则把复振幅分解为朝不同方向传播的平面波，即角谱。具体介绍角谱之前，先了解一下空域中场函数和频域中的频函数的关系。

1.1空域和频域的分析

空间频率是傅里叶光学中的基本物理量，波矢量为

()γβαλ

π

cos ,cos ,cos 20=

=k k k （1）

的单色波在空间位置()z y x r ,,=

的复振幅为

()()??

????=γβαλπ

cos ,cos ,cos 2ex p ,,z y x j A z y x E （2）

对于任意一个波函数的每个傅里叶分量都是一个单一空间频率的复指数函数，因此，每个频率分量都可以扩展到空域()y x ,上。对于任一单色波，都可以用其振幅分布和相位分布来表示：

()()()[]y x j y x A y x g ,ex p ,,φ=

（3）

其中()y x A ,是非负的实值振幅分布，

()()

y f x f y x y x +=πφ2,是实值相位分布，x f ，y f 是光波分别在x ，y 方向上的频率。函数()y x g ,的傅里叶变换式为

()()()[]

dxdy y f x f j y x g f f G y x y x +-=??π2exp ,,

（4）

()y x f f G ,的傅里叶逆变换为

()()()[]

y x y x y x df df y f x f j f f G y x g +=??π2exp ,,

（5）

如果用()y x g ,表示光波的场函数，那么()

y x f f G ,则为频函数。

1.2角谱及其物理意义

复杂光场()0,,y x E 的傅里叶变换为

()()()[]

dxdy y f x f j y x E f f A y x y x +-=??π2exp 0,,0,,

（6）

()0,,y x f f A 的傅里叶变换为

()()()[]

y x y x y x df df y f x f j f f A y x E ??+=π2exp 0,,0,,

（7）

由此看出，一个空间函数()0,,y x E 可分解为无数形式为

()[]

y f x f j y x +π2ex p （8）

的简单基元函数的线性叠加，而()

0,,y x f f A 表示空间频率为()

y x f f ,的基元函数在线性组合中所占的权重，因此称为该空间域的角谱或频谱。

当平面波在0z z =平面时，复振幅为

()()()[]

y x y x y x df df y f x f j z f f A z y x E ??+=π2exp ,,,,00

（9）

此时角谱为

()()()[]

d xdy y f x f j z y x E z f f A y x y x ??+-=π2exp ,,,,00

（10）

2.1求光场的角谱分布

光场为

(){

()2,22,20

exp 0,,0b y a x b y a x kzj E y x E >

>≤≤

= 从 z=0处发射出来，波前的法向为 z 方向。在z=0时这个平面波可以写成

()()()[]

y f x f j f f A y x E y x y x +=π2ex p 0,,0,,

（11）

其中角谱为

()()()[]

()()()y

x y

x b y y a

x x b y a x y x y x f f f b f a E dy y f j dx x f j kzj E dxdy

y f x f j kzj E

f f A 20

2

2

02

,20

sin sin 2exp 2exp exp 2exp exp 0,,ππππππ=--=+-=

?

???≤

≤

≤≤

（12）

在传播0z 距离后该光场的分布为

()()()[]

y f x f j z f f A z y x E y x y x +=π2ex p ,,,,00

（13）

此时角谱为

()()()γcos ex p 0,,,,00jkz f f A z f f A y x y x =

（14）

用空间频率表示则为

()()()()??

????--=2

2001exp 0,,,,y x y x y x f f jkz f f A z f f A λλ

（15）

当()()

12

2

≤+

y

x f f λλ，也就是平面波接近z 轴传播时，式（15）根号内为正实数，这

是普通平面波在自由空间内的传播。当()()

12

2

>+

y

x f f λλ时，根号内为负实数，此时平面

波随z 坐标的增加按指数规律下降，这样的波称为倏逝波或隐失波，则这个空间频率的平面波实际不会有效传播。

2.2光束的远场分布

由线性空间不变系统的频域分析可知，()0,,z f f A y x 与()

0,,y x f f A 的乘积关系可知，光波在自由空间传播0z 距离是一个线性空间不变系统，将这两者联系在一起的函数则为这个系统的传递函数，即

()()()0,,/,,,0y x y x y x f f A z f f A f f H =

（16）

式（16）是基尔霍夫衍射的传递函数。

将夫琅禾费衍射从孔径区域的积分改写成无限大平面上的积分，即

()()()??∞

--=ηξηξηξd d y x h E y x E ,,,

（17）

夫琅禾费衍射是孔径中的场()ηξ,E 与()ηξ--y x h ,的卷积，夫琅禾费衍射是线性空间不变系统。那么该光场的远场分布可看成是远场下夫琅禾费的矩孔衍射。

仿真

边长为3的正方形矩孔

孔径后表面场的角谱，是入射光角谱与孔径复振幅透过率傅里叶变换的卷积，若单色平面波垂直入射孔径，且入射光()1,=ηξi E ，则出射光的角谱直接由孔径的傅里叶变换得出。即

()()()()y x y x y x y x t f f T f f f f T f f A ,,*,,==δ

（18）

衍射光斑

衍射图像为矩孔衍射

二维光强分布曲线

中心处光强为最大值

x

光强I

三维光强分布曲线

附件matlab代码

clear

x=linspace(-500,500,1001);

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

for i=1:size(X,1)

for j=1:size(Y,1)

if X(i,j)<=3&&X(i,j)>=-3&&Y(i,j)<=3&&Y(i,j)>=-3 S(i,j)=1;

else

S(i,j)=0;

end

end

end

figure(1)

imshow(S,[])

Ft=fft2(S);

Fts=fftshift(abs(Ft)); figure(2)

imshow(Fts,[]) colormap(gray);

figure(3)

[i,j]=size(Fts);

a=(i+1)/2;

B=Fts(a,:);

x=-500:1:500;

plot(x,B)

figure(4)

mesh(Fts)

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